1 Föreäsning 9 7.2.1 7.2.4 i Griffiths nduktionsagen sammanfattning (Kap. 7.1.3) (r, t) E(r, t) = t (differentie form) För en stiastående singa gäer E(r, t) d = d S (r, t) ˆndS = dφ(t) (integraform) Eektromotorisk kraft (emk) För en rörig, deformerbar singa i ett tidsvariabet magnetfät definieras emk:n av E = (E(r, t) + v(r, t) (r, t)) d där v(r, t) är den hastighet en punkt r på singan rör sig med vid tiden t. Man kan visa att E = dφ(t) För att ta reda på den inducerade emk:n räcker det därmed att finna det magnetiska födet genom singan som funktion av t och derivera detta. en krets fungerar emk:n som en spänningskäa som vi driva en ström i :s omoppsriktning. R n + - V
2 Exempe, induktion Faradaygeneratorn Faradygeneratorn består av en metaskiva som roterar i en statisk magnetisk födestäthet riktad vinkerätt mot skivan. En yttre resistans R ansuts mean skivans axe och skivans pereferi. Vad bir strömmen igenom resistansen om skivan har radien a och snurrar med vinkefrekvensen ω? a z! R Ledande skiva Vi öser uppgiften på två sätt. Metod 1 Skapa en suten krets P 1 P 2 P 3 P 1, enigt figur. Den raka injen P 3 P 1 igger fast på skivan och rör sig med denna. Laddningsbärarna på skivan känner av en kraft F i = qv där addningsbärarnas hastighet är v (deras hastighet i radie ed är försumbar) och deras addning är q. R { P 1 P 2 ω P 3
3 Hastigheten och den magnetiska födestätheten i cyinderkoordinater är v = ωr c ˆφ, = ẑ och kraften på en addning som befinner sig på avståndet r c från axen bir Den eektromotoriska kraften E är F i E = P 3 P 1 q d = F i = qωr c ˆφ ẑ = qωr c ˆr c a 0 ωr c ˆr c ˆr c dr c = 1 2 ωa2 där integraens riktning är i piarnas riktning. Det ger strömmen Metod 2 = E R = 1 2R ωa2 Den sutna singan P 1 P 2 P 3 P 1 har ett magnetiskt föde som varierar med tiden: Födet Φ(t) består av en konstant de Φ 0 och en de som ökar injärt med tiden: Φ(t) = Φ 0 + 0.5ωta 2 eftersom ytan som den raka injen sveper förbi under tiden t är 0.5ωta 2 (på perioiden T går den runt ett het varv och har då svept över ytan 0.5ωT a 2 = πa 2 ). Vi får då den inducerade emk:n E = dφ(t) = 1 2 ωa2 och strömmen 1 = E R = 1 2R ωa2 nduktans, stationära strömmar (Kap. 7.2.3) etrakta två spoar (singor eer kurvor) L 1 och L 2, och åt strömmen 1 fyta i spoe L 1. 1 1 S 2 L 2 L 1 1 1 Griffiths argumenterar att man inte kan använda metod 2 eftersom det kräver att strömmen fyter ängs en vädefinerad kurva. Det är inte het korrekt eftersom E = dφ(t) även gäer för en matematisk kurva.
