Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA123 Algebra för ingenjörer Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna på A-delen ger maximalt 2 poäng styck. Uppgifterna på B-delen ger maximalt 4 poäng styck. För betyg 3 fordras minst 11 poäng, för betyg 4 minst 17 poäng och för betyg 5 minst 23 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Du får skriva flera uppgifter på samma papper, men skriv bara på ena sidan av pappret. A-del 1 (a) Beräkna inversen för nedanstående matris: 1 2 8 2 4 15 1 3 11 Normal uträkning, svaret är 1 2 2 7 3 1 2 1 0 Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, så länge principen är rätt. (b) Lös nedanstående ekvationssystem: x 2y+ 8z=2 2x 4y+15z=1 x+3y 11z=0 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! Koefficientmatrisen är densamma som matrisen i (a)-uppgiften, så snabbaste lösningen är att utnyttja den beräknade inversen: x 1 2 2 2 0 y = 7 3 1 1 = 11 z 2 1 0 0 3 Man får givetvis också lösa systemet på vanligt sätt. Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel 1

MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 2 (av 7) 2 Vi har matriserna A= 1 0 3 B= [ 3 4 17 ] 0 2 4 Matrisen X uppfyller XA= B Vad är X? (2p) X måste vara en 1 2-matris, annars stämmer inte dimensionerna. Säg att X = [a b]. Det ger XA= [ a b ] 1 0 3 0 2 4 =[ a 2b 3a+4b ] = [ 3 4 17 ] = B Förstaelementet ger a=3, andra 2b= 4, dvs. b= 2, och detta stämmer med tredje: 3 3+4 ( 2)= 17. Så X= [ 3 2 ] Rättningsnorm: 1 p för vettigt angreppssätt; 2 p om uppgiften är slutförd. Inget avdrag för enstaka räknefel. Ett sådant leder troligen till problemet olösligt, vilket då ger poäng om man motiverar ordentligt. Ingen poäng för olösligt utan tillhörande räknefel. 3 (a) Vad är en vektor för något? Ge en förklaring som du själv skulle ha kunnat förstå innan du läste den här kursen. Nånting som har både storlek och riktning, som hastighet och kraft. Kan illustreras med en pil. (Det finns en mycket mer omfattande matematisk definition, men det här är det som är relevant i de samband som ni arbetar med.) (b) Vad är en skalär för något? (Samma instruktion i övrigt.) Ett vanligt tal, eller någon storhet som kan fullständigt beskrivas med ett tal (som massa eller laddning). 4 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. Om vi använder basen B={u 1, u 2 }, vilka koordinater har då (a) v 1? (b) v 2? (c) v 3? (2/3p) (2/3p) (2/3p) (Summan avrundas till närmsta heltal.)

u 1 u 2 MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 3 (av 7) v 3 v 1 v 2 (a) v 1 = 3u 1 u 2, koordinater ( 3, 1) (b) v 2 = 2u 1 + 3u 2, koordinater (2, 3) (c) v 3 = 3u 1 + 2u 2, koordinater ( 3, 2) Rättningsnorm: Den som gjort ett konsekvent fel, typ tagit u 2 :s koefficient som förstakoordinat eller svarat med linjärkombinationen istället för med talparet, får halva poängen. 5 (a) z = 10 10i. Skriv z på polär form. z=10 2(cos 5π/4+i sin 5π/4) (b) w = 5(cos 5π/6 + i sin 5π/6). Skriv w på rektangulär form. w= 5 3/2+5i/2 Rättningsnorm: Om det är småfel i båda deluppgifterna ges 1 p totalt för uppgiftern. 6 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 5, 2, 0)+t( 3, 1, 2) l 2 : (x, y, z)=(1, 0, 4)+t(3, 1, 2) (angivna i samma koordinatsystem). Ärl 1 ochl 2 två olika linjer eller samma linje? Motivera! (2p) ( 3, 1, 2) = (3, 1, 2) så riktningsvektorerna är parallella. Då är linjerna antingen parallella eller identiska. Om någon punkt pål 1 ligger pål 2 så är de identiska. Se efter om P 1 : ( 5, 2, 0) ligger pål 2. Gör den det så finns ett t sådant att ( 5, 2, 0)= (1, 0, 4)+ t(3, 1, 2) (3t, t, 2t)=( 6, 2, 4) Detta kan separeras i tre ekvationer om man så vill, men förmodligen ser man att t= 2 löser denna vektorekvation. Så P 1 ligger pål 2, och då måste linjerna vara identiska. Rättningsnorm: Korrekt angreppssätt: 1 p. Helt rätt: 2 p.

MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 4 (av 7) 7 Då man arbetar med vektorer använder man bland annat skalärprodukt (dot product) och vektorprodukt (cross product). Dessa räknesätt har likartade räkneregler, men de är inte helt lika. (a) Skriv upp någon räkneregel som är i princip likadan för skalärprodukt och för vektorprodukt. Exempelvis: u (v+w)=u v+u w, u (v+w)=u v+u w; u 0=0, u 0=0; (au) v=a(u v), (au) v=a(u v). (b) Skriv upp någon räkneregel som inte är likadan för skalärprodukt och för vektorprodukt. Exempelvis: u v=v u men u v= (v u); u v=0 betyder att u och v är vinkelräta men u v=0 betyder att de är parallella; u u=0 för alla u medan u u=0 bara för u=0. Rättningsnorm: Svårt att förutse hur svaren kan se ut! 8 En triangel har hörn i punkterna P 1 : ( 3, 4, 2), P 2 : ( 1, 4, 5) och P 3 : ( 3, 7, 1). Bestäm triangelns area. (ON-system.) (2p) Utnyttja och att Area= basen höjden 2 = u v = u v sinα uv sida sida sin (mellanliggande vinkel) 2 Vi tar kantvektorerna, kryssar dem, tar normen och halverar: u= P 1 P 2 = ( 1, 4, 5) ( 3, 4, 2)= (2, 0, 3) v= P 1 P 3 = ( 3, 7, 1) ( 3, 4, 2)= (0, 3, 1) u v=(2, 0, 3) (0, 3, 1)= ( 0 1 ( 3) 3, 3 0 2 1, 2 3 0 0 ) = (9, 2, 6) u v = (9, 2, 6) = 9 2 + ( 2) 2 + 6 2 = 81+4+36= 121=11 så arean är 11/2 vad-man-nu-arbetar-i-för-areaenheter. Rättningsnorm: Insett att man ska utgå från kantvektorerna: 1 p. Insett att man ska använda vektorprodukt: 1 p. Inget avdrag för räknefel.

MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 5 (av 7) B-del 9 Vi har ekvationssystemet λx+y+5z=4 x+y+3z=λ x+λy+4z=λ Lös ekvationssystemet för alla värden påλ. Starta Gauss-Jordan som vanligt, men skjut upp division med obekant så långt som möjligt med hjälp av radbyten. (Obekanta uttryck kan vara noll, och man kan ju inte dividera med noll.) L 1 5 4 1 1 3 L 1 1 3 L 0 1 L 5 3L 4 L 2 1 L 4 L 0 L 1 1 0 Nu verkar man inte kunna få en ledande 1:a i andra kolumnen utan att dividera, vilket förutsätter att L 1. Undersök först vad som händer om L=1: 1 1 3 1 0 0 2 3 0 0 1 0 Det här ser väldigt olösligt ut, för 2z=3är inte konsistent med 1z=0. Om L 1kan vi dividera med det, och kommer vidare till 1 1 3 L 0 1 (5 3L)/(1 L) (4 L 2 )/(1 L) 0 0 6 3L 4 L 2 Samma problem igen. Om L = 2 blir 6 3L = 0 och går inte att dividera med. Undersök det fallet: 1 1 3 2 1 0 2 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ger x+2z=2, y+z=0, vilket kan parameteruttryckas som x=2 2t, y= t, z=t. Om L 2 kan vi däremot dividera, och får 1 0 0 (5L 8)/3(1 L) 0 1 0 (L 2)/3(1 L) 0 0 0 (L+2)/3 (4p) Rättningsnorm: Identifierat de två undantagsfallen: 1 p styck. Fixat det generella fallet: 2 p 10 u, v och z är tre olika komplexa tal. De uppfyller uz=v 2 uv=z 2 Visa att talen ligger som hörn i en liksidig triangel i det komplexa talplanet. (4p)

MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 6 (av 7) Om z vore noll skulle v också vara noll, och tvärtom, och det var sagt att talen var olika. Så de är inte noll, och går att dividera med. Vi får u= v2 z u= z2 v vilket kan sättas ihop till v 2 z = z2 v v 3 = z 3 Två olika tal med samma kubik är lösningar till samma binomiska tredjegradsekvation. Det betyder att de har samma belopp och att deras argument skiljer sig med 360 /3=120. Så vi har Då blir v=r(cosθ+i sinθ), z=r ( cos(θ±120 )+i sin(θ±120 ) ) u= v2 z ( ) r(cosθ+i sinθ) 2 = r ( cos(θ±120 )+i sin(θ±120 ) ) = r 2 (cos 2θ+i2 sinθ) r ( cos(θ±120 )+i sin(θ±120 ) ) = r ( cos(2θ (θ±120 ))+i sin(2θ (θ±120 )) ) = r ( cos(θ 120 )+i sin(θ 120 ) ) u ligger alltså på samma avstånd från origo, och 120 åt andra hållet. Hörnen på en liksidig triangel med centrum i origo ligger på samma avstånd från origo, och i riktningar som skiljer sig med 120. Så hörnen ligger som angivet, Vilket Skulle Bevisas. Rättningsnorm: Får göras upp under rättningen, svårt att förutse hur svaren kommer att se ut! 11 Vi har en 3 3-matris A med följande egenskaper: Om vi tar en punkt P : (x, y, z) så kommer x A y z att ge oss koordinaterna för den punkt i planetπ : x+2y+3z=0 som ligger närmast P. Vad är matrisen A? (4p) Man kan gå till väga på femtioelva olika sätt, här kommer två: Variant 1 (geometrisk): En första observation: Om vi multiplicerar en punkt som redan ligger i planet med A så ska vi få ut samma koordinater som vi stoppade in. Planet kan skrivas om till x = 2y 3z, så vi vet alltså att 2y 3z 2y 3z A y = y z z

MMA123/MM2340 Tentamen 10.08.25 Lösningsförslag Sida 7 (av 7) Om vi sätter in några lätträknade värden för y och z och sätter namn på elementen i A har vi a b c 2 2 2a+b 2 b=2a 2 d e f 1 = 1 2d+e = 1 e=2d+1 g h i 0 0 2g+h 0 h=2g Verkar lovande. Lyckas vi hitta första kolumnen i matrisen så kan vi med den bestämma andra kolumnen. Vi gör om samma sak med andra siffror: a b c 3 3 3a+c 3 c=3a 3 d e f 0 = 0 3d+ f = 0 f= 3d g h i 1 1 3g+i 1 i=3g+1 Vi kan tydligen ta fram även tredje kolumnen ur första. Nu kanske vi ska titta på en punkt som ligger utanför planet. Normalen är n=(1, 2, 3). Punkten P : (1, 2, 3) ligger en normalvektor ovanför origo, dvs. origo är den punkt som ligger närmast P. Det ger: a b c 1 0 a+2b+3c 0 a+2b+ 3c=0 d e f 2 = 0 d+ 2e+3 f = 0 d+ 2e+ 3 f= 0 g h i 3 0 g+2h+3i 0 g+2h+ 3i=0 Sätter vi nu in de första resultaten i det sista systemet får vi a+2(2a 2)+3(3a 3)=14a 13=0 a=13/14 d+ 2(2d+1)+3(3d)=14d+2=0 d= 2/14= 1/7 g+2(2g)+ 3(3g+ 1)=14g+3=0 g= 3/14 Vi har nu första kolumnen, och kan ta fram andra och tredje: b=2(13/14) 2= 1/7 c=3(13/14) 3= 3/14 e=2( 1/7)+ 1=5/7 f= 3( 1/7)= 3/7 h=2( 3/14)= 3/7 i=3( 3/14)+ 1=5/14 Variant 2 (algebraisk) (Geometrisk också, men man börjar resonera algebraiskt.) Om man multiplicerar en kolumnmatris med en 1:a i en position och 0:or i övrigt med en matris så får man ut den kolumn i matrisen som motsvarar 1:ans position. Låt oss se efter vilka punkter i planet som ligger närmast P 1 : (1, 0, 0), P 2 : (0, 1, 0) och P 3 : (0, 0, 1); koordinaterna för dessa måste motsvara kolumnerna i matrisen. P 1 : Kolla var linjenl 1 : (x, y, z)=(1, 0, 0)+ t 1 (1, 2, 3) skär planet: 1(1+t 1 )+2(2t 1 )+3(3t 1 )=1+14t=0 t= 1/14 så skärningspunkten är Q 1 : (1, 0, 0) 1 13 14 (1, 2, 3)= ( 14, 2 14, 3 14 ). P 2 : Var skärl 2 : (x, y, z)=(0, 1, 0)+ t 2 (1, 2, 3) planet? 1(t 1 )+2(1+2t 1 )+3(3t 1 )=2+14t 2 = 0 t 2 = 2/14 Skärningspunkt Q 3 : (0, 1, 0) 2 2 14 (1, 2, 3)= ( 14, 10 14, 6 14 ). P 3 : Var skärl 3 : (x, y, z)=(0, 0, 1)+ t 3 (1, 2, 3) planet? Svar: A= 1(t 1 )+2(2t 1 )+3(1+3t 1 )=3+14t 2 = 0 t 2 = 3/14 Skärningspunkt Q 3 : (0, 0, 1) 3 14 13 14 2 14 3 14 2 14 3 14 6 14 10 14 6 14 5 14 (1, 2, 3)= ( 3 14, 6 14, 5 14 ). Rättningsnorm: Poäng efter hur stor procent av en fungerande lösning man åstadkommit. Åtminstone 1 p för konstruktiv början.

