Förberedande kurs i matematik

Förberedande kurs i matematik vid Chalmers tekniska högskola Rolf Petterson Göteborg 04

ii

Innehåll Algebraiska räkningar. Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal.............. Division av (reella) tal. Bråkräkning....................... 4.3 Lineära ekvationssstem. (Ekvationer av första graden med två eller flera obekanta)........................................ 7.4 Absolutbelopp................................... 9.5 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal.......................6 Imaginära tal. Komplea tal............................ 3.7 Andragradsekvationer. Faktoruppdelning av andragradspolnom....... 4.8 Faktorsatsen. Ekvationer av gradtal större än två................ 6.9 Rotekvationer.................................... 7.0 Ekvationssstem av högre grad.......................... 8. Olikheter...................................... 9. n:te roten ur ett reellt tal. Potenser med rationell eponent............3 Allmänna potenser (Potens- och eponentialfunktioner).............4 Logaritmer..................................... 4.5 Summabeteckning................................. 8.6 Aritmetiska och geometriska talföljders summor................. 8 Trigonometri 3. Vinkelmätning................................... 3. Rätvinkliga trianglar................................ 3.3 De trigonometriska funktionerna för godtckliga vinklar............ 36.4 Ekvationerna cos v = a, sin v = b och tan v = k................. 40.5 Snedvinkliga trianglar. Sinus- och cosinusteoremen. Areasatsen......... 43.6 Additions- och subtraktionsformler för de trigonometriska funktionerna... 44.7 Ytterligare trigometriska formler......................... 46.8 Några trigonometriska ekvationer......................... 48 3 Analtisk geometri 5 3. Avståndet mellan två punkter........................... 5 3. Räta linjen..................................... 5 3.3 Cirkeln........................................ 55 3.4 Ellipsen....................................... 57 3.5 Hperbeln...................................... 59 3.6 Parabeln....................................... 6 iii

3.7 Andragradskurvor................................. 6 3.8 Områden i -planet definierade med olikheter................. 64 4 Funktionslära 65 4. Inledning...................................... 65 4. Derivatans definition................................ 66 4.3 Enkla deriveringsregler. De elementära funktionernas derivator......... 67 4.4 Sammansatta funktioner. Kedjeregeln....................... 69 4.5 Implicit derivering................................. 73 4.6 Tangent och normal till en kurva......................... 74 4.7 Maimi- och minimiproblem............................ 75 4.8 Några gränsvärden. (Obestämda uttrck)..................... 77 4.9 Något om asmptoter och kurvkonstruktioner. (Rationella funktioner)..... 80 iv

Kapitel Algebraiska räkningar. Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem: (kommutativa lagar) a + b = b + a och a b = b a = ab, (associativa lagar) (distributiva lagen) (a + b) + c = a + (b + c) och (ab) c = a (bc), a(b + c) = ab + ac, varav (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Vidare är a = a = +a, ( ) a = a = +( a), ( a) b = a ( b) = ab, ( a)( b) = +ab = ab, t ( ) ( ) = +, samt (a + b) = a b och (a b) = a + b = b a. Potenser med heltalseponenter definieras: a 0 = (för a 0), a = a, a = a a,..., a n = a a a (produkten av n stcken faktorer a), varav följer potenslagarna: a m a n = a m+n, (ab) n = a n b n och (a n ) m = a n m. Då ( ) =, gäller att: ( a) = a, ( a) = a, ( a) 3 = a 3 och allmänt ( a) n = { +a n om n = m = jämnt heltal a n om n = m + = udda heltal. Eempel: Med räknereglerna ovan kan man förenkla en del algebraiska uttrck: a) 0m 9 + 5 + 7m + 4 m = (0 + 7 )m + ( 9 + 5 + 4) = 6m + 0 = 6m b) m [a b (c m)] = m [a b c + m] = m a + b + c m = b + c a

c) 3abc a 3 bc ( 4b ) = 3 ( 4) a a 3 b b b c c = a 4 b 4 c 3 d) (3 3 z) 4 = 3 4 ( ) 4 ( 3 ) 4 z 4 = 8 8 z 4 e) ( + 3)(4 6 + 9) = 4 + ( 6) + 9 + 3 4 + 3 ( 6) + 3 9 = = 8 3 + 8 + 8 + 7 = 8 3 + 7 Övningseempel: Ö. Förenka a) 0t 4u + 7v t 8v + 4u 8v u b) 70a + 0c + 33 + c 8a 40a 9c + 4 Ö. Förenkla a) m + p (m + p r) b) 3c (a + c 5b) (b a) c) 7a b [(3a c) (b 3c)] Ö3. Beräkna a) 5 b) 5 c) ( 3) 4 d) ( 4) 3 e) 00 f) 00 g) 3 0 h) ( 3) 0 Ö4. Förenkla a) z 7 0z b) a b 4 c ( 3ac ) 9abc c) p qr pq 7 s ( 7qr 3 ) Ö5. Förenkla a) (3 ) 3 b) (4ab c 3 ) ( a b) 3 c) (a ) p (a p b 3p ) b p Ö6. Omforma (genom att multiplicera ihop paranteserna) a) ( )( + ) b) ( )( + )( ) c) (a + )(a 4 a 3 + a a 3 + 4 ) d) ( + 3)( 3 ) Följande viktiga formler bör man kunna utantill: { (a + b) = a + ab + b kvadreringsreglerna: (a b) = a ab + b = (b a) kuberingsreglerna: { (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 konjugatregeln: a b = (a + b)(a b) = (a b)(a + b) faktoruppdelningarna: { a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b )

OBS: a + b (liksom a + ab + b och a ab + b ) kan ej faktoruppdelas (med reella tal). En generalisering av formeln för a 3 b 3 är allmänna konjugatregeln. a n b n = (a b)(a n + a n b + a n 3 b + + a b n + b n ) som visas genom ihopmultiplicering av parenteserna i högra ledet. Eempel: a) (3a + 4b) = (kvadreringsregeln) = (3a) + 3a 4b + (4b) = 9a + 4ab + 6b b) (3 + )( 3) = ( + 3)( 3) = (konjugatregeln) = ( ) 3 = 4 9 c) ( ) 3 = (kuberingsregeln) = 3 3 + 3 () () 3 = 3 6 + 8 3 d) Faktoruppdelning: 4 9a 4 = () (3a ) = (konjugatregeln) = = ( + 3a )( 3a ) e) Faktoruppdelning: 4 5 8 3 = (alla gemensamma faktorer brtes ut) = = 3 (6 9) = 3 ( 6 + 9) = 3 ( 3) f) Faktoruppdelning: 4 + 8 6 = ( 3 + 8 6 ) = [ 3 + ( ) 3 ] = = (enligt formeln för a 3 + b 3 ) = ( + )[ + ( ) ] = = ( + )( + 4 4 ) Ö7. Utveckla a) (3a 4b) b) (a 3 + b ) c) (m 4 + 4) + (m 4 4) Ö8. Förenkla a) (6 )( + 6) b) (a + )(a ) c) ( 3 + 3)( 3 3)( 6 + 9) Ö9. Utveckla a) ( + 3) 3 b) (3 + ) 3 c) ( 4 6) 3 Ö0. Uppdela i faktorer a) a 4 b) 9 4 5 c) 8 + 8 + d) 4 +4 3 4 3 e) 4 f) 3a 3 +8b 3 g) 6 h) 54 7 6 5 Med polnom (i ) menas uttrck av formen p() = a n n +a n n + +a +a 0 där a n, a n,..., a och a 0 kallas koefficienter för n, n,..., resp. 0 (= ). Om a n 0 så säges p() vara av graden n. Eempel: Kvadratkomplettering (i andragradspolnom) 6 + = 3 + = 3 + 3 3 + = (kvadreringsregeln) = = ( 3) 9 + = ( 3) +. (Om man sätter 3 = t, så fås ett uttrck t + utan t-term, dvs utan förstagradsterm). Eempel: Bestäm största värdet av f() =. Lösning: f() = = (brt ut koefficienten för ) = ( 6 + ) = = (kvadratkomplettera) = [( 3) + ] = ( 3) 4. Då ( 3) 0 för alla reella, så antar f() = ( 3) 4 sitt största värde = 4 för = 3. 3

Ö. Kvadratkomplettera a) + 4 + b) 4 36 + 00 c) 3 Ö. Bestäm minsta värdet av a) + b) 3 + c) 4 8 + d) 4 + 8 + Ö3. Bestäm största värdet av a) 7 + 4 b) + 5 Koefficienterna i utvecklingen av (a + b) n kan bestämmas med hjälp av Pascals triangel: n = 0 3 4 5... 3 3 4 6 4 5 0 0 5 o.s.v. Ett tal i triangeln erhålles genom addition av de två tal, som står närmast snett ovanför. Eempel: a) (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a b +4ab 3 +b 4 b) (a b) 4 = a 4 4a 3 b+6a b 4ab 3 +b 4 c) (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b + 0a 3 b 3 + 5a b 4 + 6ab 5 + b 6 Ö4. Utveckla a) ( ) 5 b) ( ) 7 c) ( + a ) 5 d) ( 3z) 6. Division av (reella) tal. Bråkräkning Med bråket = a b = a/b = a : b menas det (reella) tal, som satisfierar ekvationen b = a, om b 0. För bråkräkning gäller bl.a. följande enkla regler: (förkortning och förlängning) c a c b = a b = a c b c (för c 0) (multiplikation) a b c = ab c, a b c = ac b, a b c d = ac bd, (division; dubbelbråk) a/b c/d = a b : c d = a b d c (addition och subtraktion) varav följer a c + b c = a + b, c 4 a c b c = a b c

