Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Relevanta dokument
- 1 - Linjära ekvationssystem. B Ax = b. n obekanta & n ekvationer. B Ortogonalitet. B Linjärt oberoende Ax = 0 L x = 0 spänner upp vektorrum.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

F7 PP kap 4.1, linjära överbestämda ekvationssystem

Föreläsningsanteckningar till Linjär Regression

Repetition DMI, m.m. Några begrepp. egenskap d. egenskap1

EKVATIONER MED KOMPLEXA TAL A) Ekvationer som innehåller både ett obekant komplext tal z och dess konjugat z B) Binomiska ekvationer.

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Fyra typer av förstärkare

Begreppet rörelsemängd (eng. momentum) (YF kap. 8.1)

Linjära ekvationssystem

5.4 Feluppskattning vid lösning av ekvationssystem.

Linjära ekvationssystem

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Väntevärde för stokastiska variabler (Blom Kapitel 6 och 7)

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Informationsåtervinning på webben Sökmotorernas framtid

Något om beskrivande statistik

F15 ENKEL LINJÄR REGRESSION (NCT )

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

En utvärdering av två olika sätt att skatta fördelningen till stickprovsmedelvärden från olikfördelade data - normalapproximation kontra resampling

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Normalfördelningar (Blom Kapitel 8)

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Block 2: Lineära system

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

4.2.3 Normalfördelningen

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

SOS HT Punktskattningar. Skattning från stickprovet. 2. Intuitiva skattningar. 3. Skattning som slumpvariabel. slump.

F9 Hypotesprövning. Statistikens grunder 2 dagtid. p-värden. Övning 1 från F8

Föreläsning 10: Kombinatorik

101. och sista termen 1

Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33

Block 2: Linjära system

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

Orderkvantiteter i kanbansystem

Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

Geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik

R S T. k a fp n a f s a f a f LAPLACETRANSFORMEN. (Enkelsidig) laplacetransform, forts. z. Antag. xt dt. Följaktligen existerar.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system

Lycka till och trevlig sommar!

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Sammanfattning, Dag 1

REGRESSIONSANALYS S0001M

Introduktion till statistik för statsvetare

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket?

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B,

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Begreppet rörelsemängd (eng. momentum)

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Förstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i

Geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

KINESISKA RESTSATSEN och STRUKTURSATSER

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Föreläsning G70 Statistik A

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Föreläsning G04: Surveymetodik

1. Test av anpassning.

Grundläggande matematisk statistik

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Variansberäkningar KPI

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

UPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

Slumpvariabler (Stokastiska variabler)

Oändligtdimensionella vektorrum

Har du sett till att du:

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

F6 PP kap 4.1, linjära ekvationssystem

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Transkript:

Ljära ekvatossystem Ljär Algebra obekata & ekvatoer a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b Ljära ekvatossystem där A -matrs och b -vektor Vktga begrepp Ortogoaltet x T y =, samt Q T Q = I a a a 3 a a a a 3 a A = a 3 a 3 a 33 a 3 b = a a a 3 a b b b 3 b Ljärt oberoede Ax = x = Bas späer upp vektorrum Rag rag(a) = dm(r(a)) Värderum R(A) = { b R m b=ax, x R } Nollrum N(A) = { x R Ax = } 3 4 Exempel : A 3 3-matrs Kolumera A ka lösas b lgger det pla som späs upp av A s kolumer ( uderrum tll R 3 ) Detta rum kallas värderummet tll A, R(A) Lösgara tll Ax = utgör ollrummet tll A, N(A) b = R (A) meda b = R (A) -3 Exempel 5 4 9 kol + kol = kol 3 4 6 R (A) späs upp av t.ex. 5 4 4 5 6

Etydg lösg tll Ax=b Ekvvaleta utsagor Kolumera A utgör bas för R Kolumera A är ljärt oberoede A är ckesgulär A är verterbar Ax = x= det(a) Vad gör ma? Hadräkg Nollställ varje kolum uder huvuddagoale gör samtdgt samma operatoer på högerledet Lös det tragulära systemet med bakåtsubsttuto Överför matrse på tragulär form geom att elmera obekata ur ekvatoera 7 8 Tragulära system Bakåtsubsttuto Ekla att lösa 8 3 Övertragulär U = 5 Udertragulär L = /3 /3 Lös Ux = c där U övertragulär alla dagoalelemet förutsätts x =c /u x = (c - u j x j )/u = -, -,,»U\c as = 9 Två svårgheter ågot dagoalelemet blr byt rader ett dagoalelemet väldgt ltet, aturlgt eller pga. avrudgsfel bra om el. te växer m < välj det största el. kol. Pvoterg Vktgt att pvot-elemete V vll ha så stort pvot-el. som möjlgt (beloppet) Byt rader matrse (och högerledet) för att orda detta. (Pvotera) Geom detta blr alla multplkatorer m k = a k /a kk tll beloppet <

