UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion av x och y, z z(x, y), i en omgivning av punkten (,, ). Visa också att (, ) är en stationär punkt till denna funktion och bestäm dess karaktär. Lösning: Låt F (x, y, z) x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz). Vi har F (,, ) dvs punkten P (,, ) tillhör lösningsmängden till ekvationen F (x, y, z). ftersom F z (,, ) z + y cos(yz) (x,y,z)(,,), medför Implicita Funktionssatsen att ekvationen F (x, y, z) definierar z som en funktion z(x, y) av x och y i en omgivning av P (,, ). (Vi har då z(, ).) etta innebär att x + x(y ) + (y ) + z(x, y) + sin(yz(x, y)) () för (x, y) i en omgivning av (x, y ) (, ). Implicit derivering av () m.a.p. x resp. y ger och x + y + z z x + y z x cos(yz) () x + (y ) + z z y + (z + y z y) cos(yz) (3) I punkten (x, y) (, ), eftersom z(, ), får vi z x cos() och z y cos(). ärmed får vi att z x(, ) z y(, ), vilket innebär att (, ) är en stationär punkt till funktionen z(x, y). Vi deriverar ekvationen () m.a.p. x och får + z x z x + z z xx + y z xx cos(yz) y (z x) sin(yz). I punkten (x, y) (, ), eftersom z(, ), z x(, ), får vi + z xx och därmed z xx(, ).
Vi deriverar ekvationen () m.a.p. y och får + z y z x + z z xy + z x cos(yz) + y z xy cos(yz) y z x (z + yz y) sin(yz). I punkten (x, y) (, ) får vi + z xy och därmed z xy(, ). lutligen deriverar vi ekvationen (3) m.a.p. y och får + z yz y + zz yy + (z y + yz yy) cos(yz) (z + yz y) sin(yz). I punkten (x, y) (, ), eftersom z(, ) z y(, ), får vi + z yy och därför z yy(, ). etta innebär att den kvadratiska formen av funktionen z(x, y) i punkten (, ) är Q(h, k) h z xx(, ) + hkz xy(, ) + k z yy(, ) h hk k (h + hk) k (h + k ) + k k (h + k ) 3 k. Kvadratkompletteringen av Q(h, k) är nu avslutad och vi ser att formen är negativt definit. etta medför att punkten (, ) är ett strängt lokalt maximum till funktionen z(x, y). var: Punkten (, ) är ett strängt lokalt maximum till funktionen z(x, y).. Låt vara halvplanet x. Avgör om den generaliserade integralen x (x + y dxdy ) 5/ är konvergent, och bestäm i så fall dess värde. Lösning: Området är obegränsat men integranden är positiv i. etta innebär att den generaliserade integralen är väldefinierad och antingen är den konvergent eller divergerar till +. Vi beräknar integralen med hjälp av variabelbyte till polära koordinater x r cos θ, y r sin θ. Observera att på randen som utgörs av linjen l : x gäller x r cos θ. ärmed har vi på r. cos θ
et följer att området i xy-planet är bilden av området : (x,y) π/, r < + i rθ-planet. Jacobis determinant är cos θ (r,θ) r. Vi får I x (x + y dxdy [ positiv integrand ] ) 5/ r cos θ r 5 r drdθ cos θ r drdθ. r cos θ (r ) 5/ π/ θ (x, y) (r, θ) drdθ Vi beräknar nu den sista integralen med hjälp av itererad integration. Observera att, eftersom integrationsgränserna m.a.p. variabeln r beror på θ, måste vi börja med att integrera m.a.p. variabeln r. I θπ/ θ π/ θπ/ θ π/ ( cos θ r+ r cos θ ( cos θ cos θ ) dθ ( s ) ds [ s s3 3 ) r dr dθ ] s θπ/ θ π/ θπ/ θ π/ ( [ cos θ r [ ( sin θ) cos θ dθ s ( 3 ) ] r+ r cos θ ) dθ s sin θ ds cos θ dθ ] 4 3. et följer att den generaliserade integralen är konvergent och att dess värde är lika med 4 3. var: en generaliserade integralen är konvergent och dess värde är lika med 4 3. 3. Beräkna kurvintegralen F dr av vektorfältet F(x, y, z) ( y + y sin(xz) + xyz cos(xz), z + x sin(xz), x + x y cos(xz) ), där är kurvan r(t) ( sin(t), t + cos(t), t ), t π. Lösning: Funktionen Φ(x, y, z) xy sin(xz) är definierad och av klass i hela R 3. ess gradient är Φ ( y sin(xz) + xyz cos(xz), x sin(xz), x y cos(xz) ). Vektorfältet F kan skrivas som summa av två vektorfält: F Φ + G, där G(x, y, z) (y, z, x). et följer att F dr Φ dr + G dr.