OBS: a + b är ej lika med a + b. a b ± c d = a d b d ± b c ad ± bc = b d bd (Alltför vanligt teknologfel att tro motsatsen). Om t.e. a = b =, så är nämligen medan a + b =. Ej heller är (i allmänhet) a b Potenser med negativa eponenter definieras: a + c lika med. (Giv eempel!) b + c a + b = a = a, a = a,..., a n = a n, a m a n = am n = a n m varav följer Eempel: a + b c a) a b = a b = b a och c ( a) ( ) = b ( ) a b c = a (b c) = = a b, varav följer att a b c a c b = (a b) c = b) 304 7 3 5 4 53 = = 0 3 0 7 3 =,5 3 3 c) (förenkla) = ( ) = ( ) = d) (förenkla) ( a b + b a + ) : ( b b ) (a + b + ab) = a : (a b ) ab a = b = (a + b + ab) a b ab (a b ) = (a + b) a (a + b)a = (a + b)(a b) a b 5 e) (förenkla) 3 + 3 + = (faktoruppdela nämnarna) = 5 = ( ) 3 3 + = (minsta gemensamma nämnare är ( + )( ) 3 (+)( )) = 5 3( + ) ( + )( ) ( ) 3( + ) 3 ( + )( ) = (5 + 5) ( ) (8 + 6) 3 ( + )( ) = 5 + 9 + 6( ) (3 + ) 3 ( + )( ) 3 = = 5 9 6( 3 ) Ö5. Beräkna a) 4 ( 3 6 ) b) ( + 3) ( : 4 ) 3 Ö6. Beräkna a) b) ( 3) 3 c) 5 5

Ö7. Skriv som potenser av a) /64 b) 6 3 / 0 c) 8 3 /3 5 Ö8. Förenkla a) 6a7 b 3 c 6ab 3 c 3 b) d) + 0 8 4 3 n p 36 n+ p c) a + a Ö9. Förenkla a) (a + b)/(b a ) b) ( 4 4 )/(4 4 + ) c) ( ) 3 /( ) 5 d) (b 8 9)/(b 8 6b 4 + 9) e) (a 3 b 3 )/(b a) f) (a 3 + )/(a a + a 3 ) g) ( 4 6)/(( + )( 3 8)) Ö0. Förkorta (om möjligt) a) (a 3 + b 3 )/(a + b) b) (a 4 b 4 )/(a b) c) (a 4 + b 4 )/(a + b) d) (a 5 b 5 )/(b a) Ö. Förenkla a) ( ) ( : + ) c) [ + + ] [ + : + + Ö. Skriv som ett bråk (på så enkel form som möjligt) a) d) 3 + + 3 b) + + 4 3 8 + 8 + 8 4 b) ( ) ( ) / + 4 3 ] d) [ /a b /b a + b/a + a/b c) + + ] [a + 4b ] : ab Enligt definitionen på (reellt) bråk har förstagradsekvationen b = a den entdigt bestämda lösningen = a b för b 0. Eempel: Lös ekvationen 5 + 7 4 4 3 + = 3 7 Lösning: Multiplikation med minsta gemensamma nämnaren 6( 7) 0 ger ekvationen 3(5 + 7) ( 7) = 6(3 + ) d.v.s. 5 + 4 + 4 = 8 + 66 eller (5 4 8) = 66 4 d.v.s. 7 = 3 med lösning = 3 7 = 43 7 Ö3. Lös ekvationen a) 3 7 = 3 c) + 3 + b) 9 + 6 = 5 ( + 3) 5 0,05 0,4 0,5 + 0 = 0, d) [ + ] : [ + ] = Ö3. En fader, som är 33 år, är 66 gånger så gammal som sin son. När blir han endast 6 gånger så gammal? 6

Ett rationellt tal kan skrivas på formen p, där p och q är heltal och q 0. Ett q rationellt uttrck (i ) kan skrivas på formen p(), där p() och q() är polnom q() och q() 0, d.v.s. q() ej är identiskt noll. Om gradtalet för p() är större än eller lika med gradtalet för q(), kan p() divideras med q(), så att p() r() = k() +, d.v.s. p() = k() q() + r(). q() q() k() kallas kvot(polnom) och r() restpolnom. Eempel: Dividera 3 3 + 8 + + 3 Lösning: så långt som möjligt. + ( = k()) (q() =) + 3 3 3 + 8 + ( = p()) ( 3 4 + 6) + + ( + 3) 4 ( = r()) vilket ger 3 3 + 8 + + 3 = + + 4 + 3 Ö4. Utför följande divisioner: a) d) 4 + 3 7 + 6 + 4 + 3 4 b) 4 + 4 e) 3 3 + 8 + + c) 3 + 8 7 + 4 + 5 3 f) 34 3 3.3 Lineära ekvationssstem. (Ekvationer av första graden med två eller flera obekanta) Vid lösning av ekvationer med flera obekanta söker man genom elimination skaffa sig en ekvation, som endast innehåller en obekant. Eempel: Lös ekvationssstemet { 3 + = 5 7 + 3 = 7

Metod : (Substitutionsmetoden): Den första ekvationen ger = (5 )/3, som insättes (substitueras) i den andra ekvationen. Då fås 7(5 )/3 + 3 =, d.v.s. 35 4 + 9 = 3 eller 3 = 5, varför = 3/5 = 6,4 och = (5 )/3 = 3/5 =,6. Metod : (Additionsmetoden): Multiplicera (för att eliminera ) de givna ekvationerna med 7 resp. ( 3) och addera: { + 4 = 35 9 = 3 5 = 3 Härav fås = 3/5 = 6,4, som insatt i en av de givna ekvationerna (vilken som helst) ger = 3/5 =,6. Svar: =,6 och = 6,4 OBS: Man bör alltid kontrollera svaret genom insättning i de givna ekvationerna! Anmärkning. I eemplet ovan gäller att: { { 3 + = 5 7 + 3 = 3 + = 5 5 = 3 där det högra ekvationssstemet är triangulärt, d.v.s. koefficienterna för och bildar en triangel. Anmärkning. Den lineära ekvation a + b = c betder geometriskt en rät linje. Ett sstem av två sådana lineära ekvationer har alltså a) en, b) ingen eller c) oändligt många lösningar beroende på om de räta linjerna är a) skärande b) parallella (och olika) eller c) sammanfallande. { { + 3 = 0 3 = 0 Ö5. Lös ekvationssstemen a) b) = 6 + = 5 { { { + 3 = 3 = 3 5 + = 3 c) d) e) 7 + 5 = 4 9 6 = 8 0 + = 6 { { 5 + 4 = 59 / + / = 5/6 6 + 5 + z = 45 f) g) h) 5 + z = 3 35 = / / = /6 3 7 + z = 6 + z = 0, + + z = 3 + + z = 3 i) + z = 9,9 j) + z = k) 3 + + z = 7 3 + + 8z = 30,4 3 + z = 3 5 + 4 + z = 0 8

+ + z = 0 l) + + z = 3 + 3 + z = 6 + 4z = 3 m) 3 + 6 + 5z = 7 4 + 6z = 5 l) z + w = 5 + + 3z + w = 3 + + z + w = 7 3 z + w = 8 Ö6. En person som tillfrågades om sin ålder svarade: För 9 år sedan var jag 6 gånger så gammal som min son, men om år blir jag blott 4 gånger så gammal. Hur gammal var han?.4 Absolutbelopp Definition: = { om 0 om < 0 OBS: 0 för alla. Av definitionen följer att { a för ( a) 0, d.v.s. för a a = ( a) = a för ( a) < 0, d.v.s. för < a Geometriskt kan a uppfattas som avståndet mellan punkterna och a på tallinjen: a a OBS : a = a och a = b a = ±b Olikheten a b kan skrivas utan beloppstecken: b a b, d.v.s. a b a + b, (om b 0). Graferna till = resp. = a är: = = a a Eempel: a) Enligt definitionen är 3 = ( 3) = +3, t = 3 < 0. 9

