Kurvor För att diskutera längdberäkningar, gör vi en liten utvikning om kurvor. Det räcker att du läser t.o.m. avsnittet om ellipser, samt sid.5 om kurvor på polär form resterande text om kurvor fram till sid.8 är bredvidläsning för den intresserade. Begreppet kurva har sitt ursprung som synonym för: en bana som en rörlig partikel kan tänkas beskriva. Funktionsgrafer y = f (x) täcker endast specialfall Mängden av punkter, vars koordinater (x, y) uppfyller y = f (x), f kontinuerlig funktion Kurvor på parameterform För att beskriva rörelsen av en partikel är det naturligt att använda två/tre funktioner (beroende på om det är en kurva i ett plan eller i det tredimensionella rummet) som ger partikelns respektive koordinat som funktion av tiden. Kan göra på samma sätt för att generera alla punkter i en punktmängd som ser ut som en kurva, även i fall då det inte föreligger någon rörelse att tala om. Vi ställer upp två/tre funktioner x (t),y(t),z(t) av en tredje/fjärde variabel t, kallad parameter (och som motsv. tiden), på ett sådant sätt att när vi låter t genomlöpaallavärdenpåettintervall,så genomlöper (x (t),y(t),z(t)) alla punkter på kurvan. Vi säger då att kurvan är given på parameterform. bildar en kurva i planet. Men långtifrån alla kurvor är funktionsgrafer, som kan beskrivas på detta sätt (utan att behöva stycka in dem i bitar). Motexempel: lodrät linje, cirkel : - 3.5 -.5 -.5.5.5 - x = t cos 6t y = t sin 6t z = t, t π - -.5.5 -.5 Funktionskurvor kan betraktas som ett specialfall: ½ x (t) =t y (t) =f (t) - 99
Cirklar med radie R och medelpunkt i (x,y ): ½ x (t) =x + R cos t, t π y (t) =y + R sin t (går lika bra med t.ex. π t π.) 6 4 Ellipser Ellipsen är en cirkelsort sompåtvärenärförkort. (A.Dunkels & B.Klefsjö) Om man ersätter cirkelns R i x- resp. y- funktionerna med tal som kan vara olika, så talar man om en s.k. ellips. För enkelhetens skull, låt oss betrakta endast ellipser centrerade kring origo, d.v.s. x = y = ½ x = a cos t, t π y = b sin t Ur trig. ettan följer att alla t ger sådana x, y att ³ x ³ y + = a b Omvänt: om (x, y) är ett par av tal som uppfyller - 4 6 ½ x =+4cost y =3+4sint Med ett kortare intervall för t får man en bit av en cirkel:, t π x a + y b = så kan vi hitta ett sådant t i intervallet t π, att (x, y) =(a cos t, b sin t). 6-3 - - 3 4 - - ½ x =3cost y =sint, t π - 4 6 Cirklar är följaktligen specialfall av ellipser: a = b. ½ x =+4cost y =3+4sint, π t π
Hyperbler (Ev. behöver du slå upp din boks avsnitt om de hyperboliska funktioner na.) Om cos och sin i ellipsens ekvation ersätts med cosh resp. sinh, fås ena halvan av den kurva som kallas hyperbel. ½ x = a cosh t y = b sinh t, < t <, där alltså cosh t = e t + e t / sinh t = e t + e t / 4 3-4 6 8 - -3-4 ½ x =cosht y =sinht, t Den hyperboliska ettan cosh x sinh x =för alla x ger att de på detta sätt genererade (x, y) uppfyller x a y b = Omvänt, om (x, y) är ett par av tal som uppfyller denna ekvation, och x>, så kan vi hitta ett sådant t att (x, y) =(a cosh t, b sinh t) Punkterna med x<, genereras med x = cosh t.
