Extrauppgifter. C={x:x=ab, a A,b B}. 2. Låt vara två mängder av positiva tal och låt

Relevanta dokument
Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

6. Samband mellan derivata och monotonitet

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Om konvergens av serier

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Några saker att tänka på inför dugga 2

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Lösningsskisser för TATA

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

SF1625 Envariabelanalys

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Lösningsförslag till TATA42-tentan

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Kontinuitet och gränsvärden

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER

Modul 1 Mål och Sammanfattning

TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Om kontinuerliga funktioner

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Matematiska uppgifter

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

forts. Kapitel A: Komplexa tal

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Repetitionsuppgifter

Matematiska uppgifter

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Mer om reella tal och kontinuitet

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Tentamen i Envariabelanalys 2

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

Lösningsskisser för TATA

Enklare matematiska uppgifter

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

Transkript:

Etrauppgifter. LåtAochB vara två delmängder tillrsätt A+B={:=a+b, a A,b B}. Visa attsup(a+b)=supa+supb. 2. Låt vara två mängder av positiva tal och låt Visa attinfc=infainfb. C={:=ab, a A,b B}. 3. Bestäm supremum och infimum till följande mängder, och ange om de är maimum eller minimum a){ R\Q: 2}; b){ R: 2 + }. 4. LåtE R vara en mängd sådan att för varje två tal, E så har vi att. Visa atte är begränsad och attsupe infe. 5. Låt E R vara en oändlig mängd sådan att för alla, E. Visa atte är obegränsad. 6. Bestäm gränsvärdena av följande talföljder n = ( )n +/n 2/n 2 ( ) n. i n = +2++n n 2. n = n 2 + 2n 3. iv) n = n 2 n 8. v) v n = n 3 n +2 n. n = n n 2 +2n 3.

v n = [ n]+ n+ ([a] betecknar heltalsdelen till a). vi n = ( )n + n. i) n = 8 n 2 /3+/n. ) n = n! n n; n= 4n n!. 7. Visa att följande talföljder konvergerar och beräkna deras gränsvärden: i n = nn (n!) 2; n= nn (2n)!. (,), n+ = n (2 n ). =, n+ = n+ n +2. 8. (*) Använd induktion för att visa olikheterna Bestäm e n n nn n! en,,2,... n n n! n. 9. Visa, med hjälp av Cauchys kriterium, att följande talföljder konvergerar: i n = n + n+ +...+ 2n ; n = 2 23 +...+( )n n(n+) ; =, n+ = n + ( )n. n! 2

. Låt f vara definierad på (a,b) och kontinuerlig i (a,b). Visa att funktioneng()= f() också är kontinuerlig i.. Låtf ochg vara definierade på(a,b) och kontinuerliga i (a,b). Visa att funktionerna ϕ()=ma(f(),g()) ochψ()=min(f(),g()) också är kontinuerliga i. 2. Visa att ekvationen2 = har en och endast en lösning. 3. Visa att ekvationen3 =9 har åtminstone två reella rötter. 4. Visa att ekvationen 5 3 = har en rot i (,2) och åtminstone tre reella rötter. 5. Låtf vara kontinuerlig på(a,b) och a< < 2 <...< n <b. Visa att det finns en punktc (a,b) sådan att f(c)= n n f( k ). k= 6. Låtf vara kontinuerlig på[,] och antag att f() om. Visa att det finns en punktc [,] sådan attf(c)=c. 7. Låtf ochgvara kontinuerliga på[a,b] och antag att f(a)<g(a) och f(b)>g(b). Visa att det finns en punktc [a,b] sådan attf(c)=g(c). 8. Antag att f : [,] [,] är kontinuerlig, f() =, f() = och f(f()). Visa attf(). 3