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test 1 Lösningsförslag 2010.09.20 08.30 09.30 Detta test är examination på ÖVN1. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: A = 3 2 4 B = 5 0 1 0 2 3 1 3 7 Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A + B Går att beräkna, addera elementvis: 3 + ( 5) 2 + 0 4 + 1 A + B = 0 + ( 1) 2 + 3 3 + 7 = 2 2 5 1 5 4 Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel om man kan se att principen är rätt. (b) AB Går ej att räkna ut, eftersom A har 3 kolumner och B bara 2 rader. De antalen måste vara lika för att produkten ska vara definierad. Rättningsnorm: Förklaringen måste påpeka att det är de här antalen som är problemet. Ingen poäng om man räknar ut något! 1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x + 4y = 2 2x 7y = 4 3x + 10y = 6 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!

MAA123 Lösning Sida 2 (av 3) Gauss-Jordan ger: 1 4 2 1 0 2 2 7 4 0 1 0 3 10 6 0 0 0 så lösningen är x = 2, y = 0. (Tredje raden säger bara att 0x + 0y ska bli noll, och det blir det ju automatiskt.) Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel. (Resultatet av ett sådant är förmodligen att ekvationssystemet verkar sakna lösning.) Det måste på något sätt framgå vad svaret är, bara den reducerade matrisen räcker inte. (Om man i testet i (b) ser att personen läst ut svaret korrekt ur matrisen så ges dock poäng.) (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. Sätt in lösningen i samtliga ekvationer: VL 1 = 2 + 4 0 = 2 = HL 1 VL 2 = 2 ( 2) 7 0 = 4 = HL 2 VL 3 = 3 ( 2) + 10 0 = 6 = HL 3 Rättningsnorm: Man måste testa i samtliga ekvationer för poäng. Vid felräkning i (a) ger korrekt förklaring av varför systemet verkar olösligt poäng. Vid felräkning som gav ett svar (vilket testet visar inte stämmer) ger jag räknade visst fel på (a) poäng medan problemet är olösligt inte ger det. 1.3 Din kompis har löst en matrisekvation så här: XA = B XAA 1 = A 1 B XI = A 1 B X = A 1 B Han har nu räknat ut A 1 och tagit fram X. Men svaret stämmer inte då han sätter in det i ursprungsekvationen. Han ber dig om hjälp. Vad har han gjort för fel, och hur ska han rätta till det? (2p) Då man löser en ekvation måste man göra exakt samma sak i vänster och höger led. Han har lagt på A 1 till höger i vänster led och till vänster i höger. Eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ (dvs. det spelar roll i vilken ordning faktorerna står) är detta inte att göra samma sak. Han ska flytta A 1 till högersidan i högerledet. (Det är till höger den ska stå, eftersom den måste hamna bredvid A i vänsterledet för att man ska få I där.) Rättningsnorm: Om man kommer med någon rimlig hypotes typ han har nog räknat fel i inverteringen, och ska multiplicera ihop den beräknade inversen med ursprungsmatrisen för att se om det stämmer så får man 1 poäng för uppgiften. Var god vänd!

MAA123 Lösning Sida 3 (av 3) 1.4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): 1 3 5 A = 2 7 7 1 2 8 Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! Gauss-Jordan ger 1 3 5 1 0 0 1 3 5 1 0 0 2 7 7 0 1 0 0 1 3 2 1 0 1 2 8 0 0 1 0 0 0 3 1 1 Matrisen saknar invers. Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel. (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. Problemet är de där tre nollorna i nedersta raden. Det är omöjligt att göra om dem till 0 0 1. (Man kan inte få slut-1:an bara med hjälp av 2:a raden, den ger skräp i position 2. Och börjar vi blanda in 1:a raden också kommer den att lägga saker i position 1.) Rättningsnorm: Man ska visa att man vet att det är 0 0 0 som är problemet, man behöver inte formulera så klart varför det är ett problem. Om man räknade fel så att man fick fram en invers på (a) ska man multiplicera ihop denna med ursprungsmatrisen, vilket inte kommer att ge identitetsmatrisen. Jag har visst räknat fel ger poäng, olösligt ger det inte.

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test 2 Lösningsförslag 2010.10.04 08.30 09.30 Detta test är examination på ÖVN2. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 Vi har vektorerna u=(1, 4, 2), v=( 3, 2, 4) och w=( 1, 5, 8) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. (2p) Vi ska alltså hitta två tal a, b, sådana att au+bv=w. Det ger a(1, 4, 2)+ b( 3, 2, 4)= ( 1, 5, 8) (a 3b, 4a 2b, 2a+ 4b)=( 1, 5, 8) vilket motsvarar följande linjära ekvationssystem a 3b= 1 4a 2b= 5 2a+4b= 8 som löses med Gauss-Jordan: 1 3 1 1 3 1 4 2 5 0 14 1 2 4 8 0 10 10 Redan här ser man att ekvationssystemet är inkonsistent; ekvationerna 14b = 1 och 10b=10 kan inte uppfyllas samtidigt. Svar: Det går inte! Rättningsnorm: Visat att man förstått frågan: 1 p. Kommit till svar: ytterligare 1 p. 2.2 Har nedanstående ekvationssystem entydig lösning? 7x 2z= 5 3x+y+4z= 8 4x 2z= 3 Motivera! (2p)

MAA123 Lösning Sida 2 (av 3) En metod: lös ekvationssystemet och se hur det går. Man behöver här inte hålla på ända till reducerad form; när man fått nollor nedanför diagonalen är det uppenbart att vidare räkning kommer att leda till entydig lösning, och då kan man bryta. Annan metod: Lika många ekvationer som obekanta, vilket ger kvadratisk koefficientmatris. Då har vi entydig lösning om och endast om koefficientmatrisen är inverterbar, vilket den är om och endast om dess determinant är skild från noll. Kolla determinanten: 7 0 2 3 1 4 = 0+1 7 2 4 0 2 4 2 0=7 ( 2) ( 2) 4= 14+8= 6 0 (Vi har utvecklat efter andra kolumnen.) Svar: Ja, ekvationssystemet har entydig lösning. Rättningsnorm: Första metoden: Kommit igång: 1 p. Kommit ända till svar i klartext: 1 p. Andra metoden: Valt metoden: 1 p. Räknat rätt på determinanten: 1 p. 2.3 Nedan har vi ritat representanter för ett antal vektorer i planet: u 3 u 4 u 2 u 1 Nu vill vi ha en bas. (a) Kan man använda{u 1, u 2 } som bas för vektorerna i planet? (2/3p) Nej. (Vektorerna är parallella, och därmed (1) är de inte linjärt oberoende (2) spänner de inte upp planet. En bas för något ska bestå av linjärt oberoende vektorer som spänner upp vad-det-nu-är man ska ha en bas till.) (b) Kan man använda{u 1, u 3 } som bas för vektorerna i planet? Ja. (De är linjärt oberoend och spänner upp planet.) (2/3p) (c) Kan man använda{u 2, u 3, u 4 } som bas för vektorerna i planet? (2/3p) Nej. (De spänner upp planet, men är inte linjärt oberoende. Tre vektorer i planet är alltid linjärt beroende, för planet är två-dimensionellt. Rättningsnorm: Kan bara bli rätt eller fel. Svar som man inte kan avgöra om de avser att vara ja eller nej får 0 p. Motivering behövs ej, men är inte förbjuden. Poängsumman avrundas till närmsta heltal. Var god vänd!

