Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0
Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet med kompendiet är att du skall få möjlighet att repetera och förstärka dina tidigare kunskaper, så att du kommer väl förberedd till de nya kurserna på högskolan. Till kompendiet hör ett omfattande digitalt material, som bland annat omfattar videoinspelningar och förklaringar hur man löser vissa typer av uppgifter, övningar med det dynamiska geometriprogrammet GeoGebra och digitala träningsuppgifter med tips. Allt material finns att ladda ner från www.mah.se/xxxxx Vid matematikstudier är det viktigt att du själv är aktiv: räkna, lös uppgifter och ge dig inte förrän du förstår vad du gör. Matematik har en viktig kommunikativ sida och du har mycket att vinna på att arbeta tillsammans med andra. Genom att diskutera och försöka förklara vad du inte riktigt har greppat, alternativt förklara för någon annan hur något begrepp fungerar, får du en djupare förståelse och kunskaper som är mera användbara. Att kunna kommunicera är i sig själv en viktig kompetens som du måste träna på. I många fall kan du enkelt lösa uppgifterna i kompendiet genom att använda en avancerad miniräknare eller program som t.ex. WoframAlpha. Om du gör detta missar du hela poängen med uppgifterna, ty det är inte svaret som är det intressanta. Det som är viktigt är de mönster och strukturer du kommer fram till och får förståelse för när du arbetar med uppgifterna. Vi vill därför råda dig att i så liten utsträckning som möjligt använda miniräknare! Var istället observant på samband, strukturer och lösningsmetoder och sträva efter förståelse i varje steg. Behöver man lära sig formler och uttryck utantill? Ja, det finns en mycket stor vinst med detta, eftersom formler och samband måste vara tillgängliga under problemlösning i vad vi skulle kunna kalla en mental verktygslåda. Det är just genom att ha formler och samband tillgängliga i huvudet, som du kan se hur de kan kombineras för att lösa ett problem. Det är dock eftersträvansvärt att du sätter in formler i ett sammanhang och försöker komma ihåg dem i form av konkreta mentala bilder snarare än att se det som att bara lära sig utantill. Matematiska begrepp kan representeras på olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. Ofta delar vi in representationer i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk. Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad den skall användas till. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste vi erövra olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Här har det talade språket en viktig funktion. Normalt använder vi det talade språket för att stegvis bygga upp representationer från konkreta och vardagsnära till mera abstrakta. Samtidigt används språket för att utforska, kontrastera och se sambanden mellan olika representationer. Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till
4 problemlösningsförmågan. Via videoinspelningarna kommer du att få tillgång till den verbala representationen och se hur olika begrepp kan ringas in och förklaras. Bland det digitala materialet som hör till kompendiet finns även övningar med programmet GeoGebra. Detta program är konstruerat på ett sådant sätt att du aktivt kan se och utforska samband mellan olika representationer, speciellt de grafiska, numeriska och symboliska (eller abstrakta). Vi uppmanar dig att aktivt ta del av både videoinpspelningarna och GeoGebra parallellt med att du arbetar med övningarna i kompendiet. Materialet och uppgifterna i kompendiet har generöst ställts till förfogande av Bertil Nyman och Göran Emanuelsson, till vilka vi riktar ett stort tack! Stort tack också till studenterna i referensgruppen, som har bidragit med konstruktiva synpunkter och nya ideer. Lycka till med dina mattestudier Matematiklärarna på Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Malmö, juni 0 c Upphovsrätt: Bertil Nyman, Göran Emanuelsson och matematiklärarna på Teknik och samhälle, Malmö högskola För frågor eller kommentarer skicka ett mail till Per Jönsson: per.jonsson@mah.se
Innehåll Numerisk räkning 9. Hela tal.................................. 9. Decimaltal................................. 9.3 Avrundning................................ 0.4 Addition och subtraktion.........................5 Multiplikation................................6 Division.................................. 3.7 Primtal och faktoruppdelning...................... 5.8 Potenser.................................. 5.9 Räkning på datorn............................ 7 Reella tal 9. Rationella tal............................... 9. De fyra räknesätten med positiva rationell tal..............3 Räkning med negativa tal........................ 5.4 Reella tal................................. 8.5 Absolutbelopp.............................. 30 3 Kvadratrötter 3 3. Beräkning av kvadratrötter....................... 3 3. Räkning med kvadratrötter....................... 3 3.3 Herons metod............................... 34 4 Uttryck med variabler 37 4. Ett uttrycks värde............................ 37 4. Förenkling av uttryck med variabler.................. 39 4.3 Parentesreglerna............................. 40 4.4 Distributiva lagen............................. 4 4.5 Multiplikationsregler........................... 43 4.6 Konjugatregeln.............................. 46 4.7 Kvadreringsregler............................. 47 4.8 Kuberingsregler.............................. 49 4.9 Uppdelning i faktorer.......................... 49 4.0 Bråk.................................... 5 4. Addition och subtraktion av bråk.................... 53 4. Multiplikation och division av bråk................... 56 4.3 Räkning med kvadratrötter....................... 57 5 Koordinater 59 5. Koordinater på en rät linje....................... 59 5. Koordinatsystem. Talpar......................... 6 5.3 Tillämpning: Eniros rita och mät.................... 6
6 INNEHÅLL 6 Funktioner 65 6. Inledande exempel............................ 65 6. Linjära funktioner............................ 66 6.3 Proportionalitet.............................. 69 6.4 Polynom och polynomfunktioner.................... 7 6.5 Polynomfunktioner av andra graden.................. 74 6.6 Polynomfunktioner av tredje graden.................. 78 6.7 Rationella funktioner........................... 79 6.8 Exempel på funktioner som inte är rationella............. 8 6.9 Funktioner av flera variabler....................... 83 6.0 Det allmänna funktionsbegreppet.................... 85 7 Ekvationer och olikheter 89 7. Ekvationer................................. 89 7. Ekvationer av första graden....................... 89 7.3 Några problem som kan lösas med hjälp av ekvationer........ 9 7.4 Olikheter av första graden........................ 94 7.5 Ekvationer av andra graden....................... 96 7.6 Formel för lösning av ekvation av andra graden............ 99 8 Vektorer 03 8. Exempel på storheter som kan åskådliggöras med pilar........ 03 8. Vektorer.................................. 05 8.3 Addition av vektorer........................... 06 8.4 Subtraktion av vektorer......................... 08 8.5 Multiplikation av en vektor med ett tal................. 09 8.6 Parallella vektorer............................ 8.7 Uppdelning av en vektor i komposanter................ 8.8 Ortsvektorer............................... 3 8.9 Koordinatframställning av vektorer................... 3 8.0 Räkning med koordinatframställda vektorer.............. 5 9 Linjära ekvationer och olikheter 9 9. Ekvationen y = kx + m......................... 9 9. Ekvationen x = p............................. 9.3 Ekvationen ax + by + c = 0....................... 9.4 Bestämning av en rät linjes ekvation.................. 3 9.5 Linjära ekvationssystem med två obekanta............... 5 9.6 Lösning av linjära ekvationssystem med två obekanta......... 6 0 De trigonometriska funktionerna 9 0. Sinus och cosinus för en vinkel..................... 9 0. Tangens och cotangens för en vinkel.................. 33 0.3 Sinus, cosinus osv. för spetsiga vinklar................. 34 0.4 Trigonometriska funktioner på dator.................. 36 0.5 Inversa trigonometriska funktioner på dator.............. 37 0.6 Rätvinkliga trianglar........................... 39 Potenser 43. Potenser med heltalsexponenter..................... 43. Potenser med exponenter som inte är heltal.............. 47.3 Beräkning av potenser på dator..................... 49.4 Räkneregler för potenser......................... 50.5 Funktionen y = 0 x............................ 53
INNEHÅLL 7 Logaritmer 55. Definition av logaritmer......................... 55. Räkneregler för logaritmer........................ 58.3 Ekvationen a x = b............................ 59 3 Polynom. Algebraiska ekvationer 6 3. Polynom.................................. 6 3. De fyra räknesätten med polynom................... 63 3.3 Faktorsatsen............................... 64 3.4 Faktoruppdelning av polynom...................... 65 3.5 Algebraiska ekvationer.......................... 67 3.6 Ekvationssystem............................. 67 4 En funktions derivata 69 4. Tangenten till en kurva......................... 69 4. Derivator................................. 7 4.3 En viktig deriveringsregel........................ 74 4.4 Om derivatans definition......................... 77 4.5 Om derivatans beteckning........................ 78 4.6 Fart och acceleration........................... 79 A Matlab och GNU Octave över nätet 83
8 INNEHÅLL
Kapitel Numerisk räkning. Hela tal Tal som anger antal, dvs. talen i mängden N = { 0,,, 3,... } kallas naturliga tal. N är en delmängd av mängden av hela tal som består av positiva hela tal, negativa hela tal och talet noll. De hela talen kan illustreras med punkter på en tallinje: naturliga tal 6 5 4 3 0 3 4 5 6 negativa hela tal positiva hela tal. Decimaltal Varje tal som kan skrivas med ett ändligt antal siffror i decimalsystemet kallas decimaltal. De hela talen är decimaltal. Men mellan de hela talen finns det oändligt många andra decimaltal, t. ex. 0.34,.567, 0.8 osv. U Ange de decimaltal a, b, c,..., u som pilarna i nedanstående figurer pekar på.
