Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2... a n1 x 1 +a n2 x 2 +...+a nn x n = b n Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med 2 och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Håkan Strömberg 1 KTH Syd
3x y +2z = 7 x +y 2z = 3 multiplicera med -3 x 3y +2z = 1 multiplicera med -3 3x y +2z = 7 addera rad 1 till 2 och 3 3x 3y +6z = 9 3x +9y 6z = 3 3x y +2z = 7 4y +8z = 16 multiplicera rad 2 med 2 +8y 4z = 4 3x y +2z = 7 8y +16z = 32 addera rad 2 till 3 +8y 4z = 4 3x y +2z = 7 8y +16z = 32 +12z = 36 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = 2 i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Det får vi vänta med ett par veckor då vi åter ska ta upp linjära ekvationssystem! Exempel 1. Lös ekvationssystemet x+y+z = 6 x+2y+2z = 9 x+y+2z = 7 Lösning: Detta är ett ganska snällt ekvationssystem. Om vi subtraherar rad 1 från rad 2 och subtraherar rad 1 från rad 3 får vi x+y+z = 6 y+z = 3 z = 1 Vi har alltså redan fått ut z = 1 som vi substituerar i rad 2 och får y+1 = 3 som ger y = 2. Med dessa två värden kan vi så med hjälp av rad 1 få ut x, x+2+1 = 6 ger x = 3. Nu är det långt ifrån alltid det går så lätt! Exempel 2. Lös ekvationssystemet { x+y+2z = 1 2x+2y+4z = 3 Lösning: Detta är ett underbestämt ekvationssystem. Det vill säga det finns fler obekanta än ekvationer. Detta betyder att vi aldrig kan få ett genomgående numeriskt svar för de tre obekanta. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och får { x+y+2z = 1 0 = 1 Vilket betyder att systemet saknar lösning. Exempel 3. Lös ekvationssystemet { x+4y+5z = 1 2x+8y+10z = 2 Lösning: Vi tar till samma medicin som i förra exemplet och får { x+4y+5z = 1 Hur ska vi tolka det här resultatet? Eftersom rad 2 är ute ur räkningen räcker det att hitta (x,y,z) så att rad 1 satisfieras. Till exempel x = 0,y = 1 och z = 1. Vi förstår att det finns oändligt många lösningar. Välj ett godtyckligt x och y och fixa till z så att resultatet bli 1. rad 1 beskriver ett plan i rummet (ska vi ta upp senare). rad 2 beskriver samma plan. Det är ju bara att dividera båda sidor med 2 i rad 2. Alla punkter som ligger på detta plan är lösningar till systemet. Lösningen brukar man skri skriva så här x = 1 4t 5s y = t z = s Där s och t är godtyckliga tal. Exempel 4. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 3x+3y = 7 Lösning: Den här gången handlar det om ett överbestämt ekvationssystem. Det vill säga det finns fler ekvationer än obekanta. Normalt lämnar man då ekvationer åt sidan. I det här fallet rad 3 och löser systemet för de övriga rad 1 och rad 2. Men den här gången är det enklare än så. Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och 3 rad 1 från rad 3 och får x+y = 2 0 = 1 Detta betyder beroende på 0 = 1 att systemet saknar lösningar. Exempel 5. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 x y = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Lösning: Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och rad 1 från rad 3 och får x+y = 2 2y = 2 rad 3 ger y = 1 och därefter får vi i rad 1 x+1 = 2 som ger x = 1. Den skarpögde ser att det handlar om tre räta linjer och att rad 1 och rad 2 är samma räta linje. Denna linje skär den från rad 3 i punkten (1,1). Exempel 6. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 3x+3y = 6 Lösning: Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och 3 rad 1 från rad 3 och och får x+y = 2 Självklart är det här samma linje i alla tre raderna. Vilket betyder att alla punkter som ligger på denna linje är lösning till systemet. Vi kan skriva lösningen på parameterform { x = 2 t y = t Där t är ett godtyckligt tal. Exempel 7. x+y+z = 7 x+2y+3z = 11 2x+y+2z = 12 Lösning: Vi startar med att subtrahera rad 1 från radrad 2 och 2 rad 1 från rad 3. Vi får då x+y+z = 7 y+2z = 4 y = 2 Från detta får vi att y = 2, som vi substituerar i rad 2 och får z = 1. Till sid får vi i rad 1 x+2+1 = 7 som ger x = 4. Exempel 8. x+y+z = 3 x+2y+2z = 5 2x+3y+3z = 2 Lösning: Vi startar med att subtrahera rad 1 från rad 2 och 2 rad 1 från rad 3. Vi får då: x+y+z = 3 y+z = 2 y+z = 4 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Subtraherar vi rad 2 från rad 3 får vi så x+y+z = 3 y+z = 2 0 = 6 Detta betyder då som tidigare att systemet saknar lösning. Exempel 9. Lös följande system med avseende på x och y för alla värden på a och b. { x+2y = 1 2x+ay = b Lösning: Ser enkelt ut eller? Vi startar med att subtrahera 2 rad 1 från rad 2 och får { x+2y = 1 Vi löser ut y och får (a 4)y = b 2 y = b 2 a 4 Finns det något tal vi inte kan tillåta som värde hos a. Om a = 4 så får vi 0 i nämnare och det är inte kul. Men så fort a 4 så får vi en lösning, vilket värde b än har. Fall I a 4 Vi löser med hjälp av rad 1 ut x och får när vi substituerar lösningen av y x = 1 2 b 2 a 4 Vi gör liknämnigt och får till slut x = a 2b a 4 Vad händer då egentligen om a = 4? Vi vet nu att det kommer att innebära att nämnaren blir 0. Men om b = 2 så blir även täljaren 0 och vi får 0 0. Just nu bestämmer vi oss att b 2. Systemet får då följande form Fall II a = 4 och b 2 { x+2y = 1 0 = b 2 Eftersom b 2, betyder det att alla andra värden på b leder till att systemet saknar lösning. Fall III a = 4 och b = 2 Återstår då att låta a = 4 och b = 2. Då får vi { x+2y = 1 och då har systemet plötsligt oändligt många lösningar. I första fallet Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Exempel 10. Vi har nått målet! ett system med 3 obekanta och 2 parametrar. Lös följande system med avseende på x,y och z för alla värden på a och b. x+y+z = 2 x+2y+2z = 3 2x+3y+az = b Lösning: Vi börjar med att subtrahera rad 1 från rad 2 och 2 rad 1 från rad 3 och får x+y+z = 2 y+z = 1 y+(a 2)z = b 4 I nästa steg subtraherar vi rad 2 från rad 3 och nu har vi x+y+z = 2 y+z = 1 (a 3)z = b 5 Nu är det dags att lösa ut z. z = b 5 a 3 Precis som i förra exemplet ser vi nu tre fall Fall I a 3 Här får vi exakt en lösning. Efter en del räknande Fall II a = 3 och b 5 Systemet har då formen z = b 5 a 3 y = a b+2 a 3 x = 1 x+y+z = 2 y+z = 1 0 = b 5 Eftersom b här inte får vara = 5, saknar systemet lösning. Fall III a = 3 och b = 5 Systemet får då följande form x+y+z = 2 y+z = 1 Vi subtraherar rad 2 från rad 1 och får x = 1 y+z = 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Nu har vi plötsligt ett system med 3 obekanta och endast 2 ekvationer. Systemet är underbestämt. Vi tar in en ny parameter t och bestämmer att z = t. Då blir y = 1 t. Vi vet dessutom att x = 1. Sätter vi in dessa värden i det ursprungliga systemet, så ser vi att det stämmer. Jag hoppas att vi ska förstå detta bättre när vi senare kommer plan och linjer i rummet! Nu ska vi avsluta med att skriva ett ordentligt svar: Fall I a 3 Fall II a = 3 och b 5 Ingen lösning x = 1 y = a b+2 a 3 z = b 5 a 3 Fall III a = 3 och b = 5 Oändligt många lösningar x = 1 y = 1 t z = t där t är ett godtyckligt tal. Räkneövningar Utdelat den 4 sep Problem 1. (KS1 021104 1) Lös olikheten Problem 2. (KS1 030127 1) Lös ekvationen Problem 3. (KS1 080204A 7) Lös olikheten Problem 4. (KS1 080204B 7) Lös olikheten Problem 5. (KS1 090914 1) Lös ekvationen Problem 6. (KS1 080915 4) Lös olikheten Problem 7. (KS1 070917 5) Lös olikheten x 2 2x+3 < 1 x 4 +1 x 2 = 0 x 2 > 2x+1 x 3 > 2x 1 2 x 2 = x+4 x 2 3 x+1 x 2x+5 < 3 x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Problem 8. (KS1 061106 2) Lös olikheten Problem 9. (KS1 061106 3) Lös olikheten x 2 +3x 1 x+2 < 1 Problem 10. (KS1 051107 1) Lös olikheten 6 x > 2x 8 x 2 x 1 3x+4 Problem 11. (KS1 040904) Avgör om punkterna ( 1, 2, 1),(8, 1, 7) och (5, 0, 5) ligger på samma linje. (3p) Problem 12. (KS1 041108) Bestäm avståndet mellan punkterna ( 2, 2, 4) och (3, 2, 1). Problem 13. (KS1 070917) För vilka värden på s och t är vektorerna u = (4, 3,s) och v = (2,t, 1) parallella? Problem 14. (T050114) Vektorerna u = ( 1,2,3), v = (2, 1,5) och w = ( 7,8, 1) är givna. Bestäm talen a och b så att w = a u+b v Problem 15. (T060822) För vilka reella tal p är linjerna L 1 = (1,1,1) +t(3,5,p +1) och L 2 = (1,1,1) +t(6,10,12) parallella Svar 1. (KS1 021104 1) < 1 x 2 2x+3 < 1; x 2 2x+3 1 < 0; x 2 2x 3 < 0; 2x+3 (x+1)(x 3) 2x+3 < 0; x < 3 2 x = 3 2 3 2 < x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3 x+1 0 + + + x 3 0 + 2x + 3 0 + + + + + (x+1)(x 3) 2x+3 odef + 0 0 + Svar: x < 3 2 eller 1 < x < 3 Svar 2. (KS1 030127 1) Eftersom x 4 = 0 då x = 4 sönderfaller ekvationen i två delproblem. Ett då x < 4 och ett då x 4. Då x 4: x 4+1 x 2 = 0 x = 6 och då x 4: (x 4)+1 x 2 = 0 x = 10 3 Efter att ha testat rötterna i den ursprungliga ekvationen kan vi skriva svaret: x 1 = 6 och x 2 = 10 3 Svar 3. (KS1 080204A 7) a) x 2 = x 2 då x 2 och x 2 = (x 2) då x < 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
b) 2x+1 = 2x+1 då x 1 2 och 2x+1 = (2x+1) då x < 1 2 Vi har att lösa tre delproblem Svar: 3 < x < 1 3 Svar 4. (KS1 080204B 7) Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 2 (x 2) > (2x+1) x > 3 3 < x < 1 2 1 2 x 2 (x 2) > 2x+1 x < 1 3 1 2 x < 1 3 x > 2 x 2 > 2x+1 x < 3 inget x a) x 3 = x 3 då x 3 och x 3 = (x 3) då x < 3 b) 2x 1 = 2x 1 då x 1 2 och 2x 1 = (2x 1) då x < 1 2 Vi har att lösa tre delproblem Svar: 2 < x < 4 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 2 (x 3) > (2x 1) x > 2 2 < x < 1 2 1 2 x 3 (x 3) > 2x 1 x < 4 1 3 2 x < 4 3 x > 3 x 3 > 2x 1 x < 2 inget x Svar 5. (KS1 090914 1) Ekvationen sönderfaller i två beståndsdelar a) x 2; 2(x 2) = x+4; 2x 4 = x+4; x = 8 b) x < 2; 2(x 2) = x+4; 2x+4 = x+4; x = 0 För a) ser vi att x = 8 ligger i intervallet x 2 och för b) att x = 0 också ligger i intervallet. Svar: x 1 = 0 och x 2 = 8 Svar 6. (KS1 080915 4) Först skriver vi x 2 3 x+1 x 0. Vi tar reda på när