MAA123 Lösning Sida 3 (av 3) 2.4 Vi har följande matriser: A= 5 2 B= 1 1 C= 4 1 4 2 2 2 3 7 Beräkna det(abc) (2p) En metod: Multiplicera ihop matriserna, vilket ger ABC= 7 6 56 48 Beräkna sedan determinanten, som blir noll. Annan metod: Utnyttja det(abc)=det A det B det C Beräkna determinanterna: det A= 18 det B=0 det C= 31 Produkten blir noll, eftersom en av faktorerna är det. Tredje metod: Inled som i metod 2, men konstatera direkt att B har två proportionella rader, därmed ej är inverterbar, och därmed har determinant noll, vilket gör hela klabbet till noll, oavsett var det A och det B är. Rättningsnorm: Metod 1: Korrekt matrisprodukt (inget avdrag för enstaka räknefel): 1 p. Korrekt determinantberäkning: 1 p. Metod 2: Insett metoden: 1 p. Korrekta determinantberäkningar : 1 p. Metod 3: Insett metoden: 1 p. Motiverat begripligt: 1 p.

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test 3 Lösningsförslag 2010.10.18 08.30 09.30 Detta test är examination på TEN2 del A. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Om du blir godkänd (dvs. får minst 5 poäng) så kan du skriva del B vid tentatillfället 1 november. Detta kan ge dig högre betyg på kursen. (Om du inte blir godkänd nu får du skriva om del A då.) 3.1 Vi har punkterna P 1 : (4, 0, 1) P 2 : (2, 2, 3) P 3 : ( 1, 3, 2) Ta fram den parameterfria ekvationen för det plan som innehåller punkterna. En metod: Ekvationen borde se ut enligt ax + by + cz + d = 0, och de givna punkternas koordinater ska passa in. Det ger ekvationsssystemet 4a + 0b + 1c + d = 0 2a 2b + 3c + d = 0 1a + 3b + 2c + d = 0 Detta underbestämda homogena ekvationssystem löses med Gauss-Jordan: 4 0 1 1 0 2 2 3 1 0 1 3 2 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 6 0 6 0 3 0 (2p) Vi har alltså a + 1 6 d = 0 b + 1 6 d = 0 c + 1 3 d = 0 a = 1 6 d b = 1 6 d c = 1 3 d Vi har här fått fram alla tänkbara varianter på planets ekvation. Eftersom vi nöjer oss med en sätter vi d till något som ger snygga siffror, t.ex. d = 6, vilket ger a = 1, b = 1, c = 2, och svaret x + y + 2z 6 = 0. Alternativt tar vi fram en parameterform och eliminerar parametrarna ur en av ekvationerna, eller så tar vi fram normalen och utgår från den. Rättningsnorm: Via ekvationssystem: Satt upp rätt system: 1 p. Kommit vidare till ekvation i klartext: 1 p. Via parameterform: Korrekt parameterform: 1 p. Kommit vidare till ekvation i klartext: 1 p. Via normal: Rätt normal: 1 p. Kommit vidare till ekvation i klartext: 1 p.

MAA123 Lösning Sida 2 (av 3) 3.2 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) u v = u v cos α (där α är vinkeln mellan u och v) (b) u v = u v sin α (c) u 0 = 0 Tryckfel! (d) Om u v = 0 Tryckfel! så måste någon av u och v vara 0 (e) u (v + w) = u v + u w (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) Alla bokstäver står för vektorer. Motivering behövs ej, men se till att det klart framgår vad som är svar på vilken fråga. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. (Inget svar alls ger 0 p.) Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. Vi motiverar felaktigheterna, även om det inte krävdes: (a) Rätt (b) Fel. Däremot gäller att u v = u v sin α (c) Tryckfel i frågan, så det är oklart hur den ska tolkas. Vektor skalärt nollvektorn = talet noll är sant medan vektor skalärt nollvektorn = nollvektorn är falskt. Samma problem med nästa uppgift. Därför stryker vi uppgift (c) och (d), och ökar poängen på de resterande till 2/3 p styck. (d) Utgår! (e) Rätt Rättningsnorm: Korrekt svar ger +2/3 p, felaktigt 2/3 p. Obesvarad fråga, svar som man inte förstår vilken fråga det hör till och svar som man inte kan tolka får 0 p. 3.3 Punkterna P 1, P 2, P 3 och P 4 är hörn på en parallellogram, och ligger i den ordningen. De första punkternas koordinater är: P 1 : (6, 4, 3), P 2 : (5, 2, 3), P 3 : (4, 2, 0). Bestäm parallellogrammens area. (ON-system) (2p) Arean av en parallellogram är basen höjden = sida sida sin(mellanliggande vinkel) vilket gör att den kan beräkas med hjälp av vektorprodukten av kantvektorerna. u = P 2 P 1 = (6, 4, 3) (5, 2, 3) = (1, 2, 0) v = P 2 P 3 = (4, 2, 0) (5, 2, 3) = ( 1, 0, 3) u v = (1, 2, 0) ( 1, 0, 3) = ( 6, 3, 2) u v = ( 6, 3, 2) = ( 6) 2 + ( 3) 2 + 2 2 = 49 = 7 så arean är 7 vad-man-nu-använder-för-enheter. Rättningsnorm: Insett att man ska ha vektorprodukten av kantvektorerna: 0,5 p. Räknat ut kantvektorerna: 0,5 p. Korrekt vektorprodukt: 0,5 p. Normberäkning: 0,5 p. 0,5 och 1,5 p avrundas båda till 1. 3.4 Vi har planen Π 1 : 3x 2y + 4z = 6 och Π 2 : 2x + 3y + 3z = 1 (angivna i samma ONsystem). Bestäm vinkeln mellan planen. Om de är parallella, bestäm istället avståndet. (2p)

MAA123 Lösning Sida 3 (av 3) Planens normalvektorer är n 1 = (3, 2, 4) respektive n 2 = ( 2, 3, 3), och dessa är uppenbart inte parallella. Alltså är det vinkeln som söks. Vinkelberäkningen ger cos α = n 1 n 2 n 1 n 2 (3, 2, 4) ( 2, 3, 3) = (3, 2, 4) ( 2, 3, 3) 3 ( 2) + ( 2) 3 + 4 3 = (3, 2, 4) ( 2, 3, 3) 0 = (3, 2, 4) ( 2, 3, 3) = 0 så vinkeln är rät. Rättningsnorm: Ställt upp korrekt vinkelberäkningsformel: 1 p. Vinkel i klartext: 1 p. (Om man gör en avståndsberäkning av avståndet från ena planet till en punkt i det andra så får man 1 p om den är helt korrekt.)

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Lösningsförslag 10.11.01 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A, som gavs 18 oktober. Om du fick minst 5 poäng då eller är godkänd på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig.

