Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte 0 motstånd och plottde resultten mot respektive observtionsnummer skulle det kunn se ut någonting i den här stilen: 6.0 5.5 5.0.5 5 0 5 0 Om mn indelr utfllsrummet i delintervll och räknr reltiv frekvenser inom respektive intervll skulle mn få något liknnde följnde histogrm. Density 0.9 5.0 5. 5. 5. 5. 5.5 x Antg nu tt vi mäter ytterligre 980 motstånd och bildr motsvrnde histogrm. Då ser mn hur stplrn följer en mer jämn kurv. Density 0.9 5.0 5. 5. 5. 5. 5.5 x Denn jämn kurv (den streckde kurvn i figuren) kn sägs vr börjn och slutet : slutet för den är gränsvärdeshistogrmmet med llt finre intervllindel-
ning, börjn för tt den teoretiskt beskriver snnolikhetsmssn (täthetsfunktionen) då mn sk börj gör observtionern. Vid diskret vribler kunde stplrn i histogrmmet svrt mot snnolikheten tt få värdet stpeln representerr. Vid kontinuerlig vribler representer kurvn som beskriver täthetsfunktionen för vribeln X snnolikheten på så sätt tt ren v ytn under kurvn på intervllet (x, x ) är snnolikehten tt P (x X x ). För kontinuerlig stokstisk vribler (dvs vribler som ntr värden ur ett överuppräkneligt värderum) hr mn, precis som för diskret, en fördelningsfunktion F (x) definierd v F (x) P (X x). Emellertid kn mn inte tl om någon snnolikhetsfunktion. Motsvrigheten är istället täthetsfunktionen (klld frekvensfunktion i Vännmn). Täthetsfunktionen f(x) hr dock inte tolkningen som en snnolikhet (som är fllet med snnolikhetsfunktionen) utn är br definerd v f(x) d P (X x) (den streckde kurvn ovn). dx När det gäller stokstisk vribler llmänhet och kontinuerlig vribler i synnerhet tjänr mn iblnd på tt tänk på täthetsfunktionen (och därmed fördelningsfunktionen som integrerd bit) ritd i ett koordintsystem. Förtjänsten vid resonemng om snnolikheter är ungefär densmm som tt t Venn-digrm till hjälp vid resonemng om mängder. b f(x) P ( X b) b f(x) dx Definition Om P (X x) x f(t) dt för ll x i värdemängden, så klls X kontinuerlig stokstisk vribel och f dess täthetsfunktion (eller frekvensfunktion). Eftersom P är ett snnolikhetsmått måste 0 P ( X b) för ll, b vilket innebär tt P (X b) P (X ) 0 b f(t) dt f(t) dt 0 b f(t) dt 0 för ll b f(x) 0 för ll x. Vidre är P (Ω) vrmed lim b P (X b) så f(x) dx. Eftersom F (x) är fördelningsfunktion är F (x) P (X x) x är P ( X b) P (X b) P (X ) F (b) F (). f(t) dt. Därmed Till skillnd mot det diskret fllet hr < och smm betydelse, och dito >
och. Dessutom, till skillnd mot diskret fllet, är P (X ) f(x) dx 0. Dett understryker tt f(x) P (X x), dvs mn hr inte tolkningen v täthetsfunktionen f(x) som en snnolikhet! Dett smmnftts i Sts A läs den! Vnlig kontinuerlig fördelningr ektngulärfördelning Beteckns X (, b) eller X U(, b). { x b b f(x) 0 nnrs Dett är den kontinuerlig motsvrigheten till (diskret) likformig fördelning (och klls iblnd istället just likformig fördelning ). ektngulärfördelningen fördelr snnolikhetsmssn jämnt över hel värdemängden (intervllet [, b]). Denn fördelning är det mn kn nt om mn ej hr någon informtion som indikerr tt något delintervll är mer snnolikt än ett nnt. (Ex. Tid kvr till näst buss då mn nländer till en busshållplts.) Exponentilfördelning Beteckns { X Exp(λ). 0 x < 0 f(x) λe λx x 0 X är t.ex. livslängden hos mång elektronisk komponenter såsom glödlmpor, trnsistorer etc. Övning Beräkn fördelningsfunktionenern för en rektngulärfördeld resp. en exponentilfördeld vribel. Normlfördelning Beteckns X N(µ, σ ). f(x) π e (x µ) /σ P.g.. ett v de viktigste resultten i hel snnolikhetslärn (den s.k. centrl gränsvärdesstsen som vi kommer till så småningom) är normlfördelningen pproximtiv fördelning för en mängd nturlig fenomen. Normlfördelningen är den i särklss viktigste fördelningen och därför kommer vi ägn den extr mycket uppmärksmhet. Exempel Antg tt vi nländer till en busshållplts där bussrn går vr tjugonde minut. Vd är snnolikheten tt bussen kommer inom 0 minuter men inte förr än efter minuter?
