TSRT9 Reglerteori Föreläsning : Exakt linjärisering och prestandagränser Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Sammanfattning av föreläsning Fasplan Fasplan: figur som visar tillståndens banor i tillståndsrummet (främst i 2D) Starta systemet från ett gäng initialtillstånd och rita hur tillstånden varierar i x - -planet 8 6 4 2 2 4 6 8 t=s 5 5 x Givet ett linjärt system ẋ = Ax och matrisen A:s egenvektorer och egenvärden så kan systemets fasplan skissas, utan att faktiskt starta systemet från ett antal initialtillstånd Kan ofta användas för att beskriva ett olinjärt systems beteende tillräckligt nära en jämviktspunkt Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 32 Olika typer av jämviktspunkter Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 32 Samband linjärt olinjärt: nära jämviktspunkt Tvåtangentnod (två reella ev lika tecken) Sadelpunkt Entangentnod och stjärnnod (sammanfallande ev) Fokus och centrum Om det linjära systemet ẋ = Ax har en jämviktspunkt av typen en/tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt för x =så har det olinjära systemet ẋ = Ax + g(x), g(x) / x, x samma kvalitativa uppförande nära origo (så snart lösningen befinner sig tillräckligt nära ) (två reella ev olika tecken) (komplexa egenvärden)
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 32 Tolkning av box-exemplet x position, hastighet Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 32 Tolkning av box-exemplet x position, hastighet 2 2 2 2 5 5 A B 5 5 A C B 5 5 A B 5 5 A C B 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 x 2 2 2 K d = (vänster) respektive K d =2 (höger) Området A B motsvaras av att boxen åker med på bandet Kraften från regulatorn växer när boxen avlägsnar sig från x =, till slut blir den så stor att den statiska friktionen släpper (B) och den rör sig med en annan hastighet än bandets x 2 2 2 x 2 2 2 När den rör sig fritt gäller den dynamiska friktionen Antingen stannar boxen i x =, =(följer spiralen) Eller så kan den åter fångas av bandets statiska friktion och upprepa proceduren Limit cycle : B C B x Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 5 / 32 Föreläsning Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 6 / 32 Syntes för olinjära system Syntes för olinjära system Exakt linjärisering Begränsningar och konflikter Linjär design, olinjär verifikation Olinjär IMC Prediktionsreglering Optimal styrning Exakt linjärisering
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 7 / 32 Linjär design, olinjär verifikation Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 8 / 32 Prediktionsreglering: MPC Bestäm en jämviktspunkt Gör linjärisering kring jämviktspunkten Använd linjära metoder (tex LQG) för att ta fram en linjär regulator för det linjäriserade systemet Simulera det olinjära systemet med den linjära regulatorn Verifiera att det fungerar tillfredsställande Använd eventuellt analysmetoder (tex beskrivande funktion) för att kontrollera att olinjäriteterna inte ger problem För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem min T (x T Q x + u T Q 2 u) dt x(t +)=Ax(t)+Bu(t) u i (t) a i, x j (t) b j I MPC införs två förenklingar av problemet: Gör optimeringen över ett ändligt glidande intervall Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis konstant styrsignal (även tidskont MPC förekommer dock) Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 8 / 32 Prediktionsreglering: MPC För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem min T (x T Q x + u T Q 2 u) dt x(t +)=Ax(t)+Bu(t) u i (t) a i, x j (t) b j Insignal- och tillståndsbivillkor möjliga Principen fungerar även för olinjära system Det är förhållandevis svårt att beräkna en explicit återkoppling, redan i det linjära fallet Se även kurserna Industriell reglerteknik och Optimal styrning Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 9 / 32 Optimal styrning Minimera för systemet L(x, u)dt ẋ = f(x, u) Mycket kraftfull metod för att beräkna regulatorer I vissa (special-) fall analytisk lösning, i andra fall numerisk Potentiellt mycket beräkningstungt MPC kan ses som ett approximativt sätt att lösa optimalstyrningsproblem på Se kursen Optimal styrning Goddards raketproblem
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Exakt linjärisering: Mekanik Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Exakt linjärisering: Mekanik x läge, hastighet: ẋ = ẋ 2 = k(x ) b( )+u där k(x ) är en olinjär lägesberoende kraft ( fjäder, gravitation, mm) m = u x x läge, hastighet: Testa med ẋ = ẋ 2 = k(x ) b( )+u m = u x b( ) är en olinjär hastighetsberoende kraft ( dämpning, friktion) u =ū + k(x )+b( ) u insignal Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Exakt linjärisering: Mekanik Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan u =ū + k(x )+b( ) m = u x hastighet, motordragkraft: ger ett linjärt system x ẋ = D(x )+ ẋ 2 = + u ẋ = ẋ 2 =ū där D(x ) är kraften från luftmotståndet med en ny virtuell insignal ū u är motorpådraget Systemet är exakt linjäriserat!