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 2 (av 11) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): 1 0 3 A= 2 0 7 3 1 9 Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! Gauss-Jordan ger 1 0 3 1 0 0 1 0 0 7 3 0 2 0 7 0 1 0 0 1 0 3 0 1 3 1 9 0 0 1 0 0 1 2 1 0 (En av operationerna är ett radbyte.) 7 3 0 Svar: A 1 = 3 0 1 2 1 0 Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, om principen är rätt. Om räknefel gjorde att inversberäkningen verkade olöslig så ger invrs saknas poäng. Om man kör fast vid radbytet och där säger olösligt ges ingen poäng. (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. Multiplicera ihop den beräknade inversen med ursprungsmatrisen och konstatera att det blir enhetsmatrisen. Rättningsnorm: Om man gjort räknefel i (a) och ändå får enhetsmatrisen här ges ingen poäng, då har man inte utfört beräkningen ordentligt. Om man gjort räknefel i (a) och ser att det inte blir enhetsmatrisen så ger jag har visst räknat fel i (a) poäng medan olösligt inte gör det. Att korrekt invertera tillbaka och se att man får tillbaka A ger poäng. 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 4y+ 2z+5w= 0 x+5y+ z 6w= 6 2x 6y+10z+8w= 10 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är!

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 3 (av 11) Gauss-Jordan ger 1 1 2 5 0 1 4 2 5 0 1 5 1 6 6 0 1 3 1 6 2 6 10 8 10 0 0 0 0 2 vilket innebär att ekvationssystemet är olösligt. Nedersta raden innebär att 0x + 0y + 0z+0w ska bli 2, och det kan det inte bli! (Detta besvarar nästa fråga.) Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, men svaret ska stämma med den reducerade matris man kommit fram till. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. Se (a)-uppgiften. Rättningsnorm: Om man räknat fel så att man fick ett svar på (a) så ska man testa svaret (med eventuella parametrar) i samtliga ekvationer, vilket kommer att visa att det inte stämmer. Jag räknade visst fel på (a) ger då poäng medan problemet är olösligt inte ger det. 3 (a) Vilken typ av linjära ekvationssystem är det som kan ha icke-triviala lösningar? Homogena ekvationssystem, system där alla högerled är noll, kan ha icke-triviala lösningar. Rättningsnorm: Namn eller beskrivning går lika bra. (b) Vad är en icke-trivial lösning för något? En icke-trivial lösning till ett homogent system är vad som helst som inte är den triviala lösningen sätt alla obekanta till noll. Rättningsnorm: Räcker inte med bara en som inte är trivial. 4 Vi har matriserna 1 2 A= 0 3 2 4 7 B= 6 2 Vi vet att B= AX Vad är matrisen X? A är 3 2, B är 3 1. Då måste X vara 2 1, annars stämmer inte dimensionerna. Vi sätter X= x y

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 4 (av 11) och ser vart det leder: AX=B 1 2 0 3 x 7 y = 6 2 4 2 Detta är matrisformen av det överbestämda linjära ekvationssystemet x+ 2y= 7 3y= 6 2x+ 4y= 2 Kan lösas med Gauss-Jordan, men är tillräckligt enkelt att lösa med inspektion. Ekvation 2 ger y= 2. Insatt i ekvation 1 och 3 ger det x 4= 7 respektive 2x 8= 2. Båda dessa ekvationer har lösningen x = 3. Svar: X= 3 2 Rättningsnorm: Kommit igång med lösningen: 1 p. Helt rätt svar:+1 p (dvs. 2 p totalt). Trivialt räknefel och ett konstaterande av att svaret måste vara fel: +1 p. (Svaret kan kontrolleras med huvudräkning, så det finns ingen ursäkt för att svara med något som inte stämmer.) Trivialt räknefel som fick problemet att verka olösligt, ihop med korrekt förklaring för hur man såg detta:+1 p. Ett påstående av typen A går inte att invertera så problemet är olösligt ger 0 p totalt.

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 5 (av 11) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vi har vektorerna u=(0, 3, 2), v=(2, 2, 1) och w=(6, 0, 1) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. (2p) Vi söker tal a, b, sådana att w=au+bv. Det ger a(0, 3, 2)+ b(2, 2, 1)= (6, 0, 1) (2b, 3a+ 2b, 2a b)=(6, 0, 1) vilket kan skrivas som ekvationssystemet 2b=6 3a+2b=0 2a b=1 Kan lösas med Gauss-Jordan, men inspektion går lika bra: Ekvation 1 ger b=3, vilket insatt i ekvation 2 ger a=2, och dessa värden stämmer i ekvation 3 och löser därmed systemet. Svar: w=2u+3v Rättningsnorm: Visat att man förstår frågan: 1 p. Kommit ända till korrekt svar: 1 p. (Kan kontrolleras med huvudräkning, så ingen ursäkt för räknefel.) 6 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: 1 4 1 5 0 1 3 2 0 Utveckling efter rad 2 verkar bra: 1 4 1 5 0 1 = 5 4 1 3 2 0 2 0 + 0 1 1 3 0 ( 1) 1 4 3 2 = 5(0+2)+ 0+( 2+12)= 10+10=0 Rättningsnorm: Inget avdrag för räknefel, om man kan se att själva principen är rätt. Teckenfel räknas som principfel. (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! Inte inverterbar, eftersom determinanten är noll. Rättningsnorm: Svaret ska stämma överens med vad man nu fick på (a). Den som på korrekt sätt försöker invertera matrisen och korrekt konstaterar att det inte går får också poäng.

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 6 (av 11) 7 (a) Om man säger vektorerna u, v och w är en linjärt oberoende mängd, exakt vad menar man med det? (Vi söker alltså den formella definitionen.) Ingen av de tre vektorerna går att skriva som linjärkombination av de övriga två. (b) Hur brukar man rent praktiskt göra för att avgöra om mängden är linjärt oberoende eller inte? Se efter om enda sättet att linjärkombinera fram nollvektorn ur de tre vektorerna är att ge dem koefficient noll allihop. (Går det att göra på andra sätt så är de beroende.) Rättningsnorm: Svaren ska vara något som man kan tolka som det som står här och inget annat. 8 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. v 2 v 1 v 2 w 4u 2 2v 1 u 2 2u 1 u 1 (a) Ange koordinaterna för w i basen B 1 ={u 1, u 2 }. Enligt bild i rött: w= 2u 1 + 4u 2, så koordinaterna är ( 2, 4). (b) Ange koordinaterna för w i basen B 2 ={v 1, v 2 }. Enligt bild i blått: w= 2v 1 v 2, så koordinaterna är ( 2, 1). Rättningsnorm: Helt rätt på båda uppgifterna ger 2 p. Mindre fel (borttappade minus, omkastade siffror, eller linjärkombination istället för koordinater) ger 1 p totalt.

