Tillämpade analysuppgifter för V och W 1. (V,W) Med vattenföring menas den volym vatten som rinner fram per tidsenhet i ett vattendrag och uttrycks vanligen i m 3 /s. En graf som visar hur vattenföringen ändras med tiden t kallas hydrograf. Vattenföringen (här uttryckt i m 3 /min) i ett visst vattendrag vid tiden t min betecknas Q(t) och antas ha (hydro)grafen nedan. 2 15 Q 1 5 1 2 3 t 4 5 6 Sätt S() = Q(t)dt. a) Ange en formel för S(), 6. Skissera även kurvan y = S(). b) Funktionen Q(t) beskriver vattenföringen vid tiden t. Hur kan man med utgångspunkt från detta tolka funktionen S()? 2. (V,W) När vatten tränger ner i marken kallas detta infiltration. Horton föreslog 194 en principiell modell för infiltration. Infiltrationskapaciteten f(t) mm/h (som är ett mått på den hastighet med vilken marken absorberar vattnet) vid tidpunkten t h ges av där f, f c och k är positiva konstanter. f(t) = f c + (f f c )e kt, a) Bestäm f() samt lim f(t). t b) Låt k = 2 och antag att grafen till f ges av figuren på nästa sida (enhet h respektive mm/h). Använd grafen för att utläsa troliga värden för f och f c. c) Den ackumulerade infiltrationen S() mm (dvs det totala vattendjupet som har infiltrerats) vid tid h ges av S() = f(t)dt. Beräkna S() med hjälp av dina avlästa värden på konstanterna i b).
5 45 4 35 3 f 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t 3. (V) Genom ett fönster i en rökfylld byggnad strömmar rökgaser ut. Den massa per tidsenhet som passerar på nivån z över golvet är C z, där C är en konstant. Fönstrets underkant är på nivån 1.2 m, dess överkant på 1.8 m. Hur stort är massflödet per tidsenhet genom fönstret? 4. (W) Vattentrycket p(h) Pa på djup H m i havsvatten kan beräknas med hjälp av integralen p(h) = H γ(h) dh, där γ(h) anger havsvattnets viktdensitet (i enheten N/m 3 ) vid djup h m. (Vi bortser här från det atmosfäriska trycket.) Havsvattnets viktdensitet ges ungefärligen av den empiriska formeln γ(h) = γ + K h, där γ = 1 4 N/m 3 och K = 7 N/m 7/2. Beräkna vattentrycket på djupet 36 m. 5. (V) Utböjningen hos en belastad balk beror bl.a. på tvärsnittets form. Den storhet hos ett tvärsnitt som är av intresse kallas yttröghetsmoment och definieras av I = y 2 da, där integrationen (summationen) sker över tvärsnittet ifråga. (Här ska -aeln gå genom tvärsnittets tyngdpunkt.) Uppgift: Bestäm I för ett rektangulärt tvärsnitt enligt figuren. dy y h/2 h/2 b
6. (V) Figuren visar ett tvärsnitt av en avsmalnande stång i form av en stympad likbent triangel, utskuren ur en 25 mm tjock stålplatta. Den är upptill fastsvetsad i en styv konstruktion. I punkten B verkar en nedåtriktad kraft på 4 kn. Beräkna förskjutningen i punkten A orsakad av denna kraft. För förskjutningen δ gäller formeln N() δ = A()E() d 1.5 m 1.5 m 15 mm där E() (elasticitetsmodulen) beror av materialet och i detta fall har det konstanta värdet 2 GPa. N() betyder A normalkraften på nivån, i detta fall alltså 4 kn ovanför B och noll under. Slutligen betecknar A() stångens 5 mm tvärsnittsarea på nivån. Tips för enkla beräkningar: välj -aelns nollpunkt i skärningspunkten av triangelns två lika sidor. 7. (V) Vid eperiment med asfalt är man intresserad av storheten ε R (pseudostrain). Denna storhet är en funktion av tiden t och beräknas för t > ur en formel med utseendet I ett visst eperiment är ε R (t) = t där n är en given positiv konstant. Vidare är E(t )g ()d. g() = n E(y) = E + N E k e y/ρ k, där N är ett givet positivt heltal och E, E 1,...,E N, ρ 1,...,ρ N är givna positiva konstanter. (En sådan funktion E(y) kallas en Pronyserie.) Beräkna för detta eperiment ε R (t) uttryckt i tiden t och de givna konstanterna. 