l- I iy* xt9 Y äh ;3, ffi,ffi ee nw#o e@&]i*t!l!** ltr-. h *,*qåaed*r s,,m**ä e &am fr* &s m&a WV *&4 &s W &i,6 6J# * tr @ä ee",eet e ed# e$ålgb ",.ry t\ 4ryr'. 'rqb- "Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner." Citatet är från Rob HalI, som omkom är 1996 pä Mount Everest efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen. Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt. På Mount Everest finns ett basläger, där klättringsexpeditionerna slår upp sina läger. Uppe på berget finns det sedan fyra olika lager där man successi\,t kan acklimatisera sig och vänja sig vid det allt lägre lufttrycket. Man kan dela in berget i olika zoner: Zon l: Upp till3 600 m Zon ll: 3 600 till 5 500 meter Baslägret ligger på 5 200 m. -k w&" 'ffi Zon lll: 5 500 till7 000 meter Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möjligt att befinna sig på dessa hojder endast under kortare tider. Zon lv; Över 7 000 meter Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna hojd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klättring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.. När behöver man lämna läger 4 för att inte nå toppen för sent?. Skriv ett numeriskt uttryck for hojdskillnaden mellan toppen av Mount Everest och baslägret.. Använd formeln för lufttrycket i uppgift 3311 och beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan.. Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?. En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att det tar lika lång tid att ta sig ner till Läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel for hojden 7 meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.. Hitta på en egen formel utifrån texten. Formulera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet. { Le 1 lpärlt förhål qyllen $';tt, ai:,',.* l<a n mår 116 arcrana orh Er<vATroNER o n-uppcrft
- - "' ti rf,ilrtt i: i\'t ti f$ *!r_di_ta i:'3934 Leonardo Fibonacci (11701250). Månad @ ::::':.:, @ ':",:, t \ Antal l<aninpar - 1 O &q2 /+ @ca Jq "\ l\ j O4''',,,'444 t pärlbåtsnäckans spiraler qet förhållandet mellan diametrarna pvllene.' snittet:!4 = O.etS, AB i,i? Fortsätt sl<issen av ka ninernas fortpl a ntn i n g månad 5 till och med 8. LeonordoFibonocci Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa, som han också kallades, levde omkring år 1200. Fibonacci skötte uppdrag åt köpmän som bedrev handel med länderna runt Medelhavet. Under sina många resor kom han i kontakt med såväl arabiska som grekiska matematiker.iboken Liber abboci, som utkom är 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterar han också de siffror som vi i stort sett använder än i dag. Fibonacci är mest kand for att han har gett namn åt en talföljd. Talfoljden börjar med två ettor. Varje tal i följden är sedan summan av de två föregående talen: 1, 1,2,3, 5, 8, 13,2r,34,... Fibonaccis talfoljd återspeglas i många mönster i naturen. Ett vanjigt exempel är hur en viss sorts kaniner förökar sig. Man tänker sig då att ett kaninpar fods. Efter en månad blir kaninerna könsmogna och kan då foda l.tterligare ett par kaniner en månad senare.varje månad får varje könsmoget kaninpar ett rytt par. Så länge som inga kaniner dör, kommer då antalet par att växa enligt Fibonaccis talfoljd. Talfoljden kan fortsätta i all evighet. Om man bildar kvoten av ett tal med det närmast efterföliande, så bildas en ny talfoljd: 11235 8 1 2 3 s 8 13 Kvoten kommer så småningom att närma sig: r/s-t ) = 0'6lE fut".t O,OtS betecknar gyllene snit- /e/. Förutom i naturen kan man även finna gyllene snittets proportioner inom bland annat konst och arkitektur. AL[EBRA orh E(vATroNERo H sror A 1l7