b) Ekvationen + = 5 kan skrivas ( ) = 5. Med avståndsbetraktelse fås att rötterna till ekvationen är = 3 och = 7. ( 7) ( ) = 5 3 ( ) = 5-8 -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 c) Olikheten + < 3 kan skrivas 3 < + < 3, d.v.s. 4 < <. Eempel: Lös ekvationen 3 + + = 5. { 3 för 3 Lösning: Vi har 3 = ( 3) för < 3 { + för + 0, d.v.s. / och + = ( + ) för < / Vi måste alltså studera 3 olika fall: Fall : För 3 fås ekvationen ( 3) + ( + ) = 5, d.v.s. 3 = 7, som ger = 7/3. Men 7/3 < 3, d.v.s. 7/3 ligger ej i det rätta intervallet, varför = 7/3 ej är en rot till den givna ekvationen. Fall : För / < 3 fås ekvationen ( 3) + ( + ) = 5, som ger =. = ligger i intervallet / < 3 och är alltså en rot. (Pröva genom insättning i den givna ekvationen!) Fall 3: För < / fås ( 3) ( + ) = 5, som ger =. = ligger i rätt intervall och är en rot. Svar: Ekvationen 3 + + = 5 har rötterna = och =. Tillägg (till eemplet ovan): Om vi vill rita grafen till = 3 + +, så skriver vi ( 3) + ( + ) = 3 för 3 = ( 3) + ( + ) = + 4 för / < 3 ( 3) ( + ) = 3 + för < / Man ser av grafen för = 3 + +, att t.e. ekvationen 3 + + = saknar lösning. Ö7. Bestäm a) 7 b) 7 c) 0 Ö8. Lös ekvationerna a) + = b) 3 = 7,5 c) + 4 = 0 d) 3 = 5 e) = 0

Ö9. Angiv (utan beloppstecken) de, som satisfierar a) b) + 3 < 5 c) < 3 d) + 0 Ö30. Lös ekvationerna a) + + = 4 b) + + = 3 c) 5 + 3 + 5 = 0 d) 5 + 3 + 5 = 0.5 Kvadratroten ur ett positivt reellt tal Vi observera först att = 0 för alla reella tal t, om t.e. = t < 0, så är = ( t) = ( ) t = +t > 0, t t = > 0. Alltså har ekvationen = b reella lösningar endast om b 0. Definition: Med b, där b 0, menas det icke-negativa, reella tal, vars kvadrat är b, d.v.s. ( b) = b, om b 0. OBS: b > 0 för b > 0. Eempelvis är 9 = +3. Ekvationen = b har för b > 0 två olika reella rötter: = b och = b t = ( b) = b (enligt definition), men även = ( b) = ( ) ( b) = +( b) = b. Man skriver = b, = ± b, för b 0 (Anmärkning: För b = 0 är = = 0 en dubbelrot). Eempelvis har ekvationen = 9 rötterna, = ± 9 = ±3, d.v.s. = 3 och = 3. Av definitionen på b följer vissa räkneregler:. a = a för alla reella a, d.v.s. a = a om a 0 och a = a om a < 0,. a b = ab och a/ b = a/b, för a och b > 0. En viktig tillämpning av reglerna och är 3. a b = a b för b 0, alla a Ett bråk med rotuttrck i nämnaren kan omformas med reglerna 4 eller 5:

4. a = a a, t = a a a a = a a ( a) = a, 5. a b = a + b a b och a b = a + b. a b Reglerna 5 kallas förlängning med konjugatuttrck; ( a b) kallas konjugatuttrcket till ( a + a b b). T.e. visas = a + b ( a + b)( a b) = a b a b (konjugatregeln) = ( a) ( b) = för a b, a och b > 0. a b OBS: I allmänhet är a + b a + b, (alltför vanligt teknologfel att tro motsatsen), t t.e. a = b = ger a + b = medan a + b =. På samma sätt är i allmänhet a b a b. Eempel: a) Ekvationen 4 3 = 0, d.v.s. = 3/4 har rötterna, = ± 3/4 = ± 3/ b) (skriv med heltalsnämnare): 5 + = [multiplicera med konjugatuttrcket] = 6 5 6 = (5 + 6)(5 6) = 5 6 5 ( 6) = 5 6 5 6 = 5 6 9 Eempel: a) ( 3) = 3 = 3 b) För a > 0, b > 0 är a b = a b c) För a < 0, b > 0 är a b = ( a) b = ( a) b = a b b d) För a > 0, b > 0 är a a = a b a = ab e) För a < 0, b < 0 är a f) (förenkla): b a = ( a) b a = ( a) b a = a b a = ab 3 = 3 ( 3) = 3 3 3 = 3 för > 3. OBS: 3 är definierat för 3 0, d.v.s. 3, men / 3 endast för > 3]. { g) + = 3 ( + ) = + = + = / + för > 0 / + för < < 0. OBS: Var uppmärksam på tecknet vid inmultiplicering i och utbrtning ur rotuttrck!!! Ö3. Förenka a) 0,49 b) 90000 c) 6 75 d) 0/ 5 e) 3 f) 4 + 8 + 6 3 + 64.

Ö3. Lös ekvationen a) 5 = 0 b) 5 = 0 c) 9 4 = 0 d) 6 6 = 0 e) = 0 Ö33. Skriv med heltalsnämnare a) / 6 b) 3/ c) /( 3+ ) d) /( 3) e) /( 5) f) ( 6 3)/( 6 + 3) Ö34. Förenkla (och angiv definitionsmängd): a) + 4 + 4 b) / c) ( ) / d) ( 9)/ 9 e) / 3 f) 3 + /.6 Imaginära tal. Komplea tal Ekvationen = b saknar reella rötter, om b < 0. Däremot har den imaginära (= icke-reella) rötter. Sätt b = c. Ekvationen = c har för c > 0 två olika (rent) imaginära rötter = i c och = i c, där i =, d.v.s = c, = ±i c, för c > 0. Man kan också (något oegentligt) skriva: = c, = ± c = ±i c, för c > 0. Eempel: + = 0, d.v.s = ger, = ± = ±i = ±i 3 Ö35. Lös ekvationerna a) = 4 b) 3+5 = 0 c) 9+ = 0 d) 9 = 0 e) ( ) = 9 f) ( + ) + 4 = 0 g) 4 = 6 (sätt = z) Ett komplet tal kan skrivas på formen u + i v, där u och v är reella tal och i är den imaginära enheten, som satisfierar ekvationen: i =. u + i v är reellt om v = 0, imaginärt om v 0 och rent imaginärt om u = 0, v 0. Räknereglerna för reella tal gäller också för komplea tal, (med tilläggsregeln: i = ). Eempel: 3 + 4i = 3 4i 3 4i = [konjugatregeln] = (3 + 4i)(3 4i) 3 (4i) = = 3 4i 9 6i = 3 4i 9 + 6 = 3 4i = 3 5 5 i 4 5 Ö36. Skriv på formen u + iv a) (3 + i) ( 4i) b) (3 + i)( 4i) 3

c) (3 4i) d) /( + i) e) /( 4i) f) (3 + i)/( 4i) g) /(3 + i) + /( 4i).7 Andragradsekvationer. Faktoruppdelning av andragradspolnom En andragradsekvation a +b+c = 0 kan, då a 0, skrivas på normalform: + b a + c a = 0. En andragradsekvation på normalform, + p + q = 0, kan lösas genom kvadratkomplettering: + p + ( p) (p) ( p) (p) + q = 0, d.v.s. + = q, varför + p ( = ± p) q. Andragradsekvationen + p + q = 0 har rötterna, = p ( ± p) q. Dessa rötter och är ) reella och olika, om ( p) q > 0, ) reella och lika, om ( p) q = 0, 3) imaginära och olika, om ( p) q < 0. OBS: Ekvationen + p = 0, för q = 0, har en rot = 0 (och = p). Eempel: a) Ekvationen + 6 + 5 = 0 har rötterna, = 3 ± ( 3) 5 = 3 ± 9 5 = 3 ± 4 = 3 ± d.v.s. = 3 + = och = 3 = 5 b) Ekvationen 6 + 3 4 = 0 kan skrivas 3 4 3 = 0, som har rötterna, = 3 ( 8 ± 3) 3 + 8 = 3 9 8 ± 64 + 3 = 3 9 + 96 8 ± = 3 64 8 ± 05, d.v.s = (3+ 05)/8 8 och = (3 05)/8. c) Ekvationen + 6 = 4 kan skrivas 4 + 6 = 0 med lösning, = ± 4 6 = ± = ± i d.vs. = + i och = i Ö37. Lös ekvationerna a) + 3 4 = 0 b) 3 + = 0 c) = 3 + 4

d) 3 + 7 = 0 e) 4 + 9 = f) 5 + 3 = Ö38. Lös ekvationerna a) + + = 0 b) 5 + 3 + = 0 c) 3 + = 3 Ö39. Lös ekvationerna a) + 3 = 4, (multiplicera med ) b) + 9 = c) 3 + = Ö40. Lös i följande ekvationer ut uttrckt i : a) 3 + 5 = b) + 3 0 + + 5 = 0 c) 3 + 3 + = 0 d) + 5 + = 8 3 Om ekvationen + p + q = 0 har rötterna och, så kan polnomet + p + q faktoruppdelas: + p + q = ( )( ). Anmärkning: Om (p/) q < 0, så är och icke-reella, och i så fall kan + p + q ej faktoruppdelas med reella tal. (Däremot kan + p + q alltid faktoruppdelas med komplea tal). Av likheten + p + q = ( )( ) = + = = ( + ) + fås följande samband mellan rötter och koefficienter till en andragradsekvation: + = p och = +q, om och är rötterna till + p + q = 0. Eempel: Faktoruppdela 3. Lösning: 3 = [brt ut koefficienten för ] = ( 3) ( + 3. Lös först 3) ekvationen + 3 3 = 0. Man får = /3 och = (visa detta!). Då är 3 = ( 3) ( 3) ( + ) en faktoruppdelning. Den kan även skrivas ( 3)( + ). Ö4. Faktoruppdela (med reella tal) a) + 6 b) 8 6 c) d) + + Ö4. Angiv en andragradsekvation med rötterna a) och 5 b) och 3 c) + 5 och 5 d) + i och i Ö43. Härled sambanden mellan rötter och koefficienter utgående från formeln, = p/ ± (p/) q. 5