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 32 Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 32 Två nivåer av exakt linjärisering x hastighet, motordragkraft: ẋ = D(x )+ ẋ 2 = + u Hur ska man här välja u för att exakt linjärisera systemet? Inte lika rättframt En mer generell teori behövs! Exakt insignal-utsignal-linjärisering: Återkoppla så att sambandet mellan referens/insignal och y blir exakt linjärt Exakt tillståndslinjärisering: Återkoppla så att hela tillståndsbeskrivningen blir exakt linjär (eventuellt i transformerade variabler) Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 32 Styrsignalaffin form Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 4 / 32 Hur beror y på u? Ett olinjärt system på formen ẋ = f(x)+ug(x) y = h(x) där f, g och h antas vara (potentiellt olinjära) oändligt många gånger deriverbara funktioner u och y antas (här) vara skalärer Vi kräver alltså en viss förenklande struktur på hur u kommer in i systemet ẋ = f(x)+ug(x) y = h(x) För att kunna linjärisera relationen mellan u och y vill vi få ett explicit uttryck för den y = h(x) innehåller det inte Derivera! ẏ = h x f + uh x g Hittat relationen om h x g ÿ =(h x f) x f + u(h x f) x g Hittat relationen om (h x f) x g y (3) =((h x f) x f) x f + u((h x f) x f) x g Hittat relationen om ((h x f) x f) x g y (4) =
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 5 / 32 Relativt gradtal Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 6 / 32 Lie-derivator och relativt gradtal ẋ = f(x)+ug(x) y = h(x) Derivera utsignalen y map tiden Då är relativt gradtal antalet gånger utsignalen måste deriveras innan ett direkt beroende av insignalen uppkommer minsta ν för vilket y (ν) = r ν (x)+us ν (x) med s ν (x) Starkt relativt gradtal, om dessutom s ν (x), x En kompaktare notation kan fås genom att införa L f = f + + f n x x n där L f kallas för Lie-derivatan i riktningen f Definition: Det relativa gradtalet är det minsta heltalet ν sådant att L g L ν f h Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 7 / 32 Exakt insignal-utsignal-linjärisering Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 8 / 32 Exakt tillståndslinjärisering Betrakta ett system med starkt relativt gradtal ν Då gäller y (ν) = L ν f h + ul gl ν f h, där L g L ν f h Sambandet mellan en ny virtuell insignal ū och utsignalen y kan göras linjärt genom att välja u = Det linjära sambandet blir L g L ν f h (ū Lν f h) y (ν) =ū Linjärisera inte bara insignal-utsignal-relationen, utan hela tillståndsbeskrivningen Sats: Om systemet ẋ = f(x)+ug(x) y = h(x) har starkt relativt gradtal = n =dim(x) så finns en (olinjär) tillståndsåterkoppling som gör systemet exakt linjärt i tillstånden Bevis z = y, z 2 =ẏ,z n = y (n )
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 9 / 32 Det finns ett men Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 9 / 32 Det finns ett men och det uppstår om det relativa gradtalet ν<n ż = z 2 ż 2 = z 3 ż ν = r ż ν+ = ψ (z,(r ξ)/η) ż n = ψ n ν (z,(r ξ)/η) y = z och det uppstår om det relativa gradtalet ν<n ż = z 2 ż 2 = z 3 ż ν = r ż ν+ = ψ (z,(r ξ)/η) ż n = ψ n ν (z,(r ξ)/η) y = z Nolldynamik Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 32 Nolldynamik Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 2 / 32 Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan ż = z 2 ż 2 = z 3 ż ν = r ż ν+ = ψ (z, (r ξ)/η) ż n= ψ n ν (z, (r ξ)/η) y = z x hastighet, motordragkraft: ẋ = D(x )+ ẋ 2 = + u Hur ska man här välja u för att exakt linjärisera systemet? Olinjär dynamik som inte syns i utsignalen Är den stabil är den inget problem, är den instabil fungerar inte den föreslagna linjäriseringen Ibland kan man bli av med nolldynamiken genom att välja en annan utsignal
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 22 / 32 Slutligen Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 23 / 32 Bara möjlig för vissa klasser av system Ofta komplicerade beräkningar Styrsignalbegränsning en svårighet Robusthet svår att analysera (olinjär teori) Trots det åtskilliga framgångsrika tillämpningar Slut på Olinjära delen Åter till Begränsningar och konflikter för linjära system (Kap 7) Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 24 / 32 DEL II: LINJÄR REGLERTEORI Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 25 / 32 Begränsningar och konflikter Föreläsning 4: Det slutna systemet Föreläsning 5: Regulatorstrukturer Föreläsning 6: LQ-reglering Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen Föreläsning -2: Specifikationer och begränsningar Kompromiss mellan S och T, Bodes relation Hur liten kan S bli?
