DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHETSLAGAR

DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHETSLAGAR DIMENSIONSANALYS Dimensionsanalys är en metod att reducera antalet variabler (och därmed komplexiteten) i ett givet problem. Ger möjlighet att uttrycka teoretiska eller experimentella resultat på sin allra enklaste form. Är av speciellt intresse då den fullständiga matematiska beskrivningen eller lösningen av ett problem inte är känd. Däremot krävs då kunskap om (eller känsla för) vilka storheter som inverkar på problemet. Introducerades (på allvar) av Lord Rayleigh på 1880-talet. Fulländades av Buckingham 1914 (Π-teoremet) och Bridgman 1922. LIKFORMIGHETSLAGAR Dimensionsanalys (eller dimensionsbetraktelse av de ekvationer inkl. randvillkor som beskriver problemet) ger skalningssamband mellan dimensionslösa storheter. Vid fullständig likformighet kan alla variabler i ett strömningsfall sättas i direkt samband med motsvarande variabler i ett annat strömningsfall. För detta krävs både geometrisk likformighet (samma geometriska form i bägge fallen) samt dynamisk likformighet (samma utseende på kraftpolygoner i motsvarande punkter). Exempel: Strömningskraften F på en omströmmad kropp vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor. F = f(ρ, V, l, µ) F ρv 2 l = g ρv l 2, d.v.s. C F = g(re) µ

DIMENSIONSANALYS Hörnstenar (axiom) En fysikalisk storhet beror inte av i vilket enhetssystem som dess mätetal uttrycks, ej heller dess matematiska beskrivning. Alla termer i ett matematiskt uttryck måste uppfylla dimensionshomogenitet (PDH), ex. s = s o + V o t + g t 2 /2 [m]. Primära storheter, MLT Primär storhet Beteckning Primär dimension SI-enhet Massa m M kilogram, kg Längd l L meter, m Tid t T sekund, s Temperatur T Θ kelvin, K Strömningslära och värmeöverföring, MLT Storhet Beteckning Primär dimension SI-enhet Area A L 2 m 2 Volym V L 3 m 3 Hastighet V LT 1 m/s Ljudhastighet c LT 1 m/s Acceleration a LT 2 m/s 2 Tyngdacceleration g LT 2 m/s 2 Volymflöde Q L 3 T 1 m 3 /s Massflöde ṁ MT 1 kg/s Tryck p ML 1 T 2 Pa Skjuvspänning τ ML 1 T 2 Pa Normalspänning σ n ML 1 T 2 Pa Vinkel φ rad Vinkelhastighet ω T 1 rad/s Frekvens f T 1 Hz Densitet ρ ML 3 kg/m 3 Dynamisk viskositet µ ML 1 T 1 Pas Kinematisk viskositet ν L 2 T 1 m 2 /s Kraft F MLT 2 N Ytspänningskoefficient σ MT 2 N/m Vridmoment T sh ML 2 T 2 Nm Effekt (mekanisk) Ẇ ML 2 T 3 W Effekt (termisk) Q ML 2 T 3 W Arbete, värme, energi W, ˆQ, E ML 2 T 2 J Arbete, värme, energi (per massenhet) w, q, e L 2 T 2 J/kg Inre energi, entalpi û, ĥ L2 T 2 J/kg Specifik värmekapacitet c p, c v L 2 T 2 Θ 1 J/(kg K) Expansionskoefficient β Θ 1 K 1 Värmekonduktivitet k t MLT 3 Θ 1 W/(m K) Värmeövergångskoefficient h MT 3 Θ 1 W/(m 2 K)

DIMENSIONSANALYS RECEPT Π-teoremet (Buckingham 1914) Om ett problem är beskrivet som ett fysikaliskt giltigt samband mellan k oberoende dimensionsvariabler så kan sambandet reduceras till ett mellan k r oberoende dimensionslösa variabler, s.k. Π grupper, där r är det maximala antalet variabler som tillsammans inte kan bilda en Π grupp. Reduktionen r är alltid mindre än eller lika med det antal primära dimensioner som uppträder i det ursprungliga sambandet. Dimensionsanalys recept 1. Skriv ut och räkna de k variablerna som beskriver problemet. Om någon variabel saknas kommer analysen att misslyckas. 2. Skriv ut dimensionen för varje variabel i det primära enhetssystemet, t. ex. MLT-systemet. 3. Ta reda på reduktionen r. Gissa först på att r är lika med antalet primära dimensioner och leta efter r variabler som tillsammans inte kan bilda en dimensionslös kombination (Π-grupp). Om detta inte går reducera r med ett och leta igen, o.s.v. 4. Välj ut r st variabler som innehåller alla primära dimensioner och som tillsammans inte kan bilda en Π-grupp. Använd om möjligt variabler som kan förväntas ha generell inverkan på problemet. 5. Lägg till en extra variabel till de r variablerna enligt punkten ovan och bilda en produkt med faktorer av potenstyp. Exponenten för den extra variabeln kan väljas fritt (skild ifrån noll). Ekvationssystemet som uppstår för de övriga exponenterna går nu att lösa! Upprepa tills antalet Π-grupper uppgår till k r. 6. Skriv ut det dimensionslösa sambandet samt verifiera att varje Π-grupp verkligen är dimensionslös. CH. 7.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

