Signaler några grundbegrepp

Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett enkelt exempel på ett typiskt signalrekonstruktionsproblem. Exempel 2.1. I figur 2.1 är x(t) en signal som överförs över en kanal (t.ex. en telefonlinje), varvid den vid mottagaren blir förvrängd av systemet F, som representerar överföringskanalen. Dessutom påverkas signalen av ett brus e, som kommer in under överföringen. Vi önskar på basen av den mottagna signalen y(t) rekonstruera den ursprungliga signalen så väl som möjligt. För rekonstruktionen manipuleras signalen y med ett signalbehandlingssystem H. Problemet är att konstruera H så att felet x x r mellan den ursprungliga signalen x och den rekonstruerade signalen x r är möjligast litet. Systemet H kan givetvis vara ett digitalt signalbehandlingssystem av den typ som visas i figur 1.2, varvid den inkluderar A/D- och D/A-omvandlare, samt erforderliga analoga filter. Systemet F antas däremot bestå av ett fysikaliskt system, och är därför kontinuerligt. För att signalrekonstruktionsproblemet skall vara meningsfullt, bör man givetvis ha någon form av information om de ingående systemen (i detta fall F ), och signalerna. Systemet F kan bestämmas genom matematisk modellering av den aktuella fysikaliska processen i överföringskanalen eller genom att utföra identifieringsexperiment. Det är därför realistiskt att anta att systemet F är känt. Om bruset e vore noll, så skulle y = z gälla, och exakt rekonstruktion skulle uppnås med x r = F 1 y, förutsatt att systemet F har en invers som kan realiseras i praktiken. e x F z + + y H x r Figur 2.1: Signalrekonstruktion. 10

I praktiken finns det alltid bruskällor som påverkar signaler. I motsats till systemet F, vars inverkan på signalen kan antas vara känd, så kan bruset e inte direkt mätas; det enda man har tillgång till är den utkommande signalen y = z + e. Hur skall då den ursprungliga signalen x kunna bestämmas? Observera att y består av två komponenter: signalkomponenten z = F x och störningskomponenten e. Problemet är således ekvivalent med att separera de två komponenterna från varandra. För att kunna göra detta måste signalkomponenten z och bruset e ha egenskaper som i något avseende är olika och gör det möjligt att skilja komponenterna åt. Lyckligtvis är detta ofta fallet. En audiosignal t.ex. innnehåller frekvenskomponenter under 20 khz, medan brus ofta innehåller komponenter av högre frekvenser. En metod att skilja de två komponenterna åt kunde således bestå av att undersöka frekvenskomponenterna hos signalen y. Exempel 2.1 illustrerar behovet av att representera signaler i en form som t.ex. möjliggör separering av olika signalkomponenter. Detta kan kvantitativt utföras med hjälp av olika signaltransformer. I exemplet skulle rekonstruktionsfelet x x r göras möjligast litet. Felet kan emellertid göras litet på många olika sätt. Vid syntes av ett signalbehandlingssystem måste man besluta sig för ett kvantitativt mått för storleken hos felet x x r. Sådana kvantitativa mått ges av signalnormer. 2.1 Signaltransformer Signaler representeras matematiskt som funktioner x(t) av tiden (analoga signaler) eller som sekvenser {x(k)}, k =..., 1, 0, 1,... (diskreta signaler). Det visar sig att flera problemställningar och manipulationer kan förenklas avsevärt om signalen i stället för att representeras som en funktion av tiden (t respektive k) anges med hjälp av utvecklingar av givna funktioner, dvs x(t) = i c i ϕ i (t) (2.1) respektive x(k) = i c i ϕ i (k), k =..., 1, 0, 1,... (2.2) Om funktionsmängden {ϕ i } är tillräckligt generell, kan koefficienterna c i väljas så att likheterna (2.1) respektive (2.2) gäller för en bred klass av funktioner. Funktionen x(t) (respektive {x(k)}) kan i så fall representeras med hjälp av sekvensen {c i } = {c 0, c 1,..., }. Sekvensen {c i } säges vara en transform av signalen x, och funktionerna ϕ i i utvecklingen är s.k. basfunktioner. Den praktiska betydelsen hos dylika transformer är att representera signalen i en form som förenklar olika signalbehandlingsoperationer eller tolkning av signalen. Transformer är viktiga i flera sammanhang: 11