t. #" d KLUBBSTUGA,N FF_- I En förening har sin klubbstuga vackert belägen vid en fiskesjö. Stugan har **' ilj % l- 30 bäddar för övernattning. Förutom att ha föreningsaktiviteter i stugan, så finns den också till uthyrning. När man hyr stugan betalar man varje dygn dels en grundavgift på 600 kr, dels en avgift på 50 kr per gäst. Föreningen informerar om detta på sin hemsida. Där vill man också lägga ut en funktion som snabbt beräknar kostnaderna om man knappar in antalet nätter # t*, -*$, s* och antalet gäster. Hjälp föreningen genom att införa lampliga variabler och ange beräkningsformler till de rutor som finns på hemsidan. ffi,t Antal gäster Antal nätter Total summa Total summa per gäst Total summa per natt för varje gäst ROTEN UT TVÅ Med hjalp av en gissning och formeln ) Nösta värde = " Grssnrng Gissnins + -:::. kan man uppskatta värdet av./2. Man borjar med en gissning och beräknar Nösta värde med hjalp av formeln. Nästa värde kommer att vara en bättre uppskattnin g av tr2 än gissningen. Låter man sedan Ncista viirde vara Glssning fär man ett än bättre värde. Det här kan man sedan upprepas tills man får ett så bra värde på ld som man önskar. f,j Börja med en Gissning som du vet är för liten. Vad blir Nästa värde? ll.r Välj en Gissning som du vet är för stor. Vad blir Näsrrr värde? :i,:: Qq1 enny Gissning och upprepa fem gånger genom att låta Nösta värde sedan vara Gissning. Hur nära blev ditt resultat det verkliga värdet av ^12? l;,r Förklara varför Nästa värde alltid blir en minst lika bra uppskattning av r/2 som din gissning. 6MVÄF{D srrfekfö{-3{} r: Välj ett tvåsiffrigt tal 59 d,i Kasta om ordningen mellan siffrorna 95 * Bilda differensen av de två talen 95-59 = 36 i:.i Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa proceduren. Vilket mönster ser du? r; Bevisa det mönster du ser. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas l0rr + b, där o och b är heltal mellan 0 och 9.!t8 arcrena och Er(vATroNER o problem och undersö<nrncar
-.-,r#ffi tiff dåh, -ft w1'.;..] Algebra. uttryck. el<vationer. formler Matematiska modeller. matematisl<a problem. metod för problemlösning Uttryck. variabel. l<oeff icient.l(onstant. förenkla. faktorisera, bryta ut. förl<orta Olikheter. olil<hetstecl<en. vända på olikhetstecknet? Ekvationer.likhet. VL=HL. första graden. andragradsekvation. tredjegradsekvation. potensel<vationer Formler. samband mellan storheter. lösa ut variabler. mönster Rotuttryck. lösning till potensel<vation. te roten ur, l<vadratroten ur. 'te l<ubil<roten ur Mönster. talfölid. element. rel<ursiv formel. sluten formel. aritmetisl< talföljd Summor. aritmetisk summa ' I-tecl<net Ekvationslösning med övertäcl<ning allmän lösningsmetod prövning ALCEBRA oth El<vATroNER o TANr<EKARTA 119