En fjärdegradsekvation, som saknar och 3 -termer, a 4 + b + c = 0, kan med substitutionen = z överföras till en andragradsekvation (för z), az + bz + c = 0. Om denna andragradsekvation har rötterna z och z, så har den ursprungliga fjärdegradsekvationen rötterna, = ± z och 3,4 = ± z, t = z. Eempel: 4 0 + 64 = 0. Sätt = z. Då fås z 0z + 64 = 0 med rötter z, = 0 ± 00 64 = 0 ± 6, d.v.s. z = 6 och z = 4. = z = 6 ger, = ± 6 = ±4 och = z = 4 ger 3,4 = ± 4 = ±, d.vs. rötterna till 4 0 + 64 = 0 är 4, 4, och. OBS: En fjärdegradsekvation har alltid fra rötter, (som kan vara olika eller lika). Ö44. Lös ekvationen a) 4 7 + = 0 b) 5 74 + 4 = 0 c) 4 = 0 d) 4 = 7 + 4 e) 6 4 = 7 + 3 Anmärkning: Flera olika tper av ekvationer (t.e. rot-, eponential- och trigonometriska) kan i vissa fall med lämpliga substitutioner överföras till andragradsekvationer. Ö45. Lös ekvationerna a) 3 + + 8 = 0, (sätt = z) b) 3 = 4 3, (sätt 3 = z) c) + 6 =, (sätt = z)..8 Faktorsatsen. Ekvationer av gradtal större än två. Faktorsatsen: Om p() är ett polnom i och p( ) = 0, d.v.s. om är en rot till polnomekvationen p() = 0, så är ( ) en faktor i p(), d.v.s. p() = ( ) q(), där q() är ett polnom med en enhet lägre gradtal än p(). Eempel: Lös ekvationen 3 9 + 0 = 0. Lösning: Efter prövning (av t.e. 0, ±, ±,...) finner man att = är en rot, t 3 9 + 0 = 8 8 + 0 = 0. Enligt faktorsatsen är då 3 9 + 0 delbart med =. Metod : S.k. lång division med ( ) (Se paragraf.) ger 3 9 + 0 = = ( ) ( + 5). (Genomför räkningarna!). Metod : Ansätt 3 9+0 = ( )(a +b +c). Man ser direkt (genom multiplicering av parenteserna i högra ledet), att a = och c = 5. Då är 3 9+0 = ( ) ( +b 5) = 6

3 + b 5 b + 0 = 3 + (b ) (5 + b) + 0, varav fås b =, (vid jämförelse av första och sista ledet). Vi har alltså 3 9 + 0 = ( )( + 5) = 0, där =. Ekvationen + 5 = 0 ger,3 = ± + 5 = ± 6. Svar: Rötterna är =, = + 6 och 3 = 6. Anmärkning: En tredjegradsekvation har tre rötter, (lika eller olika). Eempel: Faktoruppdela (med reella tal) 3 3 + 6 4. Lösning: Ekvationen 3 3 + 6 4 = 0 har en rot =. Man finner [genom division med ( )] att 3 3 + 6 4 = ( )( + 4). Ekvationen + 4 = 0 har imaginära rötter (visa detta!), varför polnomet + 4 ej kan tterligare faktoruppdelas med reella tal. Svar: 3 3 + 6 4 = ( )( + 4) Eempel: Lös ekvationen ( 7) = 0. Lösning: Först löses ekvationen 7 = 0, som har rötterna, = ±. Den givna ekvation, som är av fjärde graden, skall ha fra rötter. Ekvationen kan skrivas: ( 7)( 7) = 0, varav inses att 3 = = + och att 4 = =. Svar: Rötterna är +, +, och (dubbelrötter). Ö46. Lös ekvationerna a) 3 + 3 + = 0 b) 3 5 + 6 = 0 c) 3 + 4 + + 4 = 0 d) 6 + 3 5 3 = 0 e) 4 + 3 + 4 = 0 f) 3 + 8 3 = + 4 Ö47. Lös ekvationerna a) ( ) 3 = 0 b) 3 = 0 c) ( + ) 3 = 0 d) ( 3 + ) = 0 Ö48. Faktoruppdela (med reella tal): a) 3 5 + 6 b) 3 + 7 + + c) 3 + 4 + + d) 6 + 3 5 3 e) + 4 3 4 8 6.9 Rotekvationer En rotekvation är en ekvation, där den obekanta storheten förekommer under rotmärke. En sådan ekvation kan (ibland) lösas med bortskaffande av rotmärket genom en eller flera kvadreringar, (eventuellt efter överflttning av vissa termer). 7

OBS: Den kvadrerade ekvationen kan ha flera rötter än den ursprungliga rotekvationen. Prövning av rötterna är därför nödvändig! Man har nämligen att q() = p() (q()) = p(), men att (q()) = p() q() = ± p(). Eempel: Lös ekvationen + + 5 =. Lösning: Ekvationen kan skrivas + 5 =. Kvadrering ger +5 = ( ) = 4 4 +, d.v.s. 3 4 4 = 0, som löses. Man får = och = /3. Nu måste prövning ske genom insättning i den givna ekvationen, (eller (bättre) genom prövning i ekvationen + 5 =, varvid endast tecknet behöver prövas, eftersom q = p q = ± p]: = ger vänster led: V L = + + 5 = + 4 + 5 = + 9 = + 3 = 4 och höger led: HL = = = 4, varför = är en rot till den givna ekvationen. 4 = /3 ger V L = + 9 + 5 = + 40 9 = + 7 3 = 0/3, men HL = ( 3) = = 4/3, varför = /3 ej är en rot till den givna ekvationen. ( = /3 är en s.k. falsk rot, erhållen på grund av kvadreringen). Svar: Ekvationen har roten =. Anmärkning: = /3 är rot till ekvationen: + 5 =. Ö49. Lös ekvationerna a) 3 + 6 + 9 = b) + = 8 c) + 3 = d) + + 6 = 3 e) + + = f) + 3 = + 5.0 Ekvationssstem av högre grad Vissa sstem av ekvationer med två (eller flera) obekanta kan lösas med substitutionsmetoden: Eempel: Lös ekvationssstemet { ( + )( ) = 0 () + = 4 () Lösning: Ekvation () ger + = 0 eller = 0. Fall : + = 0, d.v.s. = ger insatt i ekvation (), + = 4, varav fås, = ±. Men =. Vi får alltså lösningarna { = { = = och =. 8

Fall : = 0,d.vs. = ger insatt i ekvation (), + = 4, varav fås 3,4 = ± 3. Vi får alltså lösningrna 3 =, 3 = 3 och 4 =, 4 = 3. Svar: (,) är lika med (, ), (, ), (, 3) eller (, 3). Anmärkning: Geometriskt betder ekvation () (i eemplet ovan) två räta linjer och ekvation () en cirkel. Lösningarna är alltså koordinaterna för skärningspunkterna. (Rita figur!). Ö50. Lös ekvationssstemen { { { + = 3 = a) b) = 6 + 3 = 6 { { c) d) = + + 4 = 0 + 3 e) = 6 + = 5 ( + )( + + ) = 0 + + 4 = 9. Olikheter För olikheten a > b gäller bl.a. följande räkneregler: a > b a b > 0 a > b a c > b c, om c > 0 a > b a < b a > b a c < b c, om c < 0 a > b a + c > b + c a > b a/c > b/c, om c > 0 a > b a c > b c a > b a/c < b/c, om c < 0 För olikheterna a < b, a b och a b gäller liknande regler. OBS: a > b b < a och a b b a. Vid behandling av olikheter (nedan): fltta alltid över termer, så att ena ledet blir 0. Eempel: För vilka är 3 < 7 + 5 4? Lösning: Olikheten kan skrivas p() = 3 7 5+4 < 0. Ekvationen 3 7 5+4 = 0 har rötterna =, = / och 3 = 4 (visa detta!). Enligt faktorsatsen är då p() = 3 7 5 + 4 = ( + )( )( 4). För att bestämma de, för vilka p() < 0, kan vi sätta upp följande tecken-tabell: 9

