Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm med jälp av derivatan x-koordinaten för denna punkt. 3 Derivera funktionen 4 Funktionen f(x) = 3 x + 10 x f(x) = x x är given. Vi tänker oss tangenten till kurvan då x = 3. Var skär denna tangent x-axeln? 5 Figuren visar funktionen f(x). En av följande fem derivator ör till funktionen, vilken? a) f (x) = (x 1)(x + ) b) f (x) = (x + 1)(x ) c) f (x) = (1 x)( + x) d) f (x) = (x 1) + (x + ) e) f (x) = (x ) (x + ) 4 - -1 1 3 4 - Figur 1: Håkan Strömberg 1 KTH Syd
6 Ett föremål glider utför ett sluttande plan, så att den tillryggalagda vägen i meter vid tiden t sekunder är s(t) = t + 3t Bestäm ur lång sträcka föremålet ar förflyttat sig när astigeten är 10 meter/sek. 1 Derivatans definition skrivs som du vet f (x) = lim 0 f(x + ) f(x) I vårt specifika fall ger det, eftersom x = f () = lim 0 (( + ) + ( + ) + ) ( + + ) Vi utvecklar oc förenklar uttrycket (( + ) + ( + ) + ) ( + + ) = (4 + 4 + + + + ) 8 = (8 + 5 + ) 8 = Nu kan vi skriva Svar: f () = 5 5 + = f () = lim 0 5 + = 5 (5 + ) = 5 + Vi inleder med att derivera funktionen, bestämma f (x). Därefter tar vi reda på derivatans nollställen, löser ekvationen f (x) = 0. Roten till denna ekvation är svaret på uppgiften. f (x) = x 4 f (x) = 0 ger ekvationen x 4 = 0 som ar roten x =. Svar: x = 3 Vi startar med att skriva om funktionen med basen e f(x) = e xln 3 + 10 e xln Nu är det dags att derivera oc vi använder oss av deriveringsregeln f(x) = e kx f (x) = k e kx Håkan Strömberg KTH Syd
7 6 5 4 3 1 - -1 1 3 4-1 Figur : En minpunkt då x= oc får f (x) = ln3 e xln 3 + 10 ln e xln Man kan nu gå vidare oc förenkla (?) uttrycket f (x) = ln3 e xln 3 +10 ln e xln = ln3 e ln 3x +10 ln e lnx = ln 3 3 x +10 ln x Svar: f(x) = ln3 3 x + 10 ln x 4 x-koordinaten för aktuell punkt på kurvan som ska tangeras ar vi redan x = 3. y-koordinaten får vi genom att bestämma f(3). Vi deriverar f(x) oc får f (x). f (3) ger oss tangentens k-värde. Vi ar nu en punkt oc ett k-värde oc vi kan bestämma tangentens ekvation t(x). Återstår att ta reda skärningen med x-axeln, som vi får genom att lösa ekvationen t(x) = 0. f(3) = 3 3 = 4 Tangeringspunkten är (3, 4). Dags att derivera f (x) = x 1 f (3) ger oss tangentens k-värde: f (3) = 3 1 = 5. Tangentens ekvation t(x) = 5x + m (eller y = 5x + m, som vi är vana att skriva) börjar ta form. Vi sätter in punkten (3, 4) oc får ekvationen 4 = 5 3 + m, som ger m = 11. Tangentens ekvation är t(x) = 5x 11 När en linje skär x-axeln är y-koordinaten 0 (eller t(x) = 0), så vi får ekvationen 0 = 5x 11 x = 11 5 Svar: Tangenten skär x-axeln i punkten ( 11 5, 0). 5 Från figuren får vi att f(x) ar maxpunkt respektive minpunkt då x = 1 oc x =. Detta innebär att f ( 1) = 0 oc f () = 0. Sätter vi in dessa x i de fem derivatorna så får vi att det stämmer endast för alternativ b). Svar: Alternativ b) Håkan Strömberg 3 KTH Syd
10 - -1 1 3 4 5-10 -0 Figur 3: Här ser vi tangenten 6 Från s(t) får vi alltså den sträcka föremålet förflyttat sig efter t sekunder. Från s (t) får vi astigeten som föremålet glider med efter t sekunder. Efter att vi deriverat s(t) ar vi att lösa s (t) = 10. Roten till den ekvationen ger oss svaret på ur lång tid det dröjer innan astigeten är 10 meter/sek. Eftersom vi nu vet ur lång tid det förflutit kan vi använda s(t) för att ta reda på ur långt föremålet unnit. Vi startar med att derivera: s (t) = + 3t Vi löser ekvationen s (t) = 10 oc får + 3t = 10 t = 8 3 Återstår att bestämma s ( ) 8 = 8 3 3 + 3 ( 8 3) = 16 Svar: Föremålet ar unnit 16 meter Håkan Strömberg 4 KTH Syd
