2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen y(t) beror av C:s laddning Q(t): y(t) = Q(t) C Strömmen i(t) transporterar laddning till C: i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt Strömmen ger ett förhållande mellan x(t) och y(t): () (2) Kombineras ekvationerna (2) och (3) fås x(t) = y(t) + i(t)r (3) RC x(t) = dy(t) y(t) + (4) RC dt Denna differentialekvation kan lösas med hjälp av integrerande faktor: multiplicera båda sidor i ekvation (4) med exp(t/rc) och skriv om högerledet. RC e RC t x(t) = d ( y(t)e t) RC (5) dt Om vi förutsätter att x() = y() = kan vi lösa ekvation (5) genom att integrera båda sidor från τ = till τ = t. y(t)e RC t = t RC e RC τ x(τ)dτ (6) 2
y(t) = t RC e RC (t τ) x(τ)dτ (7) Om x(t) = och h(t) = för t < kan vi se att ekvation (7) är en faltning: där impulssvaret h(t) ges av y(t) = h(t) = t h(t τ)x(τ)dτ (8) { RC e RC t, t, t < Faltning är en linjär operation och därför är kretsen ett linjärt system. Vi har sett till att impulssvaret är kausalt, men vi kan också konstatera att systemet är dynamiskt och stabilt (h(t) absolut integrerbart). 2.2 Sinussignaler 2.2. En sinus på ingången Beräkna utsignalen y(t) från ett stabilt LTI-system med impulssvar h(t), då insignalen är en sinusvåg. Vad skiljer y(t) och x(t) åt? Hur liknar de varandra? (9) x(t) = sin(ωt) () För kontinuerliga LTI-system använder vi faltningsintegralen: y(t) = = = h(τ) sin (ω[t τ]) dτ h(τ) [sin(ωt) cos(ωτ) cos(ωt) sin(ωτ)] dτ h(τ) cos(ωτ)dτ sin(ωt) h(τ) sin(ωτ)dτ cos(ωt) () 3
Impulssvar från insignal-utsignalstabila LTI-system har egenskapen h(t) dt = K < (2) Därför kan vi sluta oss till att integralerna i sista steget i ekvation () konvergerar. Vi definierar K c (h, ω) K s (h, ω) h(τ) cos(ωτ)dτ h(τ) sin(ωτ)dτ (3) Eftersom en summa av sinus- och cosinusfunktioner av samma frekvens också är en sinusfunktion kan vi skriva om sista ledet i ekvation () (se βeta): y(t) = K c (h, ω) sin(ωt) K s (h, ω) cos(ωt) = ( ( Kc 2 (h, ω) + Ks 2 (h, ω) sin ωt + arctan K )) s(h, ω) K c (h, ω) A(h, ω) sin (ωt + φ(h, ω)) (4) Man brukar benämna A(h, ω) systemets frekvensgång, och φ(h, ω) systemets fasgång. Vid en jämförelse mellan in- och utsignal kan vi se att:. Amplituden har förändrats. Förändringen beror på impulssvaret h(t) och vinkelfrekvensen ω. 2. Fasen har förskjutits. Förskjutningen beror på impulssvaret h(t) och vinkelfrekvensen ω. 3. In- och utsignal har samma vinkelfrekvens. Vi får alltså ut en signal med samma form som insignalen. (Tanken med denna uppgift var att visa denna viktiga egenskap, inte härleda de specifika formlerna för A och φ.) Tänk på att detta gäller enbart för linjära system och sinus-signaler. Olinjära system spottar ur sig andra sinusfrekvenser än den på ingången. Ett linjärt system förvränger generellt andra signaler, t.ex. en fyrkantvåg. 2.2.2 Ett förenklat pianoackord Vi ser tonerna från ett piano som en insignal x(t). En enkel modell av signalen är x(t) = K a k sin(ω k t) (5) k= 4
där vi har tagit med K rena toner. Ljudet passerar ett rum innan det når lyssnaren. Rummets akustik beskrivs av impulssvaret h(t) (dämpning, ekon, m.m.). Vad hör lyssnaren, d.v.s. vad blir y(t)? Antag att h(t) beskriver ett LTI-system. Under antagandet att rumsakustiken är linjär kan vi som vanligt skriva y(t) = h(t) x(t). Linjäriteten medför att superpositionsprincipen gäller: vi kan köra varje oskalad insignal sin(ω k t) genom systemet och sedan skala och summera utsignalerna. K K y(t) = y k (t) = k= k= a k h(τ) sin(ω k [t τ])dτ (6) Integralen i ekvation (6) löste vi i uppgift 2.2.. Använder