ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú

ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÁÒÐÒ ØÓÖÚÒÒÖ Ó ÖÔØØÓÒ Ú ÅØÐ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ

ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú ØÔÙÒØÖ ÓÑ Ò ÙÖ ÔÖÓÖÑÑغ ÇÑ Ù ØØÖ Ô ÔÖÓÐÑ Ö ÒÓÒ Ú ÐÖÖÒ Ô ÙÖ Òº ÅØÐ Ó ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÅØÐ Ö ÖÒ ÖÒ ØØ Ð ÖÒ ØØ ÔÖÓÖÑÐÓØ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÖÙØÒÖ ÖÒ ÐÒÖ ÐÖº ÆÖ ÖÐÖ Ñ ÅØÐ ÓÑ Ö Ý ØÑØ ÐÑÔÐØ Ö ÜÔÖÑÒØÐÐ ÑØÑØ ÚÖ ÙÖ Ó ÒÖ ÙÖ Ö Ö ÅØÐ Ö Ò ÒÐ ÝÒØÜ Ó ÑÒ Ú Ö Ö ÒÚÒØ ÔÖÓÖÑÑØ ØÖº ÁÒ ÐÖØÓÒÖ Ú º Á ÅØÐ Ò ÑÒ ÖØ ÖÒ Ñ ÓÑÔÐÜ Øк ÃÓÑÔÐÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ô ÚØÓÖÖ Ó ÑØÖ Ö Ø Ü ÑØÖ ÔÖÓÙØ Ó Ñ¹ ØÖ ÒÚÖ Ö ÖØ ØÐÐÒÐ Ñ ØØ Ò ÓÑÑÒÓ Ö ÔØÚ ÒÚ µµº ÅØÐ Ö ÒÝØ ÖØÙÐÐ Ö ÓÑÑÒÓÒ ÓÑ Ö Ø ÐØØ ØØ Ð¹ Ö Ö ÙÐØØ Ú ÖÒÒÖº ÅØÐ ÒÒÐÐÖ ØØ ÔÖÓÖÑÑÖÒ ÔÖ ÓÑ Ö Ø ÑÐØ ØØ Ý ÙØ Ý ØÑØ Ñ Ò ÒÝ ÙÒØÓÒÖ Ó ÓÑÑÒÓÒº ÅØÐ ÒÚÒ ÄÙÒ ØØ Ú ÓÖ Ö ÑÒ ÓÑÖÒ ÑØÑØ Ý ÒÙÑÖ ÒÐÝ ÖÐÖØÒ ØÐØÖÒ Ñ ÓÒ ØÓÖ º º º Ó Ù ÓÑÑÖ ØØ ÒÚÒ Ý ØÑØ ÑÖ ÓÑÑÒ ÙÖ Öº Î ÐÐ ÐÒÖ ÖÑ ÒÚÒ ØØ ÒÒØ ÑØÑØ Ø ÔÖÓÖÑ ÒÑÐÒ ÅÔк ØØ Ö ÔÐÐØ ÙØØ Ô ÝÑÓÐ ÑÓØ Ø ØÐÐ ÒÙÑÖ µ ÖÒÒÖº ÆÒ Ò ÓÖØ ÚÖ Ø ÚÖ Ò Ð Úµ ÐÖ Ú ÅØÐ ÓÑ Ö ÖØ ÒÒÝØÒÒ ØÐÐ ÙÒØÓÒ ØÓÖº Ö Ò ÑÖ ÐÐ ÒØÖÓÙØÓÒ ÒÚ ØÐÐ ÅØÐ Ý ØÑÑÒÙÐÖ ÓÑ ÒÖ ÚÖ ÓÒÖ ÒÒ ØÐÐÒÐ ÖÒ ÅØÐ Ý ØÑØ Ø Ü Ú ÓÑÑÒÓØ ÐÔ Ð ÑÖ ØÐÐ ØØ ÐÔÐ ÖÒ ÒÚÒÖ ÂÚ ÖÔصº Ò ÖÙÒÐÒ Ø ØÖÙØÙÖÒ ÅØÐ Ö ÑØÖ ÖÒº Î ÐÐ Ö Ò ØÒ Ò¹ ÖØ ÒÚÒ ÚØÓÖÖ ÒÖÑÖ ØÑØ ÖÚØÓÖÖ Ö ØØ ÖÔÖ ÒØÖ ÐÖº ÐÒ 2, 1, 4, 5 + i, 8 0.3i ÖÔÖ ÒØÖ ÅØÐ ÓÑ ÖÚØÓÖÒ ¾ ½ ¹ ¹¼º º Ø ÐÓÔÖØÓÒÖ Ö ÖØ ÑÓØ ÚÖØÖ ÅØк ÆÒ ÐÖ Ò ÐØÒ ØÐÐ Ñ ÒÖ ÜÑÔÐ Ô ÚØ Ø ½

Ð ÚØÓÖ 2, 1, 4, 5 + i, 8 0.3i ¾ ½ ¹ ¹¼º 1, 2, 3, 4, 5, 6 ½ ¾ ËØØ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ½ ¾ ËØØ = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 7 3 ¹ ½ º 1, 2, 3 4, 5, 6 (= 4, 10, 18 ) ½ ¹¾ º Σ ÙÑ ÙÑ µ Π ÙÑÔÖÓ µ Ü = k, 0 k 10 Ü ¼½¼ a + kd, 0 k n Ò ar k, 0 k n Öº ¼Òµ Ò ÒØ Ð Ú ÒÓÑ ÅØÐÙÒÐÒ ÎÖ ÑÒ ØÖØÖ ¼º½ ¼º¾ Ö Ø ÒÒ Ù ÚÐÐ Ö ÅØÐ Ò Ø ÚÖ ÐÓØ ØØ ØÐÐÚÖ Ò ØÐÓ»ÑØÐ ÓÑÐÖØ ÙÒÖ Ò ÖÓØØÐÓº Á ÒÒ Ò Ù ÚÒØÙÐÐØ Ð Ò Ð ØÖØÙÔºÑ Ñ ÑØÐÓÑÑÒÓÒ ÓÑ Ö ÚÖ Ò Ù ØÖØÖ ÅØк ØÖ Ò ÓÑÑÖ Ù ØØ ÑØ Ñ Ñ¹ÐÖ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º Ò Ö Ð Ú ÔÐÖ ØÐÓÒ»ÑØк ËØÖØ Ó Ú ÐÙØÒÒ Ú ÅØÐ Ô ÄÒÙܹØÓÖº ½º ÃÐ Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô Ò ÌιÐÒÒ ÓÒ Ô ÖÑÒ ÚÖ Ø Öº ØØ ØÖÑÒÐÒ ØÖ ÔÔÒ º ËÖÚ Ö ØÜÑÔ ¹ÚÖÒØ ÒÓÝ º ØØ Ú Ö ØØ Ù ÅØÐ ØÐÐÒ ØÐÐ ÐÐ ØÒº ÍØÒ ÓÑÑÒÓØ Ò Ù ÜÑÔÐÚ ÒØ ÖÚ ¾ ºµ ¾º ÃÐ Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô ÔÔÐØÓÒ ÚÖ ÚÒ ØÖ ÖÒØ Ô ÖÑÒº º ÎÐ Ò ØÖØ ÓÑ ÓÑÑÖ ÙÔÔ ÅØ Ó Ò ÅØк ½ ÐÑÒØÚ ÑÙÐØÔÐØÓÒº ¾

º ËÖÚ ÅØÐ ÑØÐ Ö ÅØÐ ÔÖÓÑÔØ Ó ÒØ ÖÚ Òº ¾ µ ØØÖ ÅØÐ ÔÖÓÖÑ Ù Ò ÐÖØ ØÐÓÒ»ÑØк º ÚÖÝØ Ò ÔÒ ÖÒÒ ÅØÐ Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖй º Ö ØØ ÐØ ØÒ ÅØÐ Ö Ù ÓÑÑÒÓØ ÜØ ÐÐÖ ÕÙØ º º ÇÑ Ù ÚÐÐ ØÖ ØÐÐ ØÓÖÒ Ø Ò ÚÖ Ö ÅØÐÖÒÒÒ Ò Ù ÔÔÒ ØØ ØÖÑÒÐÒ ØÖ Ó Ø ÖÚ ÓÑÑÒÓØ ØÜÑÔ ¹ÚÖÒØ º º Ù Ö ÐÖ Ð Ô ÓÒÒ ØÓÔ Ô ÚÖ ÖÒ Ó ÚÐ ÐÓ ÓÙغ ËØÖØ Ó Ú ÐÙØÒÒ Ú ÅØÐ Ô ÏÒÓÛ ¹ØÓÖ ½º ØÐÐ ËØÖØ ÐØ Ú ÐÐÈÖÓÖÑ Ó ÐØ ÙÔÔ ÅØÐʾ¼¼º ¾º ËÖÚ ÅØÐ ÑØÐ Ö ÅØÐ ÔÖÓÑÔØ Ó ÒØ ÖÚ Òº 2 µ ØØÖ ÅØÐ ÔÖÓÖÑ Ù Ò ÐÖØ ØÐÓÒ»ÑØк º ÖÝØ Ò ÔÒ ÖÒÒ ÅØÐ Ñ ÓÑÑÒÓØ ØÖй º Ö ØØ ÐØ ØÒ ÅØÐ Ö Ù ÓÑÑÒÓØ ÜØ ÐÐÖ ÕÙØ º ¼º ÒØ Ñ ÅØÐ ÝÒØܺ ÅØÐ Ö Ò ÙØÚ ÑÒ Ú ÖØÑØ ÓÔÖ¹ ØÓÒÖ ØÓÒ ¹ ÙØÖØÓÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ» ÖÚ ÓÒ ÚÒÐ Ú ÓÒµ ÚÒ ØÖÚ ÓÒ ÔÓØÒ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ý ØÑØ Ò Ð ÓÔ 2 Ó 2 Ñ ÖØØ ÚÖº Î ÐÖ ¾ Ä Ô¹ ÐÐØ ÑÖ ØÐÐ ÑÐØÒ ØØ ÐÐ ØÐÐ ÑÐ ÓÑÑÒÓÒ Ñ ÔйÙÔÔ ØÒÒØÒº Ø Ö Ó ØØ Ö ÖØØÐ Ö Ñº ¾ ÈÖÓÑÔØÒ ÓÑÑÖ ÒØ ÐÐØ ØØ ÖÚ ÙØ ÒÒ ÒÐÒÒº

¼º ¼º ÅØÐ Ö ÑÒ ÒÝ ÑØÑØ ÙÒØÓÒÖº ÀÖ ÐÖ Ò Ð Ø Ô ÒÖ Ú Ñº ÙÒØÓÒ ÖÚÒÒ Ñ ÑØØÑØ ØÖÑÒÓÐÓ Üµ x ÕÖØ Üµ x ÜÔ Üµ e x ÐÓ Üµ ln x ÆØÙÖÐ ÐÓÖØÑÒµ ÐÓ½¼ ܵ lg x ½¼¹ÐÓÖØÑÒµ Ò Üµ sin x Ó Üµ cos x ØÒ Üµ tanx ÓØ Üµ cot x Ò Üµ arcsin x Ó Üµ arccosx ØÒ Üµ arctanx ØÒ¾ Ü Ýµ arg(x + iy) Ö ÖÙÑÒØØ ÚÐ ÒØÖÚÐÐØ ( π, π] Ò Üµ sinh x Ó