< = < < = < < 4 = 4 > 4 ( + ) 0 + + + + + + + + + + + ( ) 0 + + + + + + + ( 4) 0 + + + p() 0 + + + 0 0 + + + Vi finner att p() < 0, om < eller < < 4. Svar: Den givna olikheten gäller, om < eller / < < 4. Eempel: För vilka är? Lösning: Olikheten kan skrivas: R() = + = + 0. R() är en rationell funktion, där täljare (och nämnare) kan faktoruppdelas. Täljaren T () = + = 0 har rötterna / och, varför T () = ( )(+ )( ) = (+)( ) = ( + )( ) och R() = ( + )( )/. Vi får följande teckentabell: < / = / / < < 0 = 0 0 < < = > + 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 0 + + + + + + + R() + + + 0 ej def. + + + 0 Vi ser att R() 0, om / eller 0 <. (för = 0 är R() ej definierad). Anmärkning: Man kan också skriva R() = ( )( + )( )/ och bilda en teckentabell med faktorerna ( ), ( + ), ( ) och. (Gör detta!). Svar: Den givna olikheten gäller, om / eller 0 <. OBS: Den givna olikheten (i eemplet ovan) får ej multipliceras med, d.v.s. den får ej skrivas ( ), t kan vara negativt. Ö5. För vilka gäller följande olikheter? a) b) + < c) + d) > e) 3 + > 3 f) 6 3 < 7 +4 3 g) +3 h) ( ) 3 + i) < < (studera först de båda olikheterna var för sig). 0

. n:te roten ur ett reellt tal. Potenser med rationell eponent. Definition: Med n b menas den reella (och positiva, om n = m = jämnt) roten till n = b, d.v.s. ( n b) n = b. Ekvationen n = b, där b reellt tal, har då följande reella rötter: ) = n b, om n = m + =udda (positivt) heltal, ) = ± n b, där n b 0, om b 0 och n = m=jämnt (positivt) heltal. [Dessutom har n = b alltid komplea rötter, om n >, b 0]. (Om n är jämnt och b < 0, så saknar n = b reella rötter och n b är ej definierat.) För udda n =,3,5,... gäller att: n b = n b. Definition: b n = n b, och (för b > 0) b m n = n b m. Eempelvis gäller för den vanliga kvadratroten, att b = b = b / för b 0 Man kan visa, att potensuttrcket b m m n med rationell eponent = n allmänna) potens- (eller eponential)lagarna: för b > 0 satisfierar (de b b = b +, b /b = b, /b = b, (b ) = b ẏ, (ab) = a b och (a/b) = a /b. (Det är samma lagar som för heltalseponenter). För n:te rötter gäller då (för b > 0) bl.a. följande räkneregler: m n mn b = b = n m b(= b n mn ), ( b) m = n b m (= b m n ), n a n b = n ab och n a/ n b = n a/b. För uttrcken n a + n n b, a n b, n a + b och n a b finns inga allmänna formler. Eempelvis är i allmänhet n a + b n a + n b, (alltför vanligt fel att tro motsatsen!). Eempel: a) a 3 a = a a 3 = a + 5 6 3 = a 6 = a 5 för a 0. 3 b) 6 = ( /3 ) 6 = 3 8 6 = 8 = c) 5 = 5 3 = (5 3 ) 3 4 = 5 = 5 4 = 5

d) n = n = n Ö5. Förenkla a) 7 /3 b) 4 0,5 c) ( 8) /3 d) /3 4/3 e) 3 / /9 3/4 f) 3 /3 /(/3) 4/3 g) (0,006) 0,5 Ö53. Förenkla a) 6 9 b) 6 8 c) 3 4 d) 3 4 3 e) 5 f) 5 g) 4/ 3 6 h) 3 8 6 9 + 6 7 3 3 3 Ö54. Bestäm de reella rötterna till a) 8 = 6 b) 5 = 43 c) 64 6 7 = 0 d) 3 + 8 = 0 e) 4 + 8 = 0 Ö55. Förenkla (och angiv definitionsmängd): a) 3 3a 3 9a b) / 4 c) 5 3 d) 3 4 a 6 e) 4 a 3 / 3 a f) 3.3 Allmänna potenser (Potens- och eponentialfunktioner) Vi har ovan definierat vad som menas med uttrcket b, då b > 0 och = m/n är ett rationellt tal. Man kan allmännare definiera uttrcket b för b > 0 och alla reella, så att potens-(eponential-)lagarna gäller (för a och b > 0): b + = b b, b = b /b, b = /b, b = (b ), a b = (ab), a /b = (a/b) b kallas för en potens av b, b kallas bas och kallas eponent. OBS: Man skiljer på potens- och eponentialfunktioner: Potensfunktion: f() = a ( = variabel, a = konstant) Eponentialfunktion: f() = b ( = variabel, b = konstant > 0). OBS: ) b > 0 för alla, d.v.s. kurvan = b ligger ovanför -aeln, ) b 0 =, d.v.s. = b går genom punkten (,) = (0,) för alla b > 0, { 3) = f() = b väande (för väande ), om b > är avtagande (för väande ), om 0 < b <.

(0,) (0,) = b, b > = b, 0 < b < Av speciellt intresse är (den naturliga) eponentialfunktionen: f() = e med basen e =,788.... [Tangenten till = e i punkten (,) = (0,) har riktningsvinkeln 45 ]. För e gäller alltså att e 0 =, e > 0 för alla, e väande för alla samt eponentiallagarna: e + = e e, e = e /e, e = /e och e = (e ) OBS: e + är (i allmänhet) ej lika med e + e. (Alltför vanligt fel att tro motsatsen). Eempelvis är, för = = 0, e + = e 0 = men e + e = e 0 + e 0 =. Eempel: (förenkla): (3 ) = 3 = 3 = 9. Eempel: Lös ekvationen + = 6. Lösning: Ekvationen kan skrivas ( + ) = 6, d.v.s. =, varför =, d.v.s. =. [Alternativ lösningsmetod: Sätt = z. (Genomför räkningarna!)] Eempel: Bestäm reella lösningar till ekvationen e + e = 0. Lösning: Sätt e = z. Då är e = (e ) och vi får ekvationen z + z = 0 med rötter z, = ± 4 + = ± 3, d.v.s. z = och z =. Fall : e = z = = e 0 ger = 0. Fall : e = z = är en orimlighet, då e > 0 för alla reella. Svar: Ekvationen har den reella roten = 0. Ö56. Förenkla a) ( 3 ) 3 b) e e 8 e 8 c) 8 8 /( ) 8 3

Ö57. Visa att a) < 8 b) > 5 8 c) 8 > 4, Ö58. Bestäm reella lösningar till a) = 64 b) 4 = 8 c) 4 = 8 d) 5 + + 3 5 = 8 e) 3 + 3 = 45 f) 6 4 4 + = 6 g) 4 8 + 3 3+ = 5 Ö59. Bestäm reella lösningar till a) e + e = 3 b) 3 4 3 + 3 = 0 c) + + = + d) + 3 = 9 e) e 3 + 4e e 4 = 0.4 Logaritmer Vi har eempelvis att 00 = 0 och att 0, = 0 och frågar oss om t.e. 3 = 0 för något? Funktionen = 0 är definierad för alla reella, < <. Vidare är = 0 strängt väande för alla samt antar alla reella positiva -värden, 0 < <. (Rita grafen till = 0 ). Det betder att till varje > 0, (t.e. = 3) finns ett och endast ett värde för vilket 0 =. Detta -värde kallas (tio-)logaritmen för och skrives 0 log eller lg. Vi har alltså följande: Definition: = lg = 0 för > 0. Eempelvis är lg 00 = och lg 0,, =. Vidare är 3 = 0 för = lg 3 0,477. Av definitionen följer direkt, t = 0 = 0 lg och = lg = lg 0, att = 0 lg (för > 0) och lg 0 = (för alla reella ). Speciellt: = kan skrivas = = 0 0, varför lg = lg 0 0 = 0 = 0, varför lg 0 = lg 0 =. = 0. På samma sätt är Alltså är lg = 0 och lg 0 =. Vidare är lg < 0 för 0 < < och lg > 0 för >. Eponentialfunktionen = e, där e =,788..., är (liksom = 0 ) definierad och strängt väande för alla, < <, samt antar alla positiva -värden. Till varje > 0 finns alltså ett och endast ett -värde, < <, för vilket e =. Detta -värde kallas e-logaritmen eller den naturliga logaritmen för och skrives e log eller vanligare ln. Vi har alltså följande Definition: = ln = e för > 0. Av definitionen följer direkt att 4