Räta linjer i planet ½ x = x + αt y = y + βt, <t< ger en rät linje genom punkten (x,y ), vars riktning bestäms av talparet (α, β), som kallas linjens riktningsvektor. Linjen blir nämligen parallell med den pil som fås om man sammanbinder origo med punkten (α, β): 4 3 Räta linjer i rummet Parameterbeskrivningen av rät linje ovan har minst två fördelar framför y = kx + m-ekvationen:. Vertikala linjer behöver inte särbehandlas.. Generaliseras lätt till linjer i tre dimensioner lägg bara till en z (t)-funktion av samma typ: x = x + αt y = y + βt z = z + γt, <t< ger en rät linje genom punkten (x,y,z ), vars riktning ges av riktningsvektorn (α, β, γ). -6-4 - 4 6 - ½ - x =+t y =+t, 3 <t<3 Horisontella linjer fås när β =, vertikala när α =. Riktningskoefficienten för de icke-vertikala är = β/α -5 x - 4 y z x =+t y =+t z =+t 5 -, 3 <t<3
Skruvlinjer Lissajoufigurer Se sid. 99 samt PB, sid.39 (95), Ex. D, sid.364, Ex.7.. Medoscilloskopmätermanoftasthurenspänning varierar med tiden. Då låter man den spänning som skall undersökas styra elektronstrålen i y-led, medan i x-led har man en internt genererad sågtandsformad spänning. Om man däremot ansluter sinusformade spänningar till såväl x- som y-plattorna (s.k. x-ykoppling av oscilloskopet), så får man figurer av följande typ:.5 - -.5.5 Cykloiden -.5 PB, sid.35 (9), Ex. 9. D, sid.364 HMT, sid.4 Uppkommer i det s.k. brachistochronproblemet: Givet två punkter på olika höjd över marken, vill man förbinda dem med en friktionsfri glidbana, så att glidtiden för en kropp nerför (till följd av tyngdkraften) minimeras. Med hjälp av just den nyligen utvecklade differential- och integralkalkylen kunde manår696visa(johanbernoulliochandra)att glidbanan skall ha formen av en cykloidbåge. (Figurerna i våra böcker får man tänka sig speglade i x-axeln först.) - ½ x = cos 3t y =sin5t, t π -.5.5.5.75.5.5.75 -.5 -.75 - -.5 -.5 -.75 ½ x = t sin t y = ( cos t), <t<.5 3
Utseendet beror på förhållandet mellan spänningarnas frekvenser samt fasskillnaden dem emellan..5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5.5 -.5 - - -.5.5 ½ x =cosmt y =cos nt + k π, t π 4 Längs raderna varierar förhållandet mellan frekvenserna: Längs kolonnerna varierar fasskillnaden f y f x = n m =,, 3, 3, 4, 4, 4 3 k π, k =,,, 3 4 Obs. att frekvensförhållandet kan fås som kvoten mellan antalet tangeringspunkter kurvan har med de horisontella resp. vertikala ramarna. (Elektrotekniker kan på detta sätt uppskatta en okänd frekvens, om den andra är känd.) 4
Kurvor på polär form Spiraler I stället för kartesiska koordinater (x, y) kan man ange läget för en punkt i planet med de s.k. polära koordinaterna r och θ: 3.5 r - 4 - - -3.5.5.5.5 3 r =+θ, θ π Då kan man generera kurvans punkter med två funktioner som ger radien resp. vinkeln i stället för x och y: ½ r = r (t) θ = θ (t), a t b Oftast är θ parametern, t = θ, och då räcker det att ange en funktion r = r (θ), α θ β - 4 6 - - -3-4 r = θ, θ π 5
Kardioid kallas banan för en punkt på periferin av en cirkel som rullar, utan att glida, runt en annan, fix, cirkel med samma radie. Om vi låter radierna vara =,den fixa cirkeln ha medelpunkt i (, ) och betraktar den punkt som befinner sig längst bort till höger, när den rörliga cirkeln finns i höger ytterläge, så ges kurvan på polär form av 3 4 - - r =+cosθ, θ π (Visa detta som övning!) 6