0 Numerisk räkning U Vilka av följande tal är decimaltal? Skriv dessa tal i decimalform. a) 3 g) 7 0 b) 7 4 h) 3 5 c) 5 i) 9 50 d) 5 6 j) 8 75 e) 8 k) 5 f) 4 9 l) 00.3 Avrundning E Om en bil dragit 30 liter bensin under en färd på 3 mil, så har det gått åt 30 3 liter/mil = 0.9375 liter/mil. Bensinförbrukningen är naturligtvis angiven med för många decimaler. Värdet bör avrundas. 0.9375 0.938 avrundning till tre decimaler 0.9375 0.94 avrundning till två decimaler 0.9375 0.9 avrundning till en decimaler 0.9375 avrundning till heltal Lämpligt är väl att avrunda till 0.94 liter/mil. E 004 hade Malmö 6 548 invånare. Vi rundar av detta tal till hela 0-tal: 6 550 hela 00-tal: 6 500 hela 000-tal: 6 000 hela 0 000-tal: 60 000 hela 00 000-tal: 300 000 Avrundning: Om den första siffran som utesluts (eller ersätts med en nolla) är 0,,, 3, 4 så avrundar man nedåt, dvs. den sista behållna siffran ändras ej 5 så avrundar man i allmänhet uppåt, dvs. den sista behållna siffran ökas med ett 6, 7, 8, 9 så avrundar man uppåt Avrundning av ett tal ger ett närmevärde till talet med ett antal decimaler eller ett antal gällande siffror. Närmevärdena i exempel har 5, 4, 3, respektive gällande siffra. Någon gång kan det vara tveksamt om man skall avrunda uppåt eller nedåt. Om man t. ex. vill ha ett närmevärde med en decimal till 3.75 så duger 3.7 och 3.8 lika bra. I ett sådant fall brukar man avrunda så att närmevärdets sista decimal eller gällande siffra blir jämn. E 3 Några avrundningar 3.75 3.8 3.85 3.8 3.95 4.0 4.05 4.0.65.6.635.64
.4 Addition och subtraktion U 3 Vid 0 o C och atm väger m 3 luft.93 kg. Runda av vikten till ett närmevärde med a) två decimaler b) en decimal U 4 Sveriges areal är 449 750 km. Runda av arealen till ett närmevärde med a) fyra b) tre c) två gällande siffror U 5 Avrunda följande tal till närmevärden med tre gällande siffror: a) 6 543 b) 34 567 c) 55 550 d) 87 500 U 6 Ange ett närmevärde med två decimaler till följande tal: a) 5.678 b) 0.49 c) 0.085 d) 0.0850 e) 4.5 f) 4.003 g) 4.005 h) 4.0053 U 7 Följande bråk är inte decimaltal. Bestäm närmevärden med två decimaler till bråken. a) 3 b) 6 c) 3 7 d) 7 9.4 Addition och subtraktion Vi ska nu repetera de fyra räknesätten med decimaltal. Till att börja med bryr vi oss inte om negativa tal. De behandlar vi längre fram. U 8 Beräkna (helst i huvudet): a) Summan av talen (termerna).38 och.9. b) Differensen av talen.65 och 0.99. U 9 När man räknar ut en summa så spelar det ingen roll i vilken ordning man adderar termerna. Detta kan man ibland ha nytta av vid huvudräkning. Exempel: 5 + 48 + 75 = (5 + 75) + 48 = 00 + 48 = 48 Beräkna på liknande sätt följande summor i huvudet: a) 650 + 736 + 850 b).5 +.33 + 3.75 c) 0.8 + 0.35 + 0.4 + 0.65 d) 5 + 4 080 + 6 40 + 7 75 U 0 Summan + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 kan beräknas så här: + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = ( + 9) + ( + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 4 0 + 5 = 45 Beräkna på liknande sätt: a) + + 3 +... + 99 b) + + 3 +... + 000
Numerisk räkning U Figuren nedan är en grundritning av en byggnad. Räkna ut de mått som fattas (och som betecknas x och y). 9.5 4.7 7.8 x y 8. 0.6 5.9 m U a) Vad är vinkelsumman i en triangel? b) Räkna ut den tredje vinkeln i triangeln nedan. 3.6 55.8.5 Multiplikation Enklare multiplikationer gör vi normalt i huvudet. Då större faktorer skall multipliceras kan vi använda följande uppställning: 04 65 50 64 6760 Uppställningen och räkningarna finns förklarade på en videoinspelning. U 3 U 4 Beräkna a) produkten av faktorerna 8 och 37 b) summan av termerna 8 och 37. När man räknar ut en produkt, så spelar det ingen roll i vilken ordning man multiplicerar faktorerna. Detta kan man ibland ha nytta av vid huvudräkning. Exempel: 4 9 5 = (4 5) 9 = 00 9 = 900 Beräkna på liknande sätt följande produkter i huvudet: a) 33 50 b) 5 9 0 c) 8 9 5 d) 5 9 40 e) 4 7 5 f) 5 5 6 0 U 5 (Video) Nu gäller det att placera decimaltecknet på rätt ställe. Som bekant ska produkten ha lika många decimaler som faktorerna har tillsammans. Exempel:
.6 Division 3 0..3 = 0.3 faktorerna har + = decimaler tillsammans 0.005 0.06 = 0.00030 faktorerna har 3 + = 5 decimaler tillsammans 0.000 50 = 0.000 faktorerna har 4 + 0 = 4 decimaler tillsammans Beräkna på liknande sätt följande produkter i huvudet: a) 0.0 8.75 b) 0.00 45.6 c) 0. 0.3 U 6 U 7 U 8 U 9 Räkna om följande farter till kilometer per timme ( m/s = 3 600 m/h = 3.6 km/h) a) Sköldpadda 0.08 m/s b) 400-meterslöpare 9. m/s c) Älg.5 m/s d) Barracuda 36 m/s e) Svala 60 m/s Det ryska överljudsplanet Tupolev Tu-44 har en maxfart på Mach.35. Hur många kilometer per timme är det? Mach = 35 km/h (=ljudets fart). Ett rum är 6.5 m långt, 4.85 m brett och.5 m högt. a) Beräkna rummets volym b) Vad väger luften i rummet? m 3 luft väger.93 kg. Vattenytan i en damm är 3 750 m. Hur många kubikmeter vatten ska tappas ur dammen för att vattenytan skall sjunka 5 mm?.6 Division Det är värdefullt att kunna utföra så kallad lång division av naturliga tal för hand, inte minsta för att underlätta polynomdivision längre fram. Algoritmen man använder är alltid densamma men uppställningen kan variera. Här skall vi använda den så kallade trappan. Om vi t.ex. skall utföra divisionen 83 blir räkningarna 3 63 3 83 78 43 39 4 Kvoten vid divisionen blir 63 och resten 4 (divisionen går inte jämnt upp). Resultatet kan skrivas 83 3 = 63 + 4 3 Vi kan också skriva om resultatet utan något divisionstecken 83 = 63 3 + 4 Lång division illustreras med hjälp av flera exempel på video.
