Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal I teorin för differentialekvationer (ur allmännare matematisk synvinkel) har vi följande aspekt: Olinjära system 2 1 0-1 -2 0.5 1 1.5 2 2.5 Exempel: ½ y 0 = y (1 y), t 0 y (0) = a (given) (Obs. Diff.ekvationen är olinjär!) Vi kan omedelbart se två konstanta lösningar: y = 0 för alla t y = 1 för alla t (Då är såväl höger- som vänsterled =0.) Sådana lösningar kallas jämviktslösningar. (Att ett system befinner sig i jämvikt, brukar ju betyda att tillståndsvariablerna håller sig konstanta.) Annars, på alla intervall där högerledet inte antar värdet 0, så är ekvationen ekvivalent med y 0 y (1 y) =1 En separabel diff.ekv.! Z Z dy = dt y (1 y) Z µ 1 y + 1 Z dy = dt 1 y ln y ln 1 y = t + C y 1 y = ±e C e t [Sätt in t =0] y a = 1 y 1 a et (1 a) y = a (1 y) e t y = Vad händer med lösningen när t? = ae t 1 a + ae t = 1 1 a a e t +1 Anm. De vertikala linjerna kring t =2ärinte lösningskurvor, utan lodräta asymptoter för de två lösningarna med y (0) < 0. Hur beror lösningarna på begynnelsevärdet y (0)? Om vi har två lösningar, y 1 och y 2, med olika begynnelsevärden, a 1 och a 2, men med a 1 a 2 relativt liten, kommer då skillnaden mellan y 1 och y 2 att vara liten även för alla t>0? Att denna fråga är viktig, kan inses så här: Tänk att y (t) är en storhet vars framtida värden vi vill förutsäga utifrån det nuvarande värdet y (0), som vi mäter upp. Vi kan därvid inte undvika ett visst mätfel, så den lösning vi tar fram har ett annat begynnelsevärde än den riktiga lösningen. Hur brukbar är då vår lösning som approximation till den riktiga? När det gäller exemplet ovan, så är det klart att, om vi har att göra med lösningskurvorna ovanför t-axeln, så spelar inte begynnelsevärdet någon större roll lösningskurvorna bildar en konvergent knippe begynnelseskillnaderna syns inte efterhand. Lösningskurvorna under t-axeln är däremot väldigt känsliga för begynnelsevärdet. I detta enkla exempel är i alla fall lösningskurvornas kvalitativa utseende klart alla lösningar med y (0) < 0 kommer att avta mot med växande t. Men i mera komplicerade fall system av flera olinjära diff.ekvationer så kan även svaret på frågor som Kommer kurvan att vända någon gång? att vara starkt beroende av begynnelsevärdet. Lösningen y 0 ovan kallas instabil jämviktslösning (jämviktspunkt) Lösningen y 1 ovan kallas stabil jämviktslösning (jämviktspunkt). ( 1, om 1 a a > 1 y (t) q, redan när t, annars 1 a a Några lösningskurvor för olika värden på y (0) = a : 1

Allmänt: Låt f vara en given funktion av två variabler. Beteckna med y (a, t) lösningen till problemet ½ y 0 = f (t, y), t 0 y (0) = a (given) (I vårt exempel ovan är f oberoende av t, f (t, y) = y (1 y), ett s.k. autonomt system.) En lösning y (a 0,t) kallas stabil, om det till varje ε > 0 finns ett δ > 0 så att a a 0 < δ = y (a, t) y (a 0,t) < ε för alla t 0 instabil, annars De stabila lösningarna indelas i sin tur i två kategorier. En stabil lösning y (a 0,t) kallas asymptotiskt stabil, omδ kan väljas så att dessutom y (a, t) y (a 0,t) 0 när t neutralt (marginellt) stabil, annars. Linjära system Antag att y 1 och y 2 är två lösningar till y 0 (t) = A (t) y (t)+f (t),t 0 y k (0) = a k, k =1, 2 (Här är y (t) kolonnvektor, A (t) kvadratisk matris, och f (t) kolonnmatris bestående av kända kända funktioner. Att värdet av en vektor är litet/begränsat skall tolkas som så att alla element i vektorn är små/begränsade.) Då är y 1 y 2 = A (y 1 y 2 ) d.v.s. differensen y 1 y 2 är en lösning till motsv. homogena ekvation med begynnelsevärdet a 1 a 2. Stabilitetsfrågan reduceras då till följande: asymptotisk stabilitet: Gäller y (t) 0 när t för alla lösningar till homogena ekv. y 0 = Ay? stabilitet: Är y (t) begränsad för t 0 för alla lösningar till homogena ekv. y 0 = Ay? Spanne brukar en något hemmagjord terminologi, som dock passar bättre för just linjära system ([S, 69]): Spanne : stabil standard : asymptotiskt stabil OBS. För olinjära system är stabilitet en egenskap hos varje enskild lösning ett system kan ha såväl stabila som instabila lösningar. För linjära system är alla lösningar av samma typ som nollösningen till motsv. homogen system är den stabil, etc., så är alla andra lösningar av samma typ. Därför kan vi prata om stabilitet som en egenskap hos systemet (systemmatrisen A)! LTI-system y 0 = Ay + f, A = konstant n n-matris Stabilitetsfrågan kan i de allra flesta fall avgöras genom att bestämma egenvärdena till A Om A är diagonaliserbar y (t) =c 1 e λ1t s 1 + c 2 e λ2t s 2 +... + c n e λnt s n där λ k är egenvärdea (ev. komplexa) och s k är motsvarande egenvektorer, medan c k är (ev. komplexa) konstanter som bestäms av begynnelsevillkoren. Om A inte är diagonaliserbar Kan inträffa endast då karaktäristiska polynomet har minst ett nollställe λ med multipliciteten m>1. Utredningen i kap.5.4. leder till (sats 5.6) att ett sådant nollställe kan (men behöver inte) ge upphov till termer (i lösningen av typen ct k e λt s, 0 < heltal k<m (s är då inte längre egenvektor). Ett alternativt sätt att se komma fram till detta är ensidig Laplacetransformation: y 0 (t) = Ay (t) sy (s) y (0) = AY (s) (si A) Y (s) = y (0) Y (s) = (si A) 1 y (0) Enligt Cramers regel (kap.4.6) är elementen i (si A) 1 rationella funktioner av s, närmare bestämt bråk av typen polynom av grad <n det (si A) Om nu det (si A) har, efter ev. förkortning av gemensamma faktorer med täljaren, en faktor (s a) m, m > 1 så kommer vi i partialbråksuppdelningen att få en summa C 1 s a + C 2 (s a) 2 +... + C m (s a) m Inverstransformering ger då (bortser från θ (t)-faktorn, eftersom man kan visa att samma summa av exponentialfunktioner är lösning även för t<0) C 1 e at + C 2 te at +... + C m m! tm e at Detåterstårdåatttänkapåhurfunktioneravtypen t k e λt uppför sig när t. Se [S,kap.4.2] 2

Stabilitet m.a.p. ekv. parametrar I förra avsnittet ställde vi frågan hur känslig lösningen till ½ y 0 = f (t, y), t 0 y (0) = a (given) Ettannatsättattsepå f begränsad = y begränsad är att betrakta f som insignal och y som utsignal. Då är detta insignal-utsignalstabiliteten från kap.9. är för variationer i begynnelsedata y (0). Men vi kan också fråga oss hur känslig en lösning är för variationer i f. Vi hade exemplet y 0 = y (1 y), men i tillämpningarna har man snarare y 0 = ky (1 y) där konstanten k är en s.k. fysikalisk modellparameter, vars värde man härleder ur mätningar, alltså är den inte heller exakt given. Då är frågan: Om vi nu bestämmer lösningen för ett k som