ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med utgångspunkt i LTHs övningssamling). Av olika skäl är det många hopp fram och tillbaka mellan avsnitten: På vissa ställen har jag försökt senareläggamer teoretiska / speciellamoment, så att man fortare kommer igång med de mer grundlägande övningarna. På andra har jag försökt framhäva vissa begreppsmässiga kopplingar. Du kan naturligtvis alltid läsa momenten i den ordning de kommer i din bok bara se till att få med dig allt (det mesta)! Förkortningar PB LTH Arne Persson & L.-C.Böiers: Analys i en variabel, 2001 (inom parentes: 1990-upplaga vid avvikelser) LTH, Inst.för matematik: Övningar till Analys i en variabel, 2001 eller senare (De som har 1998 års upplaga, se http://www.math.chalmers.se/math/grundutb/cth/tma970/0203/uppgiftsnummer_gamla.pdf ) D Dunkels m.fl.: Derivator, integraler och sånt..., 2000 HMT Hellström, Morander, Tengstrand: Envariabelanalys, 1991 (Med t.ex. 7.0 menar jag den onumrerade inledningen till kap.7) Kursinnehåll Försök att jobba dig igenom några övningsuppgifter från varje moment! "Elementär algebra" avsnitt i PB övn. i LTH Kvadratkomplettering. Ekvationslösning 0.3 Olikheter med faktorisering 0.4 (sid.41-42) 0.60 Potenser : algebra 1.6.1 1.21-1.24 Logaritmer : algebra 1.7.1 1.25-1.32, 1.114 Elementära funktioner: grafer PB övn. i LTH avsnitt i D HMT Linjär funktion. Räta linjens ekvationer 1.4.1, 0.5 0.41-0.43 Andragradspolynom. Kvadratkomplettering 1.4.2, 0.3 1.3-1.9, 1.17 Rationella funktioner 1.5 1.17.2 2.4.3 Potensfunktioner 1.6.2 1.17.3 2.4.3 Exponentialfunktionen 1.6.3 1.17.4 2.4.4 Logaritmfunktionen 1.7.2 1.17.5 2.4.5
2 Envariabelanalys2003.nb Grafer, allmänt avsnitt i PB övn. i LTH D HMT Diverse exempel 1.2.2, 1.3.1 1.14 2.1-2.2 Injektiv (omvändbar) funktion 1.8.1 1.15 Växande/avtagande/begränsad 1.8.3 1.15 2.3 Symmetri: udda/jämn 1.8.3 1.47-1.49 2.3 Translation, skalning, spegling 1.2, 1.1, 1.14, 1.20, 1.33-1.35, 1.115 Funktionsbegrepet PB LTH D HMT Definitionsmängd, värdemängd, restriktion 1.2.1 1.14 2.1 Invers funktion 1.8.1 1.41-1.42, 1.44-1.45 1.15 2.2 Sammansättning av funktioner 1.8.2 1.43, 1.46 1.16 2.2 Elementära funktioner: trigonometri PB LTH D HMT cos, sin, tan : m.h.a enhetscirkeln 1.9.1-1.9.3 1.50-1.55, 1.64a 1.17.7 2.4.6 "Mindre uppenbara" trig. formler 1.62-1.63, 1.64b, 1.65-1.67 Diverse ekvationer 1.56-1.57, 1.61 Hjälpvinkelomskrivningen 1.58-1.60 Triangelsatserna. (Triangelsolvering) (1.68) Arcusfunktioner 1.10 1.69-1.83 1.17.8 2.4.7 PB LTH D HMT Hyperboliska funktioner 1.11 1.84 1.17.6 övn.2.31
Envariabelanalys2003.nb 3 Gränsvärden PB LTH D HMT Irrationella tal, approximationer, gränsvärden 0.1 (1.1) 1.1 Absolutbelopp, triangelolikheten 1.3 1.11-1.15 1.4-1.5 1.4 Skrivsätten Š, a +, lim 1.5 2.2-2.3, 2.5 3.0 Gränsvärden av rationella funktioner 1.5 1.36-1.37 2.3 3.1.2 ln x ` x ` È x, när x Š 1.6.4, 1.7.3 1.38-1.40 2.7 3.1.3 Hsin xlƒ x 1, när x 0 1.9.4 2.3 sid.112, 189 Gränsvärde: definitioner och räkneregler 2.1 2.1-2.2, 2.8d, 2.31, 2.33 2.2-2.3, 2.5 3.1.1, 3.2.1 Standardgränsvärden 2.4 2.3-2.15, 2.35 2.7 