4 Numerisk räkning U 0 Detta är en kvot: 0.4 5 Talet 0.4 är täljare och talet 5 är nämnare. a) Räkna ut kvoten b) Hur kan man kontrollera resultatet genom multiplikation? E 4 U U U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 (Video) Vi repeterar hur man placerar decimaltecknet i en kvot. a) 0.08 4 b) 0.08 5 = 0.0 = 0.080 5 = 0.06 Eftersom 5 inte går jämnt upp i 8 men i 80 så har vi satt en nolla i slutet av täljaren. c) 0.08 400 = 0.0008 = 0.000 4 d) 0.08 0.005 = 80 5 = 6 När nämnaren inte är ett ental, så multiplicerar vi täljaren och nämnaren med något av talen 0.0, 0., 0, 00, 00... så att nämnaren blir ett ental. Här har vi multiplicerat med 0.0 respektive 000. Placera decimaltecknet på rätt ställe i följande kvoter a) 0.9 3 e) 0.0 4 i).8 7 m) 000 0.004 b) 0.9 5 f) 0.05 5 j) 0 0.3 n) 0.08 0.06 c) 0.0 4 g) 0.00 50 k). 0.03 o) 0.0 0.005 d). 40 h) 0.06 300 l) 0. 0.6 p) 0.003 0.06 Hur många papper är det i en 4.8 cm tjock bunt om varje papper är 0.006 cm tjockt? ( Räkna om följande till meter per sekund km/h = 000 3 600 m/s = ) 3.6 m/s a) 70 km/h b) 90 km/h c) 0 km/h d) 750 km/h En biltur på 86 km tog h 35 min a) Räkna om tiden i timmar b) Beräkna medelfarten Ett stycke bly har volymen.3 cm 3 och vikten 39 g. Beräkna blyets densitet. Hur lång tid tar det för ljudet att gå km? Ljudets fart i luft är 340 m/s. Hur stor tidsvinst i sekunder gör man om man kör mil med farten 00 km/h istället för 90 km/h?
.7 Primtal och faktoruppdelning 5.7 Primtal och faktoruppdelning Ett naturligt tal som är större än och inte delbart med något annat tal än sig själv och talet kallas primtal. Det finns oändligt många primtal. De fem minsta primtalen är, 3, 5, 7 och. Talet 5 kan skrivas 5 = 3 5. Talet är delbart med både 3 och 5 och är alltså inget primtal. Aritmetikens fundamentalsats, som bevisades redan av Euklides, säger att varje naturligt tal som är större än kan skrivas som en produkt av primtal. Bortsett från ordningsföljden är primtalsfaktorerna entydigt bestämda. Ett bevis av aritmetikens fundamentalsats kan du hitta här E 5 U 8 U 9 Vi ska skriva talet 8 som en produkt av primtalsfaktorer. Talet är jämnt och vi kan bryta ut 8 = 9 Talet 9 kan i sin tur skrivas 9 = 3 3. Vi får 8 = 3 3 = 3 Vi har talet 55. En undersökning visar att talet är delbart med 5 och 55 = 5 05 Talet 05 kan skrivas som 05 = 5, där = 3 7. Detta ger slutligen 55 = 3 5 5 7 = 3 5 7 Det krävs ibland mycket arbete att primtalsfaktorisera tal och man kan då använda dator. Skriv upp de tio första primtalen. Dela upp följande tal i primtalsfaktorer. a) 5 b) 6 c) 8 d) 79 e) 60 f) 75 g) 56.8 Potenser E 6 3 4 är en potens med basen 3 och exponenten 4. U 30 a) 3 4 = 3 3 3 3 = 8 läses 3 upphöjt till 4 b) 5 = 5 5 = 5 läses 5 upphöjt till c) 5 3 = 5 5 5 = 5 läses 5 upphöjt till 3 Beräkna följande potenser i huvudet a) 7 b) 3 c) 3 3 d) 4 e) 5 4 f) 5 g) 3 5 h) 6 i) 0.3 j). 3 k) 0. 3 l) 0. 4 Man definierar också potenser där exponenten är noll eller ett negativt heltal. Vi nöjer oss tillsvidare med fallet då basen är 0: 0 0 = 0 = 0 0 = 0. 0 = 00 0 = 0.0 0 3 = 000 0 3 = 0.00 0 4 = 0 000 0 4 = 0.000
6 Numerisk räkning Observera att exponenten anger antalet nollor då potensen skrivs på vanligt sätt, 0 5 får 5 nollor, likaså 0 5 0 5 = 0 5 = = 0.000 0 00 000 Potenser med basen 0 används för att skriva stora och små tal på ett kort sätt. U 3 E 7 U 3 U 33 U 34 U 35 Skriv som en tiopotens (namn på stora tal finns här): a) en miljon b) en miljard c) en biljon d) en triljon e) en hundratusendel f) en miljondel Omskrivning till potensform: a) 4 000 000 = 4 0 6 (4 miljoner) b) 4 500 000 = 4.5 0 6 (4.5 miljoner) c) Den svenska stadsskulden var i slutet av 0 ungefär 08 miljarder kronor, dvs. 08 000 000 000 =.08 0 kr d) 0.000 03 = 3 0 5 e) 0.000 036 = 3.6 0 5 f) Chansen att vinna högsta vinsten på en lott i penninglotteriet kan anges till 0.000 000 67 = 6.7 0 7 Skriv följande mätetal utan tiopotenser: a) 3.8 0 4 mil (avståndet till månen) b).5 0 7 mil (avståndet till solen) c).35 0 8 m 3 (vattenmängden i världshaven) d) 0 9 s (en nanosekund) e) 3.3 0 5 s (tiden för ljuset att gå en mil) Skriv som produkten av ett tal mellan och 0 och en tiopotens: a) 40 000 mil (solens diameter) b) 3 000 000 o C (temperaturen i solens centrum) c) 300 000 000 m/s (ljushastigheten) d) 0.000 005 s (additionstid för miniräknare) e) 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 9 kg (elektronens massa) Man beräknar att det finns 50 000 biljoner ton salt i världshaven. Skriv detta tal med tiopotenser. Krabbnebulosan är resterna av en supernova (exploderande stjärna) som observerades år 054.
