Elekronik Överik Kapacianer, indukaner, raniener Piero Andreani Iniuionen för elekro och informaioneknik Lund univerie Kapacianer () och indukaner (L) Srömmar och pänningar i kapacianer och indukaner Ömeiga indukaner (ranformaor) Energi i kapacianer och indukaner och L krear Tranienvar och eadyae var Andraordningen L krear Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar Kapacianer och indukaner Plaekondenaor Kapacianer lagrar energin i elekrika fäl Den enklae kondenaorn, plakondenaorn, ugör av vå parallella ledande plaor eparerade av e un kik iolerande maerial Indukaner lagrar energin i magneika fäl Om en röm elekroner flödar uppå in i den nedera plaan, kapa de e elekrik fäl om vingar elekroner a lämna den övera plaan. På å ä flödar en poiiv röm nerå igenom kondenaorn, amig om en pänning kapa över kondenaorn. Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4
Plaekondenaorn fyika egenkaper Kondenaor I en kondenaor är den lagrade laddningen q proporionerlig mo pänningen v mellan plaorna: A W L elekriciekonanen vakuum e ee A e d e 8.85 F/m r q v är kapacianen och mä i farad (F, lika med coulomb per vol) En kapacian på F är enorm; en kapacian i orlekordning 5 F åerfinn ofa om parai i inerna noder på inegrerare krear Vi minn nu a römmen är idderivaan på laddningen: dq d v dv i d d d (om ine ändra med iden) Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 6 Exempel Spänning och energi dv i d () () + v i d v dv p() i() v() v d 6 dv i 5A 6 d Den energi om lagra i kapacianen blir dv d v () w() p() d v d vdv v () Den lagrade energin w åerför ill kreen (och använd i den) Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 8
Kapacianer i parallell och eriekoppling Vad händer här med energin? Parallell i dv + dv dv + 3 ( + + 3) dv eq + + 3 d d d d Serie v i d + i d + i d + + i d 3 Ł 3 ł + + eq 3 eq + + 3 + mf v eq o qo m 5V mf eq > : v V 6 w v 5mJ w w w + w qo q + q m o 6 o 5.5 w v mj 6 o 5.5 w v mj w w + w.5mj o < : Vad har hän ill de förvunna 5mJ.5mJ.5 mj? Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar Plaekondenaorn fyika egenkaper Kapacianer i MOSproceer A W L A e d Kapacian mellan G och ubra, G och S, G och D, S och ubra, D och ubra, o v Kapacian mellan olika mealledningar, mellan mealledning och ubra, o v Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar
Indukorer En röm om flyer genom en ledare kapar e magnefäl om kopplar illbaka ill ledaren Om römmen i ledaren förändra, förändra ockå de magneika fäle, vilke kapar en pänning över ledaren (Faraday lag) Ledaren beer ig ålede om en ideal indukor Indukorer För en ideal indukor är pänningen över indukorn proporionell ill idderivaan av römmen genom indukorn. Vidare, är polarieen ho pänningen ådan a den moäer ig ändringen i römmen. Proporionaliekonanen kalla indukan, beeckna med bokaven L, och räkna i Henry (H). Indukanvärden varierar från nh (i inegrerade krear) ill ioal H. () () i() v() d + i v L d Den magneika energi om lagra i polen är w Li () () L Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4 Exempel Exempel () v() L d () () + i v d i L L 5H Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 6
Serie och parallellkopplingar Formell, amma ekvaioner om för moånd Indukorer / polar En (icke inegrerad) indukor är vanligvi konruerad genom a linda en ledare run någon yp av öd i en pecifik kepnad ( pole ) Söde är ofa gjor med e magneik maerial åom järn eller järnoxider, vilke ökar de magneika fäle för en given röm L L + L + L eq 3 eriekoppling parallellkoppling L eq + + L L L 3 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 8 Verkliga polar Inegrerad indukor (9nm MOSproce), p och p är mer eller mindre oundvikliga paraier om följer med den ideala indukanen Hur or är L? Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar
Ömeig indukan (ranformaor) Ibland är flera polar lindade på amma kärna, å a de magneika flöde om producera av en pole kopplar ill de andra polarna. Dea innebär a en idvarierande röm om flyer genom en pole kommer a inducera pänningar i de andra polarna. Självindukanerna beeckna om L och L, medan den ömeiga indukanen beeckna om M. Ömeig indukan (ranformaor) De magneika fäl om producera av en pole kan aningen förärka eller moäa ig ill de fäl om producera av den andra polen. Prickarna på poländarna inkerar huruvida fälen hjälper eller moäer ig ill varandra. Om båda römmarna går in i in egen prick, eller båda lämnar den, förärker fälen varandra, annar moäer de ig ill varandra. v L + M d d v M + L d d v L M d d v M + L d d Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar Mealledningar på I Långa mealledningar uppviar, (ill ubrae och möjligvi ill andra ledningar), L, och möjligvi M (p g a andra långa parallella ledningar) In och ugångar Bondrådar: L och M (och i vi mån ) Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4
Tranienvar En kapacian urladdning En kapacian urladdning genom e moånd (bryaren koppla på när ) dv d + v v Ke fi Ke + Ke fi fi v Ke KL: dv v dv i + i fi + fi + v d d v c måe ha amma form om in idderivaa: vi provar med med okända K och v Ke Vidare, kan pänningen över kapacianen ine ändra ögonblickligen när bryaren koppla på annar kulle ekvaionen i dv d kräva a i blir oändlig or. Vi kan allå kriva: + ( ) ( ) v v V i Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 6 En kapacian urladdning Om idkonanen v Ke Vi kan nu hia K: ( ) v V v v Ve Ve Ke K i + ( ) fi i i dv V i i Ve i e d Ł ł De är lä a ine a värde på idkonanen hel beämmer hur nabb en kapacian (ur)ladda Om vi önkar ulranabba krear måe vi e ill a idkonanerna är ulralåga Tidkonanen: Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 8
Kommer ni ihåg? Nu kan vi vara! + mf v eq o qo m 5V mf eq > : 6 w v 5mJ w w w + w q q + q m o 6 o 5.5 w v mj 6 o 5.5 w v mj w w + w.5mj o < : Vad har hän ill de förvunna 5mJ.5mJ.5 mj? o > : i V V e V V V V Vi anar a römbryaren movarar e (lie) moånd när den är pålagen,,, med, och,, + V V V w i d e d V,,,, 6.5 mj Här är den aknade energin: den förbruka i moånde! Förreen, er ni nå anmärkningvär i denna energiekvaion? Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3 Eferom ffekvaionen innehåller en konan erm, provar vi med v K + Ke vilke ger v Uppladdning dv v V dv + fi + v V d d ( ) Ke + K+ Ke V fi + Ke + K V Uppladdning Vi använder åerigen värde på v + v () v V e Ł v V+ Ke + ( ) v V + K e V + K fi K V ł V i e v () vid : Åerigen, och K V Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 3
Tranienvar och eadyae Tvåminueruppgif Seadyae när alla raniener har klinga u () v V Ve Seadyae, var ill en Dkälla Tranien, förumbar efer e anal idkonaner Exponenfunkionen är oberoende av den ärkilda (D) källan vid ingången Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 33 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 34 Problem 4.4 Problem 4.6 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 35 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 36
D eadyae L krear i dv d L d L vl Om alla källor är Dkällor, blir v och i L å måningom konana Dea innebär a i och v L, vilke beyder a kapacianen är e Davbro och indukanen en Dkorluning vid D eadyae Exempel Samma illvägagångä om med krear! i i+ L V d i K + Ke fi + L Ke + K V V K L, Eferom vl L L d, ve vi a i L ine kan ändra ögonblickligen när bryaren koppla på, och vi kan kriva + V i( ) K + K fi K Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 37 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 38 L krear Exempel urladdning V L Ł v L L e Ve d ł V L V i e e Ł ł Ł Tidkonanen: ł L V i e L V V v L L e e d i V Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 39 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4
Tvåminueruppgif och L krear med allmänna källor Thevenin igen (med L, men de kunde vara ): () L L + i() v () fi + i v d d + i v d () () dx + x f d () () () () Allmän, kan vi kriva: drivfunkion där x() kan vara en pänning eller en röm Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 4 Löning Komplemenär löning () () dx ln c dxc d d Øxc ø + xc() fi fi º ß d x d c () Man kan via a löningen har vå delar: + x x x p c c ln Ø º xc () ø ß + c fi xc() e e Ke xp ärkild löning är en löning (vilken om hel) ill ekvaionen medan xc dxp + xp f d () () uppfyller ekvaionen (homogena ekvaionen) från begynnelevillkoren komplemenär löning dx x () c + c d Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 43 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 44