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 7 (av 11) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som fick minst 5 p på skrivningen 18 oktober, och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 (a) Vad menas med en riktningsvektor för en linje? En vektor (ej nollvektorn) parallell med linjen. Om linjen ges på formen l : (x, y, z) = (a, b, c)+ t(d, e, f ) är (d, e, f ) riktningsvektor. (b) Vad menas med en normalvektor till ett plan? En vektor (ej nollvektorn) vinkelrät mot planet. Om planet ges på formen ax + by + cz + d = 0 i ett ON-system är (a, b, c) en normalvektor. Rättningsnorm: I båda fallen räcker det med en av de föreslagna förklaringarna, eller med en tydlig figur. Om man skriver flera saker måste mer än hälften av det man skrivit vara korrekt för poäng. Rita gärna figur! 10 Vi har två vektorer, u och v. u =4, v =3. Vinkeln mellan dem är 150. Bestäm (a) u v u v = u v sinα u,v = 4 3 sin 150 = 12 1 2 = 6. (b) u v u v= u v cosα u,v = 4 3 cos 150 = 12 3 2 = 6 3. Rättningsnorm: Om man har rätt formler men inte klarat de trigonometriska värdena så ger 1 p totalt för uppgiften. För full poäng måste svaren ges på enklast möjliga form. 11 Vi har planenπ 1 : (x, y, z)=(0, 3, 2)+ s( 4, 0, 3)+t(1, 5, 2) ochπ 2 : 3x y+4z+11=0 (angivna i samma ON-system). ÄrΠ 1 ochπ 2 två olika plan eller samma plan? Motivera! (2p) Kan göras på flera sätt, det här är antagligen det kortaste: Om de är samma måste utgångspunkten P 0 : (0, 3, 2) iπ 1 ligga iπ 2. Sätt in och kontrollera: 3 0 3+4 ( 2)+11=0 3 8+11=0. Stämde, P 0 ligger iπ 2. Riktningsvektorerna r 1 = ( 4, 0, 3) och r 2 = (1, 5, 2) förπ 1 är parallella med planet. Normalvektorn n=(3, 1, 4) förπ 2 är vinkelrät mot det planet. Om planen är samma måste r 1 och r 2 vara vinkelräta mot n, vilket kan kollas med hjälp av skalärprodukt: r 1 n=( 4, 0, 3) (3, 1, 4)= 4 3+0 ( 1)+3 4= 12+0+12=0 r 2 n=(1, 5, 2) (3, 1, 4)= 1 3+( 5) ( 1)+( 2) 4=3+5 8=0 Båda skalärprodukterna noll, båda vinklarna räta. Så uttrycken beskriver samma plan.

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 8 (av 11) (Variationer är att skriva omπ 1 till parameterfri ekvationsform och jämföra, eller att beräkna normalvektorn förπ 1 genom att ta vektorprodukten av r 1 och r 2 och jämföra med n.) Rättningsnorm: Kommit igång med lösningen: 1 p. Kommit ända till svar: +1 p. Inget avdrag för enstaka räknefel, däremot ska svaret man ger stämma överens med ens egna beräkningar. 12 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 2, 1, 3)+t(1, 0, 2) l 2 : (x, y, z)=(7, 6, 2)+t(1, 4, 1) (angivna i samma ON-system). Bestäm avståndet mellan dem. En metod: hitta de två punkter på linjerna som ligger närmast varandra. Först lite namngivning (och eftersom t står för olika saker på de olika linjerna döper vi om denna parameter): l 1 : (x, y, z)=( 2, 1, 3) +t } {{ } 1 (1, 0, 2) } {{ } P 1 l 2 : (x, y, z)=(7, 6, 2) +t } {{ } 2 (1, 4, 1) } {{ } P 2 r 2 r 1 Vi söker avståndet mellan punkterna Q 1 och Q 2 vilka uppfyller (1) Q 1 ligger pål 1 (2) Q 2 ligger pål 2 (3) Q 1 Q 2 är vinkelrät mot r 1 (4) Q 1 Q 2 är vinkelrät mot r 2. Vinkelräthet kan kollas med skalärprodukt. Q 1 Q 2 = ( (7, 6, 2)+ t 2 (1, 4, 1) ) ( ( 2, 1, 3)+ t 1 (1, 0, 2) ) = (9 t 1 + t 2, 5+4t 2, 1 2t 1 + t 2 ) Q 1 Q 2 r 1 = 5t 1 + 3t 2 + 7=0 Q 1 Q 2 r 2 = 3t 1 + 18t 2 12=0 Vi kan nu lösa det linjära ekvationssystemet: 5 3 7 3 18 12 1 0 2 0 1 1 vilket innebär att t 1 = 2 och t 2 = 1. Insatt ger detta Q 1 Q 2 = (9 2+1, 5+4 1, 1 2 2+1)=(8, 1, 4) så avståndet är Q 1 Q 2 = 8 2 + ( 1) 2 + ( 4) 2 = 81=9vad-man-nu-har-för-enhet Alternativt så projicerar man P 1 P 2 på r 1 r 2. Detta ger också avståndet. Rättningsnorm: Denna metod: Förklarat vad man gör: 0,4 p. Tagit fram Q 1 Q 2 : 0,4 p. Beräknat skalärprodukterna: 0,4 p. Löst ekvationssystemet: 0,4 p. Kommit fram till svaret: 0,4 p. Projektionsmetoden: Förklarat vad man gör: 0,4 p. Tagit fram P 1 P 2 : 0,4 p. Tagit fram r 1 r 2 : 0,4 p. Beräknat projektionen: 0,4 p. Kommit fram till svaret: 0,4 p. I båda fallen avrundas poängsumman till närmsta heltal. (2p)

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 9 (av 11) Del 4: TEN2 del B Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg 3. 5 8 poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på tentan. 13 En elementär matris är en matris som man fått genom att göra exakt en elementär radoperation på enhetsmatrisen. Om man multiplicerar en matris med en elementär matris (från vänster) så blir slutresultatet att man har genomfört radoperationen på matrisen ifråga. Alla inverterbara matriser kan skrivas som produkt av elementära matriser (ungefär som att alla heltal större än ett kan skrivas som produkt av primtal, med skillnaden att det med matriserna går att göra på flera olika sätt). Skriv matrisen A= 3 9 2 8 som produkt av elementära matriser. När man inverterar en matris A så gör man en serie elementära radoperationer som ger en enhetsmatrisen. Om man tar en enhetsmatris och gör motsatta uppsättningen radoperationer i omvänd ordning så borde man få tillbaka matris A. De elementära matriser som motsvarar dessa operationer ska alltså ge A. Vi inverterar, och för samtidigt bok över vad vi gör: 3 9 1 0 2 8 0 1 Vi multiplicerar rad 1 med 1 3, vilket motsvarar multiplikation med matrisen i mitten. Motsatta operationen är att multiplicera rad 1 med 3. 1 3 1 1 3 0 2 8 0 1 E 1 = 3 0 0 1 E1 1 = 3 0 0 1 Vi drar 2 gånger rad 2 från rad 2. Den motsatta operationen är att addera 2 gånger rad 2 till rad 2. 1 3 1 3 0 0 2 2 3 1 E 2 = 1 0 2 1 E2 1 = 1 0 2 1 (4p) Vi multiplicerar rad 2 med 1 2. Den motsatta operationen är att multiplicera raden med 2. 1 3 1 3 0 1 0 1 3 1 E 3 = 1 0 2 0 1 2 E3 1 = 1 0 0 2 Vi lägger 3 gånger rad 2 till rad 1. Den motsatta operationen är att dra 3 gånger rad 2 från rad 1. 1 0 4 3 3 2 1 0 1 3 1 2 E 4 = 1 3 0 1 E 1 4 = 1 3 0 1

