TORTISKT PROBL UTVCKLINGN AV SYSTT JORD-ÅN Avståndet mellan jrden ch månen kan bestämmas med str nggrannhet. an gör detta genm att reflektera en laserstråle med speciella reflektrer (sm placerades på månens yta av astrnauter 969) ch mäta gångtiden för laserljuset (se figur ). Figur. n laserstråle sm skickas ut från ett bservatrium används för att nggrant mäta avståndet mellan jrden ch månen. ed sådana bservatiner har man direkt kunnat mäta att avståndet till månen långsamt ökar med tiden. Detta berr på att vridmment från tidvattenskrafter överför rörelsemängdsmment till månen, se figur. I detta prblem skall du ta fram de grundläggande parametrarna för detta fenmen.
Figur. ånens dragningskraft ger tidvattensdefrmatiner eller bulr på jrden. På grund av jrdens rtatin är en linje sm går genm bulrna inte i linje med en linje mellan jrdens ch månens centra. Denna avvikelse ger ett vridmment sm överför rörelsemängdsmment från jrdens rtatin till månens banrörelse. Figuren är inte skalenlig.. Rörelsemängdsmmentets bevarande Låt L vara det nuvarande ttala rörelsemängdsmmentet för systemet jrd-måne. Gör följande antaganden: a) L är summan av jrdens rörelsemängdsmment med avseende på jrdaxeln ch månens rörelsemängdsmment i banrörelsen kring jrden. b) ånens bana är circulär ch månen kan apprximeras med en punkt. c) Jrdens ch månens rtatinsaxlar är parallella. d) För att förenkla räkningarna antar vi att månens rtatin sker kring jrdens centrum ch inte kring masscentrum. I hela prblemet är alla tröghetsmment, vridmment ch rörelsemängdsmment tagna med avseende på en axel genm jrdens centrum. e) Försumma inverkan från slen. a Skriv ner ekvatinen för det nuvarande ttala rörelsemängdsmmentet för systemet jrd-måne. Uttryck denna ekvatin i I, tröghetsmmentet för jrden; ω, den nuvarande vinkelhastigheten för jrdrtatinen; I, det nuvarande tröghetsmmentet för månen med avseende på jrdaxeln; ch ω, den nuvarande vinkelhastigheten för månen i sin bana. 0. Denna överföringsprcess för rörelsemängdsmment tar slut då periden för jrdrtatinen ch månens mlppstid kring jrden blir lika. Vid denna tidpunkt kmmer tidvattenbulrna sm månen alstrar att vara ens med en linje mellan månen ch jrden ch vridmmentet försvinner.
b Skriv ner ekvatinen för det slutliga ttala rörelsemängdsmmentet L för systemet jrd-måne. Gör samma antaganden sm i fråga a. Uttryck denna ekvatin i I, jrdens tröghetsmment; ω, den slutliga vinkelhastigheten för jrdrtatinen ch månens rörelse i sin bana; ch I, det slutliga tröghetsmmentet för månen. 0. c Försumma bidraget från jrdrtatinen ch skriv ner den ekvatin sm uttrycker rörelsemängdens bevarande i detta prblem.. Slutavstånd ch slutlig vinkelhastighet för systemet jrd-måne. Anta att jämviktsekvatinen för en cirkulär rörelse (månens rörelse kring jrden) gäller hela tiden. Försumma bidraget från jrdens rtatin i det slutliga rörelsemängsmmentet. a Skriv ner jämviktsekvatinen för den cirkulära rörelsen av månen kring jrden i sluttillståndet uttryckt i, ω, G ch slutavståndet D mellan jrden ch månen. jrdens massa ch G är gravitatinsknstanten. 0. b Skriv ner ekvatinen för slutavståndet D mellan jrden ch månen uttryckt i kända parametrar, L, det ttala rörelsemängdsmmentet för systemet, ch, massrna respektive för jrden ch månen samt G. c Skriv ner ekvatinen för den slutliga vinkelhastigheten ω för systemet jrd-måne uttryckt i kända parametrar L,, ch G. Nedan kmmer du att bli mbedd att beräkna numeriska värden på D ch ω. Då kmmer du att behöva veta jrdens tröghetsmment. d Skriv ner ekvatinen för jrdens tröghetsmment I under antagandet att den är kltfrmig med en inre densitet ρ i från centrum ut till en radie r i, ch en yttre densitet ρ från denna radie ut till kltets yta sm har radien r (se figur 3).