Rosetter.75.5.8.5.6 -.75 -.5 -.5.5.5.75.4 -.5. -.5 -.4 -...4 r =sinθ, θ π -.75 r = sin θ, θ π.5.5 -.75 -.5 -.5.5.5.75 -.4 -...4 -.5 -.5 - r = sin 3θ, θ π Den sista figuren här får du gärna jämföra med.5 - r = sin θ, θ π.5 -.75 -.5 -.5.5.5.75.75.5.5 -.5 -.5 -.75 - -.75 -.5 -.5.5.5 -.5 -.5 -.75 r = sin 3 θ, θ π - ½ x =sin3tcos t y =sin3t sin t, t π Man skulle kunna tänka sig polär framställning med negativa r, om man kommer överens om att räknapåsammasätt: ½ x = r (θ)cosθ r = r (θ) y = r (θ)sinθ 7
Längd, area, volym Längd, area och volym är tre sidor av samma mynt: mått på storleken av -, - resp. 3-dimensionella figurer: kurvor, ytor resp. kroppar. De är additiva mått : Om en kurva delas i flera bitar, så är summan av bitarnas längder = hela kurvans längd. Analogt för ytors areor och kroppars volymer. (Däremot inte för kroppars temperatur, t.ex.!) Som måttstockar använder vi: rät linjesträcka, kvadrat resp. kub. Additiviteten = längd / area / volym av enkla figurer som kan delas in i ändligt många räta sträckor / kvadrater / kuber, kan fås som en summa av delarnas längder / areor / volymer. 3 4 Principen som ligger till grund för alla längd/area/volym-beräkningar: Dela in i små bitar. Approximera varje liten bit med en figur vars måttgårattberäkna(oftast: raksträcka/rektangel / rätblock, men inte alltid), så att approximationsfelen, när indelningen görs finare och finare (maximum av delfigurernas mått ). Summan av alla småfigurers mått approximerar då hela figurens. Betrakta vad som händer med summorna, när indelningen görs finare och finare: Summorna är Riemannsummor för en viss integral de konvergerar mot denna integrals värde. Detta värde tar vi (definitionsmässigt) som längd / area / volym / av den stora figuren. - - Den brutna linjens längd kan vi få som summan av tre raka sträckors längder p + + p +3 + p +4 Men om det inte finns någon sådan uppdelning om figuren har krökta (begränsnings-) linjer / ytor? 8
Längd Funktionskurvor Vi vill beräkna längden av kurvan y = f (x), a x b Dela in kurvan i n st. bitar. Låt delningspunkterna ha koordinaterna Längden av hela polygonkurvan är summan s nx µ dyk + dx k dx k k= Ju finare indelning (d.v.s. ju mindre maximum av alla dx k och dy k är), desto närmare följer polygonen den krökta kurvan. Å andra sidan Inför (x k,y k ) a = x <x <x <...<x n = b dx k = x k x k dy k = y k y k dy k dx k = y k y k x k x k f (x k ) Därmed är vår summa r nx ³ +(f (x k )) dx k k= Förbind delningspunkterna med raka sträckor. (En kurva som är sammansatt av ett ändligt antal raka sträckor kallas polygonkurva.).5 -.5 -..4.6.8 Exempel: y =sinπx med n =5 Den raka sträckan mellan punkterna (x k,y k ) och (x k,y k ) har (enl. Pythagoras sats) längden q (dx k ) +(dy k ) v u à µ! = t dyk + (dx k ) = dx k v u à µ! = t dyk + dx k dx k Men denna är en summa till integralen Z b q +(f (x)) dx a Ju finare indelning, desto närmare integralens värde kommer summorna att ligga. Därför tar vi definitionsmässigt integralens värde som längd till kurvan. ( Definitionsmässigt därför att längd/area/volym inte är några naturfenomen, utan begrepp som människan skapat! Det håller inte att säga: Längden är det man får när man rätar ut kurvan och mäter med rak linjal. Efter en sådan uträtning är det nämligen inte den ursprungliga kurvan, utan ett annat objekt vi har! ) 9