= e ln (för > 0) ln e = ( för alla reella ) ln = 0 ln e = ln < 0 för 0 < < ln > 0 för > OBS: ln och lg är definierade endast för > 0. Graferna för = e och = ln : = e = ln OBS: Grafen till = ln, d.v.s. = e fås genom spegling av grafen till = e, d.v.s. = ln, i räta linjen =. [Alltså = ln fås ur = e genom bte av variablerna och ]. Ö60. Förenkla a) lg 000 b) lg 0,0 c) 0 lg 4 d) 0lg 0,7 e) 0 lg 4 f) 0 lg 0,5 Ö6. Förenkla a) ln e b) ln e c) ln e e) e ln 7 f) e ln 3 d) ln ( ) e Ö6. Lös ekvationerna a) ln = 0 b) lg = c) ln = d) lg = 4 e) lg = 3 Ö63. Bestäm reella lösningar till a) 0 = 4 b) e = 3 c) 0 + 0 + = 4 d) 0 0 =,7 e) e + e 6 = 0 f) e + 6 e = 5 För ln och lg kan ur potenslagarna härledas följande logaritmlagar (för och z > 0): ln( z) = ln + ln z ln z = ln ln z lg ln p = p ln lg( z) = lg + lg z z = lg lg z lg p = p lg 5

Av den andra lagen följer speciellt: ln z = ln z och lg z = lg z För ln( + z), ln( z), lg( + z) och lg( z) finns inga formler. OBS: ln( + z) är ej lika med ln + ln z. (Mcket vanligt fel att tro motsatsen!!). (Visa med ett eempel!) Eempel: lg 0,0003 = lg(3 0 4 ) = lg 3 + lg 0 4 = lg 3 4 0,4777 4 = = 3,59. Anmärkning: Varje tal > 0 kan skrivas = 0 0 k, där 0 < 0 och k heltal. [Detta kan användas för beräkning av lg, då lg 0 finns i tabell för 0 < 0]. Eempel: (förenkla): ln 8 6 ln = ln 3 6 ln / = 3 ln 6 ln = 0. Eempel: Lös ekvationen ln( ) + ln( + ) = 3 ln. Lösning: För att logaritmerna i ekvationen skall vara definierade måste > 0, + > 0 och > 0, d.v.s. >. För > kan ekvationen skrivas (med logaritmlagarna): ln( ) + ln( + ) = ln 3 eller ln( ) ( + ) = ln 3. [Men ln = ln z = z]. Härav fås ( ) ( + ) = 3, d.v.s. 3 + = 3 eller + = 0. Denna ekvation har rötterna = + 5 0,6 < och = 5,6 <. D.v.s. både och ligger utanför definietionsområdet >. Svar: Den givna ekvationen saknar (reella) rötter. 5 Anmärkning: Ekvationen ln( ) + ln( + ) = 3 ln har roten = 0,6. OBS: = e och = 0 är båda strängt väande funktioner, varav fås (för och z > 0): ln = ln z = z och lg = lg z = z Ö64. Förenkla a) lg 30 lg 0,3 b) ln 8 3 ln 4 + 0 ln c) 3 ln + ln 3 4 ln 6 d) lg 0 6 lg + 5 lg + lg 0,0 Ö65. Lös ekationerna a) ln(ln ) = ln 3 b) lg( ) + lg = 3 lg 4 c) 3 ln + ln( ) ln = ln 7 d) lg + lg( ) = lg 3 e) ln( ) + ln = 3 ln( ) f) ln + ln ( ) = 0 g) lg lg ( ) = h) ln( + ) ln( ) = 3 ln 6

i) lg 3 lg 4 = j) ln(4) ln( ) + ln 5 = 3 ln Logaritmer med (godtcklig) bas b definieras (om b > 0, b ): = b log = b, för > 0. b log kallas b-logaritmen av. Vi har tidigare studerat specialfallen: 0 log = lg och e log = ln Av definitionen följer att = b b log (för > 0), b log b = (för alla ), b log = 0 och b log b = Av potenslagarna och definitionen på b log följer logaritmlagarna: b log(z) = b log + b log z, b log z = b log b log z, b log p = p b log b log z = b log z Mellan logaritmer med olika baser råder följande samband: a log = b log b log a, lg (t.e.) : ln = lg e Speciellt för = b fås: a log b = b log a och t.e. ln 0 = lg e. Eempel: (beräkna) log 3 = log 3 = [Skriv 3 med basen ] = = log 5 = ( ) 5 log = 5 = 5 Ö66. Bestäm a) 3 log 3 b) log 8 c) 3 log 7 e) log 3 f) 4 4 log 5 d) 00 log 0 Ö67. Förenkla a) 5 log 000 5 log 40 b) 4 log 0,5 4 log 36 Ö68. Lös ekvationen a) log + log 5 = 4 b) 5 log 5 log( 4) = 7

Ö69. Förenkla a) 3 log log 3 b) 5 log 4 log 5 c) 8 log 7 7 log.5 Summabeteckning Man skriver a + a + a 3 +... + a n = n k= a k och a m + a m+ +... + a n = m n). Speciellt är Man kan också skriva n a k = a n. k=n n+ n a + a +... + a n = a k eller a + a +... + a n = a k+. k= k=0 n k=m a k (för Alltså är n a k = k=m n+ k=m+ a k = n+ k=m+ a k =... och n a k = k=m n k=m a k+ = n k=m a k+ =... Eempel: (beräkna) Ö70. Beräkna a) Ö7. Förenkla a) 7 k = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 9 + 6 + 5 + 36 + 49 = 35 k=3 5 k b) k= 7 a k k=0 5 (k + ) c) k= 4 k= 3 k 3 d) 7 0 0 a k b) a k+ k= k=0 k=0 a k+ 6 lg k e) k=6 9 k= ln k + k.6 Aritmetiska och geometriska talföljders summor A) Talföljden t = a, t = a + d, t 3 = a + d,..., t n = a + (n )d kallas för en (ändlig) aritmetisk talföljd med differensen d. Man kan visa att talföljdens summa S n = n [a + (k )d] = a + (a + d) + (a + d) +... + (a + (n )d), är lika med k= S n = n a + n (n )d = n t + t n, 8

d.v.s. S n är antalet termer [n] gånger medelvärdet [ t +t n ]. Speciellt är (om a =, d = ): n n(n + ) k = + + 3 +... + n =. k= B) Talföljden t = a, t = a, t 3 = a,..., t n = a n kallas för en (ändlig) geometrisk talföljd med kvoten. Talföljdens summa är n s n = a k = a + a + a +... + a n = a n k=0 för. Bilda s n = a +a +...+a n. Då är s n s n = a a n, d.v.s. ( ) s n = a( n ), som ger påståendet. C) Man kan visa att om <, så går n mot noll då n. Härav följer att s n = a n s = a, då n. För den (oändliga) geometriska seriens summa gäller alltså: s = a k = a + a + a +... = k=0 a för <. Anmärkning: En (oändlig) serie: a k = a + a + a 3 +... säges vara konvergent och ha en summa s, om s n = k= n a k = a + a +... + a n s, då n. k= Eempel: m + m+ +... + n = m [ + +... + n m ] = m n m+ = = m n+ för m n,. (Härav följer också att m + m+ +... = m för < ). 00 Ö7. Beräkna a) + + 3 +... + 99 b) k c) + 3 + 5 +... + 99 d) + 3 + 5 +... + (n ) Ö73. Beräkna a) + + + 3 +... + 0 b) / + / / 3 +... + / 0 n n c) ( ) k k d) 3 k k=0 k= k=0 9

Ö74. Beräkna a) k = + + + 3 +... k=0 ( ) k b) 3 k = 3 + 3 3 3 +... c) k=0 k=0 d) k, (för < ) e) e k, (för > 0) k= f) 4 9 + 8 7 + 6 8 + 3 43 +... k=3 Ö75. För vilka är a) + + + 3 +... = 3 b) + 3 4 +... = /3 c) + 3 + 4 +... =? e k Ö76-79: (Reserv) 30

Kapitel Trigonometri. Vinkelmätning Vinklar kan mätas i (delar av) varv, grader eller radianer. (Vi använder vanligen radianer). Med radian menas storleken av centrumvinkeln i en cirkelsektor, där periferibågen är lika lång som radien R. [Längden av bågen i en cirkelsektor med vinkeln v radianer blir alltså v R (längdenheter)]. Sambanden mellan de olika enheterna för vinkelmätning blir, (t cirkelns omkrets är πr): varv = 360 = π radianer, varav fås = π 80 radianer och radian = 80 π 57,3 R radian R R (Ofta skriver man ej ut enheten radian utan skriver t.e. π = 80 ). En vinkel räknas positiv, om den mäts moturs, och negativ, om den mätes medurs, (vanligen räknat från positiva -aeln i ett -koordinatssstem). v > 0 v < 0 Övningseempel: Ö80. Hur många grader och radianer är a) / varv b) /8 varv c) 3 varv d) -/3 varv e) -/6 varv f) 0 varv? (Rita figur!) Ö8. Omvandla till radianer: a) 90 b) 30 c) 45 d) 70 e) 8 f) 50 g) 0 Ö8. Omvandla till grader: a) 3π b) π/ c) 3π/4 d) 5π/ 3