.9 Räkning på datorn 7 Skriv med hjälp av en tiopotens avståndet till nebulosan, dvs. 45 000 000 000 000 000 km U 36 Skriv som en tiopotens: a) 0 3 0 4 b) 0 5 0 c) 0 5 0 d) 0 0 3 e) 06 0 4 f) 04 0 6 U 37 Hur många sandkorn är det i m 3 sand, om varje korn upptar en volym av mm 3? U 38 U 39 U 40 Jordens massa är 6 0 7 kg. Uttryck massan i a) gram b) ton a) Uttryck ljusfarten 3 0 8 m/s i km/s. b) I astronomin använder man längdenheten ljusår. Det är den sträcka ljuset går på ett år. Hur många km är ljusår? Ett år är ungefär 3.5 0 7 sekunder. Hur många km är det till a) närmaste fixstjärna, avstånd 4.3 ljusår. b) Andromedagalaxen, avstånd 0 6 ljusår?.9 Räkning på datorn Vid räkning på datorn kan man använda matematikprogram som Matlab eller GNU Octave. De vanliga räkneoperationerna är definierade enligt tabellen nedan ˆ5 potens (upphöjt till) prioritet * multiplikation prioritet / division prioritet + addition prioritet 3 - subtraktion prioritet 3 Då två räkneoperationer har samma prioritetsordning utförs beräkningarna från vänster till höger. För att beräkna 3 skriver vi *3^ Eftersom ^ har högst prioritet börjar Octave med att beräkna 3^. Sedan följer multiplikation med och Octave svarar
8 Numerisk räkning ans = 8 Division och multiplikation har samma prioritet. Då vi skriver /*3 börjar Octave från vänster och beräknar / sedan följer multiplikation med 3, vilket ger svaret ans =.5000 För att undvika missförstånd bör vi sätta ut parenteser och istället skriva talet som (/) 3. Vi kan lagra tal i variabler som sedan används i beräkningar. Antag att vi har en triangel med basen b = 8 och höjden h = 3. Arean kan då beräknas genom att ge kommandona b = 8 h = 3 A = b*h/ Octave svarar A = Det är ofta en god ide att spara värden i variabler och arbete med dessa då det ger en bra överblick av beräkningarna. Observera att vi måste använda decimalpunkt i stället för decimalkomma. Till exempel ska vi skriva.3 i stället för, 3. Stora och små tal skrivs lättast i exponentform. Så skriver vi 7.5 e 6 i stället för 7.5 0 6 8.3 e i stället för 8.3 0. Vid utskrift till skärmen visas tal normalt med 5 värdesiffror i ett fält som är maximalt 0 positioner brett. För att se alla värdesiffror ger vi kommandot format long varefter alla tal skrivs ut med 6 siffror.
Kapitel Reella tal. Rationella tal Ett tal som kan skrivas a b eller a, där a och b är naturliga tal och b 0, kallas b ett rationellt tal. a b kallas ett bråk med täljaren a och nämnaren b. E 8 På denna tallinje har vi delat sträckorna mellan heltalspunkterna i 6 olika delar: 9 6 8 6 7 6 6 6 5 6 4 6 3 6 6 6 0 6 6 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6 0 Ovanför delningspunkterna har vi skrivit de motsvarande rationella talen. Somliga av dessa är decimaltal, t.ex. 3 6 = 0.5 6 6 = 9 6 =.5 Andra är inte decimaltal, t.ex. 6 = 0.6666666... 6 = 0.3333333... Varje rationellt tal kan skrivas som bråk på oändligt många sätt, t.ex. eller 4 = 4 = 8 = 3 = 6 4 = 0 5 =... 3 = 4 6 = 6 9 = 8 = 0 5 = 8 =... (se figuren) 3 0 4 6 0 6 9 0 8 0 0 5 0 8 0 Två bråk är lika (dvs. betecknar samma rationella tal) om det ena bråket fås ur det andra genom att täljaren och nämnaren multipliceras med samma tal (förlängning) eller
0 Reella tal divideras med samma tal (förkortning) I allmänhet försöker man ange bråktal på enklaste formen så att täljare och nämnare inte har någon gemensam faktor. Man säger då att talet är skrivet på enklaste bråkform. Ett systematiskt sätt att hitta den enklaste bråkformen är att primtalsfaktorisera täljare och nämnare och att förkorta med alla gemensamma primtalsfaktorer. Vi har t.ex. att 84 30 = 3 7 3 5 = 7 = 4 5 5 U 4 Skriv följande rationella tal som bråk med nämnaren : a) 5 b) c) 4 3 d) 7 4 e) 5 6 U 4 U 43 U 44 U 45 U 46 Skriv följande bråk på enklaste form genom primtalsfaktorisering: a) 9 6 f) 5 45 b) 6 8 g) 35 56 c) 0 h) 4 63 d) 6 4 i) 84 7 e) 6 30 j) 54 35 Skriv följande par av rationella tal som bråk med samma nämnare, och avgör vilket av de två talen som är störst: a) 3 och 5 4 d) 4 9 och 5 b) 3 och 5 e) 3 3 och 4 8 c) 5 6 och 6 7 f) 7 5 och 4 (Video) Det rationella talet 6/37 är inget decimaltal. Ty talets decimalutveckling har oändligt många decimaler: 6 = 0.43 43 43... 37 Decimalutveckla följande tal för hand. Ta med 0 decimaler (det är lättare än det låter): a) 4 3 b) 9 c) 7 9 d) 5 Om du tittar på decimalutvecklingarna i förra uppgiften, så ser du att det är periodiska, dv.s samma decimaltal eller grupp av decimaler (perioden) återkommer regelbundet. Decimalutvecklingen av ett godtyckligt rationellt tal, som inte är ett decimaltal, har denna egenskap. Decimalutveckla följande tal för hand, och stryk under perioderna: a) 7 b) 37 c) 8 Decimalutveckla talet 4 för hand, och studera de rester, som erhålls vid divisionen. 7 Vilka tal kan uppträda som rester? Vad händer, när en rest uppträder för andra gången? Försök nu förklara, varför decimalutvecklingen blir periodisk. Mot varje periodisk decimalutveckling svarar ett rationellt tal, som har denna decimalutveckling. E 9 Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen 0.777...? Sätt x = 0.777...