avviker något från det riktiga, kommer då denna lösning att duga som approximation till den riktiga lösningen? I [S, kap.4.3-4.4] betraktas problemet y 0 = Ay + f Vi frågar oss: Om y 1 och y 2 är lösningar då f = f 1 resp. f = f 2 i högerledet, båda med samma värde för t =0, och vi vet att f 1 f 2 är litet för alla t>0, är då även y 1 y 2 litet för alla t>0? Vi tittar på skillnaden y 1 y 2. Den löser ½ y 0 = Ay + f, med f = f 1 f 2 y (0) = 0 Härav ses att vår fråga är ekvivalent med frågan om f begränsad = y begränsad / y 0 eftersom lineariteten medför att y beror proportionellt mot f : ersätter vi f med cf, så ändras lösningen y också medenfaktorc. (Mera formellt: Anta att vi vet att f (t) B för alla t 0= y (t) M för alla t 0 där alltså y (t) är den lösning som uppfyller y (0) = 0. Då kan vi säga att f (t) δ = B δ f (t) B = y 0 = Ay + B δ f har en lösning y M med y M (t) M y 0 = Ay + f har då lösningen δ B y M som uppfyller δ B M δ B M 3

y = y h + y p -metoden för system [S, kap.4.5-4.8] säger att vi kan lösa y 0 = Ay + f för vissa speciella f mycket på samma sätt som skalära diff.ekvationer i envariabelanalysen. y 00 + ay 0 + by = f = given funktion y = y h + y p där y h är den allmänna lösningen till y 0 = Ay, medan y p är någon lösning, som vi försöker få med lämplig ansats. Om f (t) =konstant vektor f 0 : Ansätt y p = konstant vektor: För att lösa y 0 (t) = Ay (t)+c 1 f 1 (t)+c 2 f 2 (t), c 1,c 2 konstanter räcker det att hitta lösningar y 1 och y 2 till y 0 = Ay + f 1 resp. y 0 = Ay + f 2 separat, och sätta ihop dem: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 blir en lösning till y 0 = Ay + c 1 f 1 + c 2 f 2 0 = Ay p + f 0 Ay p = f 0 ger linjärt ekvationssystem för elementen i y p ; lösbart om det A 6= 0. Om f (t) =konstant vektor ggr en exponentialfunktion = e st f 0, f (t) =e st f 0 så ansätt en y p på samma form: y p = e st y 0 y 0 p = se st y 0 se st y 0 = e st Ay 0 + e st f 0 (si A) y 0 = f 0 ger linjärt ekvationssystem för elementen i y 0 ; lösbart om det (si A) 6= 0, d.v.s. om s inte är egenvärde till A. Speciellt om s är komplext s = σ + iω och matriserna A och f 0 är reella, så är Re (si A) 1 f 0 e st en lösning till y 0 = Ay + f 0 e σt cos ωt Im (si A) 1 f 0 e st en lösning till y 0 = Ay + f 0 e σt sin ωt Om Re s>re λ för alla egenvärden λ till A, så kommer denna y p att dominera för stora t över y h (som är en linjärkombination av termer av typ t k e λt ). Med anledning av detta kallar [S] y p =(si A) 1 f 0 e st för generaliserat stationär lösning. Resonans: läs [S, kap.4.8] Övningsuppgifter i Spanne, kap.4: stabilitet : 1,2,12 (hämta gärna resultat från 3.2 och 3.12 alt. utnyttja dator till övn.1) superposition : 3-8 4

Kap.4 : lösn. till vissa övn. 4.12a Nollställena är a r a 2 ± 2 4 b Om b 0, så får vi reella nollställen och det största av dem, det som fås med plustecknet, är 0, d.v.s. instabilitet. Om 0 <b<a 2 /4, så har vi fortfarande två olika reella nollställen. Om a>0, så är båda negativa, d.v.s. stabilitet. Om a<0, så är båda positiva, d.v.s. instabilitet. Om b = a 2 /4, så har vi en dubbelrot, = a/2, d.v.s. stabilitet om och endast om a>0 Om b>a 2 /4, så har vi två komplexa nollställen av formen a/2 ± i (något reellt), d.v.s. stabilitet om och endast om a>0. 