Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

Relevanta dokument
TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

TILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Matematisk statistik

1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem

Tiden i ett tillstånd

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00

Matematisk statistik

a) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

Fö relä sning 2, Kö system 2015

2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

Tentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

betecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)

IV. Ekvationslösning och inversa funktioner

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

Markovprocesser SF1904

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:

BILAGA 1 ÄNDRINGAR I BERÄKNINGSGRUNDERNA FÖR PENSIONSSTIFTELSER SOM BEDRIVER VERKSAMHET ENLIGT LAGEN OM PENSION FÖR ARBETSTAGARE

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

Deltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2

INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

Performance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018

Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Svar till tentan

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt1 2012

Performance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson

Simulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

Analys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Föreläsningsanteckningar köteori

Blandade problem från elektro- och datateknik

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

TMS136. Föreläsning 4

Lösningar till Matematisk analys

Stokastiska variabler

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder

1. Du slår en tärning två gånger. Låt A vara händelsen att det första kastet blir en sexa och låt B vara händelsen att summan av kasten blir sju.

1 Föreläsning 14, följder och serier

Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade

Optimering av ett kösystem på IKEA Kungens Kurva

Betygsgränser: För (betyg Fx).

Modellering och kundprocessanalys av kösystem på Vapiano Sturegatan

2. Vid konsumtionen av varorna X och Y har en person nyttofunktionen

1 Föreläsning II, Vecka I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

Talmängder. Vi använder följande beteckningar för s.k. standardtalmängder:

Analys av polynomfunktioner

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Föreläsning 12: Repetition

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Transkript:

M/M/ ösystem M/M/ ösystem Ett M/M/ betjäningssystem har följande egensaper:. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde x =.. Kunder anommer enligt Poissonprocess med anomstintensiteten under per tidsenhet.. Obegränsat antal öplatser M/M/ ösystem Anommande under ön betjänare Avgående under Anomstintensitet = betjäningsintensitet = Obegränsat antal öplatser (ingen und avvisas) = Figur. ------------------------------------------------------------------------ Figur. Tillståndsgraf för ett M/M/ ösystem. ------------------------------------------------------------------------ Sida av 8

M/M/ ösystem Betecningar: Medelantal under i systemet, = q + s q s Medelantal under i ön Medelantal under i betjänarna x~ Betjäningstid för en und (stoastis variabel ) x Medel betjäningstid för en und, x = E (x ~ ) w ~ Väntetid (=tid i ö) för en und (stoastis variabel ) W Medel väntetid för en und, W = E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en und; ~ s = ~ x + w ~ T Medel totaltid i systemet för en und T = E(s ~ ), T = W + x Anomstintensitet Effetiv anomstintensitet Betjäningsintensitet Erbjuden trafi, = p Stationära sannoliheter; p är sannoliheten för under i systemet ågra formler för ett M/M/ ösystem: I ett M/M/ ösystem är > (annars bildas en obegränsad ö) = q + s T = W + x x = p p = p = =, T = Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ s t P( ~ ( ) = s t) = e Littles formler: Sida av 8

M/M/ ösystem = T (I ett M/M/ system =, eftersom ingen und avvisas) q s = W = x ÖVIGSUPPGIFTER: Uppgift. I ett M/M/ system är betjäningsintensiteten = under /minut. Medelantal under i systemet är = under. a) Härled formeln = b) Beräna anomstintensiteten och medelväntetiden i ön W. Lösning a) I ett M/M/ system gäller För att härleda formeln = ( ) = (*) p = där = = använder vi att ( som vi får genom derivering av den geometrisa serien = ) = Medel antal under i ett M/M/ system blir då = = = p p p = = = = [enligt p = ( ) =. ( ) ( ) Svar b) = 5, W=.5 minuter (=9 seunder) (*)] Uppgift. I ett M/M/ system är betjäningsintensiteten = under /minut. Medel totaltid i systemet är T = minuter. a) Härled formeln T = ( Börja med formeln = och använd Littles formel ) b) Beräna anomstintensiteten, och medelbetjäningstiden x. Svar: b) = 9. 6666, =9, x =. minuter Uppgift. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten = meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 5 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( Sida av 8

