Lösning av två dimensionella spänningsproblem med finit elementmetod i MATLAB Peter W Möller UTKAST 1
2
1 Introduktion Till MATLAB finns en s k toolbo, Partial Differential Equation (PDE) Toolbo, som kan användas för att approimera lösningen (med finit elementmetod) till en stor uppsättning olika differentialekvationer. Denna verktgslåda innehåller ungefär 50 funktioner och man kan hitta en ganska detaljerad manual på internet: http://www.mathworks.com/help/pdf_doc/pde/pde.pdf detta laddar ner en pdf fil som innehåller en manual till PDE toolboen. Dokumentet omfattar 446 A4 sidor. Det finns emellertid ett grafiskt användar gränssnitt till toolboen. Detta gränssnitt är till stora delar självförklarande för en användare med lite vana vid finit elementanals, varför man kan klara sig utan att ha studerat manualen, (fast man får då räkna med att missa en del användbara möjligheter). Vårt intresse för PDE toolboen kommer från att den ger möjlighet att lösa plana elasticitetsproblem (plan spänning och plan töjning). Sftet med denna skrift är att ge en kort handledning i användandet av det grafiska användar gränssnittet vid lösningen av två dimensionella spänningsproblem. För fullständighets skull går vi också kortfattat igenom elasticitetsproblemet och finit elementmetod. Materialet är organiserat som följer. I kapitel 2 härleds kortfattat de strande differentialekvationerna för lineär elasticitetsteori och vi visar hur det tre dimensionella problemet under vissa förutsättningar kan reduceras till ett plant problem (d v s till ett två dimensionellt elasticitetsproblem). Vi går också igenom olika tper av randvillkor som behövs för att differentialekvationerna ska få en entdig lösning en viss tonvikt ligger här på hur randvillkoren är formulerade och anges i MATLAB s PDE toolbo. PDE toolboen använder en finit elementmetod (FEM) för att approimera lösningen till randvärdesproblem (differentialekvation(er) med givna randvillkor). En kort och allmänt hållen beskrivning av FEM ges i kapitel 3. Vi går speciellt igenom vilka indata som krävs till ett FE program och hur det s k FE nätet påverkar den approimativa lösningens noggranhet. I kapitel 4 beskrivs PDE toolboens grafiska användargränssnitt. Menernas uppbggnad och funktionerna hos de viktigaste optionerna gås igenom. Detta görs i huvudsak genom att steg för steg beskriva hur ett givet elasticitetsproblem löses med MATLAB s PDE toolbo. 3
4
2 PDE toolboen i MATLAB 2.1 Introduktion Till MATLAB finns en s k toolbo, Partial Differential Equation (PDE) Toolbo, som kan användas för att approimera lösningen, med finit elementmetod, till en stor uppsättning olika differentialekvationer. Denna verktgslådan innehåller ungefär 50 funktioner. En manual om ca 284 A4 sidor finns tillgänglig via Mathworks hemsidor (se avsnittet Introduktion). Toolboen har emellertid ett grafiskt användargränssnitt, som till en del är självförklarande för en användare med lite vana vid finit elementanals. Vår avsikt med detta avsnitt är att guida en nbörjare genom det grafiska gränssnittet genom att lösa ett elasticitetsproblem. 2.2 Starta det grafiska användargränssnittet Starta MATLAB på vanligt sätt och skriv pdetool vid kommandopromten. Efter ett tag dker ett ntt fönster upp detta är det grafiska gränssnittet; se figur nedan. Större delen av fönstret består av ett ritbord där man kan rita upp sitt område, samt så småningom se beräkningsresultaten; ritbordet är försett med graderade koordinatalar. När man pekar på ritbordet sns ett hårkors och dess koordinater visas uppe till höger i fönstret. Längs översta raden i fönstret finns ett antal rullgardinsmener: File, Edit, Options, etc. Raden därunder består av ett antal knappar som utgör snabbval (genvägar) till några av de kommandon som finns i rullgardinsmenerna. Mellan dessa knappar och hårkorsets koordinater står namnet på den differentialekvation vars lösning ska approimeras. Vanligtvis står där Generic Scalar då man startat pdetool. (, ) Börja alltid med att välja rätt differentialekvation (programmet har en tendens att ibland radera/tappa