Figur 3. Jrden sm ett klt med två densiteter, ρ ch ρ. i Bestäm alltid numeriska värden sm efterfrågas i detta prblem med två signifikanta siffrr. e Beräkna tröghetsmmentet I för jrden. Använd 6 3 r =3,50 m, ρ = 4,00 kg m -3 6, and r =6,40 m. i 4 ρi =,30 kgm -3, 0. 4 Jrdens ch månens massr är respektive =6,00 kg ch =7,3 0 kg. Det 8 nuvarande avståndet mellan jrden ch månen är D =3,8 0 m. Den nuvarande 5 vinkelhastigheten för jrdrtatinen är ω = 7,3 0 s -. Den nuvarande 6 vinkelhastigheten för månens rörelse kring jrden är ω =,7 0 s -, ch gravitatinsknstanten är G = 6,7 0 m 3 kg - s -. f Beräkna det numeriska värdet på det ttala rörelsemängdsmmentet, L för systemet. 0. g Beräkna den slutliga vinkelhastigheten D dels i meter ch dels i enheter av det nuvarande avståndet D.
h Beräkna den slutliga vinkelhastigheten ω i s -, ch dessutm den slutliga dygnslängden i enheter av det nuvarande dygnet. Kntrllera antagandet att försumma jrdrtatinens bidrag till det slutliga rörelsemängdsmmentet genm att beräkna kvten av det slutliga rörelsemängdsmmentet för jrden ch månen. Detta bör bli ett litet värde. i Beräkna kvten av jrdens slutliga rörelsemängdsmmentet ch månens slutliga rörelsemängdsmment. 0. 3.Hur långt avlägsnar sig månen per år? Du skall nu ta reda på hur mycket månen avlägsnar sig från jrden varje år. För detta behöver vi veta ekvatinen för vridmmentet sm för närvarande verkar på månen. Antag att tidvattensbulrna kan apprximeras av två punktmassr, vardera med massan m, på jrdytan (se figur 4). Låt θ vara vinkeln mellan den linje sm förbinder bultpparna ch linjen mellan jrdens ch månens mittpunkter. Figur 4. Schematiskt diagram för att uppskatta vridmmentet på månen. Figuren är inte i skalenlig. 3a Härled F c, strleken på den kraft med vilken den närmaste punktmassan påverkar månen.
3b Härled F f, strleken på den kraft med vilken den brtersta punktmassan påverkar månen. Du kan nu beräkna mtsvarande vridmment sm uppstår på grund av punktmassrna. 3c Härled strleken på τ c, det vridmment sm härrör från den närmaste punktmassan. 3d Härled strleken på τ f, det vridmment sm härrör från den brtersta punktmassan. 3e Härled strleken på det ttala vridmmentet τ från bägge massrn. ftersm r << D bör du apprximera ditt uttryck till lägsta signifikanta rdning i r / D. Du kan använda att ( + x) a + ax, m x <<..0 3f Beräkna det numeriska värdet på det ttala vridmmentet τ, med ο 6 användande av att θ =3 ch att m = 3,6 0 kg (ntera att denna massa är av strleksrdningen 8 0 gånger jrdens massa). ftersm vridmment är ändring av rörelsemängdsmment per tid, ange den nuvarande ökningen av avståndet jrden-månen per år. Uttryck härvid månens rörelsemängdsmment enbart med hjälp av,, D ch G. 3g Beräkna den nuvarande årliga ökningen av avståndet jrden-månen.0 Uppskatta slutligen hur mycket dygnslängden ökar per dag årligen. 3h Beräkna den årliga minskningen av ω ch hur mycket den nuvarande dygnslängden ökar per år..0
4. Vart tar energin vägen? I mtsats till det ttala rörelsemängdsmmentet, sm är bevarat, är den ttala energin (rtatinsenergi plus gravitatinsenergi) inte bevarad. Vi ska studera detta i sista avsnittet. 4a Skriv ner en ekvatin för den ttala energin (rtatinsenergi plus gravitatinsenergi) för systemet jrd-måne för närvarande. Uttryck denna ekvatin i enbart I, ω,,, D ch G. 4b Skriv ner en ekvatin för ändringen av, sm funktin av ändringarna i D ch i ω. Beräkna ett numeriskt värde på under ett år med användande av värdena på ändringarna i D ch i ωsm du beräknade i frågrna 3g ch 3h. Verifiera att denna energiförlust är i överenstämmelse med en uppskattning av den energi sm förlras i frm av värme på grund av tidvattnet sm månen ger på jrden. Anta att tidvattnet lyfter med 0,5 m i medeltal, ett lager vatten med tjckleken h = 0,5 m sm täcker jrdens yta (anta för enkelhets skull att hela jrdens uta är täckt av vatten). Detta händer två gånger per dag. Anta vidare att 0% av denna gravitatinellla energi mvandlas till värme genm visksitet när vattnet sjunker tillbaka. Vattnets densitet är 3 ρ = 0 kg m -3, ch tyngdacceleratinen på jrdytan är g = 9, 8 m s -. water 4c Hur str är massan av detta ytlager av vatten? 0. 4d Beräkna hur mycket energi sm blir värme på ett år. Hur stämmer detta med den energi sm förlras per år av systemet jrd-måne för närvarande.