9. Antag attf är kontinuerlig på(a,b), där a<b +, och attf har ändliga gränsvärden när aoch b. Visa attf är begränsad och likformigt kontinuerlig på(a, b). 2. Låtf vara likformigt kontinuerlig på (a,b) ( <a<b<+). Visa attf är begränsad på(a,b). 2. Visa att följande funktioner är likformigt kontinuerliga på de angivna in3 tervallen: f()=2,i=r; f()=,i=[,+); if()=sin( 2 ),I=( 2,2); iv)f()=sin,i=(,π]. 22. Visa att följande funktioner inte är likformigt kontinuerliga på de angivna intervallen: f()= 3,I=R; f()=sin( 2 ),I=R; if()=cos,i=(,π]. 23. Låtf vara definierad för alla R och antag att f() f(y) ( y) 2 för alla,y R. Visa attf är konstant. 24. Låtf vara kontinuerlig för och deriverbar för alla>. Antag att f()= och attf är monotont väande. Visa att funktionen är monotont väande. g()= f(),>, 25. Låtf vara definierad och deriverbar för alla R. Visa att: f är jämn om och endast omf är udda; omf är udda, så ärf jämn; i omf()= ochf är jämn, så ärf udda. 4

26. Visa följande olikheter: e >+ om R,=; i iv) α α( ) om>,<α<; <ln(+)< om>; + sin> 2 π om<< π 2 ; v) cos> 2 2 om>. 27. Antag attf är kontinuerlig på[,2] och attf är deriverbar på(,2). Visa att det finns en punktξ (,2) sådan att f(2) f()= ξ2 2 f (ξ). 28. Antag attf är kontinuerlig på[,] och attf är deriverbar på(,). Visa att det finns en punktξ (,) sådan att f() f()= f (ξ) 2ξ. 29. Låtϕvara definierad på(a,b) och deriverbar i en punkt (a,b). Visa att ϕ( +h) ϕ( h) =ϕ ( ). h 2h 3. Antag attf är deriverbar i(a,b) och attf har andraderivatan i en punkt (a,b). Visa att f( +h) 2f( )+f( h) h h 2 =f ( ). 3. Låt f vara konve på ett öppet intervall (a,b). Visa att f inte har ett strängt största värde. 32. Låtf,g R[a,b]. Visa att funktionerna ϕ()=ma(f(),g()) ochψ()=min(f(),g()) också är Riemannintegrerbara på[a, b]. Ledning: ma(α,β)= α+β+ α β. 2 5

33. Visa att 2 a + d= 3 för varjea>. Ledning: Använd variabelbytet= t. 34. Visa att π sin π2 +cos 2 d= 4. Ledning: Använd variabelbytet=π t. 35. Bestäm, genom att använda integraler, gränsvärdena för följande talföljder: s n = n sin π n +sin2π n +...+sin(n )π n ; s n = + n + n + 2n +...+ + n ; n i s n = n 2 + 2 n 2 +...+2n n 2. Svar: 2 π ; 2 3 (2 2 ); i2. 6

36. BestämF () omf definieras av: i F()= F()= 2 F()= ln(+t 2 )dt; cos(t 2 )dt; 2 e t 2 dt. 3 37. Visa, genom att använda l Hospitals regel, att i iv) cos(t2 )dt =; + e 2 + 3 sin tan + e t2 dt= 2 ; dt 3 +t 2 =3; tantdt =. sintdt 38. Låtf vara en kontinuerlig funktion på[a,b] sådan att Visa attf()= för alla [a,b]. α 39. Låtf R[a,b] och β f()d= för allaa α<β b. a b f 2 ()d=. Visa attf()= i varje punkt somf är kontinuerlig i. 7

4. Visa, med hjälp av Weierstrass test, att följande serier konvergerar: 2 +n 2, R; i iv) v) +n 4 2, [,+); 2 e n, [,+); cosn n 2, R; n +n 5 2, R. 4. Visa att serien cos 2 n n(n+) konvergerar för alla R. Visa att dess summaf är kontinuerlig pår. Beräkna 2π 42. Visa att funktionen f()= är kontinuerligt deriverbar på R. 43. Visa att funktionen f()= f()d. sinn n 3 3 e n är kontinuerligt deriverbar på[, +). 8