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 26 / 32 Kompromiss mellan S och T Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 27 / 32 Hur snabbt kan GF y ändras? S + T = S och T är entydigt bestämda av kretsförstärkningen GF y För ett litet tal ε gäller approximativt S <ε GF y > ε T <ε GF y <ε dvs S och T kan inte vara små samtidigt Typiskt önskemål: S liten vid låga frekvenser och T liten vid höga frekvenser Hur snabbt kan man gå från litet S till litet T? ɛ ɛ GF y Hur litet kan ω ω bli? ω ω c ω ω Ett samband mellan amplitud och fas hos överföringsfunktioner (tex GF y ) förhindrar oss att göra en godtyckligt brant övergång Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 28 / 32 Bodes relation Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 29 / 32 Bodes relation mellan tummen och pekfingret Sats: Låt f(x) =log G(ie x ) Under antagandena i Sats 7 (sid 2) gäller att arg G(iω) π där viktsfunktionen ψ ges av d f(x) ψ(x log ω)dx dx ψ(x) =log ex + e x Olikheten håller med likhet om G(s) saknar nollställen i HHP Notera att satsen ger en övre gräns på fasen, som beror på amplitudkurvans derivata Approximativt kan Bodes relation skrivas som arg G(iω)F (iω) < π d log G(iω)F (iω) 2 d log ω }{{} Lutningen i bodediagrammet för överföringsfunktionen G(iω)F (iω) (kretsförstärkningen) Konsekvens: Snabbt avtagande G(iω)F (iω) ger dålig fas Fasen kring ω c måste enl nyquistkriteriet vara bättre än 8, dvs amplitudkurvan får inte falla snabbare än lutning 2 kring ω c om systemet ska vara stabilt
Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 32 Begränsningar på S, Bodes integral Antag att kretsförstärkningen GF y har M poler i höger halvplan: p i ; i =,,M och att GF y avtar åtminstone som s 2 då s Då gäller skalärt Flervariabelt: log S(iω) dω = π M Re(p i ) i= log det S(iω) dω = π M Re(p i ) där det S = σ σ m Konsekvens för största singulära värdet: i= Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 3 / 32 Invariansegenskap hos S S Bodes integralsats 2 3 4 5 6 7 8 9 w log σ(s(iω))dω π m M Re(p i ) i= Känslighet S(iω) < vid vissa frekvenser måste betalas igen med S(iω) > vid andra Är GF y instabil blir situationen värre Reglerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill 32 / 32 Konsekvenser av Bodes integral Stabila system: Känsligheten kan inte vara < vid alla frekvenser Poler till GF y i höger halvplan försämrar känsligheten Återbetalning av log S(iω) måste ske inom tillgänglig bandbredd! Obs! Vi förutsätter att GF y avtar minst som s 2 för stora s Ren LQ-återkoppling åstadkommer S < vid alla frekvenser men där avtar GF y bara som s (Man antar ideal mätning) Daniel Axehill Reglerteori 27, Föreläsning (ver 6) wwwliuse