bort en del data om man ändrar ekvation i efterhand). Ändra alltså Generic Scalar till Structural Mech., Plane Stress (plan spänning) eller till Structural Mech., Plane Strain (plan töjning), beroende på vilken problemtp du vill lösa. Under raden med knappar finns ett fält försett med rubriken Set formula. När man ritar upp sitt område på ritbordet använder man ett eller flera delområden; programmet kommer att ge varje sådant delområde ett namn, och dessa visas i fältet Set formula. Det kommer också att finnas ett + tecken mellan varje namn, vilket innebär att programmet antar att alla de delområden man ritat är en del av det område man vill räkna på. Om så inte är fallet kan man editera uttrcket i Set formula; vi kommer att visa hur detta fungerar i eemplet i nästa avsnitt. 5
Snabbvalsknappar för vissa funktioner Differentialekvationens namn Hårkorsets koordinater Menrad ael med koordinater ritbord ael med koordinater 2.3 Ett demonstrationseempel Vi betraktar en konsolbalk med längden L = 1 m som i sin fria ände är belastad med en punktlast H P E, ν P = 10 kn, enligt figuren. Bal- 0 ken har ett rektangulärt tvärsnitt med höjden och bredden t = 0,01 m H = 0,2 m 0 L E = 210 GPa ν = 0,3. Materialet är lineärt elastiskt med och. Bestäm spänningarna. 6
2.3.1 Lösning enligt teknisk balkteori Snittmomentet på avståndet från konsoländen är. Aialspänningen beräknas enkelt med Naviers formel; i ett tvärsnitt kommer spänningen att variera lineärt med ett maimum (dragspänning) vid balkens ovankant och ett lika stort minimum (trckspänning) vid balkens underkant. Längs centrumlinjen är. Man får (kontrollera det- m 3 ta); speciellt fås vid infästningen ( = = ) att σ ma M( ) = P σ σ = 0 σ, ma = 150 10 6 L 1 m, = 150 MPa N ------ Tvärkraften i balken är konstant T = P. Den genomsnittliga skjuvspänningen är därför τ, där är tvärsnittsarean. Med ett rektangulärt tvärsnitt fås = P A A = Ht = 2 10 3 [ m 2 ] då den maimala skjuvspänningen som τ ma = 3τ 2 = 7, 5 MPa. I tvärsnittet varierar skjuvspänningen som ett andragradspolnom; skjuvspänningen är noll vid ovan samt underkant och har sitt ma värde vid balkens medellinje. 2.3.2 Lösning med pdetool Starta pdetool enligt beskrivningen i avsnitt 4.2. Börja med att ange rätt differentialekvation: eftersom strukturen är tunn i jämförelse med dimensionerna i plan spänning (välj alltså Structural Mech., Plane Stress). (, ) planet väljer vi att använda 1: Börja med att rita upp området. Gå först in på menn Options och välj Aes Limits; i dialogrutan skriver man sedan in lämpliga start och slutvärden för och koordinaterna så att ritbordet täcker ett tillräckligt stort område. Under Options kan man också välja Grid, varvid ett rutnät visas; detta är ett bra stöd när man ska rita sitt område. Med menvalen Options Grid Spacing kan man ställa in koordinater för första och sista linjen i rutnätet, samt avståndet mellan linjerna. I vårt fall kan det vara lämpligt att ha avståndet 0.05 mellan linjerna. Genom att koppla på snap funktionen (Options Snap), så fastnar vissa punkter (t e polgonhörn, cirkelcentrum, radier, etc) i rutnätets hörn, vilket ofta är till hjälp då man vill rita med precision; har du avståndet 0.05 kan det vara lämpligt att välja Snap. Med Snap påslagen kan man, när man flttar hårkorset, se hur koordinaterna ändras stegvis då man flttar hårkorset; den (, ) koordinat som visas, är den vid vilket objektet kommer att fastna då man klickar, även om hårkorset inte står eakt i denna punkt. Gå nu in i Draw Mode (menn Draw). Vårt område ritas enklast som en rektangel: klicka på snabbvalsknappen längst till vänster (den som har en rektangel på sig), placera hårkorset vid 7
(, ) = ( 0, 0) och trck ner vänster musknapp; med musknappen nedtrckt flttas nu hårkorset till (, ) = ( 1, 0,2) släpp knappen och det är klart. 2: Vi har nu specificerat vilken differentialekvation vi vill lösa, samt på vilket område. Dags att ange randvillkoren: gå in boundar mode via menn Boundar. Man ser att programmet färgkodar ränderna. Den röda färgen betder att programmet (default) valt Dirichlet villkor, d v s hela randen är fast inspänd så all förskjutningar är noll på randen. Gå nu in i menn Edit och välj Select All; hela randen blir nu svart, vilket visar att vi valt hela randen. Välj nu Specif Boundar Conditions i menraden Boundar klicka på Neumann i dialogrutan som kommer upp och kontrollera att g1 och g2 är noll, och klicka sedan på OK. Samtliga delränder ska nu bli blå, vilket signalerar Neumann villkor. Neumann villkor innebär att randen är fri (d v s förskjutningarna är inte låsta). Variablerna g1 och g2 kan användas för att ange en eventuell last som verkar på randen. Sådana laster ska anges som kraft/ta, d v s de betraktas som fördelade över kanttan (kantlängd tjocklek). g1 anger lasten i led, och ska vara positiv om lasten verkar i positiv riktning. På samma sätt används g2 för att ange last i led. Vi har ovan angivit att samtliga ränder är fria och obelastade (g1=g2=0). Vi måste nu ange att högra kortsidan är fast, d v s att alla förskjutningar är låsta här. Placera hårkorset på högra kortsidan och dubbelklicka klicka på Dirichlet i dialogrutan som kommer upp. Kontrollera att r1 och r2 är satta till noll, och klicka sedan på OK. Dirichlet villkor innebär att förskjutningarna på randen är kända; variablerna r1 och r2 används för att ange storleken på förskjutningen i respektive led. I vårt fall angav vi r1=r2=0, d v s att förskjutningarna ska vara noll på denna del av randen. Genom att använda från noll skilda värden, kan man analsera problem med påtvingade (men kända) förskjutningar. Dags att införa belastningen. Det är mcket svårt att ange punktlaster i pdetool, så vi väljer här att lägga på lasten P jämnt fördelad över hela änd tvärsnittet. Lastintensiteten blir då P A = 5 10 6 [ Pa]. Dubbelklicka på den vänstra kortsidan och klicka på Neumann i dialogrutan som kommer upp. Kontrollera att g1 (d v s lastintensiteten i led) är noll och skriv 5e6 i rutan för g2. -tecknet är för att lasten verkar i negativ led inte för att skjuvspänningen skulle vara negativ (det är den inte heller som vi ska se). 8
3: Återstår nu att ge materialdata innan vi kan lösa randvärdesproblemet. Klicka på knappen märkt PDE för att gå in i PDE mode. Välj PDE Specification i menraden under PDE och skriv in värdena för E modulen (210e9) och Poissons tal. 4: Generera nu ett finit elementnät genom att klicka på knappen. Genom att klicka på knappen får man nät med flera element (kan upprepas). Lösningstiden ökar dock snabbt med antalet trianglar i nätet och MATLAB tar också lång tid på sig att plotta resultat; vi undviker därför knappen här har du redan klickat på den, så klicka på knappen igen. Vad är trianglarna för något? Det är dessa som kallas element (i namnet finit elementmetod); de används för att approimera lösningen lokalt (över varje element för sig). I pdetool används en lineär approimation över varje triangel; om t e förskjutningen i led i varje hörn av en triangel är given, kan man genom enkel interpolation beräkna förskjutningen i vilken punkt som helst inom triangeln. Samma gäller för förskjutningen i led. På så sätt blir förskjutningarna givna överallt i området och dess derivator (töjningarna) kan beräknas; efter insättning i Hookes lag fås spänningarna (vilket brukar vara det man egentligen är intresserad av). Kruet här är naturligtvis att förskjutningarna i trianglarnas hörn inte är bekanta det är dessa som primärt beräknas med finit elementmetod. Tpiskt beräknas dessa förskjutningar, kallade nodförskjutningar, så att potentiella energin minimeras detta i enlighet med principen om potentiella energins minimum. Spelar det någon roll hur många element (trianglar) man använder? Ja ju fler man använder, desto bättre approimation av lösningen till differentialekvationen fås. Jämför med att approimera en godtcklig kurva med en polgon. Med bara några få polgonsidor fås en grov approimation till kurvan (speciellt i områden där kurvan har stor krökning); med många polgonsidor fås en mcket bättre approimation. Rita t e en cirkel och försök approimera denna med en triangel, kvadrat, pentagon, heagon, etc. På motsvarande sätt vill man med finit elementmetod använda många element (med t e lineär approimation) i områden där (den obekanta) funktionen har stor krökning; i ett elasticitetsproblem inträffar detta tpiskt i områden där spänningarna varierar snabbt (spänningarna har stor derivata). När fler element används ökar också beräkningsarbetet eftersom vi inför fler triangelhörn och vi har 2 obekanta variabler (nodförskjutningarna) i varje hörn. Titta på det nät du genererat. Det innehåller ca 50 triangelhörn (om du inte trckt på knappen). Detta innebär att MATLAB ska lösa ett ekvationssstem med ca 100 ekvationer och lika många obekanta. Om antalet triangelhörn dubblas, fås i stället ca 200 ekvationer med 200 obekanta detta tar ca 8 ggr längre tid att lösa. Beräkningsarbetet ökar ungefär med kuben på antalet ekvationer. 9
pdetool har inbggd s k adaptivitet detta innebär att programmet kan uppskatta hur bra den approimativa lösningen är och sedan lägga till element (trianglar) där de gör störst ntta, samt därefter lösa problemet igen. Vi ska använda denna möjlighet. 5: Dags att lösa problemet: Välj Parameters i menraden Solve. Markera Adaptive mode i dialogrutan, och skriv in något lämpligt (inte allt för stort) värde i rutan med teten Maimum number of triangles ; 1000 kan kanske vara lagom här. Trck på OK och sedan på knappen problemet löses nu med adaptiv teknik och i MATLABs kommandofönster kan man följa gången. = 6: När MATLAB är klar med sina beräkningar så visas någon default plot (vanligtvis förskjutningen (kallad u) i färgskalan cool ). Välj nu Parameters under menraden Plot. Överst i andra kolumnen i den dialogruta som dker upp står displacement (u) ändra detta till stress för att få en plot av aialspänningen σ. Längst ner i fönstret står namnet på den färgskala som används vid plottningen ( cool ); vanligtvis brukar det vara lättast att avläsa resultatet om man använder jet ändra. Klicka nu på Plot knappen längst ner till vänster. Titta på resultatet ser (se avsnitt 4.3.1). σ ut som du förväntade dig? Jämför med lösningen enligt teknisk balkteori Välj nu Parameters under menraden Plot igen; ändra stress till shear stress och klicka på Plot knappen längst ner till vänster igen för att nu få en bild över skjuvspänningen τ. Jämför med skjuvspänningen enligt teknisk balkteori (avsnitt 4.3.1). Notera också att man får spänningskoncentrationer i hörnen mellan den fasta inspänningen och de fria torna. (Dessa kan naturligtvis aldrig beräknas med balkteori). Prova gärna också att plotta aialspänningen i led. Den bör vara nära noll överallt, utom vid inspänningen där något händer. Kan du förklara resultatet? Om du använder version 6 av MATLAB, så kanske inte tiopotensen sns. 10
Observera: Om du använder version 6 av MATLAB (release 12), så gör en anomali i implementeringen av pdetool att eponenten för färgskalan inte visas automatiskt (se figuren ovan). För att åtgärda detta, måste man (i MATLABs kommandofönster) skriva >> pde_fig = findobj(allchild(0), flat, Tag, PDETool ); >> h = findobj(allchild(pde_fig), flat, Tag, PDESolBar ); >> set(h, YTickLabelMode, Auto ); 7: Hur gör jag för att spara eller skriva ut en bild? Gå in i menn File och välj Print... I dialogrutan som dker upp väljer du först rätt pappersstorlek (A4) och orientering; välj sedan om du vill skicka bilden till en skrivare eller spara i en fil. Vanligtvis brukar det vara bäst att spara bilden i en fil, som sedan kan skrivas ut på vanligt sätt; väljer du att skicka bilden direkt till en skrivare, måste du skriva in skrivarens namn. Skriv sedan in rätt device option (gäller vare sig du skriver till en fil eller skrivare). I MATLABs kommandofönster kan man skriva help print för att få en lista på tillgängliga utskriftsformat; vanligast är att man använder dps2 (svart vit postscript) eller dpsc2 (postscript i färg). När du skrivit in önskad device option klickar du på Page Setup...; i den na dialogruta som visas, klickar man på Center och sedan OK. Avsluta genom att klicka på Print eller Save... (beroende på om du skickar bilden till en skrivare eller sparar i en fil). 