KOMPLEXA TAL. Historisk bakgrund. Tredjegradsekvationer

Transkript

1 KOMPLEXA TAL Historisk bakgrnd Många läroböcker ger sken av att komplexa tal infördes för att knna skriva pp lösningar på alla andragradsekvationer, alltså även sådana som x +=0 Varför sklle man känt ett sådant behov? Att ange antal, längd, tid, etc. med annat än positiva reella tal var lika litet aktellt då som n. (Den strävan efter ett fllständigt algebraiskt system, som ofta nämns som tgångspnkt, är av betydligt senare datm än de komplexa talen själva.) Nej, de komplexa talen kröp pp i mellanräkningarna, när man försökte lösa Tredjegradsekvationer Redan babylonierna 000 år före Kr. kan sägas klarade av godtyckliga andragradsekvationer x + px + q =0 x = p ± r ³p q Något liknande för ekvationer där x ersatts av x x + px + q =0 blev dock inte känt förrän 500-talet efter Kr., då Tartaglia, Cardano, Bombelli m.fl. kom fram till det som nmera kallas Cardanos formel : s Sätt = q r ³q + + Exempel : Då är x = p/ x +9x 6=0 en lösning = q+ 9+7= 9 x = / / =/ / och det är inte svårt att kontrollera att detta tal är den enda lösningen till ekvationen. (Vänsterledets derivata =x +9> 0, så y = x +9x 6 är en växande krva som skär x-axeln i högst en pnkt.) Men vad ska man dra för sltsats, om ttrycket nder det inre rottecknet sklle bli negativt, t.ex. x 5x 4=0 q = + p 4 5 = q+??? När sådant inträffar vid lösning av andragradsekv. med pq-formeln, är saken klar: det finns inga reella rötter. Men här förhåller det sig annorlnda: sätt in x =4, så ser d att en reell lösning finns! Ponera dock att det fanns ett tal i, som går att räkna med som vanligt (som med x) fast med tillägget att Då sklle i = (i) = i = ( ) = så i kanske sklle knna dga som = q+ = +i Sök n ett tal på formen a + bi, där a och b är reella, och som ppfyller (a + bi) =+i, så tar vi det som : +i = (a + bi) = = a +a bi +ab i + b i = = a ab + a b b i Det räcker n att hitta a och b så att ½ =a ab = a b b N är detta system inte lättare än den rsprngliga ekvationen, men antag att man på något sätt lyckats se lösningen a =,b =. Sätt denna vidare i lösningsformeln och räkna på vanligt sätt : x = +i + 5/ ( + i) = 5( i) = +i + ( + i)( i) = 5( i) = +i + =4 5 Se där roten x =4kom pp till slt! Hr konstig idén om ett i med i = än må vara den verkar användbar! Härledningen finner d på sid..

2 I själva verket gäller att varje gång Cardanos formel s q + r ³q + ger negativt tal nder det inre rottecknet, d.v.s. ³ q + < 0 så har ekvationen x + px + q =0 tre olika reella rötter. Bevis se högerspalten (Förtsätter kännedom om metoden att ndersöka fnktioners grafer m.h.a. derivata) Inför f (x) =x + px + q. Ekvationen f (x) =0har alltid minst en reell rot, då f (x) är kontinerlig f (x), när x f (x), när x (Alla reella värden antas minst en gång.) Olikheten ³ q + < 0 är möjlig endast då p<0 och derivatan f 0 (x) =x + p har då följande teckenschema (låt a = p p/) a a f f % & % Ekv. har tre olika reella rötter om och endast om N är f (a) < 0 <f( a) f ( a) = ( a) + p ( a)+q = = a + p a + q = pa + q f (a) = a + pa + q = pa + q så dbbelolikheten är ekvivalent med pa + q<0 < pa + q pa < q < pa q < µ pa q 4 q 4 + p 7 q < 4 9 p a < p ³ p < 0

