Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Relevanta dokument
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

Tentan , lösningar

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

= 0 genom att införa de nya

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Lösningar till Matematisk analys

Kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Övningstenta: Lösningsförslag

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

Tentamen: Lösningsförslag

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Lösning till kontrollskrivning 1A

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Kap Implicit givna funktioner

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Kap Dubbelintegraler.

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

5 Lokala och globala extremvärden

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Typuppgifter på TATA69

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Sätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Transkript:

LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för betyg 3, 11p för betyg 4 och 14p för betyg 5. Förslag till lösningar kommer att finnas på kurshemsidan www.mai.liu.se/ joaar32/kurser/tata9/ efter skrivningens slut. är kommer även tidpunkten för visning av tentorna att anslås. Lycka till! 1. Låt f : R 2 R vara definerad som f(x,y) = (x+y 1)2 x 2 +y 2 2x+1 för alla (x,y) (1,). Går det att definiera f(1,) så att f blir kontinuerlig i punkten (1,)? Motivera ditt svar noga. 2. (a) Låt S vara ytan som beskrivs av ekvationen x 2 +2y 2 +3z 2 +2xy+2yz = 1. Hitta de punkter på S i vilka tangentplanet till ytan är parallellt med planet x+y +z =. (2p) (b) Bestäm tangentplanets ekvation i ovan funna punkter. (1p) 3. Beräkna största och minsta värde av funktionen f(x,y) = x 2 +y 2 x y i området 4. Låt f : R 2 R vara funktionen som ges av = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 1 och y }. f(x,y) = e x2 +y 2 xy+3x. Hitta alla stationära punkter till f och undersök om funktionen har ett lokalt maximum eller minimum i dessa punkter. 5. Beräkna dubbelintegralen e (2x+y)2 dxdy där R 2 är fyrhörningen med hörn i (1,), (2,), (,2) och (,4).. Transformera differentialekvationen xx +f x +yf y = till variablerna u och v, med hjälp av variabelbytet u = (x 2 +y 2 )/2 och v = x. 7. Beräkna volymen av det område i R 3 som begränsas av planet 2x+2y z = 1 och paraboloiden z = x 2 +y 2.

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 Förslag till lösningar 1. En funktion är kontinuerlig i en punkt om gränsvärdet för funktinen existerar i punkten och om funktionsvärdet är lika med detta gränsvärde. Vi måste alltså kontrollera först och främst om gränsvärdet av f existerar då (x,y) (1,). Vi noterar först att både täljaren och nämnaren är i punkten (1,), vilket gör att det krävs en vidare undersökning för att visa om gränsvärdet existerar eller ej. Vi börjar med att notera att nämnaren kan faktoriseras (x,y) (1,) (x+y 1) 2 x 2 +y 2 2x+1 = (x,y) (1,) (x+y 1) 2 (x 1) 2 +y 2, och det är bekvämt att införa variablerna u = x 1 och v = y, vilket ger att (x,y) (1,) (x+y 1) 2 (x 1) 2 +y 2 = (u+v) 2 (u,v) (,) u 2 +v 2. Låt oss beräkna gränsvärdet då vi närmar oss (,) längs en rät linje i (u,v)-planet. Alltså, vi sätter v = ku (vilket ger att (u,v) (,) då u ) och får (1+k) 2 u 2 u (1+k 2 )u 2 = (1+k) 2 u 1+k 2 = (1+k)2 1+k 2. etta gränsvärde beror av k (t ex k = ger 1 och k = 1 ger 2), vilket medför att gränsvärdet inte kan existera, eftersom det i varje omgivning av (, ) finns punkter i vilka funktionsvärdet är godtyckligt nära 1 och även punkter där funktionsvärdet är godtyckligt nära 2. Eftersom gränsvärdet för funktionen inte existerar i (1,), så kan den heller inte vara kontinuerlig i (1,) oavsett hur f(1, ) definieras. 2. Att två plan är parallella är ekvivalent med att säga att deras normalvektorer är parallella. En normalvektortill tangentplanet för en nivåyta, det vill sägaen yta som beskrivs som F(x,y,z) =, fås av F = (F x,f y,f z ). I detta fall är F(x,y,z) = x 2 +2y 2 +3z 2 +2xy +2yz 1 vilket medför att F = (2x + 2y,4y + 2x + 2z,z + 2y) = 2(x + y,2y + x + z,3z + y) är en normalvektor till tangentplanet i punkten (x,y,z). Vi ska nu finna punkter (x,y,z) så att denna vektor är parallell med en normalvektor till planet x+y +z =. En normalvektor till detta plan beräknas (precis som ovan) till (1,1,1). Att F skall vara parallell med denna vektor kan vi skriva som att det finns en konstant λ så att F = λ. För att göra våra räkningar lite enklare så väljer vi istället ekvationen 1 2 F = λ. etta leder till ekvationssystemet x+y = λ 2y+x+z = λ 3z +y = λ, som har lösningen x = 3λ/2, y = λ/2 och z = λ/2. Nu måste vi se till att dessa punkter ligger på ytan F(x,y,z) =, det vill säga att λ uppfyller F(3λ/2, λ/2,λ/2) =. enna ekvation har lösningarna λ = ± 2/3, vilket ger punkterna x 1 = 1 (3, 1,1) x 2 = 1 (3, 1,1). I deluppgift (b) skall vi beräkna tangentplanets ekvation i punkterna x 1 och x 2 på ytan. För en godtycklig punkt (a,b,c) sådan att F(a,b,c) = fås tangentplanets ekvation som F x (a,b,c)(x a)+f y (a,b,c)(y b)+f z (a,b,c)(z c) =.