Kompression av data. Antag att vi har en diskret signal med N = 1000 punkter, x(0), x(1),..., x(n 1). Det kan synas som ett naturligt sätt att representera signalen i form av talen i sekvensen, {x(k)}. Emellertid är denna representation inte naturligare än andra. Observera att om vi definierar pulsfunktionerna { 1, om k = i ϕ i (k) = (2.3) 0, om k i så kan sekvensen skrivas i formen x(k) = i x(i)ϕ i (k), k = 0, 1,..., N 1 (2.4) I denna representation är alltså koefficienterna c i = x(i) och det krävs N = 1000 koefficienter för att representera signalen. Men valet av pulsfunktionerna (2.3) är inte naturligare än något annat val av funktioner ϕ i i utvecklingen. Tvärtom kan något annat val funktionerna visa sig naturligare. Om man t.ex. vet att signalen har genererats så att x(k) kan anges som en kombination av polynom av högst tredje ordning, så att x(k) = c 0 + c 1 k + c 2 k 2, k = 0, 1,..., N 1 (2.5) så vore det naturligt att välja basfunktionerna φ 0 (k) = 1, φ 1 (k) = k, φ 2 (k) = k 2 varvid hela sekvensen kan representeras med hjälp av de tre parametrarna c 0, c 1, c 2 i formen x(k) = c 0 φ 0 (k) + c 1 φ 1 (k) + c 2 φ 2 (k), k = 0, 1,..., N Detta möjliggör en avsevärd komprimering av den ursprungliga datamängden bestående av N = 1000 tal. I många sammanhang har man signaler som består av periodiska komponenter som kan uttryckas med hjälp av trigonometriska (sinus- och cosinus-) funktioner. Rena toner i audiosignaler är t.ex. sinusformade signaler. I sådana fall är det naturligt att utveckla signalen med sinus- och cosinusfunktioner som basfunktioner. Beräkning av utsignalen från linjära system. Beräkningen av utsignalen y(t) från ett linjärt system eller filter med insignalen x(t) är en numeriskt krävande operation. Man vet emellertid att om insignalen är en sinusformad signal, sin(ωt), så är utsignalen en annan sinusformad signal med samma frekvens ω, men i allmänhet med en annan amplitud och fas, y(t) = A sin(ωt + φ). Beräkningen av utsignalen blir därför trivial om man representerar signalen x(t) med hjälp av en utvecklingen av formen (2.1) där basfunktionerna ϕ i (t) är sinus- och cosinusfunktioner. Det är således naturligt att karakterisera system med avseende å deras effekt på de olika frekvenskomponenterna hos en signal. Man talar således om lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter, filter med linjär fasförskjutning, osv. Observera att om systemet F i exempel 2.1 är linjärt, så kan signalen x inte innehålla andra frekvenser än de som finns i z. Systemet dämpar, förstärker och fasförskjuter de olika frekvenserna på olika sätt, men blandar ej ihop skilda frekvenser. 12

Tolking av signaler. Utvecklingar av formen (2.1) och (2.2) kan också utnyttjas för att förenkla tolkningen av signaler. Det är t.ex. vanligt med periodiska komponenter i signaler. Sådana kan vara svåra att uppfatta i tidsfunktionen x(t) eller {x(k)}. Om signalen utvecklas med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner, framträder periodiska komponenter i signalen klart i form av stora värden för de koefficienter c i i utvecklingen som motsvarar sinus- och cosinusfunktioner med den aktuella perioden. I exempel 2.1 kan en transform av signalen y i periodiska funktioner möjliggöra en separering av komponenterna z och e, ty den intressanta signalen z är i allmänhet en lågfrekvent signal, medan bruset e ofta är högfrekvent. Signalen z beskrivs således av lågfrekventa periodiska signaler och e beskrivs av högfrekventa periodiska signaler. Det finns många olika sätt att utveckla en signal med hjälp av basfunktioner, men det överlägset viktigaste är den som utnyttjar periodiska sinus- och cosinusfunktioner. Såsom framgått ur diskussionen ovan förenklar en sådan utveckling analysen av ett filters inverkan på olika signaler, och är ett oumbärligt verktyg vid syntes av filter. Analysen av en funktions utveckling med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner kallas frekvensanalys eller Fourieranalys. En sådan utveckling beskriver direkt frekvensinnehållet hos en signal. Frekvensanalys beskrivs mera detaljerat i kapitel 3. 2.2 Signalnormer I exempel 2.1 var problemet att rekonstruera signalen x ur den mottagna signalen y = z + e. En signal x r skall alltså beräknas ur y, som approximerar signalen x, dvs rekonstruktionsfelet x x r är möjligast litet. Det finns emellertid flera sätt att mäta storleken hos en signal x x r, och resultatet är beroende av hur signalens storlek definieras. Vid en matematisk representation av en signal x som en funktion x(t) är det naturligt att definiera signalens storlek med hjälp av en norm definierad för funktionen x(t). Normer betecknas med x. De inom signalbehandling vanligaste och mest användbara normerna är L p -normerna, som definieras för kontinuerliga signaler enligt och (för p = ) x p = ( x(t) p dt ) 1/p, p = 1, 2,... (2.6) x = max x(t) (2.7) t L p -normerna karakteriseras av talet p; för små värden på p påverkar alla signalvärden x(t) relativt jämnt till normens storlek, medan stora värden på p ger ökad vikt åt stora signalvärden, med fallet p = som extremfall. Viktiga specialfall av L p -normer är L 1 -normen, x 1 = x(t) dt (2.8) 13

