(6) Bakgrnd Datorsimleringsppgift i Mekanik I del, Ht 0 Stela Kroppens Dynamik (TMME8) Rlle på Cylinder Deadline för inlämning: 0--09, kl 5.00 I ppgiften skall d ställa pp rörelseekvationerna för ett mekaniskt system och beräkna systemets rörelse genom att dessa löses nmeriskt med MATLAB. I [] finns ett exempel genomarbetat i detalj. Uppgifterna t.o.m. 5 skall vara grndligt genomarbetade i god tid före laborationstillfället. Till laborationstillfället skall d ha med dig ett nedskrivet förslag på hr kompletteringen av den berörda indatafilen skall se t. D skall desstom ha tänkt igenom frågeställningarna i Uppgift 6, 7 och 8. Det är ett krav att d kommer väl förberedd till laborationstillfället! Organisation Uppgiften är obligatorisk och skall redovisas skriftligt. Uppgiften löses enskilt eller i grpper om två personer. Observera att största grppstorlek är två personer. Rapporter med fler än två personer som författare återlämnas orättade. Rapporten lämnas till din grpps lärare. Uppgiften kan delas in i följande moment: Ställ pp rörelseekvationerna och formlera dessa på den form som MATLAB kräver. Gör det självständigt och jämför resltatet med en kamrat. För att minimera programmeringsarbetet finns en ppsättning filer som bl.a. definierar ett användargränssnitt varifrån körningar kan göras. Ladda ner dessa från hemsidan www.mechanics.iei.li.se/ed_g/tmme8/del. I en av filerna (diff_labb.m) skall den styrande differentialekvationen som d tar fram i Uppgift och Uppgift 3 läggas in. Se README-filen. Besvara Uppgift 6, 7 och 8 genom att göra simleringar av rörelsen via det medskickade användargränssnittet och stdera de plottar som erhålls. Skriv en rapport.
(6) Rapporten, som helst ska vara handskriven, skall vara häftad och skall innehålla:. Försättsblad med namn, fllständigt personnmmer (för Ladok-rapporteringen) och epost-adress till båda författarna.. Härledning av kinematiska samband, rörelseekvationer och energittryck enligt Uppgift -4. Alla ingående variabler skall vara definierade. 3. Indata som använts skall redovisas. 4. Uppgift 5-7 skall vara lösta och efterfrågade resltatplottar skall bifogas. 5. En tskrift av indatafilen diff_lab.m till MATLAB skall bifogas. Problemet En homogen rlle med radien r och massan m rllar tan att glida på en fix cylindrisk yta med radien R, enligt Figr. En fjäder med fjäderkonstanten k och ospänd längd L 0 är fäst i rllen. Fjäderns andra ände sitter fast i pnkten A som har koordinaterna (b, h). Friktionskoefficienten mellan rllen och den cylindriska ytan är. Rllens läge på den cylindriska ytan anges av vinkeln. Denna vinkel representerar systemets frihetsgrad. Inget hindrar rllen från att fllborda ett helt varv rnt cylindern. All rörelse äger rm i ett vertikalplan. A: (b, h) g k, L 0 y G m r R O x Fix Figr : Rlle på fix cylinder.
3(6) Data: m = kg R =. m r = 0.5 m h = m b = 0. m k = 30 N/m L 0 =. m = 0.7 I Uppgift 6, 7 och 8 ska d stdera lösningen för olika begynnelsevillkor (0) och (0). Uppgift Ställ pp kinematiken för problemet, d.v.s. teckna ttrycken för hastighet och acceleration i rllens tyngdpnkt G, samt rllens vinkelhastighet och vinkelacceleration, ttryckta i och dess derivator. (Hastighet och acceleration erhålls lämpligen genom att teckna r G (lägesvektorn till masscentrm) som fnktion av och derivera denna.) Uppgift Ställ pp kraft- och momentekvationen och tag fram rörelseekvationen för systemet ttryckt i och dess derivator. Tips: teckna ttrycket på fjäderkraften på formen GA F k( L L0 ) n där L GA och n. GA Teckna även ttrycken på normalkraften och friktionskraften mellan rllen och nderlaget. Uppgift 3 Skriv om ekvationen i Uppgift på följande form, f (, ) d.v.s. lös t r ekvationen från Uppgift. MATLAB kan endast integrera första D.v.s, den styrande differentialekvationen som skall implementeras i MATLAB. D måste alltså eliminera normalkraften och tangentialkraften (friktionskraften) r ekvationerna så att d får en ekvation kvar där, och derivator av, ingår.