3.1.3, 3.2.2 Förlängning med konjugatuttrycket 2.1 2.16-17 2.2 3.1.3 Kontinuitet 2.2 2.20 2.4 3.2.1 satsen om mellanliggande värden 2.2 2.21-2.23 2.8 3.3 Talet È : definition 2.3 2.6 3.1.5 Asymptoter 2.5.1 2.24-2.27 4.6.1 4.5.1 Serier 2.5.4 2.28-2.30 13.1, sats 13.10 7.0, 7.2.1 Derivata PB LTH D HMT Derivata, begreppet 3.1-3.2 3.1-3.2 4.0-4.1 deriverbarhet õ kontinuitet 3.3 sats 3.1 4.1 Produkt- och kvotregeln 3.3 3.3 4.2.1 Kedjeregeln 3.3 3.5 4.2.3 De elementära funktionernas derivator 3.4 3.7-3.12, 3.23, 3.27-3.30, 3.343.3 4.2.2 Inversens derivata 3.3 3.17, 3.31 3.4 4.2.4 Tangent, normal 3.5-3.6, 3.15-3.16, 3.35, 4.32 3.2 4.1 Lokala extrempunkter 3.5 4.2 4.3 Medelvärdessatsen 3.5 4.3 4.3 Kurvritning, optimering 4.1-4.2 4.1-4.11 a från varje, 4.4-4.6 4.5.1-4.5.3 4.29-4.31, 4.33-4.36, 4.40 Bevis av olikheter 4.4 4.12 4.5.1 Optimering: textuppgifter 4.3 4.13-4.28, 4.37, 4.41 Implicit derivation stencil 3.3 3.18-3.22, 3.32-3.33, 3.36, 4.39 3.5 logaritmisk derivering 3.4 3.13-3.14 3.5 4.2.5 Leibniz formel 3.6 3.24b 3.6 4.4 Komplex exponentialfunktion È Éx 3.25 sats 9.17 Gränsvärden m.h.a. derivata 3.1
4 Envariabelanalys2003.nb Integralbegreppet PB LTH D HMT Definition, egenskaper, uppskattningar 6.1-6.3 6.1-6.10 6.1-6.3, 6.10 5.0-5.1.3 Analysens huvudsats, Insättningsformeln 6.4 6.11-6.13 6.4, 6.15 5.1.4 Primitiva funktioner PB LTH D HMT "Elementära" primitiva funktioner 5.1 5.1-5.5 6.5, 6.6 5.2.1 Kedjeregeln baklänges 5.6-5.12 6.8 Variabelsubstitution 5.1 5.13 6.9 5.2.2 Partiell integration 5.1 5.14-5.16, 5.38 6.7 5.2.2 6.4 6.15, 6.16a, 6.17ac, 6.19, ( 6.18ab, 6.44, 6.45) Rotuttryck av första graden 5.3 5.13bc, 5.27ac 6.9 5.2.2 ¾!!!!!!!!!!!!!!! x 2 + a Ç x 5.3 6.9 Rationella funktioner 5.2 5.17-5.23 6.11-6.12 5.2.3 Trigonometriska polynom (Eulers formler) 5.4 5.33 ------ 5.2.4 Generaliserade integraler 6.5 6.25abc, 6.27ab, 6.30ab 6.16 Integraler: tillämpningar PB LTH D HMT Area 7.1 7.1-7.2 Volym 7.3 7.14, 7.15, 7.18, 7.21, 7.22, 7.67 7.2 5.3.2 Längd stencil 7.4 7.24, 7.26, 7.61 7.3-7.4 5.3.2 (Rotationsytor) 7.5 7.31, 7.33 ----- Integraler i fysiken stencil 7.2 7.4-7.8, 7.9, 7.11, 7.13, 7.7.1, 7.9, 7.11 5.3.3 7.45 (ej tryckcentrum), 7.54, 7.55, 7.65, 7.66 (Uppskattningar av summor) 7.9 7.47-7.49 övn.5.9
Envariabelanalys2003.nb 5 Differentialekvationer PB LTH D HMT Fysikaliska exempel 8.1 3.2-3.4 10.2 9.0-9.1 Terminologi 8.1 10.1 9.1.2 Riktningsfält 8.1 10.3 9.2 Separabla ekvationer 8.3 8.21cd, 8.22, 8.23, 10.7 9.4.1 8.28, 8.29, 8.30, 8.33 Integrerande faktor - metoden 8.2 10.6 9.3.1 Linearitet, superposition 8.2, 8.58.25 10.5 9.3.1, 9.3.3 y ' + a y = k 8.8, sista exemplet 8.4, 8.5abc, 8.6ab, 8.11-8.16, 10.6 Exempel 22 8.18-8.20, 8.73-8.75, 8.79, 8.83 OBS! Självplåga dig inte med IF-metoden! Den behövs för den teoretiska härledningen, men när man väl gjort den, kan man sedan vid problemlösning tänka som för 2:a ordningens linjära diff.ekvationer och skriva upp lösningen direkt! Hom. lin. ekv. av ordn. 2 8.6 8.38, 8.40-8.43, 8.44 10.8 9.3.2 Partikulärlösningar 8.7 8.47, 8.48, 8.51, 8.52, 8.55, 8.56 10.9, 10.12 9.3.5