. De fyra räknesätten med positiva rationell tal Genom att multiplikation med 0 resp. 000 får vi decimalutvecklingar, i vilka decimaltecknet står omedelbart före resp. omedelbart efter första perioden: 0 x =.777... 000 x = 7.777... Subtraherar vi 000 x med 0 x, så försvinner alla decimalerna 990 x = 6 x = 6 990 = 3 3 7 3 3 5 = 7 5 = 7 55 U 47 Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen a) 0.6... b) 0.5757575757... c).0000... d).979797.... De fyra räknesätten med positiva rationell tal Det är lätt att addera och subtrahera två rationella tal som är skrivna som bråk med samma nämnare. Det är bara att addera eller subtrahera täljarna. E 0 a) 4 9 + 9 = 4 + 9 b) = 6 9 = 3 3 3 = 3 7 5 = 7 5 = = 6 Har termerna inte samma nämnare, så börjar man med att skriva termerna som bråk med samma nämnare. E a) 4 3 = 6 3 4 3 = 3 b) 4 + = 3 + = 4 = 3 = 3 c) 5 6 5 I uppgift c) är nämnarna 6 och 5. Det minsta tal i vilket både 6 och 5 går upp, är 30. Därför förlänger vi bråken så att båda får nämnaren 30: 5 6 5 = 5 30 4 30 = 30 = 3 7 3 0 = 7 0 För att förlänga med så lite som möjligt letar man upp den minsta gemensamma nämnaren. Ett systematiskt sätt att göra detta är att primtalsfaktorisera nämnarna och leta upp den minsta produkt av primtal som innehåller alla faktorer för nämnarna. 7 E a) + 37 30 Nämnarna är = 3 och 30 = 3 5. De primtal som ingår är (med potensen ), 3 och 5. Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 3 5 = 60. För att få denna nämnare får vi förlänga med 5 resp. : 7 + 37 30 = 5 7 5 + 37 30 = 35 60 + 74 60 = 09 60
Reella tal b) 7 8 5 8 Nämnarna är 8 = 3 och 8 = 3. De primtal som ingår är (med potensen 3) och 3 (med potensen ). Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 3 3 = 7. För att få denna nämnare får vi förlänga med 9 resp. 4: 7 8 5 8 = 9 7 9 8 4 5 4 8 = 63 7 0 7 = 43 7 Beräkna följande summor och differenser: U 48. a) 3 4 + 5 4 U 49. a) 6 b) 5 9 9 b) 3 8 c) 5 + 8 5 c) 3 0 7 U 50. a) + 6 d) 3 + 5 b) 6 e) 3 4 + c) 3 4 f) 5 6 7 8 U 5. a) 5 4 7 6 U 5. a) 7 + 5 8 b) 6 + 5 b) 7 5 c) 7 9 0 c) 3 34 + 4 5 U 53 Om täljaren i ett bråk är större än nämnaren, så är bråket större än. Ett sådant bråk skrivs ofta på blandad form. Exempel: 8 3 = 6 + = 6 3 3 + 3 = + 3 = 3 a) Skriv bråken 4 3, 9 4 och 0 7 b) Skriv talen 3, 3 3 och 5 6 på blandad form. som bråk. U 54 Beräkna a) 3 3 b) 3 4 c) 6 3 U 55 Vad blir följande summor? Räkna ut det eller försök att se det direkt ur figuren a) 3 + b) 6 + 4 d) 3 + 4 + 6 + 8 + + 4 c) 8 + + 4
. De fyra räknesätten med positiva rationell tal 3 U 56 Beräkna U 57 a) 3 + 9 + 8 d) 3 + 5 8 + 4 b) 3 + e) 3 8 9 7 4 c) 3 6 f) 7 7 5 37 33 6 55 Kör man med farten 70 km/h, så hinner man 7 mil på timme. Att köra mil tar alltså /7 timme. ( Om man kör med 80 km/h istället för 70 km/hm så blir tidsvinsten på mil 7 ) h. Hur många sekunder är det? 8 Produkter av två bråk får man genom att multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig. E 3 a) 3 5 7 = 3 5 = 5 7 7 b) 4 7 = 4 7 = 8 c) 3 4 5 7 = 3 5 4 7 = 5 8 Ifall det skulle finnas någon som undrar varför man gör så här, så lämnar vi följande förklaringar: a) 3 5 7 = 5 7 + 5 7 + 5 7 = 5 7 b) 4 7 = 4 4 8 = 4 4 8 = 8 c) 3 4 5 7 = 3 4 5 7 = 3 5 4 7 = 5 8 = 5 8 Beräkna följande produkter: U 58. a) 6 3 U 59. a) 3 U 60. a) 3 3 4 b) 8 4 c) 9 4 3 b) 6 4 3 b) 4 3 5 6 9 0 c) 3 5 6 d) 3 8 d) 4 5 3 8 c) 3 4 9 3 6
4 Reella tal U 6. a) U 6. a) 7 ( ) b) 3 5 44 ( ) 3 c) 4 b) 4 33 ( ) 3 d) 3 c) 35 3 63 49 64 ( ) 4 Om två tal har produkten, så sägs det ena talet vara det inverterade talet till det andra. E 4 a) Det inverterade talet till 3 är 3, ty 3 3 =. E 5 a) b) Det inverterade talet till 4 är 4, ty 4 4 =. c) Det inverterade talet till 5 6 är 6 5, ty 5 6 6 5 =. Division med ett tal kan utföras genom multiplikation med det inverterade talet. b) c) 4 5 3 = 4 5 3 = 4 5 4 5 = 4 5 4 = 6 5 4 4 5 5 6 = 4 5 6 5 = 4 5 Motivering: Division av 4 5 med 5 6 ska ge ett tal x sådant att x 5 6 = 4 5. Vi multiplicerar bägge leden med 6 5 och får: x 5 6 6 } {{ 5 } = 4 5 6 5, x = 4 5 6 5 = 4 5 U 63 Beräkna följande kvoter a) 7 b) 3 c) 6 3 5 d) 3 6 e) 3 4 f) 4 3 g) 3 4 5 6 U 64 En biltur på 60 km tog 40 minuter. Vilken var medelfarten? Räkna så här: 40 min = 40 60 h = 3 h, medelfarten = 60 3 km/h U 65 Räkna ut medelfarten i följande fall. Gör som i förra uppgiften. a) 0 km på 6 min b) 30 km på 5 min c) 54 km på 45 min d) 65 km på 50 min
.3 Räkning med negativa tal 5 U 66 I svenska flaggan är bredden av de gula banden /5 av flaggans höjd och /8 av dess längd. 5 U 67 U 68 U 69 8 Beräkna med hjälp av dessa tal hur stor del av flaggan är a) gul b) blå Beräkna + 3 3 (Multiplicera täljaren och nämnaren med 6). Beräkna följande uttryck (genom att multiplicera täljaren och nämnaren med lämpligt valt heltal) a) 3 + 5 6 b) 3 c) 7 8 4 7 8 + 4 Beräkna produkten av följande 99 faktorer ( a) ( + ) + ) ( + ) ( + ) (... + ) 3 4 99 ( b) ) ( ) ( ) (... ) 3 4 00.3 Räkning med negativa tal Negativa tal motsvaras på en tallinje av punkter som ligger till vänster om punkten noll. På en tallinje motsvaras addition och subtraktion med ett positivt tal a av en förflyttning a längdenheter åt höger respektive vänster. E 6 På tallinjen nedan illustrerar vi några additioner och subtraktioner med talet 5: 5 5 3 4 5 6 7 8 9 0 3 7 + 5 = 7 5 = 5 5 3 0 3 4 5 6 7 8 9 3 + 5 = 8 3 5 =
6 Reella tal 5 5 9 8 7 6 5 4 3 0 3 3 + 5 = 3 5 = 8 5 5 3 0 9 8 7 6 5 4 3 7 + 5 = 7 5 = U 70 U 7 E 7 Beräkna: a) 7 4 b) 4 7 c) 7 + 4 d) 5 8 e) 8 5 f) 8 + 5 g).4 0.9 h) 0.9.4 i).4 + 0.9 Beräkna: a) 6 + 9 b) 6 9 c) 45 55 d) 3.7 + 4.8 e) 3.7 4.8 f) 0.09 0.5 En mera omfattande operation 0.4.6.7 + 3.8 4.9 = = 0.4 + 3.8.6.7 4.9 = = (0.4 + 3.8) (.6 +.7 + 4.9) = = 4. 9. = 5 Motivering: Utgående från punkten noll på tallinjen ska vi göra två förflyttningar åt höger och tre åt vänster. Ordningen mellan dessa spelar ingen roll. Vi slår ihop förflyttningarna åt höger till en förflyttning, likaså förflyttningarna åt vänster, och detta markerar vi med parenteser. U 7 Beräkna: a) 3 5 7 b) 35 + 48 6 c) 0.6 + 0.4.3 +.8 4.7 5. Två tal som skiljer sig i fråga om tecknet, t.ex. 9 och 9, kallas motsatta tal. Addition med ett negativt tal sker genom subtraktion med det motsatta talet a + ( b) = a b ( a) + ( b) = a b Subtraktion med ett negativt tal sker genom addition genom med det motsatta talet a ( b) = a + b ( a) ( b) = a + b E 8 Några exempel 6 + ( 9) = 6 9 = 3 6 ( 9) = 6 + 9 = 5 6 + ( 9) = 6 9 = 5 6 ( 9) = 6 + 9 = 3