samt L 2 -normen, x 2 = ( x(t) 2 dt ) 1/2 (2.9) I synnerhet L 2 -normen är speciellt användbar inom signalbehandlingen. Den visar sig vara enkel att beräkna och har ett antal speciella egenskaper som gör den attraktiv. L 2 -normen bevaras t.ex. vid Fouriertransformen, dvs en signal x(t) och dess Fouriertransform X(ω) har samma L 2 -norm (jämför Parsevals formel, avsnitt 3.2.1 och 3.3.1). Detta gör normen enkel att utnyttja i samband med frekvensanalytiska metoder. L 2 - normen har också en naturlig fysikalisk tolkning som energin hos en signal. Detta beror på att den energi E(i) som t.ex. elektrisk ström i(t) förbrukar i ett motstånd R är proportionell mot integralen av strömmens (eller spänningens) kvadrat, E(i) = R i 2 2. För diskreta signaler {x(n)} definieras på ett analogt sätt l p -normerna, x p = ( x(n) p) 1/p, p = 1, 2,... (2.10) n och (för p = ) x = max x(n) (2.11) n Viktiga specialfall av l p -normer är l 1 -normen, x 1 = n x(n) (2.12) samt l 2 -normen, x 2 = ( x(n) 2 ) 1/2 (2.13) I analogi med det kontinuerliga fallet bevaras l 2 -normen vid Fouriertransformen (jämför avsnitt 4.1.1 och 4.2.1). 2.3 Komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen För åskådlighetens skull ger vi en kort sammanfattning över de samband mellan komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen som utnyttjas inom signalbehandling. Betrakta ett komplext tal z = x + jy (2.14) där j = 1. De komplexa talen kan representeras med hjälp av det komplexa talplanet, som består av en reell talaxel och en imaginär talaxel, jfr figur 2.2. Det komplexa talet z motsvarar då en punkt med koordinaterna (x, y) i det komplexa talplanet (se figur 2.2). Talets magnitud eller absoluta belopp z definieras som avståndet från origo till punkten (x, y). Från figur 2.2 fås enligt Pythagoras sats z = x 2 + y 2 (2.15) 14

Im jy θ x = x + jy z z y x Re Figur 2.2: Det komplexa talet z = x + jy i det komplexa talplanet. Om man betecknar vinkeln mellan den reella talaxeln och vektorn från origo till punkten (x, y) med θ, gäller enligt standard trigonometriska samband Kombinering av (2.14) och (2.16) ger x = z cos θ y = z sin θ (2.16) z = z (cos θ + j sin θ) (2.17) Vi skall nedan visa att den komplexa faktorn i uttrycket (2.17) på ett bekvämt sätt kan karakteriseras med hjälp av den komplexa exponentialfunktionen genom att utnyttja Eulers formel e jθ = cos θ + j sin θ (2.18) Från (2.17) och (2.18) fås uttrycket z = z e jθ, θ = arg z (2.19) Representationen (2.19), eller (2.17), av det komplexa talet z kallas polär form. Den polära formen uttrycker det komplexa talet z med hjälp av dess absoluta belopp z och vinkeln θ. Vinkeln θ brukar kallas det komplexa talets argument, och betecknas θ = arg z (2.20) Argumentet hos ett komplext tal kan bestämmas som funktion av de reella och imaginära komponenterna genom att utnyttja sambandet (2.16), från vilket det följer att θ satisfierar tan θ = y (2.21) x 15