3 Härledning av Cardanos formel Vi vill lösa x + px + q =0,. Kberingsidentiteten ger identiteten p och q givna tal ( + v) = + v +... ( + v) v ( + v)+... =0 () Vad skall det stå på pnkternas plats?. Jämför n () med x + px + q =0 Tänk om vi knde hitta tal och v sådana att ½ v = p + v = q Det vore väldigt bra varför? Svar: Då sklle x = + v vara en lösning till den ekv. vi vill lösa: x + px + q =0.. Systemet ovan är inte omöjligt att lösa. Den första ekvationen ger v = p/ Sätt in detta i den andra, så får d en andragradsekvation i. Vilket ttryck får d för resp. x, om vi n antar att alla rötter går att dra? Där har d Cardanos formel! Lösning: µ + p/ + q =0 Sätt = t och mlt. båda leden med t : t + qt =0 t = q r ³ q ± + och därmed = s x = p/ q ± r ³ q + 4. Egentligen vill man j helst knna lösa även tredjegradsekvationer med x -term : x + ax + bx + c =0 () Visa att en sådan går att omvandla till en tan x - term, med en omskrivning liknande kvadratkomplettering. Bestäm y (som ett ttryck i a, b och c) såatt, om man sätter x + t = y och ersätter x med y t i (), så övergår den i y + py + q =0 () med några p och q som beror på a, b, och c. Det räcker alltså att knna lösa (), så får man sedan x som y t. 5. Visa att om = s q + r ³ q + och talen p och q är sådana att man inte behöver q blanda in komplexa tal, d.v.s. 4 + p 7 0, s så p = q r ³q + Cardanos formel tenderar emellertid att ge svar på så otymplig form att man oftast föredrar nmeriska lösningsmetoder: 6. x + x 0 = 0 En lösning är x =och den är den enda, eftersom vänsterledet har derivata x +> 0 för alla x, och därmed är det en växande fnktion av x. Vad ger Cardanos formel? 7. x 7x +6=0 Kontrollera att x =,x =och x = är rötter. Fler än tre olika nollställen kan ett tredjegradpolynom inte ha, enligt faktorsatsen. Vad ger Cardanos formel? Cardanos formel var det första matematiska framsteget i Eropa på 500 år alltsedan antiken hade man nöjt sig med att läsa och citera de gamla grekerna. Tänk vilket lyft för självförtroendet det måste ha varit, när man kom på någonting nytt själv!

4 Geometrisk definition Det finns två sätt att se de komplexa talen på: algebraiskt som ordnade par av reella tal, (a, b), som skrivs a + bi och som adderas/mltipliceras som reella tal med tillägget att i = geometriskt som pilar i ett plan som manipleras efter vissa åskådliga regler Många läroböcker tgår från den algebraiska representationen och från den härleder den geometriska sedan. Ordningen knde varit den omvända: Kommtativitet: + v = v + +v v Addition Addition av reella tal kan åskådliggöras med pilar: v v+ + = = På samma sätt parallellförflytta den ena pilen och avsätt den efter den andra kan vi addera även pilar som inte är parallella de behöver inte ens ligga i samma plan! Sådan vektoraddition, förekommer i fysiken: hastigheter och krafter adderas på detta sätt. Linjär algebra handlar (delvis) om vektorräkning. Vi använder ordet addition, eftersom operationen visar sig ha samma egenskaper som vanlig addition: Däremot säger vi vektorer och inte tal, eftersom mltiplikationen inte har någon motsvarighet för pilar i -dimensionella rmmet. Smman är diagonal i en och samma parallellogram (mekanikens kraftparallellogram ). Associativitet: ( + v)+w = +(v + w) (inses på liknande sätt med hjälp av figr) Ekvationen + x = v, och v givna, har entydig lösning, som vi betecknar v : v x=v- 4

