Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f (x) = 8x + 15x 2 2307 b) TB: Lite lite svårare. När jag deriverat ska jag ta reda på f (3) Funktionen är f(x) = 2+3x + 4x 2 5x 3 som har derivatan f (x) = 3 + 8x 15x 2. f (3) = 3 + 8 3 15 3 2 = 108 KTH: Det går som tåget 2311 b) TB: Den här gången ska jag ta reda på derivatans nollställen. Jag ska lösa ekvationen f (x) = 0. Det blir väl en andragradsekvation eftersom f(x) = 2x 3 + 30x 2 + 96x + 34 är av tredje graden. Vi kan väl visa graferna eller hur? Stämmer bra f(x) = 2x 3 + 30x 2 + 96x + 34 f (x) = 6x 2 + 60x + 96 f (x) = 0 då 6x 2 + 60x + 96 = 0 x 2 + 10x + 16 = 0 x 1 = 8 x 2 = 2 600 500 400 300 200 100-10 -8-6 -4-2 2 Figur 1: 2313 TB: Nu ska jag försöka gå bakvägen på något sätt. Jag har alltså redan f (x) = 3x 2 + 2x och vill ha tag i f(x). Det måste väl bli någonting liknande f(x) = x 3 + x 2. Det stämmer. KTH: Du ska hitta två funktioner som har den här derivatan? TB: Va! Det kan det väl inte finnas? Aha, du menar att till exempel f 2 (x) = x 3 + x 2 + 123 också har derivatan f 2 (x) = 3x2 + 2x? Den konstanta termen kan vara vad som helst. Det finns alltså hur många som helst. KTH: Det här kommer du att få lära dig mer om framöver. Det kallas att integrera till skillnad från att derivera 2320 b) TB: Jag vet att en tangent till en kurva har samma k-värde som derivatan till kurvans funktion i den punkten. Sedan vet jag att tangenten också går genom den aktuella punkten, (1,2). Så nu är det Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

bara att sätta igång. f(x) = x + x f(x) = x + x 1 2 f (x) = 1 + x 1 2 2 f (x) = 1 + 1 2 x f (1) = 3 2 Tangentens k-värde är alltså k = 3/2. Vi utgår från linjens funktion f(x) = k x + m och kan redan nu skriva den som f(x) = 3 2 x + m. Återstår att bestämma m med hjälp av punkten (1,2), 2 = 3 2 1 + m ger m = 1 2. Funktionen är nu bestämd 2323 f(x) = 3 2 x + 1 2 TB: Konstig uppgift. Vi har funktionen S(A) = 20 A 0.33. Vi ska nu bestämma S (A) = 1 och tolka resultatet. S(A) = 20 A 0.33 S (A) = 0.33 20 A 0.67 S (A) = 0 då 0.33 20 A 0.67 = 1 A 0.67 = 1 Jag kan inte tolka det här resultatet! A = ( 6.6 1 6.6 ) 1 0.67 16.7 KTH: Om vi har en ö med arean 16.7 km 2, så kommer antalet arter att öka med 1 om öns area av någon anledning ökas med 1 km 2. Eller bättre uttryckt: Om vi går till en ö som är 1km 2 större så kan vi förvänta oss att hitta 1 art mer på denna ö. TB: Om det inte finns någon ö över huvud taget, så finns det heller inga arter där, S(0) = 0, men då finns det väl fiskar istället. En ö på 1km 2 har 20 arter. Jag förstår att antalet arter växer snabbare när man utökar en liten ö än en stor. 2327 b) TB: f(x) = 3 e 4x ska deriveras. f (x) = 12 e 4x. Enkelt. 2330 d) TB: Nu har vi funktionen f(x) = 6 e x/2. dess derivata är f (x) = 3 e x/2 och f (1/3) = 3 e 1/6 3.54 2335 TB: Tråkiga uppgifter hela vägen. Vad har du tänkt på när du plockat ut dem? Vi har f(x) = 10 e 7x som har derivatan f (x) = 70 e 7x. Vi ska nu visa att f (x) + 7f(x) = 0 70 e 7x + 7 10 e 7x = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