Vi beräknar att F( x 1 ) = 4 (1,1,1) och F( x 2 ) = 4 (1,1,1). e två tangentplanen kan således beskrivas som x 1 : x+y +z = 3 x 2 : x+y +z = 3. 3. Funktionen f är kontinuerlig (eftersom f är en kombination av elementära kontinuerliga funktioner), och området är kompakt (slutet och begränsat). Vi är då garanterade att ett största och minsta värde existerar i området. Största och minsta värde kan antas antingen i en stationär punkt (dvs där f = ) eller i en randpunkt. Låt oss börja med att beräkna funktionens stationära punkter i området. Ekvationen f = (2x 1, 2y 1) = har lösningen (x,y) = (1/2,1/2), vilket alltså är den enda stationära punkten (som dessutom ligger i ), och vi beräknar f(1/2,1/2)= 1/2. Området visas i figuren nedan och randen delas upp i två kurvor: γ 1 betecknar halvcirkeln och γ 2 betecknar den räta linjen mellan x = 1 och x = 1. Låt oss nu parametrisera dessa kurvor och studera funktionens största och minsta värde längs dem. γ 1 γ 2 γ 1 : Vi parametriserar kurvan som (x,y) = (cosθ,sinθ) för θ π. Funktionens värden längs kurvan ges av g(θ) = f(cosθ,sinθ) = cos 2 θ+sin 2 θ cosθ sinθ = 1 cosθ sinθ. Extremvärdena för g finns antingen där g (θ) = eller i θ =,π. Ekvationen g (θ) = ger att cosθ = sinθ, vilken har lösningen θ = π/4 då θ π. Vi beräknar g(π/4) = 1 2, g() = och g(π) = 2. γ 2 : Vi parametriserar kurvan som (x,y) = (t,) för 1 t 1. Funktionens värden längs kurvan ges av g(θ) = g(t,) = t 2 t, och ekvationen g (t) = har lösningen t = 1/2. Vi beräknar g(1/2) = 1/4. Notera att randpunkterna t = ±1 redan har kontrollerats då vi parametriserade γ 1 (för θ =,π). Slutsats: Vi har beräknat funktionens värden i alla punkter där största eller minsta värde möjligtvis kan förekomma. Nu behöver vi endast jämföra dessa värden och plocka ut det största respektive minsta värdet. Värdena som vi fått är: 1/2, 1 2,, 2 och 1/4. å 2 < 3/2 (eftersom (3/2) 2 = 9/4 > 2) är det minsta värdet 1/2 och det största värdet 2. 4. En stationär punkt för funktionen f, är en punkt där f =. Vi beräknar f x = (2x y +3)e x2 +y 2 xy+3x = (2x y +3)f(x,y) f y = (2y x)f(x,y)