5 Mltiplikation Ovan har vi sett hr de reella talen (pilarna parallella med en viss fix rät linje) kanppfattassomendelmängdavenstörremängd (pilar som pekar åt alla möjliga håll i rmmet), så att operationen addition (och sbtraktion, fast denna är egentligen endast ett annat namn för addition med det motsatta talet) går att tvidga till den större mängden, med bibehållande av operationens egenskaperna. Går det att göra samma sak med mltiplikation? Inte för pilar i hela rmmet, men väl om vi håller oss till ett plan, visar det sig! För att se hr, tittar vi på mltiplikation av reella tal, representerade med horisontella pilar. En pil är entydigt bestämd av två saker: i) sin längd, ii) sin riktning. För de reella talen (betraktade som pilar) är längden av prodkten = prodkten av faktorernas längder, så en rimlig ansats vore att detta skall gälla för alla pilar. Hrärdetmedriktningen? Motsatt riktade pilar ger negativ prodkt, likriktade pilar ger positiv prodkt. Verkar svårt att generalisera till fler än två sinsemellan motsatta riktningar... Om vi håller oss till ett plan, kan dock varje pils riktning representeras av ett tal pilens vinkel relativt den positiva horisontella axeln: z arg z =5 =πê4 En sådan vinkel kallar vi argment till pilen. Egentligen har vi oändligt många möjligheter: 5 + n 60 dger för varje heltal n. (Nollpilen kan vi inte tillordna någon vinkel, men det behövs inte heller.) Observera n att teckenreglerna för mltiplikation av reella tal kan ppfattas som så att t.ex. kan sägas följa r vinklarna adderas, ( ) ( ) = = 60 Denna addition av vinklar går alldeles tmärkt att tvidga till alla pilar i planet! Alltså Definition: Prodkten av två pilar fås genom att mltiplicera längderna, addera vinklarna (argmenten) Låt i beteckna pilen av längd som pekar rakt ppåt. Vad är i, d.v.s. i i? = Men stopp där ett tag! Om vi ska använda ord som mltiplikation och prodkt för denna operation, behöver vi kontrollera att den också ppför sig som mltiplikation av tal! Kommtativiteten v = v följer omedelbart av att ordningen inte har någon betydelse i vare sig mltiplikationen av längderna eller additionen av argmenten. Associativiteten (v) w = (vw) likaså Existens av invers operation, division: Till varje par av pilar, och v, där 6= 0 ( pilen av längd 0), finns en pil, som vi betecknar v/, sådan att v = v nämligen den vars längd = längden av v längden av och vars argment = argv arg Vidare har vi, för reella tal, en egenskap som knyter ihop addition och mltiplikation: 5

6 Distribtiva lagen ( + v)w = w + vw Att den gäller även för vår pilräkning, kan inses med hjälp av följande observation, som är intressant i sig: Låt w vara en fix pil och betrakta fnktionen z 7 zw (För varje pil z vi stoppar in i fnktionsmaskinen, får vi t en annan pil, z w.) Vi kan beskriva med ord vad den här fnktionen gör: Förlänger/förkortar z med faktorn längden av w, och vrider sedan vinkeln arg w motrs. Vad betyder n vänsterledet i distribtiva lagen? Att vi först adderar pilarna och v och sedan förlänger och vrider resltanten. Vad står högerledet för? Att vi först förlänger och vrider varje pil för sig och sedan adderar. Att resltatet blir detsamma i båda fallen är åskådligt klart: 4 5 v +v H+vLw w vw Algebraiskt kontra geometriskt För en större betoning på det geometriska synsättet talar askådligheten, historien: De komplexa talen betraktades som skmma ända fram till början av 800-talet, då man pptäckte den geometriska tolkningen (Wessel, Argand, Gass). Det blev startskottet för en (jämfört med dittills rådande dvala ) explosionsartad tveckling på området man tvidgade differentialoch integralkalkylen till fnktioner av en komplex variabel, s.k. komplex analys. många (de flesta?) intressanta resltaten är förknippade med den geometriska tolkningen. Komplexa tal idag Att knna lösa tredjegradsekvationer exakt visade sig inte alls så angeläget. Desstom ger formeln så krångliga räkningar att det oftast är enklare att bestämma rötterna nmeriskt. Men andra tillämpningar dök pp senare och de följer samma mönster: I det sltresltat som man är intresserad av ingår inga komplexa tal, men de är användbara i räkningarna på vägen dit. Den viktigaste ekvationen i 900-talets teori för mikrokosmos (atom-, kärn- och elementgarpartikelfysik), Schrödingers ekvation, innehåller faktiskt talet i, även om det man i sltändan räknar fram är sannolikheter, d.v.s. vanliga tal mellan 0 och! (En viktig tillämpning inom elektroteknik att beskriva och räkna på växelström med komplexa tal pptäcktes 89 av Charles P. Steinmetz.) Den fördel vi drar av komplexa tal nder första årets niversitetsmatematik är framför allt snabbare och mera överblickbara räkningar. Räkning med komplexa tal innebär att man tför två beräkningar med reella tal parallellt, tan någon extra ansträngning, i och med att räknereglerna är desamma. Fördjpar man sig i matematik mer, får man bättre förståelse för en del resltat om polynom och elementära fnktioner (e x, cos x,...) även i fall där det på ytan inte syns någon anledning alls att blanda in komplexa tal! Själva benämningen komplext tal myntades av Gass först 8. Invandrade till USA helt okänd och tan pengar 889, men avancerade snabbt till chefingenjör på General Electric (och valdes 90 till ordförande The American Institte of Electrical Engineers). Lär ett tag ha varit nästan lika berömd bland allmänheten som Edison. 6