LIKFORMIGHETSLAGAR Hur kan resultat från modellförsök (index m) överföras till fullskala (index p)? Antag att följande unika samband mellan dimensionslösa variabler är giltig i en viss strömningssituation: Π 1 = g(π 2, Π 3,..., Π k ). Π 1 innehåller den beroende variabeln som vi är intresserade av, t.ex. Π 1 = F/(ρV 2 l 2 ) = g(π 2 = ρv l/µ, Π 3 = ǫ/l), där F är strömningskraften på en kropp (karakteristisk dimension l, d:o hastighet V, ytskrovlighet ǫ). Rent matematiskt gäller då: (Π i ) m = (Π i ) p, i = 2, 3,...,k (Π 1 ) p = (Π 1 ) m d.v.s. strömningsförhållanden vid modellförsök uppvisar fullständig likformighet med förhållanden i fullskala (eller någon annan skala) om alla dimensionslösa parametrar har samma värden i bägge fallen. Geometrisk likformighet: modell och prototyp är geometriskt likformiga om alla rumsliga dimensioner står i ett visst konstant förhållande till varandra i bägge fallen, l m /l p = λ l = konst. Geometrisk likformighet innefattar också alla vinklar gentemot omgivningen t.ex. relativt tyngdkraftsfältet (om det inverkar). I modellen av en flygplansvinge ovan till höger är alla rumsliga dimensioner en tiondel av de för den verkliga vingen till vänster (prototypen), l m /l p = λ l = 1/10. Observera att vingens anfallsvinkel gentemot anströmningen är densamma, 10, inte 1. Eftersom alla dimensioner skalats i samma förhållande måste även t.ex. vingens nosradie och dess ytråhet vara en tiondel av fullskalans. Positioner med samma skalade rumskoordinater kallas homologa punkter. CH. 7.8 Strömningslära C. Norberg, LTH

LIKFORMIGHETSLAGAR... Kinematisk likformighet: utöver geometrisk likformighet skall också hastighetsskalorna (eller tidsskalorna) mellan modell och prototyp stå i ett visst konstant förhållande, V m /V p = λ V = konst. (alt. t m /t p = λ l /λ V = konst.). Vid geometrisk likformighet och samma Froudes tal är friktionsfri strömning med fria vätskeytor kinematisk likformig, Fr m = Fr p, d.v.s. ( V 2 gl ) m = ( V 2 gl ) p V m /V p = l m /l p = konst. (g = konst.) Dynamisk likformighet: Utöver geometrisk likformighet skall alla krafter som verkar i modellskalan stå i samma proportion till motsvarande i prototypskalan, d.v.s. kraftpolygoner verkande på fluidpartiklar i homologa punkter vid homologa tider ser likadana ut. Om detta är uppfyllt gäller också kinematisk likformighet ty F m /F p = a m /a p = (V 2 m /l m)/(v 2 p /l p) = λ 2 V /λ l = konst. där F är en kraft verkande på en fluidpartikel (a = acceleration). CH. 7.8 Strömningslära C. Norberg, LTH

DIMENSIONSLÖSA TAL... Betrakta en ubåt som går med konstant fart V på periskopdjup. Rörelseekvationer för vattenströmningen, inkompressibel strömning: V = 0 ρ DV = p + ρg + µ 2 V Dt där 2 = = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2, g = gˆk. Använd båtens längd l som karakteristisk längdskala och båtens fart V som d:o hastighetsskala (tidsskala l/v ). Inför V = V /V, x = x/l, y = y/l, z = z/l, t = t/(l/v ) samt p = (p p a )/(ρv 2 ), där p a är atmosfärstrycket vid ytan. Dimensionslösa rörelseekvationer: Re = ρv l/µ Fr = V 2 /(gl) V = 0 DV = p Fr 1ˆk + Re 1 2 V Dt Reynolds tal Froudes tal Stationär strömning (tidsmedelvärderat fält) V = V (geometri ; Re, Fr) p = p (geometri ; Re, Fr) Strömningskraften F beror på hastighets- och tryckfältet kring båten, d.v.s. F = F ρv 2 l = C F(geometri ; Re, Fr) 2 Geometrisk likformighet C F = C F (Re, Fr)

LIKFORMIGHETSLAGAR... Vid inkompressibel strömning utan inverkan av fria vätskeytor gäller Reynolds likformighetslag: Strömningen blir likformig vid likformig geometri om Reynolds tal är lika vid modell- och fullskala. Ex. Strömningskraften på en flygplansvinge. Antag konstant underljudsfart V p och konstanta ämnesegenskaper för omgivande luft (konstant höjd). Luftens densitet och viskositet: ρ p och µ p (index p för s.k. prototypskala = fullskala), vingkorda l p, strömningskraft F p. Underljudsfart med konstanta ämnesegenskaper innebär att strömningen kan betraktas som inkompressibel. Modellförsök med likformig geometri, index m (korda l m, densitet ρ m, viskositet µ m ). Reynolds likformighetslag C F = F/(ρV 2 l 2 ) = g(geometri ; Re), där Re = ρv l/µ. Likformig geometri samt Re m = Re p C Fp = C Fm. Re m = Re p kräver följande anströmningshastighet i modellförsöket: V m = (ρ p /ρ m )(µ m /µ p )(l p /l m )V p Denna hastighet får inte ge upphov till effekter av kompressibilitet, vilket kräver V m /c m = Ma m < 0.3, där c m är ljudhastigheten vid modellförsöket. F m = uppmätt strömningskraft vid V m i modellförsök. Strömningskraft på vinge i fullskala: d.v.s. F p = (ρ p /ρ m )(V p /V m ) 2 (l p /l m ) 2 F m F p = (ρ m /ρ p )(µ m /µ p ) 2 F m