Exempel I Exempel II + d 3 6 5 i 4 co och i Aco + Bin p غ A B øß Øº A B øß 3 5 in + co + co + in 6 4 co i i+ id + v fi + in ( ) 4co( ) d + i 4co fi 5 + i 4 co d d 3 6 x p () liknar ofa f(); vi giar därför a i p () är i Aco + Bin p eferom A+ B, B + A 4 6 A ma, B ma i co + in ma p o i co 45 ma p eller ( a b) ( a) ( b) + ( a) ( b) ( a b) ( a) ( b) ( a) ( b) co co co in in in in co co in Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 45 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 46 Exempel III Srömploar Vi ve edan igare a ic Ke, och därför o () ( ) i co 45 + Ke ma o i co 45 4e m A + + v ( ) i ma i m m + K fi K 4mA o i co 45 4e ma Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 47 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 48
Andraordningen krear En kapacian och en indukan i amma kre a L Andraordningen krear d i i + + d L d L L d w L dv f dv L d dämpningkoefficien odämpad reonanfrekven drivfunkionen L + i+ id + v v d L d i i + + d d d () dv dv d i i + + d L d L L d d i + a + w i f d d Åerigen, d xp d dxp + a + w xp d p c d x d x x + x, med f och dx + a + wx f d d xc dxc + a + w xc d d Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 49 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5 Den komplemenära löningen Om och är komplexa al Vi äer xc Ke i Ke + ake + w Ke + a+ w fi d xc dxc + a + w xc d d a + a w a a w a Vi definierar nu dämpningförhållande om z w Beroende på z har vi re olika fall: egenfrekven Om och är komplexa al använder vi o av Euler formler (k +k ) och (k k ) fungerar här nere om vå oberoende komplexa konaner: ( + ) + ( ) ( a+ jw ) ( a w + + ) n j n k k e k k e x k k e k k e c jwn jwn jwn jwn e Øk e + e + k e e a º ß ( wn ) ( wn ) ( w ) in ( w ) ø e Øk co + jk in ø a º ß e ØK co + K a º n n ß ø z > fi, reella al fi x Ke + Ke c z fi a fi x K e + K e c w w a a z < fi, komplexa al fi x K e co w + K e in w a c n n e näa ida n Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 5
Segvar Uförlig exempel I d x d.5 dx + a + wx Au d () z < fi överdämpa z fi kriik dämpa z > fi underdämpa L + i+ v V i dv fi L d v + dv + v V d d d d och d v dv L + + v V d Den ärkilda löningen är välg enkel hiad, eferom v V drivpänningen är D: man er rek a d, p Alernaiv kan man beraka a under eady ae (när alla ranienerna klinga u) måe v vara lika med V Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 53 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 54 Uförlig exempel II Lå o hia den homogena löningen för re olika värden på Vi börjar med 3 W; då blir de Med 3.5 L a 4 a w erhåller vi z.5 > L w Kreen är allå överdämpad: a + a w.38 4 a a w.68 4 4 + + v V Ke Ke Vi ve a Uförlig exempel III + + v V Ke Ke v, och ålede V + K + K dv Vidare, i L, vilke innebär, och d dv Ke + Ke K + K d Nu hiar vi enkel K.78 och K.78 och luligen v V+ Ke + Ke Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 55 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 56
Uförlig exempel IV De andra falle är för W Uförlig exempel V De redje falle är för W. a L 4 a z w a.5 L 4 a z.5 w Kreen är kriik dämpad, med a och 4 v ( ) V + Ke + K e v V + K () Ke + Ke + Ke d dv K + K K K 5 () Kreen är underdämpad, med w w a 866 n v V + K dv och a a n n n n n n d ak + w K ae غ K co w + K in w øß + e غ w K in w + w K co w øß n K K a a + co( w ) + in ( w ) v V K e K e n n 5.774 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 57 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 58 Uförlig exempel VI Parallell L kre Med Noron: a a co( w ) 5.774 in ( w ) v e e n n Jämförele mellan de re fallen dv + v+ vd + i l in d L d v dv v n + + d d L d () d v dv v n + + d d L d Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 59 Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 6
Parallell L kre Om vi nu definierar a och åerigen w, L a z w kan vi kriva d v dv n a w v d d d + + f vilken har exak amma form om ekvaionen för eriekreen! De finn dock en vikig killnad: dämpningkoefficienen är a a L i parallellkreen, och i eriekreen Elekronik Kapacianer, indukaner, ranienvar 6