4 Födet genom L 2 från L 1 är Φ 2 = 1 ˆn ds S 2 iot-savarts ag visar att 1 är proportione mot 1. Φ 2 = M 21 1 där M 21 kaas den ömsesidiga induktansen mean spoarna, och beror endast på geometrin hos spoarna. Enhet [H] Henry. På samma sätt visas att födet genom L 1 från L 2 är Φ 1 = 2 ˆn ds = M 12 2 S 1 Man kan visa att M 21 = M 12 = M. Även begreppet sjävinduktans L för spoe 1 definieras genom Φ 1 = L 1, där Φ 1 är födet genom L 1 från L 1 sjäv. Spoar med fera varv Om spoarna har fera varv gäer 1 (t) 2 (t) N 1 varv N 2 varv L 1 = N 1 Φ 11 1 = sjävinduktans för spoe 1 L 2 = N 2 Φ 22 2 = sjävinduktans för spoe 2 Φ 12 Φ 21 M 12 = M 21 = N 1 = N 2 = ömsesidig induktans 2 1 (betecknas även M) Φ ij = födet genom ytan S i genererat av strömmen j i spoen j De inducerade emk:n i de båda spoarna ges av d 1 (t) E 1 = L 1 d 2 (t) E 2 = L 2 M 12 d 2 (t) M 21 d 1 (t)
5 Kommentar: Här skijer sig anteckningarna ite från Griffiths. Griffiths definierar födet för en singa med N varv som N gånger födet genom ett varv, men detta är inte en vedertagen metod. stäet brukar man införa födeskoppingen Λ = N Φ för en singa med N varv. Exempe: nduktansen för en ång soenoidspoe En ång tätindad spoe med ängd och tvärsnittsyta A är fyd med ett omagnetiskt materia (µ r = 1). Då gäer föjande approximationer N varv yta A z (r) { 0 utanför spoen ẑ innanför spoen där är en konstant. Låt vara kurvan som går genom spoen och suts utanför spoen. Ampères ag ger d = µ 0 J e n ds = µ 0 totaa strömmen genom S S där ytan S spänns upp av och ˆn är normaen ti S. Varje varv ger strömmen genom S och därmed är totaa strömmen N. Detta ger 0 utanför spoen = µ 0 N = N µ 0 ẑ innanför spoen Födet genom spoen ges då av Φ = och därmed bir spoens sjävinduktans S ẑds = µ 0NA L = N Φ = µ 0N 2 A
6 Exempe: Ömsesidig induktans mean singa i spoe och spoe Antag att vi pacerar en pan metasinga med arean A 0 inuti den ånga spoen. Singans pan är vinkerätt mot spoens symmetriaxe. Om vi driver en ström genom spoen fås ett magnetiskt föde genom singan som ges av Φ 21 = A 0 = A 0 µ 0 N Den ömsesidiga induktansen mean spoen och singan ges av M 12 = M 21 = Φ 21 = A 0 µ 0 N Vi kan konstatera att det är betydigt enkare att bestämma ömsesidiga induktansen genom att driva en ström genom spoen och bestämma födet genom singan än tvärtom. Magnetisk energi (7.2.4) Det går att visa tre oika uttryck för magnetisk energi i ett system. En krets Antag att vi har en singa med sjävinduktans L. Om det fyter en ström genom singan är den magnetiska energin W = 1 2 L2 Fera kretsar som koppar magnetiskt Antag att vi har ett system med N kretsar med sjävinduktanser L n, n = 1... N och ömsesidiga induktanser M ij, i = 1... N, j = 1... N, i j. Om det fyter strömmar n, n = 1... N i kretsarna är systemets magnetiska energi Utbredd strömtäthet J W = 1 N 2 ( L n n 2 + n=1 N i=1 N M ij i j ) j=1 j i (0.1) Antag ett system som består av en strömtäthet J(r) i en voym V. magnetiska energi är W = 1 A J dv 2 V Systemets Tokningen är att energin är uppagrad i strömmarna.
7 Amänt uttryck Antag att vi har ett system som har en magnetisk födestäthet i rummet. Den magnetiska energin kan då skrivas W = 1 2 at rum H dv (0.2) Tokningen är att energin finns uppagrad i magnetfätet. Den magnetiska energitätheten i rummet är då w m = 1 2 H vakuum gäer µ r = 1 och W = 1 2 dv 2µ 0 at rum estämning av induktanser med hjäp av magnetiska energi Genom att energin i (0.1) också kan fås från (0.2) så kan vi bestämma induktanser genom att först bestämma energin i (0.2). Detta är speciet användbart när strömmarna är utbredda över edares tvärsnitt.