.3 Räkning med negativa tal 7 U 73 U 74 U 75 Beräkna: a) 8 + ( 7) b) 0.7 + (.5) c) 8 ( 7) d) 0.7 (.5) e) 8 + ( 7) f) 0.7 + (.5) g) 8 ( 7) h) 0.7 (.5) Beräkna: a) ( 5) + 4 ( 3) b) ( 7) + ( 8) ( 9) ( c) ) ( + ) ( d) ) ( ) ( + ) 6 3 Den högsta och den lägsta temperatur som under 900-talet uppmätts i Stockholm är: +34.6 o (9.7.933) 8. o (5..94) Vilken är differensen av dessa temperaturer, dvs. vad är +34.6 o ( 8. o ) U 76 Om ett föremål kastas eller skjuts rakt upp i luften med farten 50 m/s, så har det efter t sekunder farten v m/s där v = 50 9.8t Beräkna farten efter a).5 s b) 5 s c) 7.5 s d) 0 s De två sista farterna blev negativa. Förklara vad detta betyder. Produkten och kvoten av två tal med samma tecken är positiv, två tal med olika tecken är negativ a( b) = ab E 9 ( a)( b) = ab a b = a b = a b a b = a b Exempel på produkter a) 4 ( 5) = 0 b) ( 4) ( 5) = 0 c) 0 4 = 5 d) 0 5 = 4 e) 0 4 = 5 Motiveringar:
8 Reella tal a) 4 ( 5) = ( 5) + ( 5) + ( 5) + ( 5) = 0 b) Teckenändring i båda leden av 4 ( 5) ger ( 4) ( 5) = 0 c) Fås ur a) genom division av bägge led med 4 d) Fås ur a) genom division av bägge led med 5 e) Fås ur b) genom division av bägge led med 4 U 77 Beräkna följande produkter: a) 5 ( ) b) ( 5) c) ( 5) ( ) d) 0.8 ( 5) e) ( 0.5) ( 0.6) f) 4 ( 6) g).6 ( 0.05) h) ( ) ( 3) ( 4) U 78 U 79 Beräkna följande kvoter: a) 8 d) 0.6 5 b) 8. e) 0.5 Beräkna följande potenser: c) 8 f) 0.8 0.6 a) ( ) b) ( ) 3 c) ( ) 4 d) ( 0.3) e) ( 0.) 3 f) ( ) 3.4 Reella tal Med kvadratroten ur ett positivt tal a menas det positiva tal vars kvadrat är a. Kvadratroten ur a betecknas a Kvadratroten ur noll är noll 0 = 0. E 0 U 80 Exempel på kvadratrötter a) 4 = ty = 4 b) 5 = 5 ty 5 = 5 c) 0.09 = 0.3 ty 0.3 = 0.09 Bestäm följande kvadratrötter (pröva dig fram): a) b) 9 c) 64 d) 00 e) 44 f).44 g) 0.04 h) 40 000 E Vad är? Vi försöker genom prövning hitta ett tal vars kvadrat är :
.4 Reella tal 9.4 =.96.5 =.5.4 =.988.4 =.064.44 =.999396.45 =.005.44 =.9999664.443 =.000449.44 =.99998994.44 =.00008084 Nu orkar vi inte längre. Vi nöjer oss med att vi fått reda på att ligger mellan.44 och.44, dvs. att.44 < <.44. Man kan bevisa att det inte finns något decimaltal eller något bråk vars kvadrat är, dvs. att inte är ett rationellt tal. Beviset finns här. Ett tal som inte är ett rationellt tal kallas ett irrationellt tal. Ett sådant tals decimalutveckling har oändligt många decimaler och är inte periodisk. E. a) =.44 35696... är ett irrationellt tal. Detsamma gäller om de flesta kvadratrötter, t.ex. 3, 5 och 6 (men inte 4) b) π = 3.459 6535... är ett irrationellt tal. c) 0.43 43 43 43 43 43 43 43... är inte ett irrationellt tal. Decimalutvecklingen har visserligen oändligt många decimaler, men den är periodisk. Talet är rationellt och lika med 6/37 (se exempel E 9). d) 0.0 00 000 0000 000000 0000000 00000000... är ett irrationellt tal. Ty denna decimalutveckling har oändligt många decimaler och är inte periodisk. De rationella och irrationella talen kallas med ett gemensamt namn reella tal. Mot varje rationellt tal svarar en punkt på tallinjen. Men det finns punkter på tallinjen som inte motsvaras av rationella tal. Däremot gäller: Mot varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal, och omvänt motsvaras varje reellt tal av en punkt på tallinjen. 3 4 3 3.5 π 0 3 U 8 På tallinjen ovan är tolv tal markerade. Vilka av dessa är a) reella b) irrationella c) rationella d) hela e) naturliga f) decimaltal?
30 Reella tal.5 Absolutbelopp Med absolutbeloppet av ett reellt tal menas talet självt om det är positivt eller noll, och talet med ombytt tecken om det är negativt. Absolutbeloppet av talet a betecknas a. E 3. a) 6 = 6 b) 0 = 0 c) 6 = 6 d) 5 8 = 5 8 e) = f) 5 = 3 = 3 U 8 Vad är a) 3 b) 3 c).7 d) 35 U 83 Vad gäller om absolutbeloppet av två motsatta tal a och a? U 84 Finns det något tal a för vilket a < 0? U 85 U 86 U 87 Beräkna: a) 6 7 b) 4.5 5.4 c) 5 8 4 d) 3 e) 3 + 6 f) 4 + 3 5 4 ( g) ( ) 3 h) 37 i) 4 9 8) 3 Vilket är på en tallinje avståndet till punkten 0 från punkten a) 5 b) 5 c) 4 d) 4 e) a? För vilka hela tal x gäller att a) x < 3 b) x 3? (Tecknet betyder mindre än eller lika med.) U 88 För vilka reella tal x är a) x = b) x = 9 c) x = 0 d) x = e) x = x f) x = x?
Kapitel 3 Kvadratrötter 3. Beräkning av kvadratrötter U 89 U 90 U 9 Kvadratrötter beräknas enklast på dator. Kommandot för kvadratrot är sqrt. För att beräkna 7 med hjälp av Matlab eller GNU Octave skriver vi sqrt(7) och får resultatet ans =.6458 Bestäm med hjälp av dator närmevärden till: a) 8 b) 79 c) 34.5 Följande kvadratrötter skall bestämmas exakt utan hjälp av dator: a) 00 b) 0 000 c) 000 000 d) 0.0 e) 0.000 f) 0.00000 Antag att ett föremål faller från en höjd av h meter. Då slår det i marken med farten v km/h, där v fås ur följande (approximativa) formel: v = 6 h U 9 Räkna ut farten om höjden är a) m b) 0 m c) 40 m Om man står h meter ovanför havsytan, så kan man se s kilometer ut över havet, där s 3.8 h Räkna med hjälp av denna formel ut hur långt man kan se från en klippa som är: a) 0 m hög b) 50 m hög Vi erinrar om Pytagoras sats: I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna lika med kvadraten på hypotenusan. U 93 Beräkna hypotenusan i en rätvinklig triangel, där kateterna har följande längder (i t.ex. centimeter): a) och b) 3 och 4 (egyptisk triangel) c) 5 och 8
3 Kvadratrötter U 94 İ en rätvinklig triangel är hypotenusan 7 cm och ena kateten 4 cm. Hur lång är den andra kateten? x + 4 = 7, x + 6 = 49 se figuren 7 x x = 33 x = 33 5.74 Kateten är 5.74 cm. 4 90 U 95 U 96 U 97 Beräkna tredje sidan i en rätvinklig triangel där hypotenusan och ena kateten är a) 3 cm och cm b) 65 mm och 3 mm En likbent triangel har sidorna 6 cm, 9 cm och 9 cm. a) Beräkna höjden mot den minsta sidan (rita en figur). b) Beräkna triangelns area. En cirkel har radien 5 mm. Från en punkt som ligger 36 mm från cirkelns medelpunkt dras tangenter till cirkeln, Hur långa är dessa tangenter? (se figuren) 5 36 U 98 En pendel med längden a har svängningstiden a T = π g Här skall a mätas i meter och T i sekunder, och g är tyngdaccelerationen 9, 8 m/s. Beräkna svängningstiden hos en pendel med längden 75 cm. 3. Räkning med kvadratrötter E 4 a) ( 3) = 3 Ty 3 är ju det positiva tal vars kvadrat är 3. b) ( 3) = 3 3 = ( 3) = 4 3 = c) 3 = 9 = 3 d) ( 3) = 9 = 3 = 3 Exemplet illustrerar följande regler: ( a) = a, a 0 a = a kvadratrot är alltid positiv
