HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand. Låt F 4, 3, 9,, G,,, 0, 4 och H, 0. Bestäm 9 F, 9 G, F G, F G, F H, F\G, G\H och F G\H. Lösningsförslag: Övning på mängdalgebra. Börja med att definiera mängderna för Mathematica. F 4, 3, 9, ; G,,, 0, 4; H, 0; Visst, 9 är en medlem i mängden F. MemberQF, 9 True Visst, 9 är inte en medlem i mängden G. MemberQG, 9 True Unionen av två mängder är en ny mängd där alla unika medlemmar i de två mängderna ingår. Mathematica tar för vana att leverera unionen sorterad. Matematiskt sett är detta inget krav. F G,, 3, 4,, 9, 0 Snittet av två mängder är en ny mängd innehållande de unika medlemmar som ingår i båda mängderna. Mathematica tar för vana att leverera snittet sorterad. Matematiskt sett är detta inget krav. F G, 4 När en mängd inte innehåller några objekt kallas den för tomma mängden och man reserverar namnet. Visst, F och H har inga gemensamma objekt så snittet är tomma mängden. F H De objekt som finns i F men inte i G. ComplementF, G
Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 3, 9 De objekt som finns i G men inte i H. ComplementG, H,, 4 De objekt som finns både i F och i den mängd som finns på raden ovanför. F ComplementG, H, 4. Beräkna a n n 3 4 b k0 k 3k c 00 i 3 Lösningsförslag: Räkna på! a) n n 3 3 3 3 3 4 3 3, 4 b) k0 k 3k0 30 34 340, c) 00 i 3 3 3 3003 300 00 st n 3, k 3k, 3 n 4 k0, 0, 300 00 i 3. Skriv med summatecken a 3 0 b 3 34 4 0 Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på summatecken. 0 0 i i, k k k 738 0, 438 4. Beräkna 4 8 Lösningsförslag: En inledande tvåa samt en geometrisk summa 7 8. 8, k0 8, 8, 8 7 7 k, k k n. Visa med ett induktionsbevis att i i 3 n nn för alla n,, 3, Lösningsförslag: Vi ska tydligen visa den aritmetiska prototypsumman ännu en gång. Ett induktionsbevis består av tre delar. Visa först att påståendet är sant för det första n:et i följden. n VL i i, HL Ok Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p. Vi får p p i i i i p Dela upp summationen pp p Om formeln gäller för n p. Faktorisera p p Snegla på önskat resultat och skriv om p p Så formeln stämmer för n p Så påståendet är sant för alla n. Färdig
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 6. Visa med ett induktionsbevis att 9 n är jämnt delbart med 8 för alla n. Lösningsförslag: Ett induktionsbevis består av tre delar. Visa sant för alla n 0,,, Visa först att påståendet är sant för det första n:et i följden. n 0 9 0 0 Vilket uppenbarligen är delbart med 8 Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p. Vi får 9 p Potenslagar 9 p 9 Om 9 p delbart med 8 så k så 9 p 8k 8k 9 Hyfsa 8k 9 8 89k Vilket uppenbarligen är delbart med 8 Så påståendet är sant för alla n. Färdig 7. Förenkla a 3 b 6 c d Lösningsförslag: Endast, aldrig!! Så med potenslagarna a) 3, b) 6 3 3, c) 4, d) Naturligtvis klarar Mathematica av det direkt 3, 6,,,,, 6 3 3 8. Givet de komplexa talen 3 4 och w. Bestäm Im, Re, w, w, w, w,, w och argw. Skriv på exponentiell form. Rita w, w. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på komplexa tal. 3 4 ; w ; Im, Re, w, w, w, w,, Absw, Argw 4, 3,,46,0,,3 4,,tan Finns ingen funktion i Mathematica som direkt översätter Rektangulär form till Exponentiell form. Så man får göra på samma sätt som när man räknar för hand Arg Abs tan 4 3 9. Skriv det komplexa talet på rektangulär form. Lösningsförslag: Använd Eulers definition cos sin så cos sin 0. 0. Skriv det komplexa talet 4 på rektangulär och exponentiell form, då. + Lösningsförslag: Använd exponentiell form 4 Förläng med nämnarens komplexkonjugat. 4 84 84. 4 4 4 4 04. Så 4 4 4 w 4 8 4.