Lösning: Eftersom vi inte vet någonting om när vi nlänt i förhållnde till när bussrn kommer, endst tt vi inte sk behöv vänt mer än 0 minuter, är det end vi kn nt tt snnolikheten för bussens nkomst till hållpltsen är jämnt fördeld, dvs tt X (tiden vi behöver vänt på bussen) är fördeld (0, 0). Därmed är P (bussen kommer inom 0 min. men ej förr än om min.) P ( X 0) 0 dx [ x 0 0 ] 0 0 7 0.5. 0 0 0 Betingning med kontinuerlig vribler Om X och Y är kontinuerlig stokstisk vribler så är P (X x, Y y) y P (X x Y t)f Y (t) dt x P (Y y X t)f X(t) dt. Exempel I ett klssrum finns 0 prllellkopplde oberoende lysrörslmpor. För vrje lmp är snnolikheten tt den lyser mer är 000 timmr 0.8. Vd är snnolikheten tt det inte är helt mörkt i klssrummet då det ges en kvällskurs där efter 0 000 timmrs brinntid? Lösning: Låt X i vr livslängden v den i:te lmpn. Då är P (X i x) e λx. 0.8 P (lmp i lyser i mer än 000 timmr) P (X i > 000) ( e λ000 ) e 000λ ln 0.8 λ 0.000... 000 Därmed är P (ej helt mörkt efter 0 000 timmr) P (ll lmpor slut efter 0 000 timmr) P ({X 0 000} {X 0 000} {X 0 0 000} P (X 0 000) 0 ( e 0.000 0 000 ) 0 ( e. ) 0 0.68. Exponentilfördelningens glömsk Antg tt vi vet tt en glödlmp lyst i timmr. Vd är då den betingde snnolikheten tt den fortsätter lys i ytterligre b timmr? Låt X vr livsängden hos glödlmpn i timmr. Då är X Exp(λ), dvs P (X x) F (x) e λx där x 0 och λ är en konstnt specifik för denn sorts lmpor. Vi vill vet vd snnolikheten är tt lmpn fungerr i + b timmr givet tt den redn hr lyst i timmr. P (X > + b X > ) P ({X > + b} {X > }) P (X > ) P (X > + b) P (X > ) P (X + b) P (X ) F ( + b) F ()
( e λ(+b) ) e λ e λ e λb e λ e λb ( e λb ) F (b) P (X > b) Dett innebär tt snnolikheten tt den sk fortsätt lys i b timmr då vi vet tt den redn lyst i timmr är densmm som snnolikheten tt den lyser i b timmr utn vetskp om hur länge den lyst innn!! På dett vis menr mn tt lmpn glömt tt den levt i timmr redn så det ej påverkr snnolikheten tt den lever i ytterligre b. (Obs Behöver ej läs om Weibullfördelning!) Definition Låt X vr en kontinuerlig stokstisk vribel med täthetsfunktion f(x). Väntevärdet för X är µ E(X) xf(x) dx. Vrinsen för X är σ V (X) (x µ) f(x) dx. äknereglern för väntevärde och vrins v kontinuerlig är desmm som reglern för diskret vribler med undntget tt om X är kontinuerlig så är E(g(X)) g(x)f(x) dx 5