Ö83. Beräkna längden av periferibågen i en cirkelsektor med a) centrumvinkeln v = 60 och radien R = (längdenheter) b) v = 50 och R = 5 c) v = 300 och R = 4/3. Ö84. Bestäm vinklen mellan två (närliggande) sidor i en regelbunden a) 6-hörning b) 5-hörning c) n-hörning. [Ledning: Vinkelsumman i en triangel är 80 = π (radianer)].. Rätvinkliga trianglar I en rätvinklig triangel är en vinkel 90 = π/ (radianer). Om en av de övriga vinklarna är v så blir den tredje vinkeln π/ v, t vinkelsumman i en triangel är 80 = π. Vinkeln π/ v kallas komplementvinkeln till v. Den sida, som står mot den räta vinkeln, kallas hpotenusa, och de båda övriga sidorna kallas kateter. c π v a v b För rätvinkliga trianglar gäller: Pthagoras sats: c = a + b. Vi definierar nu de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangens och cotangens för vinklar mellan 0 0 och 90 0 (dvs. mellan 0 och π ) med sin v = a c = motstående katet hpotenusa tan v = a b = motstående katet närliggande katet cos v = b c = närliggande katet hpotenusa cot v = b a = närliggande katet motstående katet Varav fås att a = c sin v, b = c cos v, a = b tan v, b = a cot v Av definitionen följer direkt att tan v = sin v cos v = cot v, cos v cot v = sin v = tan v Pthagoras sats ger: sin v + cos v =, (trigonometriska ettan) 3

OBS: sin v = (sin v) = sin v sin v och cos v = (cos v) = cos v cos v. OBS: (sin v) är ej lika med sin v. (alltför vanligt fel). Av definitionen på komplementvinkel följer vidare att sin v = cos ( π v) tan v = cot ( π v), cos v = sin ( π v) cot v = tan ( π v) d.v.s. sinus för en vinkel är lika med consinus för komplementvinkeln, o.s.v. Om vinkeln v avtar mot 0, så går (vid fit c) kateten a mot 0, varför sin 0 = 0, cos 0 =, tan 0 = 0, samt cot v +, då v avtar mot noll. Då v = π = 90 är komplementvinkel till 0 fås att sin π = sin 90 =, cos π = cos 90 = 0, cot π = cot 90 = 0 samt att tan v +, då v väer mot π = 90. Vi härleder nu de trigonometriska funktionernas värden för 45, 60 och 30 : OBS: Om man inte kan alla dessa värden utantill, måste man snabbt kunna göra en härledning! A) För v = π 4 = 45 blir den rätvinkliga triangeln en halv kvadrat: Om (för enkelhets skull) a =, så är också b = och med Pthagoras sats (c = a + b ) fås c =, varför sin π 4 = sin 45 =, tan π 4 = tan 45 = π 4 cos π 4 = cos 45 =, cot π 4 = cot 45 = π 4 B) För v = π 3 = 60 kan den rätvinkliga triangeln uppfattas som en halv liksidig triangel. (I en liksidig triangel är alla vinklarna lika med 60, varför vinklarna i en halv liksidig triangel är 60, 90 och 30 ). Om b =, så är c = och med Pthagoras sats fås a = c b = 3, varför sin π 3 = sin 60 = 3, tan π 3 = tan 60 = 3 π 6 3 cos π 3 = cos 60 =, cot π 3 = cot 60 = 3 π 3 33

C) Om v = π 6 = 30 så kan den rätvinkliga triangeln också kompletteras till en liksidig triangel. [Eller: Eftersom v = 30 är komplementvinkel till 60 fås sin 30 = cos 60 o.s.v. Jämför figuren ovan.] sin π 6 = sin 30 =, tan π 6 = tan 30 = 3 cos π 6 = cos 30 = 3, cot π 6 = cot 30 = 3 π/6 3 OBS: ) Förhållandet mellan sidorna i en (godtcklig) halv kvadrat är : :. ) Förhållandet mellan sidorna i en halv liksidig triangel är : 3 :. π 3 a 45 a b 30 3 b 45 a 60 b Ö85. Bestäm värdet av a) sin π 6 cos π 6 cot π 3 b) sin π 3 cos π 6 cos π 3 sin π 6 c) (sin 60 +sin 45 )(cos 30 cos 45 ) d) (tan 60 tan 45 )/(+tan 60 tan 45 ). Eempel: Solvera en rätvinklig triangel med b =,0 och B = 40 [dvs. bestäm de sidor och vinklar, som ej är givna]. a B c b A Lösning: Vinkeln A = 90 B = 50. Nu är cos A = b/c varför c = b/ cos A =,0/ cos 50,0/0,643 3,. [cos 50 fås med räknedosa eller ur tabell]. Vidare är tan A = a/b, varför a = b tan A =,0 tan 50,0,9,4. Svar: A = 50, c 3, och a,4. Anmärkning: Man bör vid numerisk räkning använda beteckningen, som betder approimativt lika med. OBS: sin A, cos B o.s.v. ändras naturligtvis inte om en triangel vrides eller spegelvändes, t sin A = (motstående katet): (hpotenusan) o.s.v. Ö86. Solvera följande rätvinkliga trianglar (beteckningar enligt figur ovan): a) c = 4,0 och A = 35 b) a = 3,0 och A = π 5 d) a =,0 och b = 3,0 e) b = 5,0 och B = 55. 34 c) a =,0 och c = 3,0

Samband mellan de trigonometriska funktionerna för samma vinkel, mellan 0 och 90, fås med hjälp av Pthagoras sats: sin v cos v + tan v tan v v sin v v cos v v Man får ur figurerna följande allmänna samband (för 0 < v < π ) ) cos v = sin v, tan v = sin v/ sin v ) sin v = cos v, tan v = cos v/ cos v 3) sin v = tan v/ + tan v, cos v = / + tan v OBS: I dessa formler förutsättes att 0 < v < π. Eempel: Bestäm sin v och cos v, om tan v = /3 och 0 < v < π. Lösning: Sätt in i formlerna ovan, eller (bättre!): rita en rätvinklig triangel med kateterna a = och b = 3. Då är tan v = /3. Enligt Pthagoras sats blir då hpotenusan c = + 3 = 3, varför sin v = / 3 och cos v = 3/ 3. 3 v 3 Ö87. Bestäm (för 0 < v < π ) a) cos v och tan v, om sin v = 3/5, [Ledning: Rita en triangel med a = 3 och c = 5] b) cos v och tan v, om sin v = /3 c) = sin v och tan v, om cos v = /3 d) sin v och tan v, om cos v = 0,4 e) sin v och cos v, om tan v = / f) sin v och cos v, om tan v = 4/7 g) sin v och cos v, om cot v = 0,7 35

.3 De trigonometriska funktionerna för godtckliga vinklar -planet är uppdelat i fra kvadranter: Andra kvadranten Tredje kvadranten Första kvadranten Fjärde kvadranten Som vi tidigare påpekat räknas vinklar (från positiva -aeln) positiva moturs och negativa medurs. Vinklar mellan 0 och 90, dvs. mellan 0 och π, ligger i första kvadranten, vinklar mellan π och π i andra, mellan π och 3π/ i tredje, mellan 3π/ och π i fjärde, mellan π och 5π/ i första o.s.v. Men även vinklar mellan π/ och 0 kommer i fjärde kvadranten, vinklar mellan π och π/ i tredje o.s.v. Ö88. I vilken kvadrant ligger vinkeln a) 5π/4 b) 500 c) 00 d) 000 e) 7π/4 f) 00π/3 g) 0000? Vi ger nu definitionerna av de trigonometriska funktionerna för godtckliga vinklar, dvs. även för vinklar utanför intervallet 0 till π/. Antag att (,) är en punkt på enhetscirkeln (cirkel med radien = och medelpunkten i origo). (,) - v - Definition: { sin v = cos v = tan v = för 0, dvs. v π + nπ cot v = för 0, dvs. v nπ [Vi ser att dessa definitioner stämmer överens med de tidigare. T, om 0 < v < π/, så ligger punkten (,) i första kvadranten, där > 0 och > 0. Vi får alltså en rätvinklig triangel med hpotenusan c = och kateterna a = och b =, varför sin v = a/c = / = o.s.v.] Eftersom sin v = blir sin v positiv för vinklar i första och andra kvadranten och negativ i tredje och fjärde. Liknande regler fås för cos v, tan v och cot v: + + + + + + + + sin v cos v tan v cot v Av definitionerna följer direkt, att tan v = sin v cos v = cot v cot v = cos v sin v = tan v 36

