Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist
Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon
Gränsvärde av f (x) då x + Definition med ord Vi säger att funktionen f har gränsvärdet A då x går mot plus oändligheten om avståndet mellan f(x) och A blir godtyckligt litet för tillräckligt stora x. Vi ska snart ge en mer matematisk definition, men först tittar vi på ett par exempel.
grafisk intuition Graferna i nedanstående figurer visar två exempel där funktionen har gränsvärdet 2 då x går mot plus oändligheten. y 2 x y 2 x Observera att man ej kan bevisa att gränsvärde föreligger med hjälp av figur!
Gränsvärde av f (x) då x + Definition 9.1 Vi säger att funktionen f har gränsvärdet A då x går mot + om det för varje ε > 0 finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi x D f } f(x) A < ε. x > ω eller f(x) = x + A f(x) A då x +. OBS Talet ω i definitionen beror i allmänhet på ε.
Visa, med hjälp av gränsvärdesdefinitionen, att 3x + 1 x + x = 3. y 3 x
Illustration av exemplet y 3+ε 3 3-ε ω x
Funktion som saknar gränsvärde Funktionen f(x) = sin x saknar gränsvärde då x +. Det gäller ju (till exempel) att sin( 1 π + 2πk) = 1, 2 k sin( 1 π + 2πk) = 1, 2 k Z Z så sin kan inte närma sig ett värde då x +. y x
Gränsvärde av f (x) då x Definition 9.1 Vi säger att funktionen f har gränsvärdet A då x går mot om det för varje ε > 0 finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi eller x D f } f(x) A < ε. x < ω x f(x) = A f(x) A då x. y 2 x
Godtyckligt stora funktioner Låt f(x) = x 2. Då gäller det att f växer över alla gränser då x blir stort. Hur formaliserar vi det? y x
Oegentligt gränsvärde + då x + Definition 9.2 Vi säger att funktionen f har det oegentliga gränsvärdet + då x går mot + om det för varje tal K finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi x D f } f(x) > K. x > ω eller f(x) = + x + f(x) + då x +.
x 2 + då x + Det gäller att x + x2 = +. y K ω K x
Oegentligt gränsvärde då x + Definition 9.2 Vi säger att funktionen f har det oegentliga gränsvärdet då x går mot + om det för varje tal K finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi eller x D f } f(x) < K. x > ω f(x) = x + f(x) då x +. Det gäller att x 2 då x +.
Oegentligt gränsvärde + då x Definition 9.2 Vi säger att funktionen f har det oegentliga gränsvärdet + då x går mot om det för varje tal K finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi x D f } f(x) > K. x < ω eller f(x) = + x f(x) + då x. Det gäller att x 2 + då x.
Oegentligt gränsvärde då x Definition 9.2 Vi säger att funktionen f har det oegentliga gränsvärdet då x går mot om det för varje tal K finns ett tal ω sådant att I förekommande fall skriver vi eller x D f } f(x) < K. x < ω f(x) = x f(x) då x. Det gäller att x 2 då x.
Instängning Sats 9.4 Antag att funktionerna f och g uppfyller f(x) g(x) för alla x D f. Då gäller det att g(x) = + x + f(x) = +. x + Det gäller att x + x = +. Det gäller att x + e x = +. Det gäller att x + ln x = +.
Standardgränsvärden Sats ((9.1) (9.3)) Då x + gäller det att x α { + α > 0 0 α < 0 a x { + a > 1 0 0 < a < 1 a log x + (om a > 1). Antag nu att α > 0 och a > 1. Vad växer snabbast då x + av x α, a x, eller a log x? Svaret kommer snart, men först tittar vi på några räkneregler och exempel.
Räkneregler Sats 9.1 Antag att x + f(x) = A och x + g(x) = B (där A och B är reella tal). Då gäller (f(x) + g(x)) = A + B x + f(x)g(x) = AB x + x + f(x) g(x) = A B, om B 0 Sats 9.2 Antag att x + f(x) = A och x + g(x) = + (här kan A även få vara ± ). Då gäller f(g(x)) = A. x +
9.7 Beräkna x + (5x2 x 4 ). Beräkna x 3x. 9.8 Beräkna x 2 + 3x x. x + Beräkna 9.9 Givet att x + arctan x = π/2, visa att x + 3x 2 + x 2x 2 x + 1. x + arctan(ln x) = π 2.
Standardgränsvärden Sats 9.3 x + x + Antag att a > 1 och α > 0. Då gäller: a x x α = + x α a log x = + Sensmoral Exponentialfunktioner dominerar potensfunktioner som i sin tur dominerar logaritmfunktioner.
9.10 Det gäller att e x x + x = +, 2 x + x ln x = +. 9.10 Beräkna x + e x + ln x 3e x + x 2.
Instängning Sats 9.5 Antag att för alla x D f. Om så är g 1 (x) f(x) g 2 (x) x + g 1(x) = x + g 2(x) = A f(x) = A. x +
sin x 9.13 Visa att x + x = 0. y x
Talet e Definition 9.3 e = x + (1 + 1 x )x. Kommentarer e = 2.718281828459045 är irrationellt. Existensen av gränsvärdet bygger på Sats 9.6: Varje växande, uppåt begränsad funktion f har ett ändligt gränsvärde då x +. Det gäller även att (se 9.14) e = x (1 + 1 x )x.
Grafen till (1 + 1/x) x y e x