Kedjelinjen Vilken kurvform antar en lina, som är upphängd i sina ändar, men annars hänger fritt? Låt oss räkna ut längden av.4 Utnyttja att..8.6.4. - -.5.5 x y =coshx, x PB, sid.373-375 (337-339), Ex.4 härleder att en böjlig, otänjbar, homogen lina antar formen av en cosh-kurva. cosh x = ex + e x eller mera precist : en bit av y = ekx + e kx, a a, k konstanter så fås D cosh x = sinhx cosh sinh x = sinh ( x) = sinhx = = Z Z Z q +f (x) dx p +sinh xdx cosh x = = [sinhx] = = sinh = e e = e e LTH, övn.7.6, 7.6
Kurvor på parameterform Somovan,mennuärkurvangivenav ½ x = x (t), a t b y = y (t) Videlarinkurvanin st. bitar. Låt delningspunkterna ha koordinaterna Men denna är en Riemannsumma till integralen Z b q (x (t)) +(y (t)) dt a Ju finare indelning, desto närmare integralens värde kommer summorna att ligga. (x k,y k )=(x(t k ),y(t k )) a = t <t <t <...<t n = b Inför dx k = x k x k dy k = y k y k t k = t k t k Förbind delningspunkterna med raka sträckor. Den raka sträckan mellan punkterna (x k,y k ) och (x k,y k ) har (enl. Pythagoras sats) längden q (dx k ) +(dy k ) v u µdxk µ! = tã dyk + (dt k ) = dt k dt k v u µdxk µ! = tã dyk + dt k dt k dt k Längden av polygonkurvan är summan v nx u µdxk µ! tã dyk + dt k dt k dt k k= Ju finare indelning (d.v.s. ju mindre maximum av alla dx k och dy k är), desto närmare följer polygonen den krökta kurvan. Å andra sidan dx k = x k x k x (t k ) dt k t k t k dy k = y k y k y (t k ) dt k t k t k Därmed är vår summa r nx ³ (x (t k )) +(y (t k )) dt k k= Föregående resonemang tecknas ofta kortare på följande sätt: ds = längden av en oändligt liten bit av kurvan, d.v.s. så liten att den kan betraktas som rät (en infinitesimal bit, säger man ofta) ds = p s µdx dx + dy = + dt µ dy dt dt Hela kurvans längd s är suman av bitarnas längder: s Z µdx µ dy s = ds = + dt dt dt Enintegralvarjuendasten speciell typavsumma! Och dx dt, dy dt var ju ett beteckningssätt för derivator!
Cirklars och ellipsers omkrets Betraktar en ellips ½ x = a cos t y = b sin t Derivatorna är och omkretsen = Z π, t π x (t) = a sin t y (t) = b cos t p a sin t + b cos tdt Om vi har en cirkel, d.v.s. a = b = R, så är det lätt: Trig. ettan ger Z π R dt = Z π Rdt =πr Annars brukar man omforma på följande sätt. Det är ingen inskränkning att anta att b<a. (Annars låter vi a och b byta roll.) Inför den s.k. ellipsens eccentricitet s e = och tillämpa trig.ettan, så fås µ b a a sin t + b cos t = a a cos t + b cos t = µ = a a b a cos t = = a e cos t Kurvor på polär form PB, sid. 36-38 (93-94). För att härleda en relevant formel har vi alltså två möjligheter till buds: Alt.. Vi använder den allmänna formeln för längd av kurva på parameterform: Låt θ spela rollen av parametern t och beteckna med primtecken derivation med avseende på θ: x = r cos θ = x = r cos θ r sin θ y = r sin θ y = r cos θ + r cos θ x + y = r cos θ r sin θ + r cos θ + r cos θ = =...= r + r Alt.. Gör om approximationsresonemanget från grunden med hjälp av figur, se PB, sid.38 (94). Kardioidens längd r (θ) = +cosθ, π θ π r (θ) = sin θ r + r = sin θ +(+cosθ) = = +cosθ Exakt rotutdragning är faktiskt möjlig här, om man går över till halva vinkeln: cos θ = cos θ sin θ = cos θ +sin θ = a Z π Z π p a sin t + b cos tdt p e cos tdt, <e< Den sista integralen är emellertid omöjlig att beräkna analytiskt, kan man visa! (Kallas: elliptisk integral.) LTH, övn.7.4 Längden +cosθ = 4cos θ = = = Z π π Z π π q (r ) + r dθ = cos θ dθ = 4sin θ π π =8