3. Räkning med kvadratrötter 33 U 99 U 00 E 5 Bestäm: a) ( 7) b) ( 7) c) 7 d) ( 7) ( ) (3 ) ( e) f) g) 3 ) ( 5 h) 3 7 6 Beräkna: a) (4 5) b) ( 3 ) c) Beräkna 8 ( ) 6 d) Så här kan man göra (men det är inte så bra) 8.44.88 3.999 3 ( 5 0 ) ) Bättre är att räkna så här 8 = 8 = 6 = 4 Om talen a och b är 0, så är a b = ab Ty vänster ledets kvadrat är ( a b) = ( a) ( b) = ab, och vänstra ledet är alltså, liksom högra ledet, kvadratrot ut ab. Eftersom båda leden är kvadratroten ur samma tal ab måste båda leden vara lika. På samma sätt inser man att a a = b b U 0 E 6 Beräkna: a) 3 b) 4.5 c) 3 6 d) 0.6 3 8 e) 3 f) Vi kan flytta in en faktor under rotmärket om denna faktor kvadreras: 6 = 36 = 7 8.485 U 0 Skriv följande uttryck som bara en rot: a) 3 b) 3 c) 5 0. d) 7 3 I sista uppgiften använde du följande regel: För positiva tal a och b gäller att a b = a b Regeln kan också användas baklänges. E 7 a) 45 = 3 5 = 3 5 b) + 8 = + = + = 3 = 3 = 8 U 03 Flytta ut kvadratiska faktorer ur följande kvadratrötter: a) b) 0 c) 7 d) 7 e) 8
34 Kvadratrötter U 04 U 05 E 8 Förenkla och beräkna: a) 7 (= 3 3 3) b) 98 50 Visa att a) 5 + 80 = 5 b) 4 + 54 = 50 (Observera mycket noga att a + b inte är lika med a + b) Ibland väljer man att ta bort rotuttryck i nämnaren. Det kan man göra på följande sätt: 6 = 6 = 6 = 3 Man kan också göra så här 6 36 36 = = = 8 = 3 = 3 U 06 U 07 U 08 U 09 Ta bort roten ur nämnaren. Räkna som i första delen i exemplet ovan. 4 3 5 a) b) c) e) 3 6 7 6 Visa med hjälp av Pytagoras sats: Diagonalen i en kvadrat med sidan a är a (rita figur). a) Beräkna diagonalen i en kvadrat med sidan 8 cm. b) Beräkna sidan i en kvadrat med diagonalen 8 cm. Nedan har vi en liksidig triangel med sidan a a 3 30 a 60 a U 0 U U Visa med hjälp av Pytagoras sats att höjden är a 3. En liksidig triangel har sidan 5 cm. Beräkna a) triangelsn höjd b) triangelns area Beräkna arean av en triangel i vilken två sidor är 9 cm och mellanliggande vinkel 0 o. Beräkna arean av en regelbunden sexhörning med sidan 5 mm. 3.3 Herons metod Vi ska beräkna kvadratroten ur det positiva talet A. Geometriskt är detta likvärdigt med att konstruera en kvadrat vars area är A. Antag att vi startar med ett ungefärligt värde x 0 på kvadratroten till A. Detta motsvarar geometriskt, om vi ska ha arean A, en rektangel med kantlängderna x 0 och A/x 0. För att göra rektangeln
3.3 Herons metod 35 mera kvadratisk kan vi ersätta x 0 med ett tal x som är medelvärdet av x 0 och A/x 0 x = ) (x 0 + Ax0. Vi använder sedan x som nytt startvärde, och beräknar ett bättre värde x x = ) (x + Ax. och så vidare till det att det beräknade talet inte ändrar sig nämnvärt. Metoden är känd som Herons metod efter den grekiske matematikern och uppfinnaren. Den intresserade kan läsa mer i här Processen illustreras nedan x 0 A x A A/x 0 A/x E 9 Vi ska använda Herons metod för att beräkna. Vi börjar med det ungefärliga värdet x 0 = på roten, och har räkningarna x = ( + ) =.5 x = x 3 = x 4 = (.5 + ).466666666.5 (.466666666 + (.445686 + ).445686.466666666 ).443563.445686 Talen närmar sig snabbt det riktiga värdet som är.44356373095. U 3 Använd Herons metod för att bestämma ett närmevärde till 7. Tag x 0 = 3 som startvärde. Gör tre förbättringar och jämför ditt beräknade värde med det värde du får från datorn.
36 Kvadratrötter
Kapitel 4 Uttryck med variabler 4. Ett uttrycks värde E 30 Antag att det finns 40 liter bensin i tanken på en bil och att bilen drar 0.8 liter per mil vid landsvägskörning. Efter x mils körning har det gått åt 0.8x liter, och kvar i tanken är så här många liter: 40 0.8x Detta är ett exempel på ett uttryck med en variabel x. För t.ex. x = 5 har uttrycket följande värde: 40 0.8 5 = 40 = 8 Efter 5 mils landsvägskörning är det alltså 8 liter bensin kvar i tanken. I tabellen nedan har vi angett uttryckets värde för några värden på x. En sådan tabell kallas värdetabellen för uttrycket. x 40 0.8x 0 40 5 36 0 3 5 8 0 4 5 0 30 6 U 4 Vid ett test av en Saab 95 bestämde man bl.a bränsleförbrukningen vid olika farter. Det visade sig att bränsleförbrukningen i liter per mil vid farten x km/h rätt väl angavs av uttrycket 0.45 + 0.005x. Gör med hjälp av detta uttryck en värdetabell som visar bränsleförbrukningen vid farterna 50, 70, 90, 0 och 30 km/h. U 5 I bl. a. USA mäter man temperaturen i grader Fahrenheit. t grader Fahrenheit motsvarar så här många grader Celsius: t 3.8
38 Uttryck med variabler Gör en värdetabell för detta uttryck. Låt t vara 0, 3, 50, 60, 70, 80, 90 och 00. Använd miniräknare eller dator för beräkningarna. U 6 Vi har en likbent triangel enligt figuren x x a) Skriv upp ett uttryck för arean av detta triangelområde. b) Beräkna uttryckets värde då x är 5, och 60. U 7 a) Skriv upp ett uttryck för längden av hypotenusan i triangeln. b) Beräkna uttryckets värde då x är 3, 5 och 8. U 8 Detta är ett uttryck med två variabler x och y: 3x 4y + 5 Uttryckets värde för x =, y = 3 är 3 4 3 + 5 = 6 + 5 = Detta värde finns i värdetabellen här bredvid. Räkna ut de värden som saknas och fyll i tabellen. x y 3x 4y + 5 3 3 4 4 0 5 5 0 U 9 Medelvärdet av två tal x och y är x + y. Skriv upp ett uttryck för: a) medelvärdet av tre tal x, y och z b) medelvärdet av fyra tal a, b, c och d. U 0 Figuren på nästa sida föreställer ett rätblock med kantlängderna x, y och z.
