MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 13 augusti 2012 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 0. För betygen 3,, 5 krävs minst 18, 26 respektive 3 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. I en modell för hur kaffe upphällt i kaffekoppar avkyles antages det att temperaturförändringen per tidsenhet hos upphällt kaffe är proportionell mot dels skillnaden mellan kaffets temperatur och temperaturen i det omgivande rummet, och dels arean av kaffeytan. Kaffekopparna som sådana antages ha isolerande sido- och bottenytor. Modellen studeras genom att man vid en viss tidpunkt har fyllt två olika kaffekoppar, I och II, med nykokt kaffe och sedan mäter temperaturerna allteftersom de sjunker. Vilken temperatur kan kaffet i kopp II förväntas ha efter tre (3) minuter om temperaturen hos kaffet i kopp I vid samma tidpunkt uppmäts till 60 grader. Det antages att arean av kaffeytan i en fylld kopp II är dubbelt så stor som den i fylld kopp I, och att den omgivande temperaturen är 20 grader. 2. Bestäm till differentialekvationen y + 16y = 8 cos(x) den lösningskurva som i punkten med koordinaterna ( π, π ) har tangenten (π + 1)x + y = ( π 2 )2. 3. Lös med y 0 = 2 differensekvationen y n + y n 1 = δ n,17 20δ n,21, n 1.. Bestäm och klassificera alla stationära punkter till systemet ( ) ( ) dx/dt x y + 2xy =. dy/dt x xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen. 5. Temperaturen u hos en ideal stav av längd 6 antages lyda den partiella differentialekvationen u xx = 1 5 u t, 0 < x < 6, t > 0. Stavens bägge ändpunkter hålls vid temperaturen 0. Vid tidpunkten 0 är temperaturen x(6 x) grader i det inre av staven. Bestäm u för 0 < x < 6, t > 0. 6. Bestäm till differentialekvationen 1 x + y = xy den lösning vars graf innehåller 2 xy punkten (1, 1 ). Ange även existensintervallet för lösningen. 2 7. Bestäm och skissa den kurva som vid tidpunkten 0 börjar i punkten ( 1, 2), och som satisfierar det linjära systemet ( ) ( ) dx/dt 3x + 8y =. dy/dt 2x 5y För skissandet kan approximationerna e 1 12 0.92, e 1 3 0.72, e 13 12 0.3 och e 3 0.26 vara användbara. 8. Utsignalen y från ett system beskrivs av ekvationen y + 6y + 9y = y in, där y in är insignalen. Vid tidpunkten 0 har de s.k. tillståndsvariablerna y och y värdena 1 respektive 3. Insignalen är lika med 0 förutom under tidsintervallet 2 t < 5 då systemet utsätts för en konstant insignal med värdet 9. Bestäm systemets svar, dvs bestäm y(t), t 0.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 13 augusti 2012 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Tentamen 2012-08-13 1. 0 grader T ) 1 II ( 3) 20 80( 2 A II A I BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna 1p: Korrekt formulerat en DE för modellen 1p: Korrekt löst DE:en 2p: Korrekt funnit slututtrycket för T II (3) 1p: Korrekt bestämt temperaturen i kopp II 1 2. y cos( x) ( x )sin(x) 1p: Korrekt funnit lösningen till motsvarande homogena DE 1p: Korrekt ansatt en partikulärlösning till DE:en 2p: Korrekt funnit en partikulärlösning till DE:en 1p: Korrekt anpassat lösningen till begynnelsevärdena 3. y n 2 1 n 1 n 17 u( 1 n 21 5 u( n 21) n 17) 1p: Korrekt Z-transformerat differensekvationen 1p: Korrekt funnit ett uttryck för transformen av { y n } 1 1 1 1p: Korrekt inverstagit (1 z ) 1 1 2p: Korrekt inverstagit termer av typen z m (1 z ) 1. ( 0,0) är en asymptotisk stabil SP 1 1 Linj. system: X X 1 0 ( 1,1) är en instabil SP 1 1 2 Linj. system: X X 0 1 1 1p: Korrekt bestämt de stationära punkterna 1p: Korrekt klassificerat den ena av de SP:na 1p: Korrekt klassificerat den andra av de SP:na 1p: Korrekt linjariserat i den ena av de SP:na 1p: Korrekt linjariserat i den andra av de SP:na n n x 3 6 ) 5. 1(1 ( 1) ) u( x, t) sin( ( n ) n 1 för 0 x 6, t 0 e 5 2 ( n ) t 36 2p: Korrekt behandlat x -delen 1p: Korrekt behandlat t -delen 2p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna och korrekt sammanställt lösningen 6. y I E 2 x(5 (0, 2 x 5) ) 1p: Korrekt identifiering av DE som antingen en Bernoulli- ekvation (substitution: y 1 ( x) u( x) ) eller en ekvation där substitutionen u( x) xy( x) är givande 1p: Korrekt löst DE:en för den beroende variabeln u 2p: Korrekt angivit lösningen till BVP:et 1p: Korrekt angivit existensintervallet 1 (2)
7. Forts. Tentamen 2012-08-13 12t 1 X e 2 6t t BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna Scenario 1: Scenario 2: 1p: Korrekt bestämt egenvärdet och motsvarande egenvektoruppsättning till systemmatrisen 1p: Korrekt bestämt en kompletterande vektor 1p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan 1p: Korrekt utfört en Laplacetransformering 1p: Korrekt förberett för inverstransformering genom att algebraiskt korrekt ha funnit transformuttrycken för lösningarna x och y 1p: Korrekt utfört inverstransformeringen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan y( t) e 3t 3( t 2) 3( t 2) 8. 1 e 3( t 2) e U ( t 2) 3( t 5) 3( t 5) 1 e 3( t 5) e U ( t 5) 1p: Korrekt formulerat differentialekvationen 1p: Korrekt Laplacetransformerat differentialekvationen 1p: Korrekt förberett för en inverstransformering 2p: Korrekt utfört inverstransformeringen 2 (2)