Üµ cosh x ÈÖÓÚ ÅØÐ ÐÔÙÒØÓÒ ÒÓÑ ØØ Ö Ø ÓÑÑÒÓØ ÐÔ Ó Ò ÚÐ Ò¹ ÓØ ÔÐÐØ ÑÒ Ø Ü ÐÔ ÐÐÖ ÐÔ ÐÔ º ËÖÚÖ ÑÒ Ö ÐÔ Ö ÑÒ Ò ÐÒµ Ð Ø Ô Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ ÐÔ ÓѺ ÒÚÒ ÒÒ ÐÔÙÒØÓÒ ÚÖ Ò Ù ØØÖ Ô ÒÓØ ØÜØÒ ÓÑ Ù ÒØ Ö ØÖº Ì Ø ÒÙ ÐÔ ÒÚ ÐÔ ÐÔ ÓÐÓÒµ Ó ÐÔ º ÐÔ Öصº ÔÔÒ ÖÙÐÐÖÒÒ ÀÐÔ Ó ØÙÖ Ö ÙÐÐ ÈÖÓÙØ ÑÐÝ ÀÐÔ ÐÐÖ ÅÌÄ ÀÐÔº ÐÖ Ó Ö ¼º ÐÒ 0, π 6, π 3, π 2,...,2π Ò ÅØÐ ØÓÑÑ Ñ Ø¼Ô»¾ Ô ÇÑ Ù ÚÐÐ ÖÒ sin s s = 0, π, π, π,...,2π Ò ÐÐ ÚÖÒ ÖÒ Ô 6 3 2 Ò Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ Ý Ò Øµ ÒÓÑ ÔÐÓØ Ø Ýµ ÑÑÒÒ ÔÙÒØÖ Ú ÓÖÑÒ (t k, y k ) Ñ (t k+1, y k+1 ) Ñ Ò ÖØ ÐÒº ÀÖ Ö t k = k π 6 Ó y k = sin(t k ) Ó k = 0, 1, 2,..., 11º ÇÑ Ù ÚÐÐ Ò ÚÖÖ ÒÙ ÙÖÚ Ò Ù Ö ØÐÒÒ ÑÒÖº ÜÑÔÐÚ Ò Ù ÖÚ

ؼԻ½¼¼¾ Ô ÔÐÓØ Ø Ò Øµµ ¼º Î ÐÖ ØÒ Ú ÑÓÐÓÒ ÊØ ÙÔÔ ÙÖÚÒ sin(t) 5 t 15 ÒÓÑ ÓÑÑÒÓÒº Ø ¹¼º½½ ÔÐÓØ Ø Ò Øµµ Ë ØÖ Ú Ò Øµ ÒØÐÒ Öº Ö ØØ ÐÔÔ ÙØ ÖØÖ Ú Ö ÙÐØØÒ Ò ÑÒ Ð ØÐÐ ØØ ÑÓÐÓÒ Ô ÐÙØØ Ú ÓÑÑÒÓØ ÐÐØ Ø Ü Ø ¹¼º½½º ÊØ ØÐÐØ ÙÖÚÒ sin(2t) Ô ÑÑ ÒØÖÚÐк ÈÖÓÚ Ò sin(ωt) Ñ ω = 50, 100, 200, 500, 501, 502, 503,504º Î Ò Ø ÚÖ ÖÒ ÓÑ ÃÒ ÑÒ ÐØ Ô ØÓÖ¹ ÖØ ÙÖÖ Ë ÐÖÓÓÒ ÓÖÒ ¾¹ ÜÑÔÐ ½º½µ Ó Ò ¼º ÀÖ ÐÖ ÒÖ ÒÐ ÑÒÔÙÐØÓÒÖ Ú ÐÖº ÍØ Ø Ü ÖÒ ÐÒ Ü = 3, 7, 5, 2, 6 º ÇÑ Ù ÚÐÐ ÐÐ ØÖÑÖ Ñ Ò Ù ÖÚ Ü ¹¾ Ü ÓÒ Þ Üµµ Ö ÓÒ Þ Üµµ Ö Ò ÚØÓÖ Ñ Ð ÑÒ ÐÑÒØ ÓÑ Ó Üº ÐÐ ÐÑÒØ Ö 1º ÅÒ Ø Ö Ð Ö Ñ Ü ¹¾ Ü ¼º ÇÑ Ù ÚÐÐ ÚÖÖ ÐÐ ÐÑÒØÒ ÐÒ Ò Ù ÖÚ Üº Ü ÐÐÖ Üº¾º Ç ÖÚÖ ÔÙÒØÒ Ö ØØ ÒÚÖØÖ ÐÐ ÐÑÒØÒ Ü ÖÚÖ Ù ½º»Üº ÆÓØÖ ÔÙÒØÒ Òº ËÓÑ Ø ÜÑÔÐ ØÒÖ Ú Ó ØØ ØÐØ 2 ÙÔÔ ØÐÐ ÚÖØ Ó ØØ Ú ÐÑÒØÒ Üº ËÖÚ ÅØÐ ¾ºÜº Ö ØØ ÐÑÒØÚ ÓÔÖØÓÒ Ú ÚÒ Ö Ò ÔÙÒغ Ò ÖØÑØ ÙÑÑ ÓÑ ÑÐÚÖØ Ú Ö Ø Ó Ø ØÖÑÒ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ÒØÐØ ØÖÑÖº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ÐÒ Ò = 0, 1, 2, 3,..., 30 º ÌÐÐÚÖ ÐÖÒ = n(n + 1)/2 Ó = ΣÒ ÒÓÑ ØØ ØØ Ò¼ ¼ Òº Ò ½µµ»¾ ÙÑ ÙÑ Òµ ¼º½¼ Ó ÑÖ Ñ Ø Ü ÒÓÑ ØØ Ð ÐÐÒÒµº ØØ ÖÐÒ Ò Ð Ö ÐØغ ÈÖÓÚ ØÐÐ ÜÑÔÐ ½ ¾