4. Förenkling av uttryck med variabler 39 x y z Skriv upp uttryck för a) areorna av de tre sidytor som syns i figuren b) hela begränsningsytans area c) volymen. U Beräkna värdet av vart och ett av följande uttryck för x = 0., y = 0.5 och z = 0.8: a) x + y + z b) xy + yz + zx c) xyz d) xy z e) y + z x f) y x + z 4. Förenkling av uttryck med variabler E 3 Värdet av uttrycket 8x + 6x 4x för x =.7 kan beräknas så här: 8.7 + 6.7 4.7 =.6 + 6. 0.8 = 37.8 0.8 = 7 Men detta sätt att räkna är opraktiskt. Det är bättre att först förenkla uttrycket och sedan sätta in x =.7: 8x + 6x 4x = 4x 4x = 0x 0.7 = 7 U Förenkla följande uttryck: a) 7x + 5x b) 7x 5x c) 5x 7x d) 8a + 7a e) 9t 3t f) z z g) x + 3x + 4x h) 5y + 0y 5y i) a 5a + 8a j) 9x 5x x U 3 Beräkna värdet av uttrycket 9x 7x + 5x 3x för x = 0.75
40 Uttryck med variabler U 4 U 5 Uttrycket 3x + 4y kan inte förenklas, ty de båda termerna innehåller ju olika variabler. Följande uttryck kan däremot förenklas: a) 3x + 4y + x y b) x y + x 3y c) a b 3a 4b + 5a + 6b d) 4x 3y 7z 3x 7z + y + 3z Beräkna värdet av uttrycket 3x 4y + 5 x + 7y 6 för x = 0.3, y = 0. U 6 Förenkla uttrycket 0ab 4bx 6ax + 7bx ab ab + 3bx 4ax 4.3 Parentesreglerna E 3 a) 4 + (8 3) = 4 + 5 = 9 Parentesen anger att man först ska räkna ut differensen 8 3. Men man kan också räkna så här 4 + (8 3) = 4 + 8 3 = 3 = 9 b) 4 (8 3) = 4 5 = 9 Om vi tar bort parentesen får vi ett felaktigt resultat: 4 8 3 = 6 3 = 3 Men om vi tar bort parentesen och samtidigt ändrar tecken i parenteser (dvs. ändrar 8 3 till 8 + 3), så får vi rätt resultat: 4 (8 3) = 4 8 + 3 = 6 + 3 = 9 c) 4 (8 + 3) = 4 = 3 Kan också räknas så här: 4 (8 + 3) = 4 8 3 = 6 3 = 3 d) 3x + 4 + (x 3) = 3x + 4 + x 3 = 5x + e) 3x + 4 (x 3) = 3x + 4 x + 3 = x + 7 En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man samtidigt ändrar tecken för termerna i parentesen. U 7 Skriv följande uttryck utan parenteser: a) x + (y + z) b) x + (y z) c) x (y + z) d) x (y z)
4.4 Distributiva lagen 4 U 8 U 9 U 30 Förenkla följande uttryck: a) 3 x + (4 + 3x) b) 3 x (4 + 3x) c) (x + y) + (x y) d) (x + y) (x y) e) a b + (a b) f) a b (a b) Förenkla följande uttryck: a) 5x (3y x) + (3x 7y) b) (8x 7y 5) (7x 6y 3) c) (a + b + c) (a + b c) (a b + c) ( a + b + c) d) [x ( x)] (Tag t.ex. först bort parentesen, sedan klammern.) e) 5a + x [4 (x 3a + )] [(5x + a) (x a)] Beräkna värdet av uttrycket 7x + 3y [x (8y + x) (3y x)]+ +[(5x + y) (5x 9y)] för x = 69, y = 56 U 3 U 3 U 33 Inneslut inom parentes de två sista termerna i a) x + y z b) x y + z c) x y z Inneslut inom parentes de tre sista termerna i a) x y z + u b) a b + 3c 4d Vilket värde har uttrycket [a (b c)] [b (c a)] [c (a b)] om a + b + c = 0? 4.4 Distributiva lagen E 33. a) 3(x + ) = (x + ) + (x + ) + (x + ) = = x + + x + + x + = 3x + 6 Enklare är att räkna på följande sätt: 3(x + ) = 3 x + 3 = 3x + 6 Andra ledet har vi fått genom att multiplicera in trean i parentesen. b) (3x 4) = 3x 4 + 3x 4 = 6x 8 Samma resultat får vi genom att multiplicera in tvåan: (3x 4) = 3x 4 = 6x 8 U 34 Skriv om följande uttryck genom att multiplicera in faktorer: a) (x + 3) b) 3(x 4) c) 4( 3x) d) 3(x 5) e) 6(x + y) f) 5(x y)
4 Uttryck med variabler Den räknelag som vi använt ovan kallas den distributiva lagen. Den kan formuleras på följande sätt: a(b + c) = ab + ac Här får a, b och c vara vilka tal (eller uttryck) som helst. U 35 Hur kan man med hjälp av figurerna nedan se att likheten ovan gäller för positiva tal a, b och c? a(b + c) a ab ac a b + c b c U 36 Med hjälp av den distributiva lagen kan man ibland räkna ut ganska svåra produkter i huvudet. Exempel: 5 9 = 5(0 ) = 500 5 = 475 7 3 = 7(30 + ) = 50 + 34 = 544 Försök att på liknande sätt räkna ut följande produkter i huvudet: a) 8 39 b) 5 4 c) 75 d) 5 9 e) 3 5 f) 4 48 g) 99 h) 6 98 E 34. a) x(x 3) = x x x 3 = x 6x b) a(a + b) = a a + a b = a + ab c) (3x 4) 3(x 3) = 6x 8 6x + 9 = Observera teckenändringen. Den beror på att det står ett minustecken framför sista parentesen. U 37 U 38 Skriv om följande uttryck med hjälp av den distributiva lagen: a) x(x ) b) 3x(x + ) c) x(3x 4) d) x(x + y) e) a(a b) f) 3a(a + 3b) Förenkla följande uttryck: a) x 3( x) b) (x 3) c) x(x 4) + 3(x 4) d) x(x ) 3(x ) e) 3(x ) + x(x 3) f) a(a + b) b(a b)
4.5 Multiplikationsregler 43 U 39 U 40 U 4 Förenkla följande uttryck: a) 6(8x 7y 5) 7(7x 6y 3) b) x(y z) y(x z) + z(x y) c) 3x(3y + 7z) 8y(x z) 5z(4x + 3y) Om n successivt ersätts med talen,, 3, 4,..., kommer n att ge de jämna talen, 4, 6, 8,... Ange ett uttryck, som på motsvarande sätt ger alla de positiva hela tal, som är a) delbara med 3 b) udda. Om m och n är naturliga tal, så är m, n och (m + n) jämna tal. Formeln m + n = (m + n) uttrycker, att summan av två jämna tal är ett jämnt tal. Bevisa följande formler, och tolka dem på liknande sätt: a) m + (n ) = (m + n) b) (m ) + (n ) = (m + n ) 4.5 Multiplikationsregler E 35.Vi multiplicerar två potenser med samma bas: a 3 a 5 = (a a a) (a a a a a) = a 8 Resultatet kan skrivas så här: a 3 a 5 = a 3+5 = a 8 Man multiplicerar två potenser med samma bas genom att addera exponenterna, dvs. a m a n = a m+n Potenserna i vänstra ledet är nämligen produkter av m respektive n faktorer a. Alltså är vänstra ledet en produkt av m + n faktorer a, dvs. lika med a m+n. U 4 U 43 Skriv som en potens: a) a a b) x x 3 c) x 3 x 4 d) a a 6 e) (x ) = x x =... f) (a 3 ) g) (x ) 3 Förenkla följande uttryck: a) x x x 3 b) x 3x c) 4a 3 5a d) (3x) e) (x ) f) x y x 3 y Enligt den distributiva lagen är (a + b)x = ax + bx Om man byter ut x mot c + d, så får man (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
44 Uttryck med variabler och alltså är (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Högra ledet får man så här: Varje term i den ena parentesen multipliceras med var och en av termerna i den andra parentesen, och de fyra erhållna produkterna adderas (se video). E 36. a) ( + 3)(4 + 5) = 4 + 5 + 3 4 + 3 5 = = 8 + 0 + + 5 = 45 Kontroll: ( + 3)(4 + 5) = 5 9 = 45 b) (x + 3)(x + ) = x x + x + 3 x + 3 = = x + x + 6x + 3 = x + 7x + 3 I följande exempel använder vi teckenreglerna: En produkt av två faktorer får plustecken eller minustecken beroende på om faktorerna har samma eller olika tecken. c) (x )(x + 3) = x + 3x x 6 = x + x 6 d) (x )(x 3) = x 3x x + 6 = x 5x + 6 U 44 Hur kan man med hjälp av figuren nedan se att regeln (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd gäller för positiva tal a, b, c och d? a ac ad b bc bd c d U 45 U 46 Utför följande multiplikationer, och förenkla om möjligt resultaten: a) (x + )(x + ) b) (x )(x + ) c) (x + )(x ) d) (x )(x ) Utför följande multiplikationer, och förenkla om möjligt resultaten: a) (x 3)(x + 5) b) (x + )(3x + ) c) ( + t)(3 t) d) (a + b)(a b)