Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik Datum: 1 augusti 1 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel 6 + n 6 1 + n 6 Denna tentamen består av två delar. Först se enklare uppgifter, som vardera ger maimalt poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som ger maimalt poäng per uppgift. Den maimala 18poängsumman sin på skrivningen + n 6är således. För betyget G krävs minst 1 poäng. För betyget VG minst 18 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. 6 + n 6 15 + n 6 1. Lös 1 fullständigt + ekvationen n 6 sin ( 5 + + n ) 6 (p) BLOCK sin + n 6 6 + n 6 sin( + ) + + 1 n 6 1 18 sin + n 6 6 + n 6 15 + n 6 1 + n 6 5 + n 6 Svar: 15 + n 6 5 + n 6. Följande två villkor gäller: (1) att sin( ) 5 och () att sin( ) + cos( ) 7. Bestäm i vilken 1 1 kvadrant i enhetscirkeln som i så fall måste ligga. Ange kvadranten dels med dess ordningsnummer och dels genom att ange intervallet för storleken på vinklarna i kvadranten. (p) Villkor (1) ger i villkor () att sin( ) + cos( ) 7 5 + cos( ) 7 cos( ) 7 5 Då vet vi alltså att 1 1 1 1 1 1 sin( ) > och cos( ) < I vilken kvadrant är det då sant? Jo, i andra där det gäller för vinklar,, att π π och detta enkla konstaterande är alltså svaret på uppgiften. (Egentligen, om man skall vara fullständig i sin grundlighet gäller att π + n π π + n π för godtyckliga heltal n på grund av periodiciteten.) (. Derivera funktionen f ( ) och ange åtminstone två av derivatans nollställen. (p) ( 6 + + 1 Det är ju fullt möjligt att först skriva om funktionen som f ( ) innan + + 1 deriveringen, men då hamnar man i polynom med höga gradtal och det blir svårt, för att inte säga omöjligt, att hitta mer än ett nollställe till derivatan.
() ALLTSÅ, derivera med hjälp av kvotregeln och sammansatt funktions derivata och faktorisera resultatet så ser vi lätt att vi kan identifiera åtminstone två av derivatans nollställen. ( ( ( ( ( förkorta med f ( ) ) ( ( faktorn ( ( ( ( ( ( (( [ bryt ut ( ] ( ( ) Nu är derivatan förenklad till en faktoriserad form där vi kan se att och -1 är två nollställen och därmed är problemet löst.. Bestäm normalens till kurvan y ln() ekvation i den punkt där e. Tips: k k tan gent normal Det man behöver kunna för att lösa uppgiften är lite om logaritmfunktionens egenskaper samt räta linjens ekvation på enpunktsformen, dvs. vi skall använda ln() för att helt bestämma punktens koordinater, som alltså är (e, ln(e)) (e, 1). Sedan skall vi bestämma tangentens i punkten d 1 1 riktningskoefficient ktan gent ln( ) d e. När vi nu känner den använder vi e e 1 relationen i tipset för att räkna ut normalens riktningskoefficient: k e normal knormal e Nu använder vi räta linjens ekvation på enpunktsform y y k( ) y e( e) y e + e [ ] 1 + Svar: y e + e + 1 5. Vid fallrörelse från 1 meters höjd kan ett fallande föremåls läge under utgångspunkten beskrivas med sambandet s( t) 1 5t där t mäts i sekunder och s i meter. Läget vid tiden t är alltså s() 1. Beräkna hur långt föremålet faller under de två sekunderna mellan sekund och sekund 6? Teckna den fallna sträckan som en integral och visa att integralberäkning ger samma resultat för längden av sträckan. (om du tidigare valde en annan metod för din räkning.) (p) Kanske kan problemets enkelhet lura en och annan att tro att hundar är begravna här, men så är det inte alls. Längden av fallet mellan tid sek och 6 sek är helt enkelt s (6) s() 1 5 6 (1 5 ) 5 6 + 5 5( 6 + 16) 5 ( ) Det negativa tecknet beror på att nedåtriktningen ses som negativ. Alltså föremålet faller 1 m mellan tidpunkterna. Om vi skall visa detta med en integral, måste vi minnas att vägen, s, är integralen av hastigheten, v, dvs. s ( t) v( t) dt s ( t) dt Det ger oss att avståndet mellan punkterna s() och s(6) är värdet av den bestämda integralen 6 6 6 t 6 16 s ( t) dt tdt ( ) (18 8) Åter igen, negativt tecken på grund av den negativa riktning. Om man ritar ett par grafer över situationen kan man dels se s(t) och v(t) och arean under v(t) i intervallet [, 6]. (p)
() π 6. Beräkna integralen sin d. (p) DEL : ( cos( π cos() ) π π π cos( ) sin d sin d Givetvis ( cos( π ) cos() ) ( ) måste man veta att derivatan av cos() -sin() och att i så fall derivatan av den sammansatta funktionen cos() är -sin() och att faktorn i nämnare till den primitiva funktionen ovan måste finnas för att ta hand om :an, den inre derivatan. Dessutom måste man vara så pass kunnig vad gäller enhetscirkeln att man vet att cos( ) 1 och att cos( π ). π Svar: sin d π 1 7. Visa att tan + 1 tan π 1 v π 1 i formeln. genom att först visa att 1 tan v + och sedan sätta in tan v sin v (p) Eftersom detta är en del -uppgift begär jag som eaminator lite mer av studenten. I uppgiften måste sin v man alltså klara att använda identiteterna tan v samt trig.ettan sin v + cos v 1. Man skall cos v också kunna formeln för dubbel vinkel för sinus, samt kunna finna eakta sinusvärden för vissa vinklar här speciellt för sin( π ). 6 Lösningen består alltså av två delar. Först skall visa allmänt att det gäller att för alla v så 1 gäller att tan v + och sedan speciellt att om v råkara vara just π så är värdet av tan v sin v 1 vänsterledet eakt.