ftersom kurvan börjar i punkten r() (sin(), + cos(), ) (,, ) och slutar i punkten r( π ) (sin( π ), π + cos( π ), π ) (, π, π ) har vi, enligt sats, Φ dr Φ(, π, π π ) Φ(,, ) sin( π ) π. essutom, eftersom r (t) (cos(t), sin(t), )), har vi G dr π/ π/ π/ π/ π/ G(r(t)) r (t) dt π/ G(sin(t), t + cos(t), t) r (t) dt (t + cos(t), t, sin(t))) (cos(t), sin(t), ) dt (t cos(t) + cos (t) + t t sin(t) + sin(t)) dt (cos (t) + t + sin(t)) dt + ( + cos(t) π 4 + [ sin(t) 4 π/ ) + t + sin(t) dt + + t ] tπ/ cos(t) + t t(cos(t) sin(t)) dt π/ π/ π 4 + π 8 + + [ t(sin(t) + cos(t)) ] tπ/ t t(cos(t) sin(t)) dt t(cos(t) sin(t)) dt [ partiell int. ] π/ (sin(t) + cos(t)) dt π 4 + π 8 + + π [ cos(t) + sin(t)) ] tπ/ 3π t 4 + π + ( + ) 8 3π 4 + π 8. et följer att F dr Φ dr + G dr π + 3π 4 + π 8 5π 4 + π 8. var : F dr 5π 4 + π 8.
4. Beräkna ytintegralen d 4 x, där ytan ges av x + y + z, z. Lösning: Ytan utgör den del av ellipsoiden x + y + z som ligger ovanför xy-planet. Ytan kan ges också av ekvationen z x y och därmed ses som grafen av funktionen g(x, y) x y definierad för punkter (x, y) i ellipsskivan x : + y i xy-planet. et följer att ytan kan parametriseras med sina (x, y)- koordinater över området vilket utgör :s projektion på xy-planet. Låt h(x, y, z) x + y + z. Ytan är en (del av) nivåytan h(x, y, z). et följer att vektorfältet N h(x, y, z) (x, y, z) är normal till ytan. Vi använder sambandet d N N 3 dxdy för att beräkna ytintegralen I. ftersom N (x, y, z), har vi N N 3 x + 4y + 4z z x + 4y + 4z 4z På ytan gäller x + y + z och därmed 4z 4 x 4y. et följer att. N N 3 x + 4y + 4z 4z 4 x 4 x 4y och I 4 x d N 4 x N 3 dxdy 4 x 4y dxdy. 4 x 4 x 4 x 4y dxdy För att beräkna den sista integralen genomför vi ett varaiabelbyte till elliptiskt-polära koordinater anpassade till ellipsskivan : x + y, { x r cos θ y r sin θ. Området transformeras under variabelbytet till det område i rθ-planet som ges av r, θ π. Jacobis determinant vid variabelbytet är (x,y) (r,θ) r. essutom har vi x + y r.
Vi beräknar slutligen ytintegralen med hjälp av variabelbytet: I 4 x 4y dxdy dxdy 4 4( x + y ) dxdy (x, y) ( x + y ) r (r, θ) drdθ θπ r r drdθ dθ r r dr r θ r [ π ] r r r π. var : Ytintegralen är lika med I π. 5. Bestäm flödet av vektorfältet F(x, y, z) ( e y x, x + y, z x ) genom den delen av hyperboloiden x + y z där z y. Ytan är orienterad med normalen pekande bort från z-axeln. Lösning: Låt vara den yta som ges av x + y z, z y. Vi skall beräkna flödet av vektorfältet F genom ytan med hjälp av Gauss sats. ivergensen av vektorfältet F är lika med div(f) x ( ey x) + y (x + y) + (z x ) + +. z Vi kompleterar ytan med två lock : en yta L som ligger i xy-planet och ges av x + y orienterad med normalen som pekar nedåt och en yta L som utgör den del av planet z y som begränsas av skärningskurvan mellan detta plan och hyperboloiden x +y z. Ytan L orienteras med normalen som pekar uppåt. Tillsammans utgör ytorna, L och L den positivt orienterade randen till en kropp K i R 3. nligt Gauss sats har vi F d + L L F d [Gauss] +L +L K. et återstår att beräkna flödesintegralerna L F d och div(f) dxdydz L F d. (4)