4(6) ordningens differentialekvationer. Därför skriver vi om vår differentialekvation av andra ordningen till ett system av första ordningen genom att sätta: vilket ger,, f (, ) Begynnelsevillkoren för detta system blir: ( 0) (0), (0) (0) Ovanstående system löses med rtinen ode3 i MATLAB. Se [] eller läs on-line manalen (skriv doc ode3 i MATLAB). Exempel: Följande differentialekvation av andra ordningen beskriver rörelsen (t) hos en partikelpendel med pendellängden L : Med g sin L kan vi skriva denna som två kopplade ekvationer av första ordningen enligt: g sin( ) L Efter att ha specat begynnelsevillkor kan vi låta MATLAB beräkna lösningen ( t) och ( ), d.v.s. (t) och (t). t Uppgift 4 (Energimetoder behandlas Fö 8) Teckna ett ttryck på den totala mekaniska energin E T V g V i systemet, ttryckt i och dess derivator. Sätt lägesenergin V 0 för y 0. D behöver inte förenkla ttrycket. Notera att v ( R r). G g e
5(6) Uppgift 5 Räkneppgift: Betrakta systemet i Fig. fast tan någon fjäder. Rllen släpps från vila vid 0. Beräkna vid vilken vinkel som rllen förlorar kontakten med nderlaget om den rllar tan glidning. Ledning: Beräkna ( ) med energimetod (Fö 8) eller teckna d d och integrera. (Resltatet kommer att användas i Uppgift 7.) Uppgift 6 Komplettera den föreslagna indatafilen diff_lab.m med differentialekvationen omskriven enligt Uppgift 3. Körningen startas genom att skriva laboration på kommandoraden i MATLAB. D skall n bekanta dig med användargränssnittet, och speciellt de grafer som finns nder knappen MISC, genom att själv välja begynnelsevillkor och kolla att dessa inte reslterar i att rllen glider eller tappar kontakten med nderlaget nder den efterföljande rörelsen. Varför är det viktigt att ndersöka detta? Plotta a) normal- och tangentialkraft, b) erforderlig friktionskoefficient 3, samt c) energierna som fnktion av tiden c:a 4-5 seknder och d) anför något argment för att beräkningsresltatet verkar trovärdigt. Glöm inte att ange vilka begynnelsevillkor d använt. Uppgift 7 I denna ppgift ska vi jämföra vinkeln som räknades fram i Uppgift 5 med resltatet från vår implementering i MATLAB. a) Ta bort fjädern genom att sätta k 0. Släpp rllen från vila 4 från ett läge högst pp på cylindern. Vid vilken vinkel förlorar rllen kontakten med nderlaget om den rllar tan glidning? Stämmer det med din beräknade vinkel i Uppgift 5? Notera möjligheten att zooma i resltatfönstren. Redovisa den plott d använder. Varje gång d ändrar begynnelsevillkor i gränssnittet måste d avslta med att trycka Enter. Annars ligger föregående värden kvar. 3 No-slip friction coefficient som finns nder menyn MISC och som visar kvoten friktionskraft och normalkraft. 4 Eventellt måste d ge rllen en liten begynnelsevinkel (0) för att få igång rörelsen. F N mellan
6(6) b) Kommer rllen att rlla tan glidning ända tills kontakten förloras, för den friktionskoefficient som är given? Om inte; vid vilken vinkel börjar rllen glida? Redovisa den plott d använder. Uppgift 8 Sätt k till sitt riktiga värde igen! a) Undersök (genom att pröva dig fram) från vilken maximal begynnelsevinkel (0) 0 man kan släppa systemet från vila (d.v.s. ( 0) 0 ) tan att glidning sker eller att kontakten med nderlaget förloras. Plotta normal- och tangentialkraft samt erforderlig friktionskoefficient som fnktion av tiden c:a 4-5 seknder för detta fall. Plotta även och fnktion av (plotten State variables (state) )! b) Bestäm periodtiden för svängningsrörelsen () t i Uppgift a. Redovisa den plot som d använder. Referenser [] Mekanik med MATLAB en minimanal, Peter Christensen.