ÓÑØÖ Ó ÒÖ ÙÑÑÐÖ ¼º½½ Î ÐÐ ÒÙ ØØØ ÐØ Ô ÓÑØÖ ÐÖº ËÖÚ Ò Ò ½ ¼Ò Ü ¼º ÓÑ Üº ÔÐÓØ Óѵ Ö Óѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ ½º µ ØÖ Óѵ ÓÑ ÙÑÑ ÙÑ ÙÑ Óѵ ÔÐÓØ ÓÑ ÙÑѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ µ ± ÙÑÑÒ ØÖ ØÖÖ ÔÐØ Ð Ö ÓÑ ÙÑѵ Ü ¼ ¾¼ ¼ µ ØÖ ÓÑ ÙÑѵ Ö Ù ÐÒ Ó Ð ÙÑÑÓÖÒ ÙØÖØ Ô ÓÐ Øغ ¼º½¾ ÇÑ ÑÒ ÚÐÐ Ö ÓÑ ÙÖÖÒ ÓÚÒ Ñ ÓÐ ÒØÐ ØÖÑÖ Ó ÓÐ ÚÖÒ Ô Ü Ö Ø ÐÑÔÐØ ØØ Ö ØØ ÐØØ ÑØÐÔÖÓÖѺ ËÒ ÔÖÓÖÑ ÐÖ ÑÒ ÐÖ Ñ ÜØÒ ÓÒÒ ºÑº ÌÐÐÚÖ Ò Ð Ñ ÒÑÒØ ÓÑ ÙÑºÑ Ñ ÒÒÐÐØ ÓÑ Üº Ð ÙÔÐÓØ ¾½½µ Ö Óѵ ÜÐÐ ³ÓÐ ³µ ÓÑ ÙÑÑ ÙÑ ÙÑ Óѵ ÙÔÐÓØ ¾½¾µ ØÖ ÓÑ ÙÑѵ ÜÐÐ ³ ÙÑÑÓÐ ³µ Ó Ð Ò Ò ØØ ÑØÐÐÓغ Ò Ò ÒÙ Ö Ñ ÓÑÑÒÓØ ÓÑ ÙѺ ÎÐÐ Ù ÒÖ Ô ÚÖØ Ú x ÐÐÖ Ô ÒØÐØ ØÖÑÖ Ó Ö ÓÑ Ö Ø Ö ØØ ÖÚ Ø Ü ¼ ¼ Ü ¹¼º ÓÑ ÙÑ ÈÖÓÚ ØØ Ó ÒÖ ÒÖ x¹úöòº ËØÙÖ Ò Ò ÖÒ Ñ¹ÐÒº ØÖ ØÐÐ ØÐÐ ÐÙØ ÖÒ ØÖØ Ñ

ÙÔÐÓØ ½½½µ Ð ¼º½ ÖÑÓÒ ØÐÒ ÙØÖ Ò ÖØ ÑÓØ ÚÖØÒ ØÐÐ ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº Ë Ð¹ ÖÓÓÒ Ò ½ Ö ÐØØ ØØ Ð ÅØÐ ½¼ À ÙÑ ÙÑ ½º»µ ÊØ ÙÔÔ Ñ Ó ÖØ Ò ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒ ÑÑ ÖѺ ÂÑÖ Ò Ñ ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº ÓÐ Ó ØÖ Àµ ÓÐ ÓÒ ÔÐÓØ ÐÓ µµ ÓÐ Ó ÔÐÓØ À¹ÐÓ µµ ¼º½ ÍÔÔÖÔ Ö Ø Ñ 40 Ö ØØ Ñ 1000º ÌÖÓÖ Ù ÒÙ Ô ÙÐÖ ÓÒ ØÒØ 1 ÐÒ Ö ÒØÖ ÒØ Ò ÔÖº Î ÐÐ Ö ÓÒ ØÖÙÖ Ò Ó ÖÖ k! Ñ ØØ ØÐÐÚÖ ÙÐØØÖÒº Ö Ù Ð ÒÒÖ ØÐÐ ÖÒ ÚØÓÒÒ x n = nx n 1, x(0) = 1, Ó Ò ÐÐØ ÒÓÑ ØØ Ð ÔÖÓÙØÐÒ ØÐÐ ÐÒ = 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... Ä ÑÖ ØÐÐ Ò ÙÐ ØØÒ ÖÒº ÆÖ Ú Ò Ö ÙÐØØÖÒ Ö Ø Ö ØØ ÚÖ 1 Ñ Ñº Á ÅØÐ Ö Ø ÒÐØ ÖÚ ½ ½½ ÙÐ ÙÑÔÖÓ µ ÒÚÙÐ ½º»ÙÐ ÒÚÙÐ ÙÑ ÙÑ ÙÑ ÒÚÙе Ç ÖÚÖ ØØ ÅØÐ ÒÚÒÖ ÑÑ ØÒÒ Ö ÙÒØÓÒ ÚÖÒ Ó Ñ¹ ØÖ ÐÑÒغ ÌÐÐ ÜÑÔÐ ØÝÖ ÜÔ ½µ ÚÖØ e 1 Ú ÜÔÓÒÒØÐÙÒØÓÒÒ ÑÒ ÒÚÙÐ ÙÑ ½µ ÒÖ ØÖÑ ÒÙÑÑÖ ½ ÐÒº ÐÐ ÅØÐÐÖ ÒÖ Ñ ÖÒ ÖÒ ½º ÈÐÓØØ Ò ÐÑÒØÒ ÒÚÙÐ Ó ÙÑÑÐ Ó ÙÖ ÚÖÒ Ú ÙÑÑÓÖÒ n 1 s n = k! k=0 ØÝ ÒÖÑ ØØ ÖÒ ÚÖº ÎÐØ ØÖÓÖ Ù Ö ØØ Ø Ø Ò ÝÔÓØ ÓÑ Ú ÓÔÔ ÐÐ Ö ØÐÐØ ÙÔÔ Ò ÑÒ ÑÖ Ø Ü ØÖÑ ½ Ò Øµ ÐÒ Ñ e ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ

ÜÔ ½µ ¹ ÒÚÙÐ ÙÑ ½µ ¼º½ Ò ÓÑ ÚÐÐ ÔÖ Ó ÚÒØÙÐÐØ ÖÚ ÙØ ÙÖÖ ÓÑ ÅØÐ ÖØØ Ò Ö ØØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÔÖÒغ Ø ÒÒ Ò ÑÒ ÓÔØÓÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö Ñ ÐÔ ÔÖÒغ ÇÑ ÑÒ Ø Ü ÚÐÐ ÔÖ Ò ÙÖ Ò ÈÓ Ø ÖÔØÐ ÐºÔ ÓÑ Ò ÐÐ ÒÐÙÖ Ò Ä ÌÐ ÐÐÖ ÒÓØ ÒÒØ Ý Øѵ Ö ÑÒ ÅØÐÓÑÑÒÓØ ÔÖÒØ ¹Ô Ð ÐÐÖ ÔÖÒØ ¹Ô Ð ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ ØÖÝ Öº ÎÐÐ ÑÒ Ò Ð ÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØÐÐ Ò ÖÚÖ Ú ÒÓÒ ØÝÔ Ö ÑÒ ØÐÐØ Ö ÓÔØÓÒÒ ¹Ô ØÐÐØ ¹Ô ¹ÐØ Øº ÊÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ÅØÐ Ö ÚÒÐ ÓÒØÖÓÐÐ ØÖÙØÙÖÖÒ Ñ ÖÔØØÓÒ ÐÒÓÖ ÓÖ ÛÐ Ó ÐÓ¹ ÚÐ º ÊÔØØÓÒ ÐÒÓÖ ÐÐ ÑÒ Ú ØÚØØ Ð ÙÒÚ ÓÑ Ø Ö ÑÐØ ÑÒ Ö ÐÐ Ú ÒÚÒ Ñ Ö ØØ Ð Ò ÖÒ ÚØÓÒº ÄØ Ó Ö Ñ ÚÒÒ ¾º½ x n = 1.077x n 1 200, x 0 = 10000. Î ÚÐÐ ÒÒ Ð ÒÒÒ ÙÒÖ Ö Ø ¼ ÖÒº ØØ Ò Ú ØÐÐ ÙÔÔ Ô Ò Ö Ó Ò ÔÐÓØØ Ð ÒÒÒ Ñ Ò Ø Ö Ô ÐÒ ØØ Ü ½µ½¼¼¼¼ ÓÖ Ò¾¼ Ü Òµ ½º¼ Ü Ò¹½µ¹¾¼¼ Ò ØÖ ¼ ܵ ÈÐÓØ Ø Ò Ö ÙØ ÓÑ Ò Ö ÖÖ ØØ ÅØÐÚØÓÖÖ ÒÚÒØÚ ÒÖ Ñ ÖÒ Ô ½ ÑÒ Ú ØÖØÖ Ú Ö ¼ Ó ÑÓØ ÚÖØÒ ÑÐÐÒ ÑØÑØ Ó ÅØÐ ÐÖ ÖÖ x n Ü Ò ½µº ÎÖÖ ÐØ Ô ÝÒÒÐ Ò ØØÒÒÒ Ó Ú ÓÑ Öº Ä ÑÖ ØÐÐ ÐÓÖÒ ËÔÐÐØ ÒØÖ ÒØ ØÒ ÒÖ ÒÖ 2597 ÖÓÒÓÖº Î Ö ØØ Ñ Ò ÓÒ ØÒØ ÔÖØÙÐÖÐ ÒÒÒ ØØ Ö Ä ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÒ x n = ax n 1 x n 2, x 0 = 0, x 1 = 1 Ñ µ a ÐØ ÑÒÖ Ò ¾ Ó µ a ÐØ ØÖÖ Ò ¾º Ø Ö ØØ Ö Ô Ò Ö Ñ Ü ½µ¼ Ü ¾µ½ ÓÖ Ò ¼ Ü Òµ Ü Ò¹½µ¹Ü Ò¹¾µ Ò Ö ÖÐÖ Ö ÙÐØØغ Ë Ò ÐÖÓÓÒ ÙÒÖ ÚÖ ÒÙ ÙÖÚÓÖÒ ÓÑ Ù Ö µ Ñ ÔÐÓØ Üµº ÇÑ Ù ÒÒÖµ Ä Ô ÑÓØ ÚÖÒ ØØ Ò ÓÐÒÖ ÒÖ ÓÖÒÒÒ ÖÒ ÚØÓÒ Ø Ü Ò ÚÒÒ ¾º¾¾º ÀÐÐ ÒÓ Ö Ô Ú n Ö ØØ Ù ÒØ ÓÑÑÖ ØØ Ø Ðº ÒÐ Ø Ö ØØ ÖÒ Ü ¾µ Ö Ò Ó ØÖØ ØÖØÓÒÒ Ñ n = 3º

ÅØÖ Ö Ó ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑ ÅØÐ ÔÐØØ Ö ÑØÖ ÖÒÒº Ø ÒÒ ÔÖÒÔ ØÚ ØÝÔÖ Ú ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ÅØÐ ÐÑÒØÚ ÓÔÖØÓÒÖ ÖÖÝ ÓÔÖØÓÒ µ Ó ÒØÐ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ÑØÖÜ ÓÔÖØÓÒ µº ÖÖ ÖØÖ Ñ Ò ÑØÖ ÐÐÖ ØÚ Ú ÑÑ ØÓÖÐ Ó ÙØÖ ÓÔÖØÓÒÒ Ô Ò ÔÐØ ØØ ÙØÒ ØØ ÐÒ Ò ÒÖ ÑØÖ ÐÑÒغ ÒÖ ÐÖ ÒÝ ÐÑÒØ ÙÖ ÑÒ Ñк ÌÝÔ ÜÑÔÐ Ô