KTH: Javisst 2338 det ser man ju på en gång. Har jag visat vad jag skulle och på rätt sätt TB: Nu ska jag derivera f(x) = (e x + e x ) 2. Jag vet inte riktigt. Ska man utveckla parenteserna, eller finns det något annat sätt? KTH: I och för sig finns det ett annat sätt, men det har du inte lärt dig ännu, så du får nog utveckla parenteserna TB: 2341 f(x) = (e x + e x ) 2 f(x) = (e x ) 2 + (e x ) 2 + 2e x e x f(x) = e 2x + e 2x + 2 f (x) = 2e 2x 2e 2x TB: C och k i f(x) = C e kx ska bestämmas. Till detta har vi två villkor f(0) = 2 och f (0) = 3. f(0) = C e k0 ger direkt C = 2. Om vi deriverar får vi f (x) = 2k e kx. Eftersom f (0) = 2k kan vi skriva 2k = 3 ger k = 3/2 och hela funktionen f(x) = 3 e 3x/2 2342 TB: Nu är jag helt borta igen. Vad ska jag göra? Jag inser att jag har funktionen f(x) = 4 x och att jag kan derivera den på något sätt. f(x) = e xln 4, så kan också man skriva funktionen. För mig blir det då enklare att finna f (x) = ln4 e xln 4. Nu har jag både funktionen och derivatan f (x) = k f(x) ln4 e xln 4 = k e xln 4 Är det klart? I så fall, vad har jag löst och varför? KTH: Kanske vill man påvisa att f(x)/f (x) är konstant. 2343 k = ln4 1.39 TB: Det här med gränsvärden har jag inte fått riktigt grepp på. Hur skulle man skriva nu igen a h 1 lim = 1 h 0 h 2 När h 0 går både täljare och nämnare mot 0 och det är omöjligt att säga vad som händer. Jag har för mig att jag har hört att 0 0, kan vara precis vad som helst. Här blir det tydligen 1/2 om man väljer a på ett bra sätt. KTH: Den är inte så lätt den här uppgiften. Vi vet att a h 1 h om vi har korrekt värde på a och små värden på h. Om vi fortsätter att förenkla uttrycket får vi 1 2 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

2348 e) a h h 2 + 1 a ( h 2 + 1 Om vi nu beräknar a med några små värden på h, till exempel h = 0.01 och h = 0.0001 så får vi a = 1.64667 respektive a = 1.6487, så vi kan vara ganska säkra på att de tre första siffrorna hos a = 1.649. Det var ju ett närmevärde det var frågan om. Det exakta svaret är a = e, men jag tänker inte berätta hur jag kom fram till det. Du får vänta några kurser till. TB: Att skriva om en potens a b, som ju har basen a och exponenten b till en annan bas till exempel e eller 10 görs genom a b = 10 lg ab = 10 blg a eller på samma sätt för basen e Speciellt då för uppgiften ) 1 h a b = e ln ab = e bln a 4 2t = 10 lg 42t = 10 2tlg 4 4 2t = e ln 42t = e 2tln 4 KTH: Kan verka enkelt men det är viktigt att man kan detta, eftersom det dyker upp som små detaljer i större sammanhang. TB: Vad händer om man skriver om 10 x till basen 10 som det ju redan är. Jag, menar om man inte tänker på detta. 10 x = 10 lg 10x = 10 xlg 10 = 10 x 2353 Det blir rundgång eftersom lg10 = 1, på samma sätt som lne = 1 TB: Nu kommer ett sådant här obegripligt uttryck igen. oberoende av x Vad menar de? KTH: Att du ska få fram ett uttryck där x inte ingår. TB: Hur gör jag då? KTH: Vi säger att du inte har en aning. Vad gör du då? TB: Jag har f(x) = 5000 1.05 x, som jag omedelbart skriver om till basen e, bara för att jag då enklare kan derivera f(x). Jag får då f(x) = 5000 e xln 1.05 och dess derivata är f (x) = 5000ln 1.05 exln 1.05 Enligt uppgiften ska jag nu beräkna en kvot KTH: Ja Är det rätt? TB: Men varför. Vad var det för vits med detta? f (x) f(x) = 5000ln 1.05 exln 1.05 5000 e xln 1.05 = ln1.05 KTH: Att kvoten mellan derivatan och funktionen är konstant ln1.05. Vet du ett funktionsvärde f(a) så kan du omedelbart bestämma f (a) genom f(a) ln1.05. Det är väl bra! Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