7 Komplexa tal: sammanfattning av det viktigaste Komplexa talplanet De reella talen kan ppfattas som pnkterna på en linje; de komplexa talen kan ppfattas som pnkterna i ett plan med rätvinkligt koordinatsystem. Till varje pnkt svarar i sin tr en pil från origo till pnkten, så man kan tänka på de komplexa talen också som pilar i ett plan. b Im z r=»z» z=a+b θ = arg z Re z a 4 5 z =a b Komplexa tal på rektanglär form : a + bi, a, b reella tal Realdelen Re z = a, imaginärdelen Im z = b, konjgatet z = a bi ( z konjgat ). Obs. Imaginärdelen är i själva verket ett reellt tal! Rent imaginärt tal Tal av formen (reellt tal) i Addition och mltiplikation : På samma sätt som för reella tal, med tillägget i =. Division : Förläng med nämnarens konjgat: a + bi (a + bi)(c di) (ac + bd)+(bc ad) i = = c + di (c + di)(c di) c + d = Addition geometriskt : som krafter i mekaniken (vektoraddition) Triangelolikheten z + w z + w. (Obs! Används ofta i sitationer där enbart reella tal är inblandade!) ac + bd bc ad c + + d c + d i 7

8 Komplexa tal på polär/exponentiell form: r (cos θ + i sin θ) =re iθ Absoltbeloppet av z, z,r = pnktens avstånd till origo = pilens längd z = p a + b z = z z = a + b (Obs. konjgatet!) z w = avståndet mellan pnkterna z och w Argmentet för z, arg z, θ Vinkeln från positiva x-axeln till pilen, räknat med tecken. OBS. Ej entydigt bestämt! Mltiplikation geometriskt : absoltbeloppen mltipliceras, argmenten adderas. Det exponentiella skrivsättet betraktar som en ren definition som gör det bekvämt att mltplicera: r e iθ r e iθ = r r e i(θ+θ) Det blir rätt, om man räknar som med vanliga potenser med reella exponenter! de Moivres formel Elers formler (cos θ + i sin θ) n = cosnθ + i sin nθ, för alla heltal n ser självklar t med det exponentiella skrivsättet : e iθ n = e inθ cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i Binomiska ekvationer w givet komplext tal, n givet positivt heltal, söker z så att z n = w Lösning: Skriv talen på exponentiell form, z = re iθ,w= r 0 e iθ 0, så antar ekvationen formen ½ r n e inθ = r 0 e iθ 0 r n = r 0 nθ = θ 0 + kπ, k Z µ z = n θ0 r 0 exp n + k π, k =0,,,...,n n d.v.s. ekvationen har n st. olika rötter som bildar hörnen i en regenbnden n-hörning med hörnen på en cirkel med radie n r 0 och medelpnkt i origo. Andragradsekvationer med godtyckliga komplexa koefficienter : Kvadratkompletteringen, som leder till pq-formeln, fngerar lika bra när koefficienterna är komplexa, om man tolkar a + bi som någon lösning till ekvationen z = a + bi Enligt tredningen om binomiska ekvationer, har z = a + bi två lösningar och precis som i det reella fallet skiljer de sig på tecknet enbart: z = z, och i pq-formeln har man j ± framför rottecknet, så det räcker att hitta den ena lösningen. Lösningarna till z = a + bi kan fås på polär form som för binomiska ekvationer av godtyckligt gradtal, men också på rektanglär form, genom att ansätta z = x + iy och dela pp i real- och imaginärdelar. 8