sin v +, dvs. sin v för alla vinklar v cos v +, dvs. cos v för alla vinklar v sin 0 = 0 sin π = sin π = 0 sin 3π = sin π = 0 cos 0 = cos π = 0 cos π = cos 3π = 0 cos π = tan 0 = 0 cot π = 0 tan π = 0 cot 3π = 0 tan π = 0 o.s.v. tan v +, då v väer mot π cot v +, då v avtar mot 0 tan v, då v avtar mot π cot v, då v väer mot 0 Vidare är, (jämför figur nedan, i slutet av paragrafen). sin v = sin(v + π) = sin(v + n π), där n = heltal cos v = cos(v + π) = cos(v + n π), där n = heltal dvs. sinus och cosinus är periodiska funktioner med perioden π. Eempel: Bestäm sin ( 7π 4 ) Lösning: 7π 4 = π 4 π, varför sin ( 7π 4 ) = sin (π 4 π) = sin π 4 = sin 45 = /. Ö89. Bestäm a) cos 3π b) sin( 3π/) c) sin(3π/3) d) cos(3π/6) e) tan(37π) f) tan(37π/4). Av Ptagoras sats följer att ekvationen för enhetscirkeln är + =, (vilket gäller i alla kvadranterna). Av definitionen på sinus och cosinus får vi då följande viktiga formel: 37

sin v + cos v =, (den trigonometriska ettan) dvs. sin v = ± cos v och cos v = ± sin v, där tecknet bestämmes av i vilken kvadrant vinkeln v ligger. Anmärkning. Man kan också härav härleda övriga samband mellan de triogonometriska funktionerna för samma vinkel. (Jämför paragraf.). Man får (Rita figur!): tan v = ± sin v/ sin v, tan v = ± cos v/ cos v sin v = ± tan v/ + tan v och cos v = ±/ + tan v Eempel: Bestäm sin v, om cos v = /4 och 3π/ < v < π. Lösning: I fjärde kvadranten är sin v negativt, varför sin v = cos v = (/4) = 5/4. Eempel: Bestäm sin v och cos v, om tan v = 3/ och π/ < v < 0. Lösning: Metod : Rita en hjälptriangel med tan v 0 = +3/ och 0 < v 0 < π/. Då är sin v 0 = 3/ 3 och cos v 0 = / 3. Av formlerna ovan följer att sin v = ± sin v 0 och cos v = ± cos v 0. I fjärde kvadranaten är sin v < 0 och cos v > 0. Alltså är sin v = 3/ 3 och cos v = +/ 3. 3 v 0 3 Metod : Använd formeln tan v = sin v/ cos v samt trigonometriska ettan : { { { tan v = sin v cos v = 3 sin v + cos v = sin v = 3 cos v 9 4 cos v + cos v = cos v = ±/ 3 sin v = 3/ 3 Eftersom cos v > 0 och sin v < 0 i fjärde kvadranten, får vi följande Svar: sin v = 3/ 3 och cos v = / 3. Ö90. Visa att a) / cos v = + tan v b) / sin v = + cot v Ö9. Bestäm cos v, om a) sin v = /3, (v i första kvadranten) b) sin v = /5, (v i fjärde kvadranten) c) sin v = /3 Ö9. Bestäm sin v, om a) cos v = 0,6; π/ < v < π b) cos v = 0,4 Ö93. Bestäm tan v om a) sin v = /4, (v i andra kvadranten) b) cos v = 0,3 (v i fjärde kvadranten) c) sin v = 0,5 d) cos v = /9 Ö94. Bestäm sin v och cos v, om a) tan v =, π < v < 3π/ b) tan v = /3, π/ < v < π c) tan v = 5 d) cot v =. 38

Några enkla formler, som sammanhänger med speglingar: Antag att punkten ( 0, 0 ) på enhetscirkeln svarar mot vinkeln v, dvs. att 0 = cos v och 0 = sin v. [( 0, 0 ) är en godtcklig punkt på cirkeln. Vi ritar den för enkelhets skull i första kvadranten]. A) Speglar man ( 0, 0 ) i -aeln hamnar man i punkten (, ) = ( 0, 0 ) med vinkeln ( v). Alltså är cos( v) = = 0 = cos v och sin( v) = = 0 = sin v, varav fås tan( v) = sin( v) cos( v) = sin v cos v = tan v och (analogt) cot( v) = cot v. B) Spegelpunkten till ( 0, 0 ) m.a.p. -aeln är (, ) = ( 0, 0 ) med vinkeln (π v). Då är cos(π v) = = 0 = cos v och sin(π v) = = 0 = sin v. Anmärkning: Vinkeln (π v) kallas supplementvinkeln till v. (, ) ( 0, 0 ) v v (, ) ( 0, 0 ) π v C) Spegelpunkten till ( 0, 0 ) m.a.p. linjen = är ( 3, 3 ) = ( 0, 0 ) med vinkeln ( π v). Då är cos( π v) = 3 = 0 = sin v och sin( π v) = 3 = 0 = cos v varav fås tan( π v) = sin( π v)/ cos( π v) = cos v/ sin v = cot v och cot( π v) = tan v. Vinkeln (π/ v) kallas komplementvinkeln till v. D) Spegling av ( 0, 0 ) i origo ger ( 4, 4 ) = ( 0, 0 ) med vinkeln (v + π). π v ( 0, 0 ) ( 3, 3 ) ( 0, 0 ) Man får cos(v + π) = 4 = 0 = cos v och sin(v + π) = 4 = 0 = sin v, samt tan(v + π) = sin(v + π)/ cos(v + π) = ( sin v)/( cos v) = sin v/ cos v = tan v och cot(v + π) = cot v, dvs: ( 4, 4 ) v + π tangens och cotangens är periodiska funktioner med perioden π. (Jämför med sinus och cosinus, som har perioden = π) Vi sammanfattar formlerna, (som alltså gäller för godtckliga vinklar): 39

sin( v) = sin v cos( v) = + cos v sin(π v) = + sin v sin(π/ v) = cos v cos(π/ v) = sin v tan( v) = tan v cot( v) = cot v cos(π v) = cos v tan(π/ v) = cot v cot(π/ v) = tan v sin(v + π) = sin v cos(v + π) = cos v tan(v + π) = + tan v cot(v + π) = + cot v ObS: Dessa formler (liksom övriga inramade formler) bör man kunna utantill eller snabbt kunna härleda! Eempel: Bestäm sin 5π 6. Lösning: Vinkeln 5π/6 = 50 = 80 30 = π π/6 ligger i andra kvadranten. (Rita figur!). Formeln sin(π v) = sin v ger sin(5π/6) = sin(π π/6) = sin π/6 = sin 30 = /. Ö95. Bestäm a) sin( π 6 ) b) cos( π 6 ) c) sin( π 3 ) d) tan( π 4 ) e) sin 3π 4 f) cos π 3 g) sin( 7π 6 ) h) tan(7π 6 ) i) sin(7π 4 ) j) cot(π 6 ). z = sin v π π π π - z = tan v v z = cos v π π π π - z = cot v v π π π π - v π π π π - v.4 Ekvationerna cos v = a, sin v = b och tan v = k Om (,) är en given punkt på enhetscirkeln + =, så är (enligt definition) cos v = och sin v =. Omvänt, om värdena för cos v och sin v båda är givna, så är punkten (,) entdigt 40

bestämd och vinkeln v bestämd med undantag av en multipel av π, (dvs. med undantag av ett antal hela varv). Om däremot endast cos v = a är givet, så kan vinkeln v ligga i två olika kvadranter, en i övre och en i undre halvplanet, t cos( v 0 ) = cos v 0. Analogt: om endast sin v = b är givet, så kan v ligga antingen i högra eller vänstra halvplanet, t sin(π v 0 ) = sin v 0. A) Ekvationen cos v = a, där { a, har v 0 + n π allmänna lösningen v =, v 0 + n π, där n godtckligt heltal (n = 0 ±, ±,...) och v 0 är en vinkel som satisfierar ekvationen cos v 0 = a. Lösningarna kan erhållas genom skärning av enhetscirkeln + = med räta linjen = a. Ovanstående kan också formuleras (med v 0 = u): cos v = cos u v = ±u + n π B) Ekvationen sin v = b, där { b, har v 0 + n π allmänna lösningen v = π v 0 + n π, där n (godtckligt) heltal och v 0 en vinkel, som satisfierar sin v 0 = b. Lösningarna kan fås genom skärning av enhetscirkeln + = med räta linjen = b. Vi kan också formulera regeln: sin v = sin u v = u + n π eller v = π u + n π C) Vi har definierat tan v = / och visat att tan v är periodisk med perioden π. Alltså gäller att: Ekvationen tan v = k, där < k < har allmänna lösningen v = v 0 + n π, där n heltal och v 0 en vinkel, som satisfierar tan v 0 = k. Lösningarna kan fås genom skärning av enhetscirkeln + = med räta linjer = k. Alternativ formulering: tan v = tan u v = u + n π v 0 v 0 v 0 = k v 0 Eempel: Lös ekvationen sin(v + ) = 0,5. Lösning: Sätt v + = t och lös först ekvationen: sin t = 0,5. En lösning är t 0 = π/6 = 30 varför allmänna lösningen blir { t 0 + n π = π/6 + n π t = π t 0 + n π = 5π/6 + n π. Vi får sedan: v = (t )/ = / + t/ = { / + π/ + n π / + 5π/ + n π. 4