:li.e ujl t*; LL; l-ll,i f11 n.-j u: F; X."r {x xi 4, ffi,i B NIVÅ 1 I Beräkna värdet av uttrycket 5x + 8-2x - a) x=5 b) x=-2 c) x=0 2 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) 2-6y+3+2y b) 3y+8+2-4y c) -l5m- 18 - l2m - L3n - m + n 15 om 8 Formulera ett problem där ekvationen ö 500-3x= 128 är en del avlösningen. 9 Beräkna. Svara med tre decimaler. a) trtz b)'o c) r/t ost 10 11 Lös ekvationerna. Svara med tre decimaler. a) nz = 0,83 b) 3m2:21 c) P3=36 Lös ekvationerna exakt a) f=100-1, 1t 3 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) 10 + (4b-7) b) r8m + (I3n + 2m) - (I3n + l}m) c) l2x - 3(x + 5) 4 Brlt ut faktorn 3x ur a) 3f -6x b) l2xy + 6x 5 Lös ekvationerna a) 0,5x * 0,3 = 3,8 b) -l2y - I,2 = 3.t 9-4=t6 '3 5 Lös ekvationerna a) 4(x-3) +7 =35 b) 3x-12=24-x 7 Teckna ett uttryck for f'rhorningens omkrets och förenkla uttrycket så långt som möjligt. b) I = o'gt -\ t-3-17 l) u - L/ Lös ut 7 ur formlerna. a) 2y= 6 b) 2y-a=6 c\ L+4=a 2 13 Beräkna de fyra första elementen i talföljderna som beskrivs av a) ar=2n b) ar= n-1 c) an=)n-1 d) an=n2.'1 14 Studera talföljden 100, 104, 108,... a) Beskriv den med en formel. b) Bestäm au. c) Beräkna summan av de 10 första elementen i talföljden. 19 20 2t 15 Lös olikheterna a) 3x+ 15 > 36 b) Sx-2<36+x c) 17-3x322 I2O ALGEBRA och EKVATIONER O BLANDADE UPP6IFTER :Å",tå* 1l
=- 16 Vilka tal är markerade på tallinjen? 22 Teckna en ekvation for foljande händelser. t7 18-3 -2-1 -30-20 -10 ---------------- l/ 10 40-0,6 -o,4 -o,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Teckna uttryck som visar foljande sanband a) y är 18 mindre än x b) x är en tredjedel så stort som./ c) y är 5 mer än dubbelt så mycket som x Teckna uttryck som visar f'öljande samband a) Stefan har spelat på V75 två veckor i rad och vunnit båda gångerna. Första gången vann han r kr och andra gången vann han 350 kr mer. Sammanlagt r.ann han 4 740 kr. b) Martin lastar sin släpvagn med l2 brädor som var och en väger x kg. Sedan lägger han på två byggskivor som tillsamrnans väger 92 kg. Hela laster-r väger 164 kg. c) EIin och Lotta brukar tävlar orn vern sonr kommer f-örst tiil skolan. De senaste tre veckorna har Elin kominit först x gånger och Lotta dubbelt så många gånger. d) Arvids lön är x kr/miin. Han betalar 5 830 kr i skatt vilket är 1/3 av lönen. 19 a) y är mer än dubbelt så stort som x b) x är mindre än två tredjedelar av1 Markera olikheternas lösning på en tallinje a) l2x-5>5x+86 b) 2x-45<75+5x 23 24 Orn jag subtraherar 12 från mitt tal, så får jag kvar en tredjedel av det ursprungliga talet. StäIl upp en ekvation och bestäm det ursprungliga talet. Summan av tre på l'arandra följande heltal ar 1 1 1. Stä1I upp en ekvation och bestiim talen. 20 StälI upp ett uttryck för att besvara foljande frågor a) En kaka som väger a kg ska delas i n lika de1ar. Hur mycket väger varje bit? b) Elin dr x är äldre än Sven som är 1 år. Hur gamrnal är Elin om fem air? c) En ballong stiger med konstant hastighet /r meter på r timmar. Hur hogt stiger den på n timmar? 25 Maria, Andreas och Patrik springer stafett. Andreas håller på dubbelt så lång tid som Maria och Patrik har 27 minuter längre tid än Andreas. Tillsammans har de hållit på 2 tirnmar och 22 minuter. Hur lång tid behövde var och er-r på sin sträcka? 21 Energiåtgången när Pär duschar kan beräknas med formeln E - 0,44. t, där E är energiförbrukningen i kilowattimmar (k\\h) och r tiden i minuter. a) b) Hur mycket energi använder Pär om han duschar 5 minr-rter? Hur länge har Pär duschat om han använt 6,7 kwh? ALCEBRA OCH EI<VAT ONER O BLANDADE UPPI FTER 121
a I 26 27 Erik har kopt två påsar med fågelfrön. En av påsarna väger 3 kg mer än den andra. Tillsammans väger påsarna 19 kg. Hur mycket väger den tyngre påsen? Eva och Lina har vunnit 4 300 kr på tipset. Eva ska ha dubbelt så mycket som Lina, men innan de delar vinsten måste de betala tillbaka de 700 kr som de har lånat av Linas mamma. Stä1I upp en ekvation och bestäm hur mycket Eva tår. 28 Titta på talföljden 5, 8, 13, 20,... Vilket av foljande utryck beskriver den n:te termen? 4n+I 3n+2 n2+4 29 (x - 2) cm enligt figuren. Uttryck den markerade längden s med hjalp av variabeln x. Uttrycket ska vara på enklaste form. Tre stavar R Q och R har längderna x, (x + l) och a) PQR x x+1- x-2 \.--/ 5 btqr P c) a FdrvÅ ä.r + 5 3-) S 7 30 Teckna uttrycket som beskrivs au L 2n n-4 31 Sidan i en kvadrat är 7,5 cm längre än sidan i en annan kvadrat. Arean hos den större kvadraten ar I3I,25 cm2. Hur långa är kvadraternas sidor? 32 Förenkla uttrycken så långt som möjligt a4ba2b a) +_ '2 5 4 5. 6a+2 b) '9-7 -2a 33 Lös ekvationerna 34 35 35 ^,5t 4t 3_11-5x 6 8 24'12 1213 b) - _+_- 2x 3 15 Skriv uttrycket 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 med hjä1p av summatecken. Karin cyklar till Emma för att hämta en bok. Hennes medelfart är 25 kmih. Hon pratar med Karin i 15 minuter och cyklar sedan hem igen. Eftersom hon har motvind så är hennes medelfart nu bara 20 km/h. Hon är hemma igen efter 42 minuter. Hur 1ångt har hon cykiat? Kerstin tycker om att vandra i bergen och är också intresserad av matematik. På en vandring noterar hon att det är 11 grader varmt i dalen på I 587 meters höjd över havet. Vid hyttan på toppen 2 446 meter över havet visar termometern 4 oc. Kerstin bedömer att temperaturen sjunker med konstant hastighet beroende på hojden över havet. Hon vill konstruera en formel som visar temperaturen T "C vid hojden h meter över havet. Hjälp Kerstin att konstruera formeln. 37 Beräkna värdet av uttrycken för a = 3 och b:-2. a) a-7 b) ab+b2 d f,+ab2 3! 40 122 ALcEBRA 0cH El<vAT 0NER o BLANDADE UPPcIFTER
=- 38 Ron har fått nedanstående uppgift: "Albus är 3 år äldre än sin bror Severus. Deras syster Minerva är dubbelt så gammal som Albus. Tillsammans är de 29 år. Hur gammal är Albus?" Ron väljer att lösa uppgiften med hjälp av en ekvation och hans lösning ser ut så här: f,+(x-3)+2x=29 x+x*3+2x=29 4x-3=29 4x=32 r=8 Svar: x: 8 Ge Ron återkoppling på lösningen. Vad har han gjort som är bra? Vad kan förbättras? 39 Den effekt som man kan få ut från ett vindkraftverk beskrivs av formeln P = 0,5 ' p 'A ' vl, där P är effekten i W, p luftens densitet som kan sättas,nll I,225 kg/m3, A sveparean i m2 som beror på vingarnas langd och v vindhastigheten i m/s. a) Hur stor effekt ger ett vindkraftverk med sveparean 2 125 m2 när vindhastigheten är 6 m/s? b) Hur mycket ökar effekten om vindhastigheten ökar till 10 m/s? c) Man ska bygga ett vindkraftverk som ska ge effekten 3,3 MW när vindhastigheten är l2 m/s. Hur stor måste sveparean vara? d) Vilken vindhastighet krävs för att effekten ska bli 2,0 MW om sveparean är 2 500 m2? 