MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN Datum: 5 januari 05 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Inga Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN. Provet består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För godkänd-betygen, 4, och 5 på TEN5 krävs erhållna poängsummor om minst, 6 respektive poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN krävs erhållna poängsummor om minst respektive 8 poäng. Om den erhållna poängen benämns S a, och den vid tentamen TEN6/TEN4 erhållna S b, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a, S b 9 och S a + S b 4 S a, S b 9 och 4 S a + S b 5 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Bestäm den matris B som löser ekvationen ( ) 4 = ( ) B 4 ( ). 4. Vektorerna u och v har längderna respektive, och vinkeln mellan dem är π/4. Bestäm längden av vektorn u 8v.. Formulera på parameterform en ekvation för det plan π som innehåller punkterna P : (4,, 7), Q : (, 8, 5) och R : (6, 4, ). Ingår origo i planet? 4. Skissa, och bestäm arean av, området z i, Re(z) 0, Im(z). 5. Beräkna determinanten för 4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 5 4. 6. I den triangel som är illustrerad i figuren till höger ligger hörnen i punkterna A, B och C. Punkten D ligger mitt emellan punkterna A och B, punkten E delar sträckan från B till C i förhållandet :, och punkten F ligger delar sträckan från A till C i förhållandet :. I det plan som bestäms av triangeln är basen e, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna F B och F E är representanter för basvektorerna e respektive e. Bestäm, uttryckt i basen e, e, den vektor som representeras av den riktade sträckan DE. 7. De ortogonala vektorerna u och v har koordinaterna (,, ) respektive (,, ) med avseende på en given, högerorienterad ON-bas (HON-bas) e, e, e. Bestäm en annan HON-bas ê, ê, ê sådan att ê pekar i samma riktning som u, och ê i samma riktning som v. 4x y 0z = 4 8. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 7x y 7z = 60 0x y 6z = 74?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 04/5 Tentamen TEN5 / TEN 05-0-05 9 7. B 4 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter Scenario p: Korrekt till formen löst ut matrisen B p: Korrekt inverstagit de två matriser som omgärdar matrisen B i det ursprungliga uttrycket p: Korrekt multiplicerat de tre matriserna som ingår i uttrycket för B, och därmed korrekt funnit elementen i matrisen B Scenario p: Korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen och korrekt multiplicerat de tre matriserna i högerledet av ekvationen p: Korrekt löst det uppkomna ekvationssystemet och sedan korrekt sammanställt matrisen B. 5 l.e. p: Korrekt uttryckt längden av vektorn u 8v, dvs u 8v, som ( u 8v) (u 8v), samt korrekt utvecklat uttrycket under rottecknet och funnit att längden är lika med 9 u 48u v 64 v p: Korrekt för ändamålet utvecklat u v som u v cos( u,v ) och fått värdet 5 p: Korrekt slutberäknat längden. : ( x, y, z) (4,, 7) r (,0,6) s(,8,5) där r, s R Origo ingår i planet p: Korrekt funnit två vektorer som är parallella med p: Korrekt på parameterfri form formulerat en ekvation för planet p: Korrekt undersökt om origo ingår planet eller ej Den som rent generellt har tolkat punkters koordinater som koordinater för vektorer parallella med planet får 0p totalt. 4. a.e. p: Korrekt i en skiss tolkat villkoret z i p: Korrekt i en skiss tolkat villkoren Re( z ) 0 och Im( z ) p: Korrekt bestämt arean av det givna området ()
5. Scenario p: Korrekt tillämpat produktregeln för determinanter, och 5 därmed korrekt omskrivit determinanten till [ det( M )] p: Korrekt hanterat faktorn p: Korrekt (slut-)beräknat determinanten Scenario (förhoppningsvis ingen följare) p: Korrekt multiplicerat de fem matriserna 5 p: Korrekt hanterat faktorn ( ) p: Korrekt (slut-)beräknat determinanten 4 6. u 7 e e DE 7. eˆ e e e eˆ e e e eˆ e e e Scenario p: Korrekt funnit basvektorerna e u och e FB u FE uttryckta i en bas f,f som illustrerar två icke-parallella sidor av triangeln ABC p: Korrekt funnit basen f,f uttryckt i basen e,e p: Korrekt funnit u uttryckt i basen e,e Scenario DE p: Se den lösning som är publicerad Den som har angivit ett uppenbart felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få p totalt. Scenario p: Korrekt bestämt ê och ê p: Korrekt till formen bestämt ê som eˆ ˆ e p: Korrekt beräknat vektorprodukten eˆ ˆ e Scenario p: Korrekt bestämt ê och ê p: Korrekt beräknat u v p: Korrekt bestämt ê som u v u v 8. ( x, y, z) (,0,) p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na p: Korrekt eliminerat ytterligare en av de obekanta från en av ekv:na p: Korrekt angivit den taltrippel som löser ekvationssystemet Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får p totalt. Den som har gjort två och endast två räknefel i den första och/eller i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får p totalt. Speciellt kan den som har angivit ett felaktigt svar och som inte har kontrollerat detta gentemot ekvationssystemet få som mest p totalt. ()