Area Ytan mellan två funktionskurvor (x, y) : ½ a x b, g (x) y f (x) Ellipsers (och spec. cirklars) area PB, avsnitt 7. Notera substitutionen x =sint, medvilkenmanfårbortrotteckneti x. Dela in det aktuella intervallet längs x-axeln, a = x <x <x <...<x n = b och approximera arean med rektanglar. Arean av området mellan x k och x k är approximativt en rektangel med bas (x k x k ) och höjd (f (x k ) g (x k )), alltså area (f (x k ) g (x k )) (x k x k ) Summan av alla rektangelareor nx (f (x k ) g (x k )) (x k x k ) k= är en Riemannsumma till Z b a (f (x) g (x)) dx och konvergerar mot denna, när indelningen görs allt finare. Vi tar integralens värde som definition av ytans area. Det kortare sättet att teckna ner detta resonemang är i detta fall: Totala arean A = summan av smådelarnas areor, där varje del är en oändligt smal rektangel med höjden (f (x) g (x)) och basen dx: Z A = Z b da = (f (x) g (x)) dx a PB, avsnitt 7. LTH, övn. 7.-7. 3 Andra indelningar kan emellertid ibland leda fortare till målet:
Cirkeln indelad i koncentriska ringar Säg att cirkeln har radien R. Dela in intervallet r R =r <r <r <...<r n = R och tänk dig cirklar med radierna r,r,...,r n. Cirkelnindeladisektorer Betrakta en sektor med relativt liten medelpunktsvinkel, kalla den dθ. Sektorn är ungefär en triangel med bas bågens längd = Rdθ höjd R area Rdθ R = R dθ = da Förutsätt att vi kan formeln för en cirkels omkrets. En smal ring mellan cirklarna med radier r k resp. r k har approximativt arean da = πr k (r k r k ) [sätt dr k = r k r k ] (Tänk dig ringen uträtad då har vi ungefär en rektangel med längden = aktuella radiens omkrets, och bredden = dr k.) Summan av alla ringareor nx πr k dr k k= Z R πrdr= πr R = πr Om vi inte hade vetat vad cirkelns omkrets är, så hade vi på detta sätt i alla fall kunnat dra slutsatsen att storheterna A (R) = areanavencirkelmedradier S (R) = omkretsen av densamma är kopplade genom A (R) = Z R varav A (R) = S (R) S (R) dr, När indelningen blir finare och finare, går summan av sektorernas areor mot Z A = da = Z π R dθ = πr Ja, nu motsäger jag mig! Jag skrev ju att när man rätar ut en figur, så har man inte längre samma figur! Och det är riktigt det är inte självklart att den här indelningens summor kommer att leda till samma gränsvärde som med rektanglarna. Men det går att bevisa, om man anstränger sig litet mer! 4
Arean innanför en kurva på polär form Samma typ av indelning i sektorer som senast för cirkeln ger att arean som begränsas av Areanavenrotationsyta PB, avsnitt 7.5 LTH, övn. 7.3, 7.33 bör ges av kurvan r = r (θ), α θ β och strålarna θ = α θ = β För kardioiden fås t.ex. Z β α r (θ) dθ r (θ) =R +R cos θ Z π = R π Z π 4R ( + cos θ) dθ π =...= = 6πR +cosθ +cos θ dθ 5
Volym Indelning i plana skivor PB, sid.38 (84) LTH, övn. 7.4, 7.5 Likformiga tvärsnitt PB, sid.38 (85), Ex. 5 (4) Rotationsvolymer PB, sid.39-3 (85-86) LTH, övn. 7.8 Vilken volym får vi om vi låter området mellan kurvorna y = f (x) och y = g (x) rotera kring x- axeln?.5.5 -.5 -..4.6.8 övre: f (x) =sinπx undre: g (x) = Svar: V = Z b a LTH, övn.7. π ³f (x) g (x) dx 6
Indelning i cylindriska skal PB, sid.3-3 (86-87), Ex.7 (6) Klotets volym, alt. Dela in i koncentriska rör, som figuren antyder:.75.5.5.5 - -.5 -.5.5 - Ovanifrån: Indelning i sfäriska skal Klotets volym, alt.3 På samma sätt som vi ovan fick att cirkelns omkrets är derivatan av cirkelns area, när dessa betraktas som funktioner av radien, så kan vi få att sfärens area, S (r), är derivatan av klotets volym, V (r), när dessa betraktas som funktioner av radien r: Dela in klotet i tunna koncentriska skal. Ett skal på avståndet r frånmedelpunktenochmedtjockleken dr har approximativt volymen Hela klotets volym är då Z V (R) = dv = S (r) dr dv = Z R S (r) dr Ringen mellan cirklarna med radier r k och r k i det här perspektivet, svarar mot ett rör med innerradie r k och ytterradie r k, och längd q (in i papprets plan) mellan qr r k och R rk. Om vi har fin indelning, d.v.s. dr k = r k r k är liten, så är rörets volym approximativt (räta ut det!) q dv =πr k R rk dr k och summan av alla rörvolymer är en Riemannsumma till integralen Z R = 4π πr p R r dr R r 3/ R = 4 3 3 πr3 LTH, övn.7., 7., 7.67 7
Integraler i fysiken Lägesändringen, då hastigheten är känd Skolformeln generaliseras s = vt Resonemanget brukar ofta tecknas kortare så här: dx = v dt (I stället för x (t k ) x (t k ) v (t k ) (t k t k ) d:na symboliseras att vi betraktar små ändringar.) x (t f ) x (t s )= Z tf t s dx = Z tf t s v (t) dt x (t f ) x (t s )= Z tf t s v (t) dt där (Vi tänker oss rörelse längs en rät linje som vi graderat, så att läger vid varje tidpunkt t ges av ett tal x (t).) x (t) = läget vid tiden t v (t) = hastigheten vid tiden t t s = tidpunkt för start t f = tidpunkt för finish Formeln s = vt gäller ju om hastigheten v är konstant hela tiden. Om v varierar däremot, kan vi använda den endast som approximation för korta intervall. Vi delar in tidsintervallet t s t t f ikorta delintervall : t s = t <t <t <...<t n = t f Lägesändringen under delintervallet t k t t k x (t k ) x (t k ) v (t k ) (t k t k ) Den totala lägesändringen är summan av alla deländringar: x (t f ) x (t s ) nx v (t k ) (t k t k ) k= Summan är en Riemannsumma ju finare indelning, desto närmare kommer summorna värdet av integralen Z tf t s v (t) dt Å andra sidan ju finare indelning, desto närmare borde vi komma det riktiga värdet på lägesändringen. Därför x (t f ) x (t s )= Z tf t s v (t) dt 8
OBS. att jag skrivit lägesändring ( förflyttning skulle man också kunnat skriva) och inte sträcka. Det matematiskt bekväma är att räkna hastighet med tecken, så att hastigheten är tidsderivatan av läget. Om rörelsen försiggår såväl framåt som bakåt, och hastigheten räknas med tecken och man vill räkna ut den tillryggalagda sträckan, oavsett riktning, så får man integrera hastighetens absolutbelopp tillryggalagd sträcka s = Z tf t s v (t) dt Hastigheten, då accelerationen är känd v (t) = hastigheten vid tiden t a (t) = accelerationen vid tiden t Är acceleration inblandad