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 10 (av 11) Färdiginverterat! Vi ser att E 4 E 3 E 2 E 1 A=I A 1 = E 4 E 3 E 2 E 1 A=E1 1 E 1 2 E 1 3 E 1 4 Vi har alltså faktoriserat A i elementära matriser. Rättningsnorm: Någon form av konstruktiv början: 1 p. Kommit ända till ett helt korrekt svar: 4 p. (Eftersom svaret är lätt att kontrollera kan man kräva att det ska vara helt rätt.) I övrigt poäng efter ungefär hur stor del av lösningen man har åstadkommit. 14 Om man vet vad u v och u w är, och dessutom känner v och w, räcker detta för att ta reda på u? Om ja: hur gör man? Om nej: exakt vad kan man få reda på, och vad skulle man behöva veta mer för att entydligt bestämma u? (4p) Vi kan anta att de kända vektorerna har ON-koordinaerna v=(a, b, c) respektive w= (d, e, f ) och att den okända vektorn är u = (x, y, z). Säg att de kända skalärprodukterna är g och h. Vi vet alltså (x, y, z) (a, b, c)= g ax+by+cz=g (x, y, z) (d, e, f )=h dx+ey+ f z=h Linjärt ekvationssystem med färre ekvationer än obekanta, vilket inte kan ha entydig lösning! Så nej, vi kan inte bestämma u. Ett sådant här system brukar dock ha parameterlösning, så vi bör kunna få fram något i stil med (x, y, z)=(i, j, k)+t(l, m, n). (Det innebär att u är en ortsvektor för en okänd punkt på en känd linje.) För att kunna bestämma u skulle vi behöva veta en skalärprodukt till, och det med en vektor som inte kan skrivas som linjärkombination av v och w. (Annars får vi bara samma information en gång till.) Vi kan notera att informationen skulle vara tillräckligt vid räkning i 2D, för då utgår z- koordinaten. Detta förutsatt att v och w inte är parallella. (Är de det skulle vi i föregående fall få en lösning med två parameterar, eller möjligen informationen kan inte vara korrekt, för det här är olösligt!.) Rättningsnorm: Någon form av konstruktiv start: 1 p. Kommit fram till att svaret är nej: 1 p. Beskrivit vad man har fått reda på: 1 p. Beskrivit vad mer man behöver veta: 1 p. 15 Anta att z 1, z 2 och z 3 är tre olika komplexa tal som uppfyller z 1 z 2 = i(z 3 z 2 ). Beräkna z 1 z 3 z 1 z 2 (4p) Går säkert att göra på ett antal sätt, här kommer ett! Bråket blir enklare att analysera om det inte innehåller alla tre talen. Ur det givna villkoret ser vi att z 1 = z 2 +i(z 3 z 2 )=(1 i)z 2 +iz 3. Sätt in detta i täljare och nämnare och förenkla: z 1 z 3 = ( (1 i)z 2 + iz 3 ) z3 = (1 i)z 2 (1 i)z 3 = (1 i)(z 2 z 3 ) z 1 z 2 = ( (1 i)z 2 + iz 3 ) z2 = iz 2 + iz 3 = i(z 2 z 3 )

MAA123 Tentamen Lösning 10.11.01 Sida 11 (av 11) I så fall har vi z 1 z 3 = (1 i)(z 2 z 3 ) = 1 i z 1 z 2 i(z 2 z 3 ) i Beloppet av täljaren är 2 och beloppet av nämnaren 1, så beloppet av bråket som helhet är 2. (Anm. Det var sagt att talen var olika, så divisionen går garanterat att genomföra.) Rättningsnorm: Någon form av konstruktiv början: 1 p. Kommit ända till ett korrekt svar: 4 p. I övrigt poäng efter ungefär hur stor del av lösningen man har åstadkommit.

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra ÖVN1, ÖVN2, TEN2 Lösningsförslag 11.01.17 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A. Om du är godkänd på TEN2 eller på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig, men kan bara skrivas av de som inte redan är godkända på TEN2.

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 2 (av 11) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 Vi har här två matriser: 2 1 A= 0 4 3 5 B= 6 8 10 7 Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A+ B Går inte att beräkna. Matriserna måste vara lika stora för att additionen ska gå att genomföra, och radantalen är olika. Rättningsnorm: Måste framgå att problemet är att de har olika storlek. 0 p om man har räknat ut något! (b) AB 2 1 AB= 0 4 6 8 2 6+1 10 2 ( 8)+1 7 2 31 10 7 = 0 6+4 10 0 ( 8)+4 7 = 40 28 3 5 3 6+5 10 3 ( 8)+5 7 32 59 Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, om man kan se att principen är rätt. 2 Lös nedanstående tre ekvationssystem på ett effektivt sätt: 2x+5y=4 2a+5b=25 2s+5t= 18 x+2y=1 a+2b=10 s+2t= 7 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (För full poäng måste lösningsmetoden vara väl vald.) Ekvationssystemen har alla samma koefficientmatris; att de obekanta har olika namn spelar ingen roll. Man kan lösa för alla högerled samtidigt: 2 5 4 25 18 1 2 1 10 7 1 0 3 0 1 0 1 2 5 4 så svaren är x= 3, y=2; a=0, b=5; s=1, t= 4. Man kan också beräkna inversen för koefficientmatrisen och multiplicera högerleden med denna. Inversen är 2 5 1 2 (2p) Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel. En lösning där man bara löser systemen ett i taget ger 1 poäng.

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 3 (av 11) 3 Matrismultiplikation är ett räknesätt som på många sätt påminner om vanlig multiplikation av tal. Många räkneregler och principer är likadana. Men det överensstämmer inte helt och hållet. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som är precis likadant för vanlig multiplikation och matrismultiplikation. Exempelvis: associativa lagen (AB)C = A(BC); distributiva lagen A(B+C) = AB+AC; Multiplikation med noll AM 0 = M 0 ; Etta AI=A. (Finns mycket mer!) (b) Säg något som inte är precis likadantför vanlig multiplikation och matrismultiplikation. Exempelvis: kommutativa lagen AB vanligtvis inte BA; invers A 1 finns ofta inte; Kancellationslagen AB=AC innebär inte säkert B=C; Nollfaktorlagen AB= M 0 innebär inte säkert att någon av matriserna är nollmatrisen. (Finns mycket mer!) Rättningsnorm: Om det inte går att förstå vad som är svar på (a) och vad som är svar på (b) ges 0 poäng. Om flera stycken svar ges måste mer än 50% vara rätt för poäng. Man behöver inte ange namnen på priciperna, bara det går att förstå vad som menas. 4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris, om det är möjligt: 0 1 5 A= 3 9 5 1 3 2 Se till att det framgår vad svaret är! Gauss-Jordan ger 0 1 5 1 0 0 3 9 5 0 1 0 1 3 2 0 0 1 1 0 0 3 17 50 0 1 0 1 5 15 0 0 1 0 1 3 Svaret är högerhalvan av högra matrisen. (Anm. Vid inverteringen behöver man använda ett par radbyten.) Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, om principen är rätt. Om man då räknat fel så att matrisen förefaller oinverterbar så ges poäng för går ej. 0 p om man påstår att den ej är inverterbar för att man inte kommer på att göra ett radbyte. (b) Hur många lösningar har nedanstående ekvationssystem? y+5z= 123 3x+9y 5z= 456 x+3y 2z= 789 Motivera! En, eftersom koefficientmatrisen enligt beräkning i (a) är inverterbar. Alternativt så kan man lösa ekvationssystemet, vilket inte verkar kul. Det går att bryta innan Jordan, frågan går att besvara utgående från Gauss-delen. (En variant är att lösa (a)+(b) samtidigt, genom att haka på det här som ett fjärde högerled.)