ÒØÐ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ö ÑØÖ ÒÚÖ ÓÒ Ó ÑØÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒº ¼º½ ÈÖÓÚ ÐÐÒÒ ÑÐÐÒ Ø Ü º Ó Ö Ò ÚÖØ ÑØÖ µº ËÖÚ Ò Ø Ü ½ ¾ ÚÐØ Ö 2 2¹ÑØÖ Ò ( ) 1 2 3 4 ÌÖÒ ÔÓÒÖÒ Ú ÖÐе ÑØÖ Ö Ö Ñ ÔÖѹÓÔÖØÓÖÒ A T ÖÐÐ Ñ ³º Ð A T A Ó AA T Ö ÑØÖ Ò ÓÚÒº ¼º¾¼ ÅÒ ÚÖ ÓØ ÖÒ ÙØØÖÝ Ú ØÝÔÒ a n 1, an 2,...,an m ÓÑ a 1, a 2,...,a m Ö Ú¹ Òº ØØ Ö ÑÝØ ÒÐØ ÒÚÒ ÓÔÖØÓÒÒ ºº Ö Ø Ü Ñ ½ ¾ º º Ç ÖÚÖ ØØ Ø ÒØ ÒÒ ÒÓÒ ÓÔÖØÓÒ º ØÖ ÓÑ ÑØÖ ØÓÒ ÐÐØ Ö ÐÑÒØÚ º Å ØÐÐÒ ØÐÐ ÅØÐ ÚÖ ÑÒ ÒØ ØÝ ØØ ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑ Ö Ó¹ ØØ Ð ØÑÒ ØÓÒ ÒØ ÚÖØ Ñ ÒØÝ Ð ÒÒº ÅØÖ ÒÚÖ Ò A 1 ÖÐÐ Ñ ÒÚ µº ØØ ØØ ØØ Ð Ø ÐÒÖ ÚØÓÒ Ý ØÑØ Ax = b Ö ÐÐØ ØØ ÒÚÒ ÓÖÑÐÒ x = A 1 b ÚÐØ ÚÖ ØØ ØÐÐ ÅØÐ ÐÖ ÜÒÚ µ º ØØ Ö ÐÐÑÒØ ÒØ Ø Ñ Ø ØÚ ØØØ ØØ Ð Ý ØÑØ ÙØÒ ÑÒ ÐÐ ÐÐÖ ÒÚÒ ÅØй ÓÑÑÒÓØ Ü ºµ ¼º¾½ Ä ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 3x + 4y = 6 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº ¼º¾¾ Ö ØØ Ð ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 2x + 4y = 6 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº

¼º¾ Ö ØØ Ð ÚØÓÒ Ý ØÑØ { x + 2y = 5 2x + 4y = 10 Ö Ò Ó Ñ ÅØÐ Ñ ÒÚÒ ÑØÓÖÒº ÃÒ Ù Ö ÒÖ ÐÙØ Ø Ö Ú Ö ÙÐØØÒ ËØÙÖ ÐÔ Ð º ÈÓÐÝÒÓÑÚØÓÒÖ Å ÅØÐ Ò ÑÒ ÐØØ ÒÙÑÖ Ø Ð ÔÓÐÝÒÓÑÚØÓÒÖº ÇÔÖØÓÒÒ ØÖ ÖÓÓØ º Ö ØØ Ø ØØ ÜÑÔÐ Ö ÑÒ Ð ÒÒÖÒ ØÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑØ x 3 5x+7 ÒÓÑ ÓÔÖØÓÒÒ ÖÓÓØ ½ ¼ ¹ º Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ Ò Ð Ú Ñ Ö ÓÑÔÐܺ ÅÒ Ò ÖØ ÙÔÔ Ö ÐÒ Ø ÓÑÔÐÜ ØÐÔÐÒØ ÒÓÑ ÐÒ ÓÔÖØÓÒÖ ÔÐÓØ ÖÓÓØ ½ ¼ ¹ µ ³ ³µ Ü ³ÕÙгµ Ò ÒÖ Ö ØØ ÑÑ Ð Ô ÖÐÐ Ó ÑÒÖ ÜÐÒºµ Ö ÒÙ ÑÑ Ñ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ü x 9 1º ÄÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ Ø ÓÚÒ ØÒ Ò ÒÙ ÓÑÒÖ Ö ØØ ÖÚ Ò Ð Ö Ú ÝÒÒÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑ Ö ÓÑÓÒ ÐÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÖ ÐÐØ ÔÐÐÐØ ¾ ÓÖÒÒÒµ Ú ØÝÔÒ x n + ax n 1 + bx n 2 = 0, x 0 = α, x 1 = β. ØØ Ö Ù ÐÒ Ø ÐÖÓÓÒµ ØÑÒ ØÓÒ ÓÑ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑØ ÒØ Ö ÑÙÐØÔÐÖØØÖ ½º ËÖÚ ÙÔÔ Ò ÖØÖ Ø ÚØÓÒÒº ¾º Ä ÒÒº º ËÖÚ ÙÔÔ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒ ØÐÐ ÚØÓÒÒº º ËØØ Ò ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒº Ø Ö ØØ ÚÖØ Ø ÐÒÖØ ÚØÓÒ Ý ØѺ º ØÑ ÓÒ ØÒØÖÒ Ñ ÐÔ Ú ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ú Ð Ø ÐÒÖ Ú¹ ØÓÒ Ý ØÑغ º ÖÒ ÚÖØ Ú Ð ÒÒÒ Ú Ò Ò ØÔÙÒØÒº ½¼

¼º¾ ÐÐ Ø Ò ÐØØ ÙØÖ Ñ ÐÔ Ú ÅØк Ä Ô ØØ ØØ ÝÒÒÐ ÚÖ ÔÖÓÐÑØ x n = x n 1 + x n 2, x 0 = 1, x 1 = 1. ØÑ x 5 Ó x 7 Ó ÑÖ Ñ ÖØ ØÖØÓÒº ¼º¾ Á ÑÒ Ú Øºµ Ò Ð ÒÒ ØÐÐ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒÒ x n +ax n 1 +bx n 2 = δ n Ö δ n = 0 ÓÑ n 0 Ó δ 0 = 1 ÐÐ Ò ÙÒÑÒØÐÐ ÒÒº Ò Ù Ð Ò Ò Ú ÒÒ ÒÓÑ ØØ ÖÚ ØØ x n = 0 ÓÑ n < 0 x 0 = 1 ËØØ n = 0 ÚØÓÒÒµ x 1 = a ËØØ n = 1 ÚØÓÒÒºµ x n + ax n 1 + bx n 2 = 0 ÓÑ n > 1 Àµ Ò Ð ÒÒ ØÐÐ Ò ÓÑÓÒ ÚØÓÒÒ Àµ Ò ÒÔ ØÐÐ ÝÒÒÐ ÚÖÒ x 0 = 1, x 1 = aº ÇÑ h Ö Ò ÙÒÑÒØÐÐ ÒÒ Ö h w Ö ØÒÖ ÐØÒÒ Ò ÔÖØÙÐÖÐ ÒÒ ØÐÐ x n + ax n 1 + bx n 2 = w n º Ì Ø Ö ÅØÐ ÒÓÑ ØØ Ö ÔÖÓÖÑÑØ ÔÖØ ÓÐºÑ ÓÑ Ù Ò ÑØ ÖÒ ÙÖ Ò Ñ º ÆÖ Ù Ö ÔÖÓÖÑÑØ Ò Ù Ö Ø ÖÚ ÐÔ ÔÖØ ÓÐ Ó Ò ØÝÔ ÔÖØ Óк Å Ø ÒÖ ÓÑÑÒÓØ Ú Ð ÔÖÓÖÑÓÒº ÀÖÐØ Û Ò Ù ØØ Ô ÐÚ ÐÐÖ ÚÐ ÐÙÑÔÚ Ñ ÐÔ Ú ÛÖÒ ½ Òµ Ö Ò Ö ÒÓØ ÔÓ ØÚØ ÐØк ÆÖ Ù ØÑØ Ö Û ØÖØÖ Ù ÔÖÓÖÑÑØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÔÖØ ÓÐ Ûµ Ö Ó Ö ØØ Ñ ÚÖÒ Ù ÚÐÐ ØØ º ÚÖÙÒÒÒ Ð ¼º¾ ØÐ ÓÑ ÅØÐ ÖÒÖ Ñ Ö ÝØØÐ ÒÐØ Á¹ ØÒÖµº ØØ ÒÒÖ Ø Ü ØØ Ö ØÐ Ú ØÓÖÐ ÓÖÒÒÒ 1 ÖÒÖ Ý ØÑØ Ò Ø µ Ñ ½ ÑÐÖº ÌÐÐ ÜÑÔÐ Ö ÅØÐ ÚÖ Ô π ØØ ÚÖÙÒÒÒ Ð Ú ØÓÖÐ ÓÖÒÒÒ 10 16 º ØØ Ò ÑÖÖ ÓÒ ÚÒ Ö ÔÐÐØ ÑÒ ÖÒÖ ØÒ ÓÑ ÓÖ ÚÖ Ð Ñ 0º Î Ö ÚÖØ Ú sin(2πk) ÓÑ k Ö ØØ ÐØÐ Ì Ø ØØ ÅØÐ Ö Ö Ò ½¼¼ ¼Ò ÔÐÓØ Ò ¾ Ô µµ ÐÚ Ø ÓÑ Ù ÚÒØ ËØØ n = 100000 Ó Ö ÓÑ ÜÔÖÑÒØغ Ö Ó Ñ ØØ ÖØØ ØÓÖØ ÐØÐ kº Î ÐÖ Ø Ü Ò ¾ Ô ½¼½µ ½½