4 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Argw w e Absw 4 tan ComplexExpandw e 8 4. Lös ekvationen, där betyder komplexkonjugat. Lösningsförslag: Ansätt a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b. a ba b Re : 3a Im : b a 3 b det vill säga ekvationen har lösningen. Solve klarar många ekvationer. 3 Solve 3 Extrauppgifter i andra hand i mån av tid. Vad blir x x x 3 x 4 om x x x 3 x 4? Lösningsförslag: Först bestämmer vi x ur villkoret x x x 3 x 4. Här gömmer sig en geometrisk summa. x x x 3 x 4 x x x x 3 x 4 xlim xn n x För att gränsvärdet ska existera krävs att x, så x n 0. Alltså x x x 6. Så svaret på den brännande frågan om den snarlika geometriska summan x x x 3 x 4 xxx x 3 x 4 xlim xn n x 6 Vi gör en sista ängslig kontroll med hjälp av Mathematica 6 i 6 i i 3. Förenkla a 4 b 6 c 0 d Lösningsförslag: Endast, aldrig!! Så med potenslagarna a) 4, b) 6, 6 3 3 c) 0, d) Naturligtvis klarar Mathematica av det direkt 4, 6, 0,,,, 4. Givet de komplexa talen och w 3. Bestäm Im, Re, w, w, w, w,, w och argw. Skriv på exponentiell form. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på komplexa tal.
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning ; w 3 ; Im, Re, w, w, w, w,, Absw, Argw,,,,63, 6 3,,3, Finns ingen funktion i Mathematica som direkt översätter Rektangulär form till Exponentiell form. Så man får göra på samma sätt som när man räknar för hand Arg Abs tan. Skriv det komplexa talet på rektangulär form. Lösningsförslag: Använd Eulers def cos sin så cos sin 0. 6. Skriv det komplexa talet 6 _ på rektangulär och exponentiell form, då. + Lösningsförslag: Använd exponentiell form 6 Så 6 8 8 Förläng med nämnarens komplexkonjugat. 4 6 8 80 8. 8 68 86. w 6 8 6. Argw w e Absw 8 tan ComplexExpandw e 8 6 7. Lös ekvationen, där betyder komplexkonjugat. Lösningsförslag: Ansätt a b i ekvationen. Identifiera sedan real- och imaginärdelar. Likhet för komplexa tal ger sedan ett ekvationssystem som bestämmer a och b. a ba b Re : a 0 a 0 Im : 3b b 3 det vill säga ekvationen har lösningen. Solve klarar många ekvationer. 3 Solve 3 8. Visa med ett induktionsbevis att 3 n n är jämnt delbart med 7 för alla n. Lösningsförslag: Ett induktionsbevis består av tre delar. Visa sant för alla n 0,,, Visa först att påståendet är sant för det första n:et i följden.
6 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN n 0 3 0 0 3 4 7 Vilket uppenbarligen är delbart med 7 Visa sedan att om det är sant för n p så är det sant även för n p. Vi får 3 p p Meka om exponenterna 3 p p Potenslagar 3 p 3 p Om 3 p p delbart med 7 så k så 3 p p 7k 7k p 3 p Hyfsa 7k 9 7 p 79k p Vilket uppenbarligen är delbart med 7 Så påståendet är sant för alla n. Färdig Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 9. För det komplexa talet gäller att Re. Vilka värden kan Re anta? Lösningsförslag: Vi mekar ihop ett b enligt receptet, så f bre Re Re b b Re b bb b b varav D f, och svaret på frågan V f 0,. Plot, b, 0, 0, PlotRange All, AxesLabel "b" b 0.0 0. 0.0 0.0 40 0 0 40 b 0. Antag att a b. Åskådliggör geometriskt a b c d Lösningsförslag: Rita och diskutera med dina kamrater!. Åskådliggör geometriskt de punkter som uppfyller a b c d Lösningsförslag: Rita och diskutera med dina kamrater!. Visa att avståndet mellan punkterna och i det komplexa talplanet är. Lösningsförslag: Rita, räkna och diskutera med dina kamrater! 3. Visa att följande samband är sant för alla. a Re b Im c Re Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! 4. Låt a b ligga i rektangeln 0 a a a,0 b b b i det komplexa talplanet. Vilken form får rektangeln efter transformationen? Lösningsförslag: Rita, räkna och diskutera med dina kamrater! n. Visa att för alla heltal n,, gäller a) k k nn n, b) n 6 k k n, c) 4 n 4n Lösningsförslag: Gör induktionsbevis och diskutera med dina kamrater!