4.12b Polynomet kan faktoriseras i faktorer av typen s + α, γ reellt s 2 + βs + γ, β, γ reella Att polynomet är stabilt innebär att varje sådan faktor har sina nollställen i vänstra halvplanet. För den första typen betyder det att α > 0 För den andra typen: att β > 0 och γ > 0, enligt delfråga a). Alla faktorerna har alltså idel positiva koefficienter. Multiplicerar man ihop dem, så kommer produkten att ha positiva koefficienter, t.ex. (s + α) s 2 + βs + γ = s 3 +(α + β) s 2 +(γ + αβ) s + αγ 4.12c Ett (reellt) polynom av udda gradtal, har alltid minst ett reellt nollställe: T.ex. då p (x) = x 3 + ax 2 +... är x 3 -termen dominerande för stora x (såväl positiva som negativa) och därmed p (x), när x p (x), när x så någonstans måste polynomets graf korsa x-axeln (kontinuerlig funktion!). Därför har vi faktorisering s 3 + as 2 + bs + c = (s + α) s 2 + βs + γ, α reellt a = α + β (enl.föregående) b = γ + αβ c = αγ Det finns två tänkbara sätt på vilka produktpolynomet skulle misslyckas med att vara stabilt: s + α ej stabilt, eller s 2 + βs + γ ej stabilt Detta i sin tur är (enl. bl.a. a)) ekvivalent med α 0 eller β 0 eller γ 0 Kan något av dessa tre olikheter gälla, samtidigt som Fall α 0: α + β > 0, γ + αβ > 0 αγ > 0? = β > 0= αβ 0= γ > 0= αγ 0 Nej, med γ 0 får vi inget exempel av påstådd typ. Fall β 0: = α > 0= αβ 0= γ > 0 Här får vi däremot inget motsägelse! Låt alltså t.ex. β = 1, α = 2 så att α + β > 0 γ = 3 så att γ + αβ > 0 αγ > 0 är då också uppfyllt Då har produktpolynomet positiva koefficienter, men andragradsfaktorn s 2 s+3 har två komplexa rötter med realdel > 0. 4.12d Med faktorisering som i c) har vi alltså att polynomet är stabilt om och endast om α > 0, β > 0 och γ > 0, där a = α + β, b = γ + αβ, c = αγ Vi konstaterade redan i b) att om α, β, γ > 0, så är a, b, c > 0. Vidare ab c = (α + β)(γ + αβ) αγ = = β γ + αβ + α 2 = = β b + α 2 så även den storheten är > 0 när α, β, γ > 0. I c) såg vi att det inte går att ha α 0, när a, b, c > 0. Återstår nu att visa att det med tillägget ab c>0, inte går att ha β 0 eller γ 0 heller. β b + α 2 ¾ = ab c>0 = β > 0 b>0 γ = c a > 0 5

4.14a Falskt, eftersom p A har grad 1+2+1+2+2= 8, vilket innebär att A är en 8 8-matris. 4.14b Falskt, eftersom p A har nollstället λ =0, d.v.s. det (A λi) = 0 för λ = 0, vilket betyder att det A =0. 4.14c Spåret av A är = summan av egenvärdena (se Spanne, sid.57, sats 3.13), varvid multipla egenvärden räknas upprepade gånger: =0+( 1)+( 1)+( 2)+(2i)+( 2i)+(3i)+( 3i) = 4 4.14d det A = produkten av egenvärdena Spanne, samma sats som i c): =0 4.14e Kan ej avgöras det finns multipla egenvärden. 4.14f Sant, eftersom egenvärdena har realdel 0 och de som har realdel =0är enkla. 4.14g Falskt, eftersom det finns egenvärden med realdel =0:Det finns t.ex. en vektor s sådan att är en lösning. 4.14h Falskt, eftersom x (t) =e 2it s Ax 2x = 0 (A 2I) x = 0 har en icke-trivial lösning om och endast om det (A 2I) = 0, d.v.s.om λ = 2 är nollställe till det karateristiska polynomet, och så är inte fallet här. 4.14i Samma resonemang osm i föregående fråga. Svar ja, eftersom λ = 2 är nollställe till p A. 4.14j Ja, det finns en lösning av formen x = = f 1 cos πt + f 2 sin πt eftersom λ = iπ inte är nollställe till p A. 6