TB: Nej. 2356 TB: Den här uppgiften är mer konkret och därmed tycker jag att den är bättre. Jag har funktionen 2361 och dess derivata f(x) = 2 x = e xln 2 f (x) = ln2 e xln 2 Tangenten har k-värdet f (1) = ln2 e ln 2 = 2ln2. Jag ska bestämma k och m i f(x) = kx + m. k = 2ln2 och med hjälp av punkten (1,2), som ligger på linjen får jag m genom 2 = (2ln 2) 1+m, ger m = 2 2ln2. Nu frågar man var tangenten skär y-axeln och det råkar vara samma värde som m. Svaret är (0,2 2ln2) TB: V(t) = 225000 e kt, värdet V, som funktion av tiden t. V(5) = 100000. Med hjälp av det villkoret ska vi kunna bestämma k 225000 e 5k = 100000 Konstigt att minustecknet bara försvinner! e 5k = 100000 225000 e 5k = 100000 225000 e ln e 5k 100000 ln = e 225000 5k = ln 100000 225000 k = ln 100000 225000 / 5 0.162186 KTH: ln1 = 0, då är det ju inte så konstigt att lnx < 0 då x < 1 TB: Nu ska jag alltså bestämma derivatan f (x) = 225000 0.162186 e 0.162186x och med hjälp av den f (5) 16218.6. Bilens värde avtar alltså med cirka 16200 kr/år just när den är 5 år gammal. Har vi inte räknat ett sådan tal förut? TB: Tidigare har vi uttryckt denna formel som ( V(t) = S 1 + r ) t 100 Med den får man bättre koll på tillväxtfaktorn tycker jag. Kan man inte skriva om funktionen ovan på denna form? KTH: Eftersom Så får vi som du vill e 0.162186x = ( e 0.162186) x = 0.850283 V(t) = 22500 0.850283 t Värdet avtar med cirka 15% per år. Ganska mycket eller hur? Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

2364 TB: Nu över till Per och hans funderingar kring befolkningsexplosionen. Han har antagit f(x) = 0.000338x 2 + 0.0232x + 8.89. f(0) = 8.89 vilket betyder att det fanns 8.89 miljoner själar i Sverige vid millennium-skiftet. Skulle vara kul att se hur grafen av hans funktion ser ut: 9.2 8.8 20 40 60 80 100 8.6 8.4 Figur 2: KTH: 94 år Om den här prognosen är sann kommer Sveriges befolkning att börja dala vid omkring år 2040. Hur gammal är du då? TB: Vad var det nu de ville ha reda på? Jo vilken förändring i folkmängden (människor/år), det kommer att vara år 2020 och år 2040. För att kunna svara på den frågan måste jag derivera f(x) och därefter beräkna f (20) och f (40) 2365 f (x) = 0.0232 0.000676x f (20) = 0.00968 och f (40) = 0.00384. År 2020 kommer Sveriges befolkning, enligt Per att öka med 9680 personer och 2040, precis som jag förutspådde, befolkningen att avta med 3840 personer. TB: En ny befolkningsprognos, N(t) = 25000 0.98 t. Jag börjar bli lite trött på det här, men OK. Jag vill skriva om funktionen så att jag enklare kan derivera den. Sedan ska jag bestämma N (5) 2366 N(t) = 25000 0.98 t N(t) = 25000 etln 0.98 N (t) = 25000 ln0.98 e N (5) = 25000 ln0.98 e N (5) = 457 tln 0.98 5ln 0.98 År 2005 kommer utflyttningen att överskrida inflyttningen med 457 personer. Det handlar förstås om en norrlandskommun. TB: f(x) = 10000 1.10 4x ska deriveras genom att skriva om den som f(x) = C a x. Så det skulle alltså betyda att jag inte får gå över omskrivning med basen e. Jobbigt. ( f(x) = 10000 1.10 4x = 10000 1.10 4) x = 10000 1.4641 x Det finns förstås möjlighet att derivera mer direkt. Jag minns att f(x) = C a x har derivatan f (x) = C lna a x Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

