Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols, el. 79 8649, e-pos: lhols@mah.kh.se Tillåna hjälpmedel : Inga. Införda beeckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uräkningar skall vara så uförliga a de är läa a följa. Numeriska svar skall anges med mins vå siffrors noggrannhe. Resula i deluppgif som ine löss får användas i andra deluppgifer. Resulae anslås senas måndagen den 18 juni 21 på Maemaisk saisiks anslagsavla i enréplane, Lindsedsvägen 25, rak fram innanför poren. Tenamen kommer a finnas illgänglig på elevexpediionen ill den 31 augusi 21. Lycka ill! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - När de i de följande hänvisas ill Black Scholes modell avses modellen { db = rb d B = 1 { ds = µs d + σs dw S = s, där r > 1, µ R, σ > sam s > och W är en Wienerprocess. Uppgif 1 För a prissäa opioner med lösenid om vå månader använder man sig av en binomialmodell med e idsseg på en månad. Give a akiens pris vid iden är S kommer akiens pris om en månad vid + 1 a ges av { u S med sannolikhe p, S +1 = d S med sannolikhe 1 p. Akiens förändring över olika perioder är oberoende av varandra. Prissä följande vå opioner om akieprise idag är 12 SEK, u > 1.2, d = 1/u, den riskfria ränan är r per år och d < r < u. Svare får innehålla paramerarna u, d och r. a En europeisk köpopion med lösendag om vå månader och lösenpris 11 SEK. 5 p
fors enamen i 5B1862 1-6-1 2 b En asiaisk köpopion med lösendag om vå månader och lösenpris 125 SEK med ubealning X given av 1 2 X = max S i 125,. 3 i= 5 p Uppgif 2 Den sokasiska processen r löser SDE:n { dr = ard + σdw r = r >, där σ är en posiiv konsan och W är en Wienerprocess. Besäm för a E[r] 3 p b Var[r]. 7 p Uppgif 3 Prissä följande vå europeiska konrak i Black Scholes modell. a För T e konrak som vid T ger, ST < K 1 X = 1{K 1 ST K 2 } = 1, K 1 ST K 2, ST > K 2. b För T 1 e konrak som vid T 2 ger X = ST 1 ST 2 3 p där T 1 < T 2. 7 p Uppgif 4 Anag Black Scholes modell och beraka e F T -mäbar konrak X. Visa a [ ] X Π X = S E QS F, T, S T där E QS [ ] är vänevärde under de må vi får om vi byer må från maringalmåe Q ill Q S på Ω, F T med dq S dq = exp 1 2 σ2 T + σw Q T
fors enamen i 5B1862 1-6-1 3 som Radon Nikodym-derivaa där W Q är en Q-Wienerprocess. Ledning. Om så gäller för T a dq dp = L T på Ω, F T E Q [X F ] = EP [XL T F ]. E P [L T F ] 1 p Uppgif 5 Anag Black Scholes modell med udelningsprocess { < τ D = δ Sτ τ T, där δ, 1 är en konsan och τ, T är en given deerminisisk idpunk. De gäller allså för akieprise vid iden τ a Sτ Sτ = δ Sτ Ange fördelningen för ST. 1 p Uppgif 6 En ränemodell sägs ha affin erminssrukur om priserna på nollkupongsobligaioner kan skrivas p, T = e A,T B,T r. Vi ve a om kora ränan r under maringalmåe Q modelleras som dr = µ, rd + σ, rdw Q, där W Q är en Q-Wienerprocess, och om { µ, r = ar + b σ, r = cr + d, så ges A, T och B, T av { A,T = bb, T 1 2 db2, T AT, T = { B,T + ab, T 1 2 cb2, T + 1 = BT, T = Visa a om r modelleras som dr = θ ard + σdw Q, där a och σ är vå posiiva konaner och θ är en given deerminisisk funkion, så ges de momenana erminsränorna f, T av f, T = re at σ2 2a 2 1 e at 2 + T θse at s ds. 1 p
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik LÖSNING TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL... 1-6-1 Akiens prisuveckling ges av Uppgif 1 12u 2 12u 12 12 12d 12d 2 Ränan per period är R = r/12, alernaiv R = e r/12 1. Den risk-neurala sannolikheen q a akien ska gå upp ges av q = 1 + R d. u d a Risk-neural värdering ger prise vid id = som 2 2 C = 1 + R 2 q k 1 q 2 k max12u 2k 1 11, k k= = 1 + R 2 q 2 [12u 2 11] + 2q1 q 1 = 1 + R 2 q 2 [12u 2 13] + q 2 b Den asiaiska opionens pris ges i princip av samma formel som ovan, men med den skillnaden a dea konrak är vägberoende. Vi får 12 A = 1 + R [q 2 2 max 3 1 + u + u2 125, 12 +q1 q max 2 + u 125, 3 12 +1 qq max 2 + d 125, 3 ] 12 +1 q 2 max 3 1 + d + d2 125, = 1 + R 2 q 2 [41 + u + u 2 125] + q1 q[4u 45] = 1 + R 2 q 2 [4u 2 4] + q[4u 45]
fors enamen i 5B1862 1-6-1 2 Uppgif 2 a SDE:n kan ekvivalen skrivas r = r Vänevärdesagning ger [ E[r] = r E = r arsds + σw. ] arsds + ae[rs]ds. Inför m = E[r] och derivera ovansående ekvaion. { m = am m = r Vi får nu m = E[r] = r e a. b Vi unyjar relaionen Var[r] = E[r 2 ] E[r] 2. För r 2 ger Iôs formel d r 2 = 2rdr + 1 2 2dr2 = 2ar 2 + σ 2 d + 2σrdW. På inegrerad form och efer vänevärdesagning får vi vänevärde av en Iô-inegral är noll E [ r 2 ] = r 2 2aE [ r 2 s ] σ 2 ds. Lå M = E[r 2 ] och derivera ovansående ekvaion. Dea ger { M = σ 2 2aM med lösning Sluligen Alernaiv. SDE:n har lösningen M = r 2 M = E[r 2 ] = r 2 σ2 e 2a + σ2 2a 2a. Var[r] = M m 2 = σ2 1 e 2a. 2a r = r e a + σe a s dw s.