8: Kan jag avsluta arbetet och fortsätta vid ett senare tillfälle? För att spara det arbete man gjort väljer man Save As... under menn File. Skriv i namnet på en (n) fil i vilket ditt arbete ska sparas; arbetet sparas i en s k MATLAB m fil. Man kan nu avsluta pdetool och MATLAB (se avsnitt 4.4). För att fortsätta med arbetet startar man först MATLAB; vid MATLAB prompten skriver man sedan namnet på den m fil i vilken man tidigare sparat sitt arbete (pdetool kommer att starta automatiskt). 9: Set formula. I vårt eempel med konsolbalken var det inte svårt att rita upp området eftersom det bara består av en rektangel. Ofta har man emellertid mer komplicerade geometrier och man måste då rita upp flera delområden och kombinera ihop dessa på olika sätt man använder fältet Set formula för att ange hur olika områden ska sättas ihop. Vi ger här en kort beskrivning av hur detta går till. Gå tillbaka till Draw mode genom att välja Draw Mode i menn Draw. Rita en cirkel med centrum någonstans på rektangelns (konsolbalkens) ovansida: klicka på knappen med en ellips som har ett + i centrum, placera hårkorset där du vill ha cirkelns centrum, trck ner vänster musknapp och dra ut cirkels radie. C1 R1 Eftersom och alarna har olika längdskala så ser det kanske ut som en ellips, men detta gör inget (vill du ha samma längdskala på båda alarna så väljer du Aes Equal i menn Op- 11
tions). Titta nu på figuren: rektangeln har till delats namnet R1 medan cirkeln heter C1 (E1 om du råkat rita en ellips). I rutan Set formula står R1+C1, där + tecknet ska tolkas som union ; vårt område består alltså av alla punkter som ligger i R1 och/eller C1. Gå nu in i Boundar mode genom att välja Bondar Mode i menn Boundar. (Notera att alla ttre begränsningslinjer är röda igen pedtool har ändrat alla randvillkor till default (Dirichlet villkor) eftersom vi ändrat på området). De inre begränsningslinjerna är gråa och delar vårt na område i 3 delområden. Man kan ge olika materialdata för olika materialdata för olika sådana områden; om detta inta är aktuellt är det bäst att ta bort de inre ränderna, vilket görs genom att välja Remove All Subdomain Borders i menn Boundar (prova detta). Gå nu tillbaka till Draw mode och ändra till R1 C1 i Set formula. Här ska - tecknet utläsas snitt, så uttrcket betder att vårt område består av alla punkter i R1 som inte också finns i C1. Gå tillbaka till Boundar mode och titta på hur detta ser ut; området ska bestå av en raktangel med en utskuren halvcirkel. Ändra nu Set formula till C1 R1 (du måste vara i Draw mode för att göra detta) och gå sedan tillbaka till Boundar mode området ska nu vara en halvcirkel. Gå till Draw mode igen och skriv R1*C1 i Set formula. * tecknet ska här utläsas intersektion, så uttrcket betder att vårt område består av alla punkter som ligger i R1 och C1. Gå tillbaka till Boundar mode och titta på hur detta ser ut. I eemplet ovan använde vi oss bara av 2 objekt (en rektangel och en cirkel). Med mera komplicerade geometrier kan man behöva avsevärt fler, och uttrcket i Set formula kan bli komplicerat. För att då få till en formel som ger önskat område måste man vara lite bevandrad i mängdlära eller så får man prova sig fram i båda fallen gäller det att veta hur pdetool utvärderar uttrcket i Set formula. Detta sker i 2 steg: först utförs alla - operationer i den ordning de kommer (från vänster till höger), och därefter utförs alla + och * -operationer (också från vänster till höger). Man kan ändra på ordningen genom att använda sig av paranteser alla uttrck som ges inom parantes utvärderas först. Kan du nu fundera ut hur områdena R1 C1+C1 R1 respektive (R1+C1) (C1*R1) ser ut? (Kan vara svårt att uppfatta rätt i boundar mode, så generera ett nät genom att trcka på knappen. 2.4 Avsluta pdetool Man stänger det grafiska gränssnittet genom att klicka på knappen Eit längst ner till höger (eller genom att välja Eit i menn File). Har man inte sparat sitt arbete eller gjort några ändringar sedan man sparade sist, så får man frågan om man vill spara. Avsluta sedan MALAB på vanligt sätt. 12