Tillämpar jag denna kunskap får man KTH: Nu kan du det 2367 d) f (x) = ln1.4641 10000 1.4641 x TB: Givet funktionen f(x) = x 3 + 243 x Man är ute efter f (x) = 0. Jag måste alltså först derivera f(x). Vidare f (x) = 1 3 243 x 2 f (x) = 0 1 3 243 x 2 = 0 x 2 = 3 243 x = ± 3 243 x 1 = 27 x 2 = 27 2369 TB: Den här funktionen som ska deriveras ser jobbig ut N(t) = Hur ska jag kunna derivera den här funktionen? 5000 1 + 49e 0.1t KTH: Ja, jag förstår inte hur du ska klara av att derivera den här funktionen. Derivatan är N (t) = 24500 e0.1t (49 + e 0.1t ) 2 Med hjälp uttrycket kan vi nu bestämma N (10) = 24.8985 TB: Nu flummar du iväg utan att tänka på att jag inte har en chans att hänga med KTH: Jag har givit dig ett svar och nu ska du uppskatta derivatan med hjälp av en differenskvot TB: Det var ett tag sedan sist jag använde mig av differenskvoten. Jag beräknar N(10) = 262.797 och N(10.01) = 263.046 och kan nu beräkna differenskvoten: y δx = 263.046 262.797 10.01 10 = 24.91 Även jag har kommit fram till att 25 personer insjuknar under ett dygn kring den 10:e dagen. Det är lite jobbigt att inte veta om man kan lösa en uppgift exakt eller måste ta till approximativa metoder. Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

KTH: Det gäller alla, på alla nivåer. Men läser vi problemtexten en gång till ser vi att det står att problemet ska lösas numeriskt. Det är detta ord som öppnar dörren till den teknik du använt. 2372 TB: Nu handlar det om djur och deras hjärtan. f(m) = k m 0.25, där f(m) är pulsen (antal hjärtslag/minut) och m djurets massa (kg). k är en konstant som vi inte känner. Vi ska nu bestämma Vad betyder nu detta? KTH: Inget annat än f (x)/f(x) df(x) dm / f(x) TB: Efter att beräknat f (m) = 0.25 k m 1.25 kan jag ställa upp kvoten 2373 f (m) f(m) = 0.25 k m 1.25 k m 0.25 = 1 4m Det står inget om att man ska tolka svaret vilken tur TB: Funktionen B(t) = 10 2 t, Antalet bakterier B som funktion av tiden t (i timmar). Jag ska nu beräkna B (t) = 1000. B (t) = ln2 10 2 t Ekvationen som ska lösas är B (t) = 1000 ln2 10 2 t = 1000 2 t = 100 ln2 e ln 2t 100 ln = e ln 2 t ln2 = ln 100 ln 2 100 ln ln 2 t = ln2 7.17262 Efter 7.17 timmar är tillväxten ungefär 1000 bakterier/timme KTH: Nu återstår bara en uppgift för idag 2376 TB: Man antar här en exponentiell funktion f(x) = C a x. För att komma fram till et svar måste först C och a bestämmas. Detta kan göras med hjälp av två punkter på kurvan (20,3.75) och (28,2.19). Vi får ett ekvationssystem { C a 20 = 3.75 Jag jobbar vidare C a 28 = 2.19 C = 3.75 a 20 C = 2.19 a 28 Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

2.19 a 28 = 3.75 a 20 2.19 = a28 3.75 a 20 2.19 3.75 a = = a 8 ( ) 1 2.19 8 0.934978 3.75 Nu kan jag räkna ut C 3.75 C = 14.388 0.93497820 Nu har jag funktionen f(x) = 14.388 0.934978 x och kan besvara frågorna, vilka de nu var. f(0) = 14.388 vilket betyder att vår vän Pontus aldrig varit över den farliga gränsen på 15. För att besvara nästa fråga måste jag derivera f(x) f(x) = 14.388 0.934978 x f (x) = ln0.934978 14.388 0.934978 x f (30) = 0.128712 Efter 30 timmar försvinner 0.13 µg/ml på en timma. Halveringstiden får man reda på genom följande ekvation 14.388 2 = 14.388 0.934978 x 0.5 = 0.934978 x 10 lg 0.5 = 10xlg 0.934978 x = lg0.5 lg0.934978 10.3097 10.3 timmar efter en mätning har hälften av det gift som då finns i kroppen försvunnit. KTH: Nu har du varit duktig Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge