Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b = 1319 b a a b = 1496 Problem 3. Under veckans möte på bantarklubben genomfördes de ceremoniella vägningsprocedurerna med Adam, Bertil, Cecilia, Daniel, Eva och Felicia i huvudrollerna. Adam och Bertil vägde tillsammans 647 kg. Bertil och Cecilia vägde tillsammans 675 kg. Summan av Cecilias och Daniels vikt var 599 kg. Daniel och Eva vägde totalt 583 kg. Om Felicia vägde 370 kg och summan av alla medlemmarnas vikt var 197 kg, hur mycket vägde då var och en? Problem 4. Avgör om punkterna P 1 = ( 1,, 1,P = (8, 1, 7 och P 3 = (5,0, 5 ligger på samma linje. Problem 5. Bestäm a, b och c, så att ekvationen ax 3 + bx + cx + 64 = 0 har de två rötterna x 1 = 4 och x = 8. Bestäm också ekvationens okända rot. Problem 6. De tre punkterna P 1 = (1,1, 1, P = (3,,1 och P 3 = (3, 1, är givna. Bestäm P 4, så att de fyra punkterna bildar hörnen i en kvadrat. Problem 7. Bestäm de reella elementen a,b och c, som ingår i vektorerna a a b b c v 1 = b v = c v 3 = a v 4 = c v 5 = a v 6 = c b c a b så att v 1 v = 11 v 3 v 4 = 34 v 5 v 6 = 13 Problem 8. Bestäm K så att AKB = C då 1 4 ( A = 3 0 0 B = 0 1 1 1 C = 8 6 6 6 1 1 4 0 0 Problem 9. Normalt är inte AB = BA när man multiplicerar två matriser. De kommutativa lagen gäller inte för matrismultiplikation. Men här kan man bestämma a och b så att AB = BA då A = ( a 1 3 b B = ( a a+1 b Problem 10. För vilka värden på a har ekvationssystemet 1, 0 respektive oändligt många lösningar? 0x + 10y + 15z + 5aw = 5 ax + y + 3z + 4w = 1 6x + 3ay + 9z + 1w = 3 1x + 14y + 7az + 8w = 8 c b a Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Problem 11. Bestäm antalet lösningar hos systemet för olika värden på a { ax+ay = 4 Problem 1. Lös matrisekvationen 4x+ay = a XA B = C då A = ( 5 3 3 B = ( 1 0 1 1 C = ( 1 1 Håkan Strömberg KTH Syd
Lösningar Svar 1. Alla symmetriska matriser måste vara kvadratiska. Alltså innehåller matrisen n element. Det finns 1++(n 1 = n(n 1 element under huvuddiagonalen. Dessa element måste vara samma som de ovanför huvuddiagonalen. Återstår n n(n 1 = n(n+1 Svar: n(n+1 Svar. Jag startar med att definiera de fyra matriserna. Ställer sedan upp ekvationen som leder till svaret m1 = {{a, b}, {d, c}}; m = {{a, c}, {d, b}}; m3 = {{c, d}, {a, b}}; m4 = {{b, a}, {a, b}}; Solve[{Det[m1] == 109, Det[m] == 389, Det[m3] == 1319,Det[m4] == 1496}] Svar: a = 3, b = 45, c = 38, d = 17 eller a = 3, b = 45, c = 38, d = 17. (Lösningarna med komplexa rötter ska inte tas med Svar 3. a+b = 647 b+c = 675 c+d = 599 d+e = 583 f = 370 a+b+c+d+e+f = 197 Jag ställde upp det som en matrisekvation, fast man inte behöver det A = 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 b = 647 675 599 583 370 197 a = {{1, 1, 0, 0, 0, 0},{0, 1, 1, 0, 0, 0},{0, 0, 1, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 1, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 1, 1}}; b = {647, 675, 599, 583, 370, 197}; Inverse[a].b Svar: Adam 99, Bertil 348, Cecilia 37, Daniel 7, Eva 311 och Felicia 370. Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Svar 4. Enklaste sättet är p1 = {-1,, -1}; p = {8, -1, -7}; p3 = {5, 0, -5}; Det[{p1, p, p3}] Eftersom determinanten har värdet 0 ligger punkterna på samma linje. Svar 5. Två rötter är givna och den tredje antar jag är r. Då kan jag teckna ekvationen Collect[Expand[(x - 4 (x - 8 (x - r], x] (Collect använder jag för att samla koefficienterna. Jag får 3r+(3+1rx+( 1 rx +x 3 Nu ska jag identifiera koefficienterna och får fyra ekvationer. ekv1 = a == 1; ekv = b == -1 - r; ekv3 = c == 3 + 1 r; ekv4 = 64 == -3 r; Solve[{ekv1, ekv, ekv3, ekv4}] Genom