ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd arcsin( [-, ] [, ] arccos( [-, ] [00, ] arctan( alla reella tal (, arccot( alla reella tal ( 0, derivatan udda/jämn udda varken udda eller jämn udda varken udda eller jämn y=a arcsin( DEFINITION Funktionen sinus är inte inverterbar på intervallet (, (varör? Restriktionen av sinusunktionenn till intervallet [ π/, π/] är inverterbar och inversen kallas arcussinus Alltså restriktionen av sinusunktionen till intervallet [ π/, π/] ( har inversen Etersom sin, [, ] med värdemängden D D [, ] [, ] ( arcsin, [,] och och V V [, ] har vi [, ] V [,] av
Egenskaper ör unktionen y=arcsin( : Funktionens deinitionsmängd är D [,] och värdemängd V [, ] Funktionen är en udda unktion etersom arcsin( = arcsin( och därör är graen symmetrisk med avseende på origo Funktionen är väande d Derivatan: (arcsin d Uppgit Beräkna a arcsin( e arcsin( b arcsin( c arcsin( 0 d arcsin( arcsin( ( g arcsin( Tipps: Använd öljande tabelll vinkelnn v sin(v 0 0 av
Svar: a arcsin( etersom sin( b arcsin( c arcsin( 0 0 d arcsin( e arcsin( arcsin( Uppgit a Bestäm deinitionsmängden ( arcsin( g arcsin( b Bestäm inversen ( samt D och V Lösning: a Funktionen är deinierad om D och värdemängden Vi lägger till ( Vi löser samtidigt båda olikheter Vi delar med Alltså D [, ] V till unktionen Värdemängden: När antar värden i intervallet [, ] så antar alla värden i intervallet [, ], och därmed arcsin( Härav ( eter multiplikationen med arcsin(, vi adderar och år arcsin( Därmed V [, ] Svar a D [, ] och V [, ] av
Lösning: b Först: D V [, ] och V D, ] [ Vi löser ut ur ekvationen y arcsin( ( lägg till y arcsin( (dela med y arcsin( ( inversunktion y sin( ( lägg till y sin( (dela med sin( y Till slut byter vi plats på och y och år inversen som unktion av y sin( Svar b ( sin( där D V [, ] och V D, ] [ Uppgit Bestäm alla lösningar till ekvationen sin 0 Lösning: En lösning är arcsin(0 0079 ( med miniräknare Alla lösningar (oändligt många ges av öljande två talöljder: k arcsin( 0 k, där k 0,,, och n [ arcsin(0] n, där n 0,,, Uppgit a För vilka gäller sin(arcsin (? av
b Beräkna sin(arcsin( 08 Svar a För alla i intervallet[, ] b 0 8 Uppgit a Bestäm deinitionsmängden till ( arcsin(sin( b För vilka gäller arcsin(sin (? c Beräkna arcsin(sin( d Beräkna arcsin(sin( e arcsin(sin( 7 Lösning: a D = (, sin är deinierad ör alla reella tal Etersom sin är ( arcsin(sin( också deinierad ör alla reella tal Alltså D =R= (, b arcossin( är inversen till restriktionen av sinusunktionen på intervallet [, ] Därör arcsin(sin ( om ligger i [, ] Anmärkning Om ligger utanör [, ] då är arcsin(sin( där vi bestämmer i intervallet [, ] så att sin( sin( c arcsin(sin( etersom ligger i [, ] d arcsin(sin( arcsin(sin( { Notera att vi "ersätter" ligger i intervallet [, ] och uppyller sin( sin( } med som e 9 arcsin(sin( arcsin(sin( 7 7 7 av
Svar: a D =R= (, b För [, ] c arcsin(sin( d arcsin(sin( e 9 arcsin(sin( 7 7 Uppgit Bestäm a cos(arcsin( b tan(arcsin( c cos(arcsin ( Lösning: a Notera att deinitionsmängden ör cos(arcsin( är intervallet [, ] Vi betecknar arcsin( v och därmed sin v där v [, ] Då blir cos(arcsin( cosv Vi bestämmer cos v med hjälp av "trigonometriska ettan" sin v cos v cosv sin v = ( cosv 0 etersom v [, ] = = sin v b Vi betecknar arcsin( v och därmed sin v, där v [, ] Då blir tan(arcsin( tan v Från sin v ( och v [, ] beräknar vi örst sin v cosv sin v och slutligen tan v cosv Alltså tan(arcsin( tan v c Vi kan använda a men vi kan även beräkna direkt: cos(arcsin( cos( Svar: a b c Uppgit 7 Beräkna derivatan av unktionen a y arcsin( b y arcsin(ln( Svar a y b ( 9 y ln ln av
y=a arccos( DEFINITION Restriktionen av cosinus c till intervallet [0, π] är inverterbar Inversenn kallas arcuscosinus och betecknas arccos( Alltså restriktionenn av cos till intervallet [0, π], ( cos, [ 0, ] har inversen ( arccos, [, ] Etersom [ 0, ] och D D [, ] V och [,] har vi V [00, ] Egenskaper ör unktionen y=arccos( : Funktionens deinitionsmängd är D=[, ] och värdemängd d V=[0, π] Funktionen är varken udda eller jämn Anm: arccos( arccos( Funktionen är avtagande Derivatan: d (arccos d Uppgit 8 Beräkna a arccos( b arccos(/ c arccos( 0 d arccos(/ e arccos( / arccos( ( / g arccos( 7 av
