Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 32 poäng. 0 3 poäng: U. 4 32 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 073 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. (a) Bestäm f (x) då f (x)=2x 2 3x+4 med hjälp av defintionen. (Ingen poäng för beräkning på annat sätt.) Vi får ( f f (x+h) f (x) 2(x+h) 2 3(x+h)+4 ) (2x 2 3x+4) (x)=lim = lim h 0 h 2x 2 + 4xh+2h 2 3xh+4x 2 + 3x 4 4xh+2h 2 3h = lim = lim = lim(4x+2h)=4x+2 0=4x h 0 Rättningsnorm: p för korrekt uppsatt gränsvärde, p för korrekt beräkning av det gränsvärde man satt upp (förutsatt att det är av samma svårighetsgrad som det korrekta). Derivera nedanstående två uttryck. (Här får deriveringsreglerna användas.) (b) arctan x x Kvotregeln: d arctan x = ( d d dx arctan x) x arctan x ( dx x) dx x x 2 = x/(x2 + ) arctan x = x (x2 + ) arctan x x 2 x 2 (x 2 + ) (c) e x ln x Kedje- och produktregeln: d ex ln x x ln d = e x dx dx (x ln x)=ex ln x (( d dx x) ln x+ x ( d ln x)) dx = e x ln x ( ln x+ x x )=ex ln x (ln x+) Rättningsnorm: Gäller både (b) och (c): p avdrag för varje enskilt deriveringsfel.
MAA24 Lösning Sida 2 (av 5) 2. (a) Funktionen h definieras enligt h(x)= f ( g(x) ). Om f och g vet vi det som står i nedanstående tabell: x f (x) f (x) g(x) g (x) 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 2 4 5 2 3 5 2 3 4 Bestäm h (3). h (3)= f (g(3))g (3)= f ()g (3)=3 2=6 Rättningsnorm: p för att man förstått att det är f (g(3))g (3) som ska tas fram, p om man läser ut rätt värden ur tabellen. Vi tittar nu på kurvan x 4 + y 4 = 7. (b) Punkten (x, y)=(2, ) ligger på denna kurva. Bestäm tangentlinjen till kurvan i denna punkt. Metod : Använd implicit derivering. Utgå från att y är en funktion av x: d ( x 4 + ( y(x) )) 4 = d dx dx 7 4x 3 + 4 ( y(x)) 3 y (x)=0 y (x)= x3 ( y(x) ) 3 vilket med insatta värden ger: Tangentlinjen kan skrivas y (2)= 23 ( ) 3= 8 y ( )=8(x) y=8x 7 Det hela ser ut så här: 3 2 2 3 Metod 2: Lös ut y ur ekvationen: x 4 + y 4 = 7 y 4 = 7 x 4 y=± 4 7 x 4
MAA24 Lösning Sida 3 (av 5) Eftersom den givna punkten har negativ y-koordinat måste det vara minus-lösningen som gäller, och den kan vi derivera: y= (7 x 4 ) /4 y = 4 (7 x4 ) /4 ( 4x 3 )= ( 4 7 x 4 ) 3 vilket med insatt x-värde ger: y (2)= 2 3 ( 4 74 ) 3= 8 ( 4 ) 3 = 8 Linjen tas fram som i metod. Rättningsnorm: Oavsett metod ingår delmomenten derivera lös ekvation sätt in värde ta fram linje. De ger p var; inga avdrag för följdfel (om man inte fått något som var signifikant mycket lättare att behandla än det korrekta). (g) Strax intill finns på kurvan en punkt med x-värdet 2,0. Bestäm y-värdet i denna punkt så noga du kan. (Svaret ska ges som ett tal i klartext, utan några symboler för räkneoperationer.) Tangentlinjen från föregående uppgift kan användas; den approximerar kurvan mycket bra nära x=2: y(2,0) 8 2,0 7= 0,92 (Mer exakt räkning ger y(2,0) 0,9073.) Rättningsnorm: Svårt att säga hur en p-lösning skulle se ut, men de finns säkert. x 3 3. (a) En,5 m lång flicka är på väg från en lykta, som hänger 6 m över marken. Framför flickan faller hennes skugga, som blir allt längre ju längre från lyktan hon kommer. Flickan befinner sig just nu 4,5 m från lyktan och rör sig bortåt med hastigheten 0,5 m/s. Hur snabbt växer hennes skugga? Vi börjar med att markera väsentliga saker i figuren: 6,5 x y x är hur långt flickan gått, y är skuggans längd.