På locket L har vi z och N (,, ). et följer att N F d F N 3 dxdy (,, x) (,, ) dxdy L L L L x dxdy. (5) en sista likheten är en följd av symmetrin eftersom integranden är en udda funktion av x medan integrationsområdet L : x + y i xy-planet är en ellipsskiva centrerad i origo och symmetrisk m.a.p. linjen x (dvs. y-axeln). Locket L är en del av planet y +z och därmed har som normalen det konstanta vektorfältet N (,, ) (vilket pekar uppåt ). Locket L parametriseras med hjälp av x- och y-koordinaterna över området som begränsas av projektionen på xyplanet av skärningskurvan mellan planet y +z ( z y) och hyperboloiden x +y z. enna projektion av kurvan ges av ekvationen x +y ( y) x + y + y y x + y + y x + (y + ) 3. Området i xy-planet som parametriserar L ges därmed av olikheten : x + (y + ) 3 och utgör en cirkelskiva med radie r 3. et följer att F d F N N 3 dxdy (, x + y, z x) (,, ) dxdy L (y + z) dxdy dxdy Area() π ( 3) 3π. (6) lutligen får vi från (), () och (3) att flödet av vektorfältet F genom ytan är lika med Φ F d F d F d 3π 3π L L var: Flödet är lika med Φ 3π. 6. Beräkna kurvintegralen F dr av vektorfältet F(x, y, z) (xy+e x+z, e x+z z, y ), där är skärningskurvan mellan ytorna y 4 x z och x + z x. är orienterad så att dess omloppsriktning i punkten (,, ) ges av vektorn (,, ). Lösning: Vi skall beräkna den sökta kurvintegralen F dr med fjälp av tokes sats. Vi börjar med att bestämma rotationen av vektorfältet F : i j k curl(f) x y z xy + e x+z e x+z z y (y + z ex+z )i + e x+z j + (e x+z x)k
kärningskurvan ges av : { 4 x z y (4) x + z x (5) Om man adderar (4) till (5) får man att punkterna på kurvan uppfyller ekvationen 4 x y. etta visar att skärningskurvan ligger i planet π : x + y 4. Låt vara den delen av planet π som begränsas av den slutna kurvan. Observera att planet π är parallellt med z-axeln, vilket medför att ytan inte kan parametriseras med hjälp av sin projektion på xy-planet. Planets normal är N (,, ). ftersom normalen N inte är vinkelrätt mot y-axeln, följer det att π inte är parallellt med y-axeln och att ytan kan parametriseras med sin projektion på xz-planet. Projektionen av kurvan på xz-planet ges av ekvation (5): x + z x (x ) + z. etta visar att projektionen av ytan på xz-planet är lika med ellipsskivan : (x ) + z. Ytan kan parametriseras med hjälp av x- och z-koordinaterna ovanför området i xz-planet. etta innebär också att på ytan kan vi använda likheten d N N dxdz. en angivna omloppsriktningen av kurvan medför att ytan måste orienteras med normalen som har positiv andrakoordinat. Normalen N (,, ) uppfyller detta krav. nligt tokes sats har vi F dr [tokes] curl(f) d curl(f) N N dxdz (y + z e x+z, e x+z, ) (,, ) dxdz (4y + 4z e x+z + e x+z ) dxdz 4 (y + z) dxdz [på gäller y 4 x ] 4 (4 x + z) dxdz 4 8 ( (x ) + z ) dxdz dxdz 8 (x ) dxdz + 4 z dxdz. Integralen z dxdz är lika med eftersom integranden z är en udda funktion av variabeln z och ellipsskivan är symmetrisk m.a.p. linjen z. Även integralen (x ) dxdz är lika med p.g.a. symmetrin därför att integranden x är en udda funktion av variabeln u x och ellipsskivan : (x ) + z är
symmetrisk m.a.p. linjen x. lutligen är eftersom är en ellipsskiva med halvaxlarna av längd resp. et slutliga resultatet är F dr 8 dxdz 8 8 Area() + 8 4 π. (x ) dxdz + 4 π dxdz Area() π. z dxdz Alternativt: å kurvan ligger i planet y 4 x gäller dy dx och därför dr (dx, dy, dz) (dx, dx, dz). Alltså har vi F dr (xy + e x+z, e x+z z, y ) (dx, dx, dz) (x(4 x) + z )dx + 4( x) dz ftersom y är eliminerat ur det sista ledet gäller F dr (4x x + z )dx + 4(x ) dz s där s är projektionen av på xz-planet. å projektionen av vektorn (,, ) på xz-planet är vektorn (, ) följer att s är orienterad medurs. Greens sats ger därför F dr (8(x ) 4z)dx dz (8)dx dz 8A() 4π. där är ellipsskivan (x ) +z. en sista likheten följer av att är symmetriskt med avseende på linjerna x och z, x är en udda funktion av x och 4z är en udda funktion av z (8(x ) 8(x ) 8). var: Kurvintegralen är lika med 4 π.