¼º¾ ÚÖÙÖ µ Ö ØØ ÖÐÖ ÙØ ÒØ Ô ÙÖÒ ÖÒ ÙÔÔغ Ø Ö Ð Ñ ØÐÖÔÖ ÒØØÓÒÒ ØÓÖÒ ØØ Öºµ Ò ÐÖÓÑ ÑÒ Ò Ö Ú ÜÔÖÑÒØØ ÓÚÒ Ö ØØ ÚÒ ÓÑ ØÚ ÖÒ ÝØØÐ ÓÖ ÚÖ Ð ÐÖ ÖÐ ÐØ Øº Ö ØØ Ø Ø ÐØ Ú ÝØØÐ Ö ÑÒ ÖÖ ÅØÐ ÒØ ÖÚ Ö ØÖ Ù ÒØ ÝÒØÜÒ ÐÔÖ ÒÓ ÐÔ Ó Ó Ø Ü ÐÔ Ðµ Ü Ý Ö Ò Ð Ö Ò ÒÒÒ Ò ÙØÒ ÒÓØ ØÐ Ñ ØÓÐ ÐÑÔÐØ ÚÐØ ÐØØ ØРܹݵ ØÓÐ Ö Ò Ð Ö Ò ÒÒÒ Ò ¼º¾ Î ÖÒÒ Ñ ÖÐÐ ØÐ ÐÐÖ ÓÑ ÒØ ØØ (a b) c = a (b c)º Á ÅØÐ ÚÖ Ø ÒØ Ðк ËÖÚ ÐÒ ÓÑÑÒÓÒ Ô Ò Ö ÖÒ ÖÒµ ½ ÖÒ ÖÒµ ½ ÓÒ µµ ¹ ÓÒ µ µ ÃÖ ÓÑÑÒÓÒ ÒÖ ÒÖº ÒÚÒ ÔÐ ÙÔÔØ Ö ØØ ØÖÐÐ ÖÒ Ñ ÓÑÑÒÓÒº Ò ÒÖØ ØØÖ Ù ØØ ÐÐ Ø Ø Ö ÙÐØØØ ÒØ ÐÖ ¼º ¹ Ö ÊÔØÖ ÒÖ ÓÐ ØØ ØØ ÔÖ ÒØÖ ¹ Öº ÈÖÚ Ñ ÓÑÑÒÓÒ Ö¾¾ Ó Ö ¼º¾ Î ÒÙ Ö Ø ØÙÖ ÒÙ ÙÒØÓÒÒ w = sin z Ö z Ö ÓÑÔÐÜغ ËÖÚ Ò Ü¼¼º½½ ݼ¼º½¾ Ñ Ö Ü Ýµ Þ ÙÖ ½µ ÙÖ Ü Ý ÖÐ Ò Þµµµ ÙÖ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ñ Ò Þµµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý Ò Þµµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý Ò Þµµ¹ ÕÖØ Ò µº¾ Ò µº¾µµ ½¾

ËÖ ÖÒ Ö Ø Ò ØÖØ ÙØ ÓÑ Ù ÚÒØ y = 0 ËØÑÑÖ ÙÖÒ Ò ØÖ Ñ ÚÒÒ º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÖÖÒÒ Ú ÜÐÖÒº ÀÙÖ ØÓÖ Ò sin z Ð ¼º ¼ Á ÒÒ ÚÒÒ Ö Ø ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒ ÓÑ ØÙÖ º Î ÖØÖ Ò Ô ØØ ÖÙÐÖØ ÓÑÖº ËÖÚ Ò Ø¹ÔÔ» ¼Ô Ö¼º½¼º½½ ÜÖ³ Ó Øµ ÝÖ³ Ò Øµ ÞÜ Ý ÛÐÓ Þµ ÙÖ ½µ ÙÖ Ü Ý ÖÐ Ûµµ ÙÖ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ñ Ûµµ ÙÖ µ ÙÖ Ü Ý ØÒ¾ Ý Üµµ ÎÐÒ ÖÒ Ú ÐÓÖØÑÒ ÒÚÒÖ ÅØÐ ÆÓØÖ ØØ ÙÖÖÒ Ò ØÖ ¾ Ó Ö Ðº ËÖ ÒÚÙÖÚÓÖÒ ÙØ ÓÑ Ù ÚÒØ ÒÚÒ ÙÒØÓÒÒ ØÒ¾ Ö ØØ ÖØ Im(log(z)) ÓÑ log ØÝÖ ÒØÙÖÐ ÖÒÒ Ú ÐÓÖØÑÙÒØÓÒÒº ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÖÑÒ Æº ² Ù Ø ÓÒ º ¾¼¼¾µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÖÝ ÅØÐ ÓÙÖ ¹ ÛØ ÒÒÖÒ ÔÔÐØÓÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÄÒÔÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÄÒÔÒº ÈÖعÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ ØØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖº ËÔÒÒ Ëº ¾¼¼µ ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ Á ÃË ½