vi resultatet från ekvation (4) får vi y(t) = K A(h, ω k ) sin(ω k t + φ(h, ω k )) (7) k= Vad lyssnaren hör beror alltså på hur rummet dämpar olika toner (genom A) och hur tonerna förskjuts (genom φ). Poängen är att A(h, ω) och φ(h, ω) tillsammans beskriver systemet då insignalen består av sinussignaler. I dessa fall innehåller A och φ samma information som h(t). Som exempel kan vi ta en situation där tonerna från pianot går helt opåverkade till lyssnarens öra (inga ekon, ingen dämpning). Däremot sker en liten tidsfördröjning T på grund av ljudets ändliga hastighet. Detta motsvarar impulssvaret i figur 2. h(t) T t Figur 2: Tidsfördröjning av ljud. Integralerna i ekvation (3) kollapsar då till K c (h, ω) = cos(ωt ) K s (h, ω) = sin(ωt ) (8) 5
och vi får A(ω) = φ(ω) = ωt (9) Denna rumsakustik dämpar inte någon sinusfrekvens, men inför en fasförskjutning som motsvarar tidsfördröjningen. 2.2.3 Frekvensgång Ett LTI-systems frekvensgång A(ω) (som beskriver förändringen av sinussignalers amplitud) bestäms av impulssvaret h(t). Beräkna frekvensgången A(ω) för systemet, t < h(t) =, t (2), t > Utgå gärna från resultatet från uppgifterna 2.2. och 2.2.2. Vi behöver beräkna integralerna i ekvation (3): K c (h, ω) = K s (h, ω) = = sin(ω) ω cos(ωt)dt sin(ωt)dt = cos(ω) ω (2) Frekvensgången systemets dämpning (eller förstärkning) av amplituden hos sinussignaler kan nu beräknas med hjälp av ekvation (4). A(ω) = sin 2 (ω) + cos ω 2 (ω) + 2 cos(ω) 2 = cos(ω) (22) ω Denna frekvensgång visas i figur 3. Här kan vi se att systemet behandlar olika frekvenser olika. Till exempel dödar det alla signaler av typen sin(n2πt), n. Generellt föredrar det också låga frekvenser framför höga. Vi har ett filter! 6
A(w).8.6.4.2 3 2 2 3 w Figur 3: Filter med rektangulärt impulssvar. 2.2.4 Sinusar i fyrkant Gör en första ordningens fourierapproximation av fyrkantvågen x(t) i figur 4. Beteckna perioden T. x(t) t - Figur 4: Fyrkantvåg med amplitud och period T. Fyrkantvågen x(t) är en periodisk signal som uppfyller Dirichlets villkor (se ekvation (3.2), sidan 77 i Svärdström). Alltså kan vi skriva den som en oändlig summa av sinusfunktioner: en fourierserie. x(t) = A n cos(nω t) + B n sin(nω t) (23) n= Fourier kom helt enkelt på att periodiska funktioner går att bygga av sinusfunktioner. Det som varierar för olika funktioner är ω, A n och B n : 7
ω = 2π T A n = 2 T T /2 x(t) cos(nω t)dt B n = 2 T T /2 T /2 T /2 x(t) sin(nω t)dt (24) Koefficienterna A n och B n säger hur mycket x(t) liknar cos(nω t) respektive sin(nω t). En första ordningens approximation innebär att vi tar med termer upp t.o.m. n = (vi använder de grundläggande byggstenarna). ˆx (t) = A n cos(nω t) + B n sin(nω t) n= = A + A cos(ω t) + B sin(ω t) (25) Räknar vi ut likhetskoefficienterna med hjälp av ekvation (24) får vi A = 2 T T /2 x(t)dt = A = 2 T T /2 T /2 T /2 x(t) cos(ω t)dt = 4 π B = 2 T T /2 x(t) sin(ω t)dt T /2 = (26) Koefficienten A säger hur mycket likspänning som finns i x(t) i det här fallet ingen. Koefficienten B blir noll eftersom x(t) är en jämn funktion medan sin(ω t) är en udda funktion (x(t) liknar inte en udda funktion alls). Se figur 5. ˆx (t) = 4 π cos(ω t) (27) 8