Tipps: Använd öljande tabell vinkeln v 0 cos(v 0 Svar a b / c / d / e / / g 0 Uppgit 9 a För vilka gäller cos(arccos (? b Beräkna cos(arccos( 0 Svar a För alla i intervallet[, ] b 0 Uppgit 0 a Bestäm deinitionsmängden till ( arccos(cos( b För vilka gäller arccos(cos (? c Beräkna arccos(cos( 7 d Beräkna arccos(cos( e arccos(cos( Svar: a D =R= (, b För [ 0, ] c arccos(cos( = ( etersom ligger i intervallet [ 0, ] 7 7 d arccos(cos( arccos(cos( ( Notera att cos( = cos( ligger i intervallet [ 0, ] e arccos(cos( arccos(cos( och att Uppgit Beräkna a / b / Lösning: a Beteckna arccos( / v Då gäller cos( v där v ligger i örsta kvadranten ( enligt deinitionen av arccos(v och vi ska bestämma sin 8 av
Etersom sin cos ( vi väljer tecken + etersom v ligger i örsta kvadranten har vi sin / 8/9 sinv b tan(arccos(/ tanv cosv Uppgit a Bestäm sin(arccos( b Bestäm tan(arccos( Lösning: a Vi betecknar arccos( v Härav cos(v där v ligger i [0, π] Vi ska beräkna sin(arccos( sinv Från sinv cos v, etersom v ligger i [0, π], ( där sinv 0 har vi sinv cos v sin v b tan(arccos( = tan v cosv Svar: a b Uppgit Bestäm deinitionsmängden till e arccos ln / Lösning: Uttrycket e är deinierad ör alla Funktionen är deinierad om öljande två villkor är uppyllda: Villkor ( ör uttrycket arccos : Villkor ( ör uttrycket ln / : /0 d v s / Båda villkor är uppyllda om Svar:, Uppgit Beräkna derivatan av unktionen a y arccos( b y arccos( Svar a y ( 0 0 b y ( ( ( ( 9 av
Uppgit Bevisa att arcsin arccos ör alla, Tipps Använd örsta derivatan Bevis: Låt arcsin arccos (, Då gäller 0 ör alla, Etersom ( 0 ör alla i intervallet, är unktionen konstant i detta intervall Alltså arcsin arccos För att bestämma C insätter vi t e =0 och år Därör arcsin 0 arccos 0 0 arcsin arccos ör alla, I ändpunkterna har vi arcsin arccos 0 och arcsin arccos Därmed har vi bevisat att ör alla, arcsin arccos 0 av
y=a arctan( DEFINITION Restriktionen av tangens till intervallet ( π/, π/ ärr inverterbar Inversenn kallas arcustangens och betecknass arctan( Alltså restriktionen av tangensunktionen till intervallet ( π/, π/, π/, π/ med värdemängden, har inversen Etersom,, π/, π/ och, har vi, och π/, π/ Egenskaper ör unktionen y=arctan( Funktionens deinitionsmängd är D = (, och värdemängd V= (, Funktionen har två vågräta asymptoterr y och y lim, lim Funktionen är en udda unktion etersom och därör är graen symmetrisk med avseende på origo Funktionen är väande Derivatan: d d (arctan( av
En tabell med värdena av tan(v ör några vinklar vinkeln v tan(v ej de 0 0 ej de Uppgit a För vilka gäller tan(arctan (? b Beräkna tan(arctan ( Svar a För alla b Uppgit 7 a Bestäm deinitionsmängden till ( arctan(tan( b För vilka gäller arctan(tan (? c Beräkna arctan(tan( 9 d Beräkna arctan(tan( Svar a k, k 0,,, b För de som ligger i (, c arctan(tan( {etersom ligger i (, } d 9 arctan(tan( arctan(tan( Uppgit 8 Bestäm a cos(arctan( b sin(arctan( Lösning: Om vi delar likheten sin v cos v med cos v år vi ( om cos v 0 tan v av cos v
som vi använder ör att beräkna sin v cos v tan v cosv tan v om tan v ärr känd Däreter kan vi beräkna a Vi betecknar arctan( v Därmed tanv där v (, Vi beräknar cos(arctan( cosv tant v (tecken + etersom v (, där cosv v 0 b sin(arctan( sinv cosv tan v Uppgit 9 Beräkna derivatan av unktionen a y arctan( b y arctan(ln( Svar: a y ( ( b y ln y=a arccot( ( lnn DEFINITION Restriktionen av cotangens c tilll intervallet (0, π är inverterbar Inversenn kallas arcuscotangens och betecknas arccot( Alltså restriktionen av cotangensunktionen, 0, till intervallet (0, π π med värdemängden,, har inversen Etersom,, 0, π och, har vi, och 0, π av
Egenskaper ör unktionen y=arccot( Funktionens deinitionsmängd är D, och värdemängd 0, π Funktionen har två vågräta asymptoter 0 och π lim 0, lim π Funktionen är varken udda eller jämn Anm: arccot( arccot( Funktionen är avtagande d Derivatan: (arccot( d En tabell med värdena av cot(v ör några vinklar vinkeln v 0 cot(v ej de 0 ej de Uppgit 0 Beräkna Lösning: Uppgit Bevisa att arctan arccot ör alla reela tal Bevis: Låt ( arctan arccot då gäller ör alla av
Därör är ( en konstant unktion, dvs arctan arccot C För att inna C insätter vi till e och år C arctan arccot 0 Alltså arctan arccot VSB av