Eftersom tangent-funktionen har perioden π (dvs tan θ = tan(θ + π)), definierar (2.21) vinkeln θ endast i ett intervall av bredden π, vanligen π/2 < θ < π/2. För att definiera punkten (x, y) bör emellertid argumentet θ kunna bestämmas entydigt i ett intervall av bredden 2π, t.ex. 0 θ < 2π. Speciellt gäller till exempel, att tan θ hos punkterna (x, y) och ( x, y) har samma värde, eftersom y = y. För att bestämma x x argumentet θ entydigt, bör (2.21) kompletteras med information om i vilken kvadrant punkten (x, y) är. Om arctan-funktionen definieras så att den antar värden i intervallet ( π/2, π/2), får vi således arctan y, om x 0 x θ = (2.22) arctan y + π, om x < 0 x Det komplexa konjugatet z till z = x + jy defineras som z = x jy (2.23) Ur definitionen följer att z = z och arg z = arg z (jfr figur 2.2). Det följer att det kompexa konjugatet till z = z e jθ har den polära formen z = z e jθ, θ = arg z (2.24) Den komplexa exponentialfunktionen. Sambandet (2.18) mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen kan härledas på följande sätt. Låt det komplexa talet e jθ ha den reella komponenten u(θ) och den imaginära komponenten jv(θ), e jθ = u(θ) + jv(θ) Komponenterna u(θ) och v(θ) kan bestämmas genom att observera att för θ = 0 gäller vilket ger Derivatan av e jθ ges av Vi har å andra sidan också e j 0 = 1 u(0) = 1, v(0) = 0 de jθ dθ = jejθ = ju(θ) v(θ) de jθ dθ = du(θ) + j dv(θ) dθ dθ varav följer att komponenterna u(θ) och v(θ) satisfierar du(θ) = v(θ), u(0) = 1 dθ dv(θ) = u(θ), v(0) = 0 dθ 16

1 = e j(π+2πn) e jθ Im 1 θ j = e j(π/2+2πn) 1 = e j2πn Re j = e j(3π/2+2πn) Figur 2.3: Den komplexa exponentialfunktionen e jθ i det komplexa talplanet. Det ses enkelt att de funktioner som uppfyller dessa samband är Vi har således visat, att u(θ) = cos(θ), v(θ) = sin(θ) e jθ = cos θ + j sin θ (2.25) En alternativ demonstration av sambandet ges i anmärkning 2.1 i slutet av kapitlet. Sambandet (2.25) mellan den komplexa exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna kallas Eulers formel. Omvänt kan de trigonometriska funktionerna cos θ och sin θ uttryckas med hjälp av av den komplexa exponentialfunktionen. Detta åstadkoms genom att observera att e jθ = cos( θ) + j sin( θ) = cos θ j sin θ (2.26) Addition och subtraktion av (2.25) och (2.26) samt lösning i avseende å cos θ respektive sin θ ger de inversa sambanden cos θ = 1 2 (ejθ + e jθ ) (2.27) sin θ = 1 2j (ejθ e jθ ) (2.28) 17

Vi skall ännu notera några nyttiga egenskaper hos den komplexa exponentialfunktionen e jθ. Från (2.25) följer e jθ = (cos θ) 2 + (sin θ) 2 = 1 (2.29) arg e jθ = θ (2.30) Den komplexa exponentialfunktionen definierar således alla de komplexa tal som ligger på enhetscirkeln i det komplexa talpanet, jfr figur 2.3. Speciellt gäller att e j 0 = 1 e jπ/2 = j e jπ = 1 e j3π/2 = j Eftersom sinus- och cosinusfunktionerna, och därmed även e jθ, är periodiska med perioden 2π, gäller dessutom e j2πn = 1 e j(π/2+2πn) = j e j(π+2πn) = 1 e j(3π/2+2πn) = j där n är ett godtyckligt heltal, n = 0, ±1, ±2,.... Anmärkning 2.1. Sambandet (2.25) kan också inses på följande sätt. Observera att de trigonometriska funktionerna kan Taylor-serieutvecklas enligt Det följer att cos θ = 1 1 2! θ2 + 1 4! θ4 + ( 1) k 1 (2k)! θ2k + sin θ = θ 1 3! θ3 + 1 5! θ5 + ( 1) k 1 (2k + 1)! θ2k+1 + (2.31) cos θ + j sin θ = 1 1 2! θ2 + 1 4! θ4 ( +j θ 1 3! θ3 + 1 ) 5! θ5 = 1 + jθ + 1 2! (jθ)2 + 1 3! (jθ)3 + 1 4! (jθ)4 + 1 5! (jθ)5 + (2.32) 18

Å andra sidan ger en Taylor-serieutveckling av den komplexa exponentialfunktionen e jθ, e jθ = 1 + jθ + 1 2! (jθ)2 + 1 3! (jθ)3 Funktionerna i (2.32) och (2.33) är således identiska. + 1 4! (jθ)4 + 1 5! (jθ)5 + (2.33) 19