.5.5. 5. 5 -T T Figur 5: Första ordningens fourierapproximation av fyrkantvåg. Reflektion : Efter uppgifterna 2.2. 2.2.4 kan vi konstatera följande:. Vi kan bygga periodiska funktioner som summor av sinussignaler. 2. Vi kan från impulssvaret h(t) räkna ut hur sinussignaler och summor av sinussignaler påverkas av ett LTI-system. Här kan man ana betydelsen av frekvensdomänen. Vi har en ekvivalent beskrivning av signaler och system som är oberoende av t. Problemet nu är att inga verkliga signaler är strikt periodiska. Det är här fouriertransformen kommer in i bilden. En icke-periodisk signal kan ses som en periodisk signal där T. Fourierserien övergår då till en integral (se sidan 85 i Svärdström). Kravet är att x(t) är en energisignal, d.v.s. har ändlig energi. 2.2.5 Signal i frekvensdomänen Hur ser följande signal, ekvation (28), ut i frekvensdomänen? Med andra ord: Vilka sinusar behövs för att bygga den, och hur mycket av varje?, t < x(t) =, t 2 (28), t > 2 Signalen är inte periodisk, så den går inte att skriva som en fourierserie. Däremot kan vi tillämpa fouriertransformen eftersom x(t) är en energisignal: Under förutsättningen att Dirichlets villkor är uppfyllda. 9
Vi transformerar x(t) till frekvensdomänen: x 2 (t)dt = < (29) X(ω) = = 2 x(t)e jωt dt e jωt dt = [ e jωt ] 2 jω = [ e jω e j2ω] jω = 2 [ e jω/2 e jω/2 ] e j3ω/2 ω 2j = sin(ω/2) e j3ω/2 (3) ω/2 Transformen X(ω) innehåller information om både amplitud och fas för de sinusvågor som behövs. X(ω) = sin(ω/2) ω/2 φ(ω) = 3 2 ω (3) Det räcker alltså inte med att veta hur mycket av varje frekvens vi behöver fasen behövs också. Tillsammans beskriver de x(t) (se figur 6). Reflektion 2: När vi i uppgift.2. räknade ut hur ett LTI-system påverkade sinussignaler utgick vi från impulssvaret h(t). Ta en titt på ekvationerna (3) och (4): det vi gjorde (utan att veta om det) var att fouriertransformera h(t)! 2 Jämför med ekvationerna (3.52) och (3.53) på sidan 95 i Svärdström. Beroende på vad vi vill göra med ett LTI-system kan vi välja domän. Övergången via fouriertransformen illustreras i figur 7. Vi kallar H(ω) för systemets frekvenssvar, H(ω) för systemets frekvensgång och φ(ω) = arg(h(w)) för systemets fasgång. När det gäller signaler pratar vi om spektrum (X(ω)), amplitudspektrum ( X(ω) ) och fasspektrum (φ(ω)). 2 Det går att se med hjälp av Eulers formel, exp( jωt) = cos(ωt) j sin(ωt).
X(w).5-3 -2-2 3 (a) 5 fi(w) w -5-3 -2-2 3 (b) w Figur 6: Frekvensinnehåll i rektangulär puls. x(t) h(t) y(t)=h(t) x(t) * F F - X(w) H(w) Y(w)=H(w)X(w) Figur 7: Ekvivalens mellan frekvens- och tidsdomän för LTI-system. 2.2.6 Ideal lågpass Beräkna impulssvaret för ett idealt lågpassfilter som tar bort alla frekvenser över 2 Hz. Tänk på att impulssvaret ska vara reellt! Hur kan vi realisera detta filter? Ett idealt filter tar bort alla oönskade frekvenser fullständigt, medan de önskade inte påverkas alls (varken till fas eller amplitud 3. Alltså vill vi ha {, ω 2π 2 H(ω) = (32), ω > 2π 2 Men, fouriertransformen arbetar också med negativa ω. Frekvenssvaret H(ω) måste specificeras för alla ω för ett entydigt impulssvar ska hittas. Ett impulssvar (eller signal) som är reell i tidsdomänen måste ha symmetrisk frekvensgång (symmetriskt spektrum). Låt ω g beteckna gränsfrekvensen 2π 2 rad/s. 3 Svärdström skriver att det ska vara kausalt och faslinjärt. Det verkar finnas olika definitioner.
{, ω ωg H(ω) = (33), ω > ω g Impulssvaret fås via den inversa fouriertransformen h(t) = 2π ω g = 2π ω g H(ω)e jωt dt e jωt dt ] ωg = [ 2π jt ejωt ω g = [ e jω gt e jωgt ] πt 2j = sin(ω gt) πt (34) Som vanligt säger en bild mer än tusen formler. Figur 8 visar en del av impulssvaret för det ideala filtret. Hur ska vi då realisera det här filtret? Det går inte! Impulssvaret är som synes icke-kausalt och filtret kan därför inte byggas. Som beteckningen idealt filter antyder. 45 h(t) 4 35 3 25 2 5 5 5.3.2...2.3 t Figur 8: Impulssvar för idealt lågpassfilter. 2