() 1 tan v +. tan v sin v 1 sin v sin v 1 V. L. tan v + tan v tan v + cos v cos v sin v cos v 1 [ förläng med ] V. S. V. sin v cos v sin v sin v cos v sin v + cos + cos v sin v sin v cos v v 1 sin v cos v Eftersom detta gäller för alla vinklar v, så gäller det alltså även för v π. Vi får alltså att 1 π 1 tan +. Att värdet på sin( π ) 1 får man med hjälp 1 tanπ 1 sin( π ) sin( π ) 1 6 1 6 av den halva liksidiga triangeln. 8. Bestäm ) om f ( ) och undersök om funktionen har några etrempunkter. Om du finner några, avgör i så fall deras karaktär, dvs. om de är mapunkter eller minpunkter ( värden). Bestäm slutligen motsvarande funktionsvärden, dvs. eventuella maima eller minima (y värden). (p) f ) ( ) ) ( ) ( ) Dessa värden är då stationära punkter, dvs. punkter i vilka funktionskurvan har horisontella tangenter. Är de då ma- eller minpunkter, dvs. byter derivatan tecken kring dem. Det avgör man antingen med hjälp av ett s.k. teckenstudium, vilket i detta fall är ganska enkelt då nämnaren är kvadratisk och därför positiv för alla utom för 1 som inte tillhör funktionens definitionsmängd. Vi gör en liten betraktelse av vad som händer kring och. Till vänster om är båda faktorerna i täljaren negativa, medan stra till höger om är positiv medan är negativ, dvs. derivatan är negativ. Derivatan byter alltså tecken som + kring, dvs är en mapunkt. I närheten av är självklart -faktorn positiv medan är negativ till vänster och positiv till höger om. Derivatan byter alltså tecken som + kring, dvs. är en minpunkt. Motsvarande maimivärde och minimivärde hos funktionen är då f ( ) och f ( ). Därmed är lösningen klar och vi har besvarat de ställda frågorna. Alternativ lösning är att gå vidare och ta fram andraderivatan för att med den avgöra om punkterna är ma- eller minpunkter: ( ) ( ) ( ) förkorta ( ) ( ) ) f ( ) med + + f () och f () ( ) ( ) 1 Slutsatsen blir alltså identisk med den vi drog tidigare genom teckendiskussionen av förstaderivatan. Svar: är en mapunkt och motsvarande maimivärde hos funktionen är y. är en minpunkt och motsvarande minimivärde hos funktionen är y.
5() 9. Bestäm arean av det område som begränsas av kurvan y e, 5, tangenten till kurvan i den punkt vars -koordinat är samt y-aeln. Ett eakt svar är enda möjligheten utan räknare. Rita figur för att tydligare identifiera området. Som vanligt i denna typ av problem är man hjälpt av en väl ritad figur i vilken man tydligt definierar det område vars area skall beräknas. Det är då lämpligt att uppskatta värdet av y(), y(1) y() e 1.5 och y(). y(1) e e,7 1,5 då 1, och 1,7 y() e,7 5, (p) Då återstår att fia till tangentens i ekvation och sedan skära den med y aeln. Tangeringspunkten är (, y()) (, e) och riktningskoefficienten y,5 (),5e,5e e. Alltså kan vi sätta upp ekvationen på enpunktsform. y e e( ) y e e + e e. Vi ser då att skärningen med y aeln sker i origo. Då kan vi komplettera grafen med tangentlinjen och tydligt se området. Arean av området blir då integralen från till över differensen av övre och undre kurvan, dvs,5,5 e A (e e) d e ( e e) ( ) e a. e. För att få en uppfattning av,5 storleken så kan man ju approimera detta med A,7 5, 1, a. e. Svar: Arean av området är e a.e.