MAA24 Lösning Sida 4 (av 5) Ur figurens trianglar ser vi 6 x+y =,5 y y= x 3 dy dx = 3 Det var givet att dx dt= 0,5 m /s. Kedjeregeln ger dy dt = dy dx dx dt = 3 0,5= 6 m /s Man kan också hoppa över kedjeregeln genom att motivera att skuggans längd hela tiden kommer att vara exakt /3 av avståndet från lyktan, vilket innebär att dess tillväxttakt kommer vara /3 av avståndets tillväxttakt. Rättningsnorm: Minst p om man ritat en bra figur. 4p för helt korrekt lösning, i överigt poäng efter hur stor andel av en korrekt lösning man fått ihop. (b) Vi har funktionen g, där g(x)=+ x+. Bestäm definitionsmängd, värdemängd och eventuella max- och minpunkter och asymptoter för g, och skissa grafen. Snabblösning: Grafen för +/(x+ ) är grafen för /(x+) uppflyttad steg; grafen för /(x+ ) är grafen för /x flyttad steg åt vänster; grafen för /x vet vi hur den ser ut. Den har inga max- och minpunkter; koordinataxlarna är asymptoter; definitions- och värdemängderna är allt utom 0. Förflyttningen ger att vår funktion har asymptoterna x =, y =, definitionsmängd allt utom, värdemängd allt utom. Standardlösning: Division med 0 då x = ; definitionsmängd allt utom detta värde och vertikal asymptot x =. Horisontell asymptot: ( y=lim + ) = +0= ± x+ Derivata: g (x)=0+( )(x+) = (x+) 2 Det här uttrycket är alltid negativt, så det finns inga extrempunkter. Grafen lutar hela tiden neråt, vilket också ger information om hur det ser ut intill den vertikala asymptoten. Graf: 5 4 3 2 5 4 2 3 4 5 4 5 Ur grafen ser vi att värdemängden är allt utom y=. Rättningsnorm: För full poäng fordras definitions- och värdemängder i klartext och en korrekt och motiverad graf. Annars poäng efter hur stor del av en fullständig lösning man gjort.
MAA24 Lösning Sida 5 (av 5) 4. Du får i nedanstående uppgifter förutsätta att satsen om extremvärden, Rolles sats, medelvärdenssatsen och Fermats sats är bevisade. (Du får alltså använda alla dessa satser utan att bevisa dem. Du behöver antagligen inte använda allihop.) (a) Visa att om en deriverbar funktion f är strängt växande i ett område så är dess derivata inte negativ där. Om f är strängt växande så är f (x 2 )> f (x ) då x 2 > x. I så fall är f (x 2 ) f (x )>0. Titta nu på derivatan, och separera beräkningen: { } f (x+h) f (x) positivt lim = h 0 + h positivt = positivt 0 { } f (x+h) f (x) negativt lim = h 0 h negativt = positivt 0 (Gränsvärdet för ett strikt positivt uttryck kan absolut inte bli negativt, men det kan bli noll. /x då x går mot oändligheten är ett exempel.) Derivatan, som är lika med båda dessa gränsvärden, är alltså minst noll, dvs. inte negativ. Rättningsnorm: Minst p om man insett att man ska utgå från derivatans defintion; för full poäng fordras vattentätt resonemang. (b) Visa att om en funktion f :s derivata är positiv i ett område så är funktionen strängt växande där. Ta två värden i området, x och x 2, där x 2 > x. Enligt medelvärdessatsen är f (x 2 ) f (x )= f (c)(x 2 x ) där c ligger någonstans mellan x och x 2. f (c) > 0 enligt givna förutsättningar; x 2 x > 0 eftersom vi valde punkterna på det sättet. Då är f (c)(x 2 x )>0, dvs. f (x 2 ) f (x )>0, dvs. f (x 2 )> f (x ). Detta gäller vilka punkter vi än tar, så x 2 > x f (x 2 )> f (x ) Detta betyder (per definition) att f är strängt växande. Rättningsnorm: Minst p om man insett att man ska använda medelvärdessatsen; för full poäng fordras vattentätt resonemang. (c) Ge ett exempel på en deriverbar funktion som är stängt växande men där det finns en punkt där derivatan inte är positiv. Enklaste exemplet är f (x)= x 3, som har derivatan 0 i x=0. (Vilken funktion som helst med en terrasspunkt går bra.) Rättningsnorm: Exemplet måste uppfylla samtliga krav för poäng.