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 4 (av 11) Rättningsnorm: Svaret ska vara konsistent med svaret i (a). Om man löser uppgiften genom att räkna så ska svaret stämma med det man har kommit fram till. Inget avdrag för enstaka räknefel.

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 5 (av 11) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vad innebär det att en bas är ortonormerad? (Vi vill ha själva definitionen.) (2p) Att samtliga basvektorer är enhetsvektorer, dvs. har normen 1, och att de är vinkelräta, ortogonala, mot varandra. Rättningsnorm: 1 p för norm 1, 1 p för vinkelräthet. 6 Vi har två 3 3-matriser, A och B. det(a)=5, det(b)= 2. Kan man med denna information beräkna (a) det(3a) det(3a)=3 3 det(a)=3 3 5=135 Rättningsnorm: Ingen poäng om man missar upphöjt i 3. (b) det(ba) det(ba)=det(b) det(a)= 2 5= 10 Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? Om ja, vad blir det? Om nej, förklara varför inte. 7 Vi har vektorerna u=(3, 0, 4), v=(1, 3, 2) och w=( 2, 0, 4) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! (2p) Vektorerna är oberoende om och endast om det enda sättet att linjärkombinera fram nollvektorn ur dem är att multiplicera allihop med noll. Detta ger ett homogent ekvationssystem med kvadratisk koefficientmatris, och detta har entydig lösning (dvs. endast den triviala) om och endast om koefficientmatrisen (vars kolumner kommer att bestå av vektorernas koordinater) är inverterbar, vilket den är om och endast om dess determinant är skild från noll. Kolla determinanten: 3 1 2 0 3 0 = 0+( 3) 3 2 4 2 4 4 4 0= 3(3 4 ( 2) 4)= 3 20= 60 0 (Vi utvecklade efter andra raden.) Vektorerna är linjärt oberoende. Rättningsnorm: Uppgiften består av delmomenten förklara tanken, räkna ut determinanten och formulera svar. Ett eller två moment rätt: 1 p. Alla momenten rätt: 2 p. ( Förklara tanken behöver inte vara lika detaljerad som här, men det ska finnas med något försök till förklaring. 8 Denna uppgift ska lösas på nästa blad av skrivningen. Bladet ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren.

Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 8 Detta papper ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet! I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u 1 och u 2. Rita in representanter för de vektorer som i basen{u 1, u 2 } har följande koordinater: (a) (0, 4) (b) (3, 5) (c) ( 4, 2) (2/3p) (2/3p) (2/3p) Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas till närmsta heltal. 3u 1 5u 2 (b) u 1 (c) u 2 4u 1 2u 2 4u 2 (a) Svarsvektorerna (blå) får placeras ut var man vill i bilden, bara de har rätt längd och riktning. De röda hjälpvektorerna är inte nödvändiga, däremot behövs pilspetsarna. Rättningsnorm: Om man gjort ett konsekvent fel, t.ex. använt första-koordinaten till u 2 istället för till u 1 eller utelämnat spetsarna, så ges 1 p totalt för uppgiften.

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 7 (av 11) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som redan är godkända på TEN2 och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 Vi har punkten P : (5, 5, 7), linjenl : (x, y, z)=( 4, 1, 3)+t(3, 2, 1) och planet Π : x+y+z=8 (angivna i samma koordinatsystem). (a) Ligger P pål? Motivera! P ligger pål om det finns ett t som insatt il:s formel ges P:s koordinater. Testa: (5, 5, 7)= ( 4, 1, 3)+ t(3, 2, 1) motsvarar ekvationssystemet 5= 4+3t t=3 5= 1 2t t=3 7= 3+ t t=4 Inkonsistent system, t kan inte vara både 3 och 4. Punkten ligger alltså inte på linjen. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Ligger P iπ? Motivera! P ligger iπom P:s koordinater passar in iπ:s ekvation. Testa: 5+( 5)+7=7 8 Passade inte, så punkten ligger inte i planet. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? 10 Vi har vektorerna u = (1, 3, 5) och v = ( 2, 4, 6) (angivna i samma ON-bas). (a) Ange en vektor som är vinkelrät mot både u och v. (b) Ange någon annan vektor som också är vinkelrät mot både u och v. Svaren består förslagsvis av nollvektorn och u v=( 2, 4, 2), eller u v och någon multipel därav. (Nollvektorn är ju vinkelrät mot allting, och vektorprodukten är per definition vinkelrät mot de två vektorer som man multiplicerar ihop.) Man kan också sätta ihop ett ekvationssystem typ u x=0, v x=0 och svara med två av lösningarna. Detta är dock troligen jobbigare. Rättningsnorm: Vid teckenfel i vektorprodukt dras 1 p från poängen, övriga räknefel ger ej avdrag. 11 (a) Rita en bild som visar vad som menas med projektionen av vektorn v på vektorn u, proj u v. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken!

MAA123 Tentamen Lösning 11.01.17 Sida 8 (av 11) v proj u v u Rättningsnorm: Det måste verkligen framgå vilken vektor i bilden som är vilken. Och bilden ska föreställa projektionen på u och inte på v. (b) Med vilken formel kan man beräkna proj u v? (Motivering behövs ej.) proj u v= u v u v u= u u u u 2 Rättningsnorm: Har man i (a) ritat projektionen av u på v så ger rätt formel för detta 1 p totalt för uppgiften. 12 Ta fram skärningslinjen mellan planenπ 1 : x+2y 8z=0 ochπ 2 : 2x+y 10z= 3 (angivna i samma ON-system). Om det inte finns någon skärningslinje, bestäm istället avståndet. (2p) Det finns ingen skärningslinje om planen är parallella, vilket de är om deras normalvektorer är parallella, vilket de inte är. Alltså är det skärningslinjen som söks. (Annars kan man börja med att försöka ta fram skärningslinjen. Lyckas det så finns den!) Skärningslinjen består av alla punkter som tillhör båda planen samtidigt, vilket innebär att de uppfyller bägge planens ekvationer, vilket innebär att de löser ekvationssystemet x+2y 8z= 0 2x+ y 10z= 3 Gauss-Jordan ger 1 2 8 0 2 1 10 3 1 0 4 2 0 1 2 1 vilket innebär x+4z=2 y 2z=1 x=2 4z y=1+2z x=2 4t y=1+2t z= t Utskrivet: Skärningslinjen ärl:(x, y, z)=(2, 1, 0)+ t( 4, 2, 1). Rättningsnorm: Rätt ekvationssystem: 1 p. Svar i klartext: 1 p. Inget avdrag för räknefel. Om man av någon anledning istället beräknar avstånd så ger en helt korrekt beräkning av avståndet mellan en punkt i ena planet och en punkt i andra 1 p.