fors enamen i 5B1862 1-6-1 3 Efersom σe a s dw s N, σ 2 e 2a s ds σ 2 = N, 2a 1 e 2a får vi direk E[r] = r e a och Var[r] = σ2 2a 1 e 2a. Vi använder prissäningformeln och de fakum a Uppgif 3 Π X = e rt E Q [X F ] ST = S exp r σ 2 /2 T + σw Q T W Q, där W Q är en Q-Wienerprocess. a Π X = e rt E Q [1{K 1 S T K 2 } F ] = e rt Q K 1 S exp r σ 2 /2T + σw Q T W Q K 2 = e rt Q a 1 W Q T W Q a 2 T = e rt Φa 2 Φa 1, b där a i = ln K i Π X = e rt 2 E Q [ST 1 ST 2 F ] S r σ 2 /2T σ, i = 1, 2. T = e rt2 E Q [ST 1 E[ST 2 F T1 ] F ] { } = ST 2 = ST 1 exp r σ 2 /2T 2 T 1 + σw Q T 2 W Q T 1 = e rt2 E [ Q ST 1 2 E [ Q exp r σ 2 /2T 2 T 1 ] ] + σw Q T 2 W Q FT1 F T 1 [ ] = {E Q exp r σ 2 /2T 2 T 1 + σw Q T 2 W Q FT1 T 1 = e rt2 E Q [ST 1 2 F ] e rt 2 T 1 = e rt1 E Q 2 exp 2r σ 2 /2T 1 + 2σW Q T 1 W Q = S 2 e rt1 exp 2r σ 2 /2T 1 + 1 2 4σ2 T 1 } = e rt 2 T 1 ] F = S 2 e r+σ2 T 1
fors enamen i 5B1862 1-6-1 4 Uppgif 4 Vi ve a Π X = e rt E Q [X F ] och från ledningen a E Q [XL T F ] = E QS [X F ] E Q [L T F ] E Q [X F ] = E QS [X/L T F ] E Q [L T F ], där dq S /dq = L T = exp σ 2 T/2 + σw Q T. Vi har dessuom S T = S exp r σ 2 /2T + σw Q T W Q = e rt s L T S L så Π X = e rt E Q [X F ] = e rt E QS [X/L T F ] E Q [L T F ]. Nu gäller från ovan a e rt /L T = S /S T L och vi ve a L är en Q-maringal, dvs. E Q [L T F ] = L. Dea ger Π X = S E QS [X/S T F ]. Uppgif 5 Lös förs ekvaionen ds = µs d + σs d på inervalle [, τ: Vi får Sτ = s exp µ σ 2 /2τ + σw τ. Sτ = 1 δsτ = 1 δs exp µ σ 2 /2τ + σw τ = 1 δs exp µ σ 2 /2τ + σw τ där vi kan bya τ mo τ på grund av koninuie. Vi löser nu ekvaionen på inervalle [τ, T ] och dea ger oss ST = Sτ exp µ σ 2 /2T τ + σw T W τ = 1 δs exp µ σ 2 /2T + σw T. Allså är ST lognormal fördelad och vi kan skriva ST = e Y, där den sokasiska variabeln Y är Nln1 δs + µ σ 2 /2T, σ T. Vi idenifierar funkionerna Uppgif 6 och ska allså lösa a a, b = θ, c och d σ 2 { A,T = θb, T 1 2 σ2 B 2, T AT, T = { B,T ab, T + 1 = BT, T =.
fors enamen i 5B1862 1-6-1 5 B, T ges av B, T = 1 a A, T = σ2 2 1 e at och vi får ur dea T B 2 s, T ds T θsbs, T ds. ln p,t Vi ve a f, T = vilke i falle med affin erminssrukur blir f, T = r B,T. Unyjar vi a AT, T = BT, T = får vi A,T A, T B, T = σ 2 T at = e Bs, T Bs, T T ds θs Bs, T ds Soppar vi in urycken för B, T och B,T den försa inegralen i A,T får vi efer a ha evaluera och ill slu A, T = σ2 T 1 e at 2 θse at s ds 2a 2 f, T = re at σ2 2a 2 1 e at 2 + T θse at s ds.