Eftersom f(x,y) så ger f = ekvationssystemet 2x y+3 = 2y x =, vilket har lösningen (x, y) = ( 2, 1). Alltså ligger funktionens enda stationära punkt i ( 2, 1). Nu skall vi undersöka punktens karaktär, det vill säga om det är en lokal maxpunkt, en lokal minpunkt eller ingetdera. etta gör vi genom att titta på funktionens Taylorutveckling till ordning 2 i punkten ( 2, 1). Eftersom f x( 2, 1) = f y( 2, 1) = får vi att f( 2+k, 1+h) f( 2, 1) = 1 2 f xx( 2, 1)h 2 + 1 2 f yy( 2, 1)k 2 +f xy( 2, 1)hk där vi har beräknat = 1 e 3(h2 +k 2 hk), xx = 2f(x,y)+(2x y +3)2 f(x,y) yy = 2f(x,y)+(2y x)2 f(x,y) xy = f(x,y)+(2x y +3)(2y x)f(x,y). en stationära punktens karaktär avgörs nu av karaktären på den kvadratiska formen Q(h, k) = h 2 +k 2 hk. Med hjälp av kvadratkomplettering fås Q(h,k) = (h k/2) 2 + 3 4 k2. enna form är positivt definit eftersom Q(h,k) för alla h,k och Q(h,k) = medför att h = k =. Alltså, i närheten av punkten ( 2, 1) ökar funktionsvärdet då vi rör oss i godtycklig riktning från punkten. etta betyder att funktionen har ett lokalt minimum i punkten ( 2, 1). 5. Området ges av nedanstående figur: y 2x+y = 4 2x+y = 2 x enna form gör det lämpligt med ett variabelbyte där en av variablerna sätts till 2x+y. Låt oss göra följande val: { { u = 2x+y x = 1 2 (u v) v = y y = v med funktionaldeterminant (x,y) det (u, v) = 1 2. I de nya variablerna (u, v) blir integrationsområdet E (titta på hur hörnpunkterna avbildas)

v E 4 v = u 2 2 4 u Med detta variabelbyte kan vi beräkna integralen som e (2x+y)2 dxdy = e u21 E 2 dudv = 1 4 ( u ) e u2 dv du 2 2 = 1 4 ue u2 du = 1 [e u2] 4 2 4 = 1 2 4 e4( e 12 1 ).. För att transformera differentialekvationen måste vi beräkna f x, f y Från kedjeregeln får vi att 2 f x = u v f u x +f v x = xf u +f v f y = u v f u y +f v y = yf u. Med hjälp av produktregeln och kedjeregeln beräknar vi vidare xx : f xx = x (xf u +f v) = f u +x x f u + ( ) = f u +x f uu u v x +f uv + u vu x = f u +x2 uu +f vv +2xf uv, x f v x +f vv och f xx i termer av u och v. där vi antar att f är av klass C 2 så att uv = vu. Sätter vi in dessa resultat i den ursprungliga differentialekvationen så erhåller vi v x xx +f x +yf y = x 2 uu + vv +2x uv +f u(1+x+y 2 )+f v. Eftersom x = v och y 2 = 2u v 2 så får vi slutligen ekvationen v 2 uu +f vv +2vf uv +f u (1+v +2u v2 )+f v =. 7. Planet och paraboloiden skär varandra på följande sätt(vilket man kan sluta sig till eftersom planet skär z-axeln i 1, vilket är under paraboloidens lägsta punkt):

Alltså, volymen begränsas av funktionsgraferna z = x 2 + y 2 (underifrån) och z = 2x + 2y 1 (ovanifrån) där (x, y) varierar över området. etta betyder att volymen kan beräknas som V = ( 2x+2y 1 x 2 +y 2 ) dz dxdy = (2x+2y 1 x 2 y 2 )dxdy. För att beräkna denna integral måste vi hitta området, genom att beräkna skärningen av de två funktionsgraferna. Skärningen fås av de punkter där 2x + 2y 1 = x 2 + y 2 vilket, efter kvadratkomplettering, ger (x 1) 2 +(y 1) 2 = 1, detvillsägaencirkelmedradien1centreradipunkten (1,1). Låtossbytavariablersåatt blirtill encirkelskivacentreradi origo. Visätteru=x 1ochv = y 1vilketgerenfunktionaldeterminant med värdet 1. Integranden kan kvadratkompletteras precis som vid beräkningen av skärningen ovan och variabelbytet ger ( V = (x 1) 2 (y 1) 2 +1 ) ( dxdy = u 2 +v 2 1 ) dudv, E där E beskrivs av u 2 +v 2 1. Genom att byta till polära koordinater fås 1 ( 2π ) 1 V = (r 2 1)dϕ rdr = 2π (r 3 r)dr [ r 4 = 2π 4 r2 2 ] 1 = π 2.