40 En sorts smågodis kostar 8 kr/hg och en annan 6 kr/hg. Gustav köper sammanlagt 5 hg och får betala 34 kr. Hur mycket har han köpt av varje sort? 41 a) Beräkna summan av de 10 första positiva heltalen. Beräkna summan av de 100 första positiva heltalen. Beräkna summan av de I 000 första positiva heltalen. d) Finn ett nönster i uppgift a)-c) och gissa summan av de 10 000 första Positiva heltalen. e) Beräkna summan som nämns i uppgift d). F*TVÅ ffi 42 Enkubformad låda med lock har volymen 60 dm3. Hur stor volym har en likadant formad låda utan lock, om man använder lika mycket materiai som till lådan med lock? 43 Lös ekvationen exakt a) (x - 20)2 = 31 b) 3(7y - O2 - t66 = 26 44 Fyll i de tomma fälten. Uttrycket i ett fält är sumrlan av uttrycken i de två talt det står på. 45 b) c) På ett matteprov stod frågan: Hur många termer sl<a ingå i den aritmetisl<a summan 16 +14 +12 +...för att summan ska bli 50? Både Gert och Adam har löst uppgiften, men kommit fram till olika svar. Ändå har båda gjort rätt. Hur har det gått till? AL[EBRA och Et(vATloNER o BLANDADE UPPC FTER 123
F*: t"& : &å*., t"* : å,*j : w ffi ffiffitu ä Utan räknare K qs' a) Förenkla uttrycket 2x-3y + 4x + 5y - 6 b) Beräkna värdet av uttrycket om x = 2 och y = 5. Lös ekvationerna a) 3x-8=14,5 b) aqx-1)=3-(2x+2) Pia betalar 49 öre per minut när hon ringer med sin mobiltelefon. Ett sms kostar 69 öre. Hennes faktura bestäms av uttrycket 0,69x + 0,49y.Yad betyder variablerna x och y? 4 5 Lös ut a ur uttryckel 3ab + c = d Skriv det matematiska uttrycket som med ord kan sägas "7 är tre mindre än dubbelt så stort som x". Vilka tal beskrivs på tallinjen? #x # -4-3-2-tO L 2 3 4 5 Lös olikheterna a) 3x-6<-11 b) 86-6x<4x+6 5 Uttrycket I lion + 2) beskriver en aritmetisk summa. n-i a) Bestäm uttryckets största och minsta term. b) Beräkna summan. amal tänker på ett tal. Han multiplicerar det med 5, adderar 7 till produkten och dividerar summan med 4. Kvoten blir 13. Vilket tal tänkte Jamal på? 10 Enligt Pythagoras sats gäiler f + (2x)2 = 4gz 2x Bestäm triangelns area. I24 ALcEBRA och EKVAT ONER O <APITELTEST
ll.l-f- =- Med räknare 11 Formeln s = v ' t anger sambandet mellan hastighet, tid och sträcka. Bestäm medelhastigheten som Usain Bolt hade när han vann VM-guld på 100 meter i Berlin 2009 pä tiden 9,58 s. t2 Kapitalet i en räntefond r år efter att pengarna har satts in är Kkr och beskrivs av formeln K: K0. pt där Ku kr är det kapital som ursprungligen sattes in i fonden ochp är den årliga förändringsfaktorn. a) Bestäm p, om K0 = 8 500 kr och K = 9 103 kr efter 3 år. b) Tolka betydelsen av det du räknade ut i a). 13 Låt A: 2x2 + 3x- 4 och B: 3x * 2 varatvå uttryck. Avgör om påståendet är sant eller falskt och motivera ditt svar. L4 a) Värdet av A är -4 lör x = -1. b) 2x2 + 3x - 4 + 5(3x + 2) =2x2 + I8x_ 2 c) Det finns ett tal a, sådant att värdet av A och B är lika för x = e. Som du kanske känner till, kan summan av de n första positiva heltalen kan beräknas med formeln 4:I rill exempel har vi n Summans uttrycl< n insatt i formeln Summans värde 11 2 1,+2 3 1+2+3 r(1 + 1) 2 2(2 + 1) 2 3(3 + 1) 2 Du ska nu undersöka vad som händer när man adderar summan for två på varandra foljande värden på il. Till exempel gäller att om man adderar summornaför n= 1 och n=2,såärresultatet l+3=4. Vilka iakttagelser kan du göra? Stail upp en hypotes. Försök bevisa att den stämmer oavsett vilka två värden på n man väljer, så länge man tar två på varandra foljande värden. Här ges förslag på en arbetsgång.. Beräkna summan för några andra värden pä n än de som finns ovan.. Utfor den beskrivna additionen för några olika värden på rz.. Ställ upp en hypotes över dina iakttagelser.. Bevisa din hypotes. AL[EBRA orh Er(vAT oner o r(aprreltesr 125