8. (W) Det atmosfäriska trycket p millibar uttryckt som en funktion av höjden h km över havsnivån uppfyller differentialekvationen k=1 dp dh = kp, där k är en konstant. En dag är p() = 113 mbar (normalt tryck vid havsnivå) och p(5) = 65 mbar. Bestäm det atmosfäriska trycket på 1 meters höjd. B 9. (W) I början av 198-talet, innan Montrealprotokollet begränsade produktionen av freoner på grund av deras effekt på ozonlagret, var det globala utsläppet av freonen CFC-12 (CF 2 Cl 2 ) i atmosfären 4.2 1 8 kg/år. Denna gas avlägsnas från atmosfären enbart genom s.k. fotolys (nedbrytning med hjälp av fotoner), med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot massan CFC-12 i atmosfären (proportionalitetskonstant k =.1 år 1 ). a) Ställ upp en differentialekvation för massan CFC-12 i atmosfären som en funktion av tiden. (Vi antar att det årliga utsläppet av CFC-12 är konstant.)
b) År 198 uppmättes massan CFC-12 i atmosfären till 8.5 1 9 kg. Enligt modellen ovan, hur mycket CFC-12 fanns det fyra år senare? 1. (V) Betrakta en 2 dm tjock vägg, vars ena sida har temperaturen 2 och vars andra sidan har temperaturen 3. Vi antar att temperaturen u inne i väggen bara beror på avståndet till sidorna, så att vi har ett endimensionellt problem. Man kan visa att när stationärt tillstånd inträffat så uppfyller u villkoret Bestäm u(). d 2 u d 2 =. 11. (V) En tunn stålplatta (oändligt stor) utgör vägg mellan två områden, som båda har temperaturen 2, liksom väggen själv. Vid tiden t = blir temperaturen på den vänstra sidan plötsligt 1, och behåller denna temperatur i fortsättningen. Hur kommer plattans temperatur T att variera med tiden? Rita kurvan. Newtons avsvalningslag innebär i denna situation att ( ) dt dt = k (T 1 T) (T T 2 ). Här betecknar T 1 och T 2 temperaturen på respektive sida om väggen, och k är en materialkonstant som beror på stålets densitet, specifika värme, tjocklek och värmeövergångskoefficient till luft. 12. (W) Förhållandet mellan inflöde Q in (t), utflöde Q ut (t) och vattennivån z = z(t) hos en sjö vid en given tidpunkt t kan beskrivas med differentialekvationen dz dt = Q in(t) Q ut (t), A(z) där A(z) betecknar sjöns ytarea vid vattennivån z. a) För en viss sjö som utsätts för ett konstant inflöde av vatten gäller att sjöns ytarea är direkt proportionell mot vattennivån. Samtidigt sker det en förlust genom avdunstning (dvs ett utflöde) som är direkt proportionell mot sjöns ytarea. Visa att differentialekvationen då kan förenklas till dz dt = C 1 C 2 z, z där C 1 och C 2 är positiva konstanter. b) Enligt modellen i a), för vilka vattennivåer z i sjön kommer vattennivån att öka respektive minska? 13. (W) Betrakta en viss fiskart, som i ett visst område finns i y eemplar vid tid t. Dess tillväthastighet om det inte förekom något fiske antas vara y k 2 y 2, där k är en (liten) konstant, och där den sista termen kan motiveras av konkurrens om föda mellan fiskarna. Fiskarna antas fångas med nät, på sådant sätt att en viss andel α av populationen försvinner. För fiskpopulationen får vi då följande differentialekvation: y = y k 2 y 2 αy. Beteckna med y (>) populationens storlek vid tiden t =.