uttrycken innanför absolutbeloppstecknen är = 0 genom att lösa de två ekvationerna. x 2 leder genom x 2 = 0, x = 2 leder till x < 2; (x 2) x 2; x 2 x+1 leder genom ekvationen x+1 = 0, x = 1 till x < 1; (x+1) x 1; x+1 Vi har nu att ta hänsyn till tre intervall och får följande tabell: Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 (x 2)+3(x+1) x 0 x 5 x 5 1 x < 2 (x 2) 3(x+1) x 0 x 1 5 1 5 x 2 x 2 (x 2) 3(x+1) x 0 x 5 3 x > 2 Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Svar: x 5 eller x 1 5 Svar 7. (KS1 070917 5) för 2x+5 3 x < 0 undersöker vi de båda absolutbeloppen. 2x+5 leder genom ekvationen 2x+5 = 0, x = 5 2 till x < 5 2 ; (2x+5) x 5 2 ; 2x+5 3 x leder genom ekvationen 2x+5 = 0, x = 5 2 till Detta leder till tre intervall x 3; 3 x x > 3; (3 x) Då Olikhet Lösning Intervall x < 5 2 (2x+5)+3 x < 0 x > 8 8 < x < 5 2 5 2 x < 3 2x+5 (3 x) < 0 x < 2 3 5 2 x < 2 3 x > 2 2x+5+3 x x < 8 inget Svar: 8 < x < 2 3 Svar 8. (KS1 061106 2) Vi startar med att skriva om uttrycket x 2 +3x 1 x+2 1 < 0; x 2 +3x 1 (x+2) x+2 och sedan faktorisera täljaren till (x 1)(x+3). Vi har nu (x 1)(x+3) x+2 < 0 < 0; x2 +2x 3 x+2 Vi betraktar nu de tre linjära uttrycken och tar reda på när de är = 0. Vi får x = 1, x = 3 och x = 2. Nu över till tabellen x < 3 x = 3 3 < x < 2 x = 2 2 < x < 1 x = 1 x > 1 x 1 0 + x+3 0 + + + + + x+2 0 + + + (x 1)(x+3) x+2 0 + odef 0 + Svar: x < 3 eller 2 < x < 1 Svar 9. (KS1 061106 3) Först får vi 6 x 2x 8 > 0 och undersöker sedan de båda absolutbeloppen. 6 x leder genom ekvationen 6 x = 0, x = 6 till x 6; 6 x x > 6; (6 x) 2x 8 leder genom ekvationen 2x 8 = 0, x = 4 till x < 4; (2x 8) x 4; 2x 8 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
Detta leder till tre intervall Då Olikhet Lösning Intervall x < 4 6 x+(2x 8) > 0 x > 2 2 < x < 4 4 x 6 6 x (2x 8) > 0 x < 14 3 4 x < 14 3 x > 6 (6 x) (2x 8) > 0 x < 2 inget Svar: 2 < x < 14 3 Svar 10. (KS1 051107 1) Vi startar med att skriva om uttrycket x 2 x 1 3x+4 1 < 0; x 2 x 1 (3x+4) 3x+4 och sedan faktorisera täljaren till (x+1)(x 5). Vi har nu < 0; x2 4x 5 3x+4 (x+1)(x 5) 3x+4 Vi betraktar nu de tre linjära uttrycken och tar reda på när de är = 0. Vi får x = 1, x = 5 och x = 4 3. Nu över till tabellen < 0 x < 4 3 x = 4 3 4 3 < x < 1 x = 1 1 < x < 5 x = 5 x > 5 x+1 0 + + + x 5 0 + 3x + 4 0 + + + + + (x+1)(x 5) 3x+4 odef + 0 0 + Svar: x < 4 3 eller 1 < x < 5 Svar 11. Riktningsvektor för linjen genom de två förstnämnda punkterna är Linjens ekvation blir då ( 1,2, 1)(8, 1, 7) = (8, 1, 7) ( 1,2, 1) = (9, 3, 6) 5 = 1+9t 0 = 2 3t 5 = 1 6t När vi löser de tre ekvationerna får vi i samtliga fall t = 2 3, vilket visar att punkterna ligger på samma linje. Svar 12. Vi får direkt ( 2 3) 2 +( 2 ( 2) 2 +(4 1) 2 = ( 5) 2 +0 2 +3 2 = 34 Svar 13. Att de är parallella betyder inte att de måste vara lika långa. Vi får ekvationssystemet 4 = 2 k 3 = t k s = 1 k med lösningen k = 2,t = 3 2 och s = 2 Håkan Strömberg 11 KTH Syd
Svar 14. Svaret får vi genom att lösa ekvationssystemet a+2b = 7 2a b = 0 3a+5b = 1 Med lösningen a = 3 och b = 2 Svar 15. Linjerna är parallella endast då Vi löser ekvationen 6 3 = 10 5 = 12 p+1 10 5 = 12 p+1 som har roten p = 5. Linjerna är parallella endast då p = 5 Håkan Strömberg 12 KTH Syd