Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt: h A B sin = h = sin (Snt även då eller är > 9, eftersom sin (π ) = sin.) Ger Bågvinkelstsen (= eriferivinkelstsen) : S.k. ågvinklr som "står å" smm åge är sinsemelln lik stor och = (ågens medelunktsvinkel) : sin = sin Men vi nvände inte någon särskild egensk hos sidoret, det vi gjorde kn gå tt gör å ret, c och får då C C C 4 sin = sin γ c Kominer dess två likheter! C O Alterntiv med reetrktelse: ("Arestsen" se PB, sidn efter sinusstsen.) Tringelns re kn skrivs å tre olik sätt, eroende å hur s och höjd väljs ren = c sin = c sin = sin γ A B Multilicer nu dess likheter med c. ]AC B = ]AC B = ]AC B = ]AC 4 B =... = (]AOB) Secilfll v ågvinkelstsen : C A B Om AB är dimeter i cirkeln, så är ]ACB =9. Hu kn mn gör i stället? PB:s evis hr fördelen tt det visr något mer än vd mn i skoln vser med "sinusstsen" : Förutom tt kvotern sin, sin, c sin γ är lik sinsemelln, så är ders värde = omskrivn cirkelns dimeter! 4
Cosinusstsen PB:s evis gger å räkning med sklärrodukt, vilket inte rukr ingå i gmnsiekusen. Alterntiv : Inför ett koordintsstem så tt tringelns hörn ligger i (, ), (c, ), ( cos, sin ) H cos, sin L H,L c Hc,L Avståndsformeln ger = ( cos c) +(sin ) = = cos c cos + c + sin = [trig. ettn] = + c c cos 44
Additionsformlern cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos +sinsin sin ( + ) = sin cos +cossin sin ( ) = sin cos cos sin PB hr en härledning som nvänder sklärrodukt något som inte ingår i gmnsiekursen! kn vi hitt något lterntiv som ll kn egri? Betrkt unktern P : (cos, sin ) och Q : (cos,sin ), som ligger å enhetscirkeln. Roter nu dess vinkeln medurs. P P' Q Q' (Om <, är rottionen lltså i själv verket vr moturs.) Då övergår de i P : (cos( ), sin ( )) res. Q : (, ) Men rottion ändrr inte vstånd: P Q = PQ Avståndet melln unktern (, q ) och (, ) iett rätvinkligt koordintsstem är ( ) +( ) (enligt Pthgors sts), så i vårt fll får vi Utveckling: (cos ( ) ) +sin ( ) = (cos cos ) +(sin sin ) cos ( ) cos( )++sin ( ) = cos coscos +cos + +sin sinsin +sin Trigonometrisk ettn: och härv formeln. cos( ) = coscos sinsin Kortre lterntiv med cosinusstsen å tringeln OPQ : PQ = OP + OQ OP OQ cos ( ) (cos cos ) +(sin sin ) = + cos ( ) och fortsättning som ovn. 45
Ett nnt lterntiv med rätvinklig tringlr: När det nu hndlr om tt dder vinklr, så ligger det när till hnds tt tänk sig två tringlr stlde ovnå vrndr: Vi tänker oss först två rätvinklig tringlr, med vinklr res. lgd ovnå vrndr, så tt -tringelns horisontell ktet smmnfller med -tringelns hotenus.8.75.6.5.4.5..5.5.75..4.6.8 Härled dditionsformlern ur figuren ovn! (Lösning i högerslten.) En nledning till vrför mtemtiker tenderr tt välj ort det här lterntivet : Täcker figuren ll tänkr fll? Om vinklrn hr olik tecken t.e.? Om någon vinkel är > 8? Det är lätt tt förise någon möjlighet! Övre tringeln: Nedre tringeln: hotenus = kteter = cos, sin hotenus = cos kteter = cos cos, cos sin Sedn tänker vi oss en rätvinklig tringel med en horisontell och en vertikl ktet så här:.8.6.4...4.6.8 högr hörnvinkeln = ³ π + π π övre hörnvinkeln = horisontell kteten = sin sin vertikl kteten = sin cos Därmed cos ( + ) = cos cos sin sin sin ( + ) = cos sin +sincos 46
Hjälvinkelomskrivningen PB, sid.6-8 (76-78) D, sid.7-7 HMT, sid.7-9 Men om vi dderr två sinusfunktioner med smm frekvens, visr det sig tt resulttet lir återigen en sinusfunktion (med smm frekvens): Adderr vi två sinusfunktioner med olik frekvens, kn det se ut så här:.5.5.5 - -.5 -.5 - - -.5 -.5 -.5 + =cos(π) 4 + =cos(π) 4 - - - - - - = -4 =4sin(π) = -4 =4sin(π) 5.5.5 - - - - -.5 -.5-5 =cos(π)+4sin(π) -5 =cos(π)+4sin(π) Os. tt omskrivningen fungerr endst då åd funktionern hr smm vinkelfrekvens (= π idetndreemlet.) Med sinusfunktion vses här såväl sin som cos, sin, cos π, etc. de är ju endst sklde och/eller förskjutn koior v vrndr. 48
Vrför inte skriv om till cos? Det är elektroteknikerns trdition tt skriv om till sin. Mn kn lik gärn skriv summn som en cos-funktion. q T.e. +( ) =och därför sin cos " = # cos + sin Jämför nu med dditionsformeln Sätt = cos ( ) =cos cos +sin sin = en vinkel som ufller ½ cos = / sin = / Kom ihåg tt cos π =. Rit enhetscirkeln! De vinklr som hr cos-värdet är då π π och π π (+ ev. multilr v π, men nu räcker det för oss med en!) Då sin-värdet är ositivt, är det vinkeln i ndr kvdrnten som gäller: = π π/ =π/. Alltså sin cos π = cos =[Om så önsks...] = = cos π Omskrivning till cos är nästn smidigre, när målet är tt lös en ekvtion v ten sin cos = Med vår omskrivning ovn hr vi cos π = cos π = (Enhetscirkeln!) 8. Beräkn störst och minst värdet v ³ sin +sin + π 9. Lös ekvtionen sin +cos =. Vis tt ren v en tringel medhörni(, ), (, ) res. (c, d) ges v d c. För ll reell,,, gäller den s.k. Cuch-Schwrz olikhet : + + + Den skulle kunn eviss m.h.. kvdrering, men låt oss utnttj idén i hjälvinkelomskrivningen: + = + + Ã + Nu kn + + +, Ã +, + +! +! + och tolks som koordinter för unkter å enhetscirkeln, så... Slutför själv! När gäller likhet? π = ± π + kπ, k heltl 6 = π ± π + kπ = 5π + kπ eller = π 4 + kπ, k godtckligt heltl Ekv. cos = är väl enklre tt skriv lösningen å möjlighetern kn smmnftts med ±, när det gäller sin = så får mn skriv =... eller = π... ) 49