Matematik och grafik i mikroekonomiska modeller Hur bestäms resursfördelningen i en marknadsekonomi? Utbud, efterfrågan priser Bakom detta ligger i sin tur beslut av enskilda företag och hushåll, marknadskrafterna Ett grundläggande antagande i den ekonomiska teorin är att dessa aktörer uppträder rationellt, man strävar efter att maximera vinsten eller nyttan optimeringsmodeller Av speciellt intresse är jämvikten på en marknad, därför att man ofta antar att marknadskrafterna leder till jämvikt (utan att någon enskild part strävar efter detta) jämviktsmodeller I kursen tonvikt på grafiska illustrationer av matematiska samband Räkneövningar (Birgit Hagberg) Diagram Funktioner (inklusive deriveringsregler och optimering) Bråk och potenser Procent Ekvationer och ekvationssystem Funktioner y f(x) För varje värde för x, för vilka funktionen är definierad, skall det finnas ett specifikt värde för y 1
Exempel: Ett företag säljer en vara till ett konstant pris :-, respektive :- per enhet. Företagets totala intäkt (TR) är en funktion av kvantiteten () TR TR 000 TR 000 00 Derivatan för (lutningen på) den funktion som visar ett totalsamband visar motsvarande marginella samband Företagets marginalintäkt (MR) är här konstant MR MR MR 00 2
Från ytan under den funktion som visar det marginella sambandet kan man också härleda det totala sambandet Hur mycket ökar företagets totala intäkter om ökar från 500 till 00? TR TR Intäktsökning 000 000 000 000 000 500 00 MR Intäktsökning 500 000 MR 500 00 3
Antag att företagets totala kostnader (TC) visas av funktionen TC 4000 + 0,01 2 TC 4000 + 0,01 2 TC 26500 14000 6500 4000 Kostnadsökning 14000 6500 7500 TC 4000 0 6500 500 14000 00 26500 1500 44000 00 500 00 1500 Marginalkostnaden (MC) visas då av derivatan till TC- funktionen, MC 0,02 MC MC 0,02 30 Kostnadsökning 500+ 500/27500 MC 0 0 500 00 30 1500 40 00 500 00 1500 4
Optimering Företagets vinst (π) total intäkt (TR) total kostnad (TC) π (4000 + 0,01 2 ) TC TC TR 000 14000 6000 3500-4000 500 00 1500 π TR TC π 0 4000-4000 0 000 6500 3500 500 000 14000 6000 00 30000 26500 3500 1500 40000 44000-4000 00 Vinsten maximeras där marginalintäkt marginalkostnad, d.v.s. där lutningen på TR lutningen på TC MC 30 MC MR MR MC 0 0 500 00 30 1500 40 00 500 00 1500 Ytterligare exempel: Se Mikroekonomisk analys, uppgift 1:1 5
Modeller där axlarna byter plats Efterfrågad kvantitet av en vara som en funktion av priset D f(p), exempelvis D a - bp P a/b Linjens lutning a / b 1 a b D 1 Utgångsläge D 0 D 1 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet ökar med 50 % vid alla priser D 2 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet stiger med en given storlek ( ) vid alla priser D 0 D 2 a P Utgångsläge D 0 P D 2 D 1 D 0 D 1 visar vad som händer om samtliga konsumenter är beredda att betala 50 % mer för varan D 2 visar vad som inträffar om samtliga konsumenter är beredda att betala ett givet belopp ( P) mer för varan 6
Lösningen av ett ekvationssystem Låt såväl efterfrågad kvantitet ( D ) som utbjuden kvantitet ( s ) vara linjära funktioner av priset D a bp S -c + dp P S P* jämviktspris * jämviktskvantitet P* -c a bp c + dp D * a c+ dp a bp a + c P* b + d bp+ dp a+ c ( b+ d) P a+ c a+ c * a bp a b b+ d ab+ ad ab bc ad bc b+ d b+ d ab+ bc a b+ d a( b+ d) ab+ bc b+ d b+ d 7
Funktioner av två variabler och nivåkurvor Antag att f(k,l) KL Nivåkurvorna visar olika kombinationer av förklaringsvariablerna som ger ett visst värde för funktionen K 25 12,5 8 5 4 150 1 0 4 5 8 12,5 25 L Olika kombinationer av K och L som ger 0 K L KL 4 25 0 5 0 8 12,5 0 0 12,5 8 0 5 0 25 4 0 8
Säg att företaget vill producera 0 så billigt som möjligt. Kombinera nivåkurvan för 0 med nivåkurvor som binder ihop olika kombinationer av K och L som kostar företaget lika mycket Antag att varje enhet K kostar 250:- och varje enhet L kostar 00:- TC f(k,l) 250K + 00L K 40 TC 000:- TC 5000:- K L TC 0 5000 2,5 5000 4 4 5000 2 4,5 5000 0 5 5000 25 12,5 8 5 4 Företagets val 4 5 8 12,5 25 0 K L TC 40 0 000 5 000 8 8 000 4 9 000 0 000 L Lösningen till företagets problem (K, L 5) finner vi där nivåkurvan som visar den önskade kvantiteten tangerar en nivåkurva som visar kostnaden, d.v.s. där nivåkurvorna har samma lutning 9