a) Inför en ny obekant z = 1 i denna ekvation. Visa att den resulterande ekvationen i z y blir b) Bestäm z = z(t) och därefter y. z + (1 α)z = k 2. c) Vad händer med fiskpopulationen efter långt tid? (Kommer utfiskningen att leda till att den försvinner helt, kommer den att väa obegränsat,...?) 14. (W) Mängden koldioid i atmosfären anses ha betydelse för global uppvärmning. Denna mängd väer bland annat på grund av industriell förbränning av fossila bränslen. Den minskar på grund av naturlig absorption av oceanerna och gröna väter. Vi ska studera en enkel modell av förändringen av mängden koldioid i atmosfären med tiden. Låt y(t) beteckna mängden koldioid. Antag att den tillväer med en hastighet y = αy, där betecknar de industriella utsläppen och α > anger proportionen av absorption av koldioid i naturen. Antag vidare att de industriella utsläppen varierar med hastigheten = ae bt cy, där a, b, c är positiva konstanter. Den första termen representerar effekter pga ekonomisk aktivitet i industrin. Den andra termen, som verkar för att minska utsläppen, representerar statliga och överstatliga beslut om kontroll av utsläppen när koldioidmängden ökar. a) Visa att dessa villkor leder till en differentialekvation av andra ordningen för y, nämligen y + αy + cy = ae bt. b) Finn den allmänna lösningen till denna differentialekvation. c) Ge villkor på konstanterna a, b, c som leder till att y(t) då t. 15. (V) Sambandet mellan lasten q() på en balk utsträckt längs -aeln mellan och L och dess utböjning v() ges av d 4 v d = 1 q(), L, 4 EI där E har att göra med materialegenskaperna hos balken och I beror på formen av balkens tvärsnitt. Dessa tal antas konstanta här. Vi betraktar bara fast inspända balkar, för vilka gäller v() = v () =, v(l) = v (L) =. a) Bestäm v() för en balk med jämnt utbredd last: q() = q för < < L. q L b) En balk i en undervattenskonstruktion utsätts för last orsakad av vattentrycket. Då är q() = k för någon konstant k. Bestäm v().
Svar 1. a) 2 2 + 1 11 5 1 2 S() = 2 9 + 15 2 3 2 2 + 81 12 3 4 + 4 4 6 4 S 3 2 1 1 2 3 4 5 6 b) Antalet kubikmeter vatten som passerat (ett tvärsnitt av vattendraget) efter min. 2. a) f() = f, lim t f(t) = f c b) f = 35 och f c = 5 3. c) Med avlästa konstanter f = 35 och f c = 5 får vi S() = 5 + 15 15e 2. 2C 3 (1.83/2 1.2 3/2 ) 4. ca 37 1 3 kpa 5. bh 3 /12 3 6. 125 ln 1.5 m (9.7 1 5 m) ( 7. ε R (t) = n E t + ) N k=1 E kρ k (1 e t/ρ k 113 2 ln 65 2 8. 113e 65 = 113 417 mbar
9. a) Om m = m(t) är massan i kg vid tiden t år, så får vi differentialekvationen b) (4.2 3.35e.4 )1 1 9.8 1 9 kg dm dt = 4.2 18.1m. 1. u() = 14 + 2, om -aeln lägges med nollpunkten vid den kalla väggen och riktad in i väggen, och graderas i dm. 11. T = 6 4 e 2kt 12. b) Vattennivån ökar då z < C 1 C 2 och minskar då z > C 1 C 2. 13. b) y = y (1 α) k 2 y + (1 α k 2 y )e (1 α)t, 14. b) y = C 1 e r 1t + C 2 e r 2t + 15. a) v = 1 ( q EI b) v = 1 EI 1 α c) y(t) då t. k 2 a b 2 + αb + c ebt, där r 1,2 = α 2 ± 1 α2 4c, c) b =. 2 12 L3 + q ) 24 L2 2, < < L, 24 4 q ( k 12 5 k 4 L2 3 + k 6 L3 2 ), < < L.