svaret kan jag skriva ned ekvationen med kända koefficienter Som jag sedan löser Solve[x^3-10x^+8x+64==0] x 3 10x +8x+64 = 0 Förutom de rötter jag redan känner får jag den tredje Svar: x = Svar 6. Jag definierar de tre kända punkterna och gör ett antagande för den fjärde. Sedan tar jag reda på avstånden mellan de tre kända punkterna p1 = {1, 1, -1}; p = {3,, 1}; p3 = {3, -1, -}; p4 = {x, y, z}; Norm[p1-p] Norm[p1-p3] Norm[p-p3] Jag ser nu att avståndet mellan P 1 och P är detsamma som mellan P 1 och P 3, närmare bestämt 3. Avståndet mellan P och P 3 är 3. Dessa punkter måste ligga diametralt mot varandra Detta betyder att avståndet mellan P 4 och P 1 också ska vara 3, den andra diagonalen. Avstånden från P 4 till P och P 3 ska båda vara 3. Jag får ekvationen Solve[{Norm[p1-p4]==3Sqrt[], Norm[p-p4]==3, Norm[p3-p4]==3}] Håkan Strömberg 4 KTH Syd
detta ger punkten P 4 Svar: (5, 0, 0 Svar 7. Det hela blir ett ekvationssystem, som har både reella och komplexa rötter. Men de senare är man inte intresserad av. Jag definierar vektorerna och ställer upp ekvationssystemet v1 = {a, b, c}; v = {a, c, b}; v3 = {b, a, c}; v4 = {b, c, a}; v5 = {c, a, b}; v6 = {c, b, a}; Solve[{v1.v == -11, v3.v4 == 34, v5.v6 == 13}] Svar: (b = 6,a = 1,c = 1, (b =,a = 3,c = 5, (b =,a = 3,c = 5, (b = 6,a = 1,c = 1 Svar 8. Först måste jag ta reda på av vilken typ matrisen K är. (3 (??( 3 = (3 3. Från denna uppställning kan jag sluta mig att typen är (. Jag ansätter så en matris K, definierar övriga matriser och ställer upp ekvationen k = {{k11, k1}, {k1, k}}; a = {{1, 4}, {-, 3}, {1, -}}; b = {{, 0, 0}, {0, 1, -1}}; c = {{8, 6, -6}, {6, -1, 1}, {-4, 0, 0}}; Solve[a.k.b == c] Svar: K = ( 0 1 1 Svar 9. Jag definierar matrisen och ställer upp ekvationen ma = {{a, 1}, {3, b}}; mb = {{, a}, {a + 1, b}}; Solve[ma.mb == mb.ma] och får svaret Svar: a = 1, b = 7 Svar 10. Först tar jag reda på då det A = 0, det vill säga koefficientmatrisen. m = {{0,10,15,5a}, {a,,3,4}, {6,3a,9,1}, {1,14,7a,8}}; Solve[Det[m] == 0] Jag får inte mindre än fyra nollställen, a = 9, a =, a = 3, a = 4. Jag har nu att undersöka dem i tur och ordning. Först a = 9 tm = {{0, 10, 15, 5*(-9, 5}, {(-9,, 3, 4, 1}, {6, 3*(-9, 9, 1, 3}, {1, 14, 7*(-9, 8, 8}}; då systemet saknar lösning. Så a = Håkan Strömberg 5 KTH Syd
tm = {{0, 10, 15, 5*(, 5}, {(,, 3, 4, 1}, {6, 3*(, 9, 1, 3}, {1, 14, 7*(, 8, 8}}; då det finns oändligt många lösningar. Så a = 3 tm = {{0, 10, 15, 5*(3, 5}, {(3,, 3, 4, 1}, {6, 3 (3, 9, 1, 3}, {1, 14, 7 (3, 8, 8}}; då systemet saknar lösning. Så till sist a = 4 tm = {{0, 10, 15, 5 (4, 5}, {(4,, 3, 4, 1}, {6, 3 (4, 9, 1, 3}, {1, 14, 7 (4, 8, 8}}; Då det finns oändligt många lösningar. Svar: a = 4 eller a = finns oändligt många lösningar. a = 9 och a = 3 då lösning saknas. För övriga värden på a finns entydig lösning. Svar 11. Jag startar med att bestämma när det A = 0 m = {{a, a}, {4, a}}; Solve[Det[m] == 0] Detta inträffar då a = 0 respektive a = 4. När a 0 och a 4 finns entydig lösning. Jag undersöker nu hur många lösningar det finns då a = 0. tm = {{0, 0, 4}, {4, 0, 0}}; RowReduce[tm] och får ( 1 0 0 0 0 1 Vilket betyder att lösning saknas då a = 0. Jag undersöker nu a = 4 tm = {{4, 4, 4}, {4, 4, 4}}; RowReduce[tm] och får ( 1 1 1 0 0 0 Vilket betyder att det finns oändligt många lösningar Svar: a 0 och a 4 innebär entydig lösning. a = 0 innebär ingen lösning. a = 4 oändligt många lösningar. Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Svar 1. a = {{5, 3}, {3, }}; b = {{1, 0}, {1, 1}}; c = {{1, 1}, {, }}; (c + b.inverse[a] Svar: X = ( 1 1 3 6 Håkan Strömberg 7 KTH Syd