M/M/ ösystem Beräna a) b) c ) x d) e) T f) W g) q Svar: a) =/5= meddelande per seund b) =/ c ) x =/ s d) = e) T =/ s f) W =/ s g) q =/ Uppgift 4. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =4 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir T= seund. Bestäm för detta K: b) c) d) x e) W Lösning a) Vi sa använda seund som tidsenhet. Vi har =4 meddelanden/minut =4 meddelanden/seund. Betjäningsintensitet som rävs för att få T= bestämmer vi med hjälp av formeln T = som ger = 4 = = 4 4. Alltså för att få T=s rävs det betjäningsintensitet = 4meddelande per seund. Eftersom meddelande har i genomsnitt bitar drar vi slutsats att vi behöver en överföringsapacitet med minst K= 4 =4 bitar per seund. Svar: a) K= 4 bitar/seund. b) = 4 meddelanden / seund c) = 4 4 d) x = s e) W = s 4 4 Uppgift 5. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =6 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 5 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir (högst) T=. s. b) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir längre än.4 seunder. c) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än. seunder. Sida 4 av 8

M/M/ ösystem Svar: a) K= bitar/seund ( = med/seund) Lösning b) Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ t P( ~ ( ) = s t) = e. Därför s P( ~ s ( ).4.4 4 > t) = ( e ) = e = e Svar: c) e Uppgift 6. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten = meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 4 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir (högst) T=.5 seunder. b) Bestäm och W för detta K värde. c) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än.5 seunder men längre än.5 seunder. Svar: a) K=6 bitar/seund (=5 meddelanden/s) b) = 9 med/seund) c) e e 5 Uppgift 7. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =8 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( Beräna det minsta värdet på K som erfordras för att sannoliheten att totala tiden i systemet > seunder sa bli. ln Svar: K= ( + ) = (bitar per seund) Lösning: Först =8 meddelanden/minut= meddelande/seund Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ s t P( ~ ( ) = s t) = e. Villoret P ( ~ s > ). ger ( ) ( ) ( e ). e. ( ) ln(.) multipliation med ger ( ) ln(.) eller ln(.) (notera att ln(.) ln( ) = ln som vi an sriva som + ln() eller ( eftersom = med/s) = ) Sida 5 av 8

M/M/ ösystem + ln(). ln Därmed K (+ ) = ln Svar: Det minsta som rävs är K = ( + ) bitar/s. Uppgift 8. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten Megabitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Beräna b) Beräna det största värdet på som tillåtas, för att sannoliheten att totala tiden i systemet > seunder sa bli. Svar: a) = b) = ln() 97.697 meddelande per seund. Uppgift 9. Vi betratar ett M/M/ ösystem. Bestäm sannoliheten att det finns minst under i systemet. Lösning: P(Antalet under ) = p + p + p + L = + p + p p = + + + L = p ( + + L) = ( ) = Svar: P(Antalet under )= ============================================================== är vi betratar ett önät som består av flera M/M/ ösystem först bestämmer vi de etiva anomstintensiter för varje M/M/ system. Därefter gör vi beräningar i varje system separat. Uppgift. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem ( CPU och I/O). ya program (under) ommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten = 6 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x = seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x =6 seunder. 8% av program lämnar nätet efter betjäning i CPU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. ). Beräna medelantal program (under) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O ) Sida 6 av 8

M/M/ ösystem Fig.. CPU % I/O 8% Lösning: Vi betecnar med och dem etiva intensiteter till första (CPU) och andra (I/U) ön. Då gäller: = + =. Härav = ( program / min) och = 4. Dessutom har vi = = ( program / min) och = = ( program / min). x x Eftersom = = har vi = =. På samma sätt = har vi = =. 5 8 Slutligen = + =. 8 Svar: = Uppgift. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem ( CPU och I/O). ya program (under) ommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten = 9 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x = seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x = seunder. 9% av program lämnar nätet efter betjäning i CPU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. ). Beräna medelantal program (under) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O ) Fig.. CPU % I/O 9% Sida 7 av 8

M/M/ ösystem Lösning: Vi betecnar med och dem etiva intensiteter till första (CPU) och andra (I/U) ön. Då gäller: = + =. Härav = ( program / min) och =. Dessutom har vi = = ( program / min) och = = ( program / min). x x Eftersom = = har vi = =. På samma sätt = har vi = =. Slutligen = + =. Svar: = Sida 8 av 8