1 Under sin tidiga karriär ade öjdopperskan Kajsa Bergqvist följande utomusresultat: År 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 99 00 Höjd (cm) 138 156 156 161 177 184 190 190 193 195 193 197 01 Hur stor var den genomsnittliga förändingsastigeten för ennes resultat från 1988 till 000? Bestäm i mån av förekomst extrempunkter till funktionen 3 Bestäm derivatan till funktionen f(x) = x3 3 x 6x + 1 f(x) = 3 x + 1 x 4 Folkmängden i en liten stad i Sverige stiger med den öga förändringsfaktorn 1.04. Idag, år 007 ar staden 10356 invånare. a) Vilket år blir denna stad Sveriges nästa miljonstad? b) Hur stor kommer tillväxten (invånare/år) att vara 015? 5 Bestäm f(x) = f (x) då funktionen 6 Bestäm a oc b så att funktionen får ett maximum i (1, 4) f(x) = x 4x + 1 f(x) = x + ax + b 1 Vi ställer upp differenskvoten Svar: 5.5 cm/år y x = y 000 y 1988 01 138 = = 5.5 000 1988 1 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Vi deriverar funktionen f(x) oc får f (x). Vi löser ekvationen f (x) = 0. De nollställen vi får i den ekvationen anger var det finns extrempunkter os f(x). Med jälp av teckenstudier avgör vi om det är max-, min- eller terrasspunkt. Vi avslutar med att bestämma f(x) för dessa punkter. f (x) = 0 ger följande ekvation f (x) = x x 6 x x 6 = 0 x = 1 ± 1 4 + 4 4 x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = Vi vet nu att extrempunkter finns för x = 3 oc x =. Detta ger följande tabell: x x < x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) + 0 0 + f(x) ր max ց min ր Genom att bestämma f( ) oc f(3) får vi så till sist de eftersökta punkterna. oc f( ) = ( )3 3 ( ) 6( ) + 1 = 58 3 f(3) = 33 3 3 3 6 3 + 1 = Svar: Maxpunkt i (, 58 3 ) oc minpunkt i (3, 3 ). 15 10 5-4 - 4 Figur 4: Funktionens utseende 3 Vi startar med att skriva om funktionen på en mer lättderiverad form: f(x) = x 3 + x Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Nu är det dags att derivera: f (x) = x 1 3 + ( )x 3 3 I oc för sig är uppgiften löst nu, men vi önskar en trevligare form: f (x) = 3x 1 3 x 3 = 3 3 x x 3 Svar: f (x) = 3 3 x x 3 4 Sedan gammalt kan vi ställa upp funktionen b(t) = 10356 1.04 t Där t = 0 motsvarar år 007. För att lösa a) ar vi bara att lösa ekvationen 1000000 = 10356 1.04 t 1.04 t = 1000000 10356 t ln1.04 = ln ( ) 1000000 10356 t = ln ( ) 1000000 10356 ln 1.04 t 117 För att kunna svara på b) måste vi ta fram funktionens derivata b (t) oc bestämma b (8) (det ar ju gått 8 år). Om vi först skriver om funktionen till basen e får vi tln 1.04 b(t) = 10356 e oc så deriverar vi oc till sist kan vi bestämma b (8) b tln 1.04 (t) = 10356 ln1.04 e b (8) = 10356 ln1.04 e 8ln 1.04 556 Svar: År 007 + 117 = 14 är staden en miljonstad. Tillväxtastigeten var år 015, 556 personer/år 5 Vi deriverar f(x) f (x) = x 4 oc löser sedan ekvationen f(x) = f (x) x 4x + 1 = x 4 x 6x + 5 = 0 x = 3 ± 9 5 x = 3 ± x 1 = 5 x = 1 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Svar: Det finns två lösningar, x = 1 oc x = 5 1.5 10 7.5 5.5-1 1 3 4 5 6 -.5-5 Figur 5: Skärningspunkterna mellan f(x) oc f (x) 6 Vi startar med att derivera f(x) där vi betraktar a oc b som konstanter. När vi sedan löser ekvationen f (1) = 0 får vi reda på a. Vi vet ju att f (1) = 0 eftersom f(x) ar en maxpunkt för x = 1. f (x) = x + a f (1) = 0 ger ekvationen 1 + a = 0 med roten a =. a är bestämd oc funktionen ar just nu utseendet f(x) = x + x + b Men vi vet också att f(1) = 4. Detta ger en ny ekvation (1 ) + 1 + b = 4 som ar roten b = 3. Vi är klara. Svar: f(x) = x + x + 3 4 - -1 1 3 - -4 Figur 6: Maxpunkt på rätt ställe Håkan Strömberg 8 KTH Syd