Permutatoer Att låta två rader byta plats ka utföras med matrsmultplkato frå väster P * A = P*A - 3-6 3 3-6 3 3 = - 3 3 5 3 5 E ehetsmatrs med omkastade rader Permutatosmatrser Ekel - byter två rader E ekel permutatos matrs är symmetrsk P = P T = P - E produkt av permutatosmatrser är e permutatosmatrs P = P P P Multplkato med P frå höger permuterar kolumer 3 4 Pvotera te... LU-faktorserg är matrse är Dagoaldomat a j j =, j a, =,,K, symmetrsk och postvt deft Förekommer t.ex. vd dskretserg av radvärdesproblem för dff.ekvatoer Gausselmato med partell pvoterg (på ckesgulär matrs) PA = LU Lös PAx = Pb LUx = Pb Ly = Pb Ux = y 5 6 Ux = y 8 - -3-6 3-4 7 -/3 -/3 L A y = x = -7 43 b b -7 43 y = -7 LUx = b Ly = b Ux = y U 8 - -3 5 x = y -7 x = LUx = b Ly = b Ux = y 7 8

Samma A - olka b Komplextet / Kostad LU-uppdelge återaväds LU-faktorserge 3 /3 mult. & addtoer Framåt/bakåt substtutoe för att beräka x åtgår - addtoer och multplkatoer (+ e dvso) för obekata blr det.5 ( -) totalt c:a Normer E vektororm är ett mått på lägde hos e vektor och uppfyller x, för alla x x = omm x = αx = α x x+y x + y 9 Olka vektorormer Fele p = p x = ( x ) /p! -orm! -orm x = x = x = ( x ) / = För e gve vektororm deferas ^ absoluta felet x = x - x relatva felet ^ x x - x = x x! -orm x = max x Matrsorm Matrsormer Härleds frå vektorome A = max Ax x E såda matrsorm satsferar A, för alla A A = omm A= αa = α A A+B A + B 3! -orm! -orm! F-orm A = max a A = max a A = ( a ) / F!-orme : rote ur största egevärdet tll A T A = största sgulära värdet j j= = = j j= j j 4

Egeskaper (p-ormer) A > om A αa = α A för varje skalär α A+B A + B AB A B Ax A x för varje vektor x Kodtostal Det exakta systemet, har de exakta lösge x E störg b ger e störg x A(x + x) = b + b Relatva störge lösge blr x x A A - b b 5 6 Egeskaper Jmfr med determat cod(a) = A A - cod(a) A sgulär cod(a) det(a) = A sgulär cod(i) = cod(p) = ehetsmatrse P permutatosmatrs det(αi ) = α godtycklgt ltet för α < cod(αi ) = cod(i ) = cod(αa) = cod(a) α skalär max d cod(d) = m d D dagoalmatrs 7 8 Välkodtoerad matrs Illa-kodtoerad matrs A \ b = x........ A \ b = x.......»orm(a) as =.68»cod(A) as =.684 A \ b = x....... A \ b = x........»orm(a) as =.»cod(a) as = 4.e+4 Lte ädrg b ger lte ädrg x 9 Lte ädrg b ger stor ädrg x 3

Slutsats! Ädrge -4 högerledet förstorades tll e ädrg av storleksordge!a är ära sgulär - stort kodtostal Oavsett umersk metod så kommer v te frå detta! Äve e väl-kodtoerad matrs ka förstöras av e dålg algortm Resduale r = b - Ax ^ Lte resdual garaterar te korrekt lösg Korrekt lösg ka ha stor resdual A =....»cod(a) = 4.e+3 3 3 Lte resdual Stor resdual b =.. x = b3 = x3 = - x =»orm(x-x)/orm(x) =»orm(b-a*x) =.e-3 x4 = -»orm(x3-x4)/orm(x3) = 7.7e-4»orm(b3-A*x4) =.44 33 34 Egeskaper som ka utyttjas Symmetrska pos.def. system Symmetr t.ex. A T =A A ka Cholesky-faktorseras A = LL T Pos.deft x T Ax >, alla x Bad t.ex. Kräver te pvoterg för um. stablltet Bara halva matrse behövs Gleshet t.ex. (se Matlabs sparse) x x x x x 3 /6 operatoer (hälfte mot LU) 35 36

Badsystem Mycket lkt valg LU lagrar bara el kortare loopar jmf med Gaussel. pvoterg ka öka badbredde (max dubbelt) Glesa system PDE ger upphov tll glesa system som ofta löses bäst med teratva metoder Pvoterg behövs ofta te för trdagoala, för dessa är ofta atge dagoaldomata eller pos.def Faktorserge O(β ) β-badbredde 37 38