i resonemangen, så är det % säkert att man räknar med tecken. Vi har dv = adt d.v.s. för ett oändligt kort (infinitesimalt) tidsintervall dt kan accelerationen betraktas som konstant och hastighetsändringen dv fås genom multiplikation. Sedan adderar vi alla hastighetsändringar: v (t f ) v (t s )= Z tf t s a (t) dt Rörelse med konstant acceleration a Om man startar i vila vid t =, blir hastigheten OBS. Ett sådant samband följer också ur insättningsformeln och definitionen av acceleration som hastighetens tidsderivata att a (t) =v (t) betyder ju att v (t) är primitiv till integranden. (På samma sätt kunde vi resonerat ovan för lägesändring och hastighet.) LTH, övn. 7.4, 7.5, 7.66 v (t) =at Om man dessutom startar i punkten x =, så ges läget vid tiden t = T av x (T ) = x (T ) x () = = Z T v (t) dt = Z T at dt = T at = at (Kännerduigenfrångy-böckernaifysik,ävenom jag här använt stort T i stället för litet t, för tidsintervallets längd.) Om vi i stället startade med begynnelsehastigheten v, så hade vi i stället haft v (t) =v +at, och om startpunkten är x, så fås läget vid t = T ur x (T ) x () = Z T x (T ) = x + v T + at (v + at) dt = v T + at Uttrycken för v (t) ovan är specialfall av följande: 9
Massan, då densiteten är känd m = massa ρ = densitet V = volym Om densiteten varierar, dela in i små bitar. En oändligt liten (det fina ordet är: infinitesimal) bit har massan Summera sedan: Z m = dm = ρdv Z dm = ρdv Ibland har man att göra med kroppar som plattor och trådar, där vissa dimensioner är så mycket mindre än andra att densitetens variation över dem är försumbar (densiteten av en lång tråd hinner inte ändra sig så mycket på tvären som på längden). Då är det bekvämt att arbeta med längd- resp. ytdensitet, d.v.s. massa per längd- resp. areaenhet. Formelnovanskrivsdå Z m = ρds Z m = ρda Arbetet, då kraften är känd Skolformeln W = F s där W = arbete F = kraft i vägens riktning s = sträcka gäller också så länge kraften är konstant. Om kraften varierar längs vägen, dela in i så korta sträckor att kraften är approximativt konstant på varje delsträcka och summera. Summorna nx F (x k ) (x k x k ) k= är Riemannsummor till W = Z xf x s F (x) dx om förflyttning sker från x = x s till x = x f längs x-axeln och F (x) anger hur kraften varierar med läget. LTH, övn. 7.7, 7.54, 7.55 Här skall ds och da symbolisera längden resp. arean av en infinitesimal bit. PB, avsnitt 7. LTH, övn. 7.9, 7., 7.3
Energin, då effekten är känd Skolformeln W = Pt där W = energi/arbete P = effekt t = tid gäller under förutsättning att effekten är konstant över tiden. Om den skulle variera, får vi dela in i så korta tidsintervall att effekten variatiion kan försummas, beräkna energin/arbetet för varje sådant intervall och summera sedan: LTH, övn. 7.6 W = Z tf t s P (t) dt Laddningen, då strömstyrkan är känd Laddningen Q, som passerar ett tvärsnitt av en ledare under ett visst tidsintervall med längd t ges av Q = I t om strömstyrkan I är konstant under tiden. Annars får vi dela in i korta tidsintervall, räkna ut laddningarna (approximativt) för varje intervall, och summera: Q = lim = max t k t k k= Z tf t s I (t) dt LTH, övn. 7.8, 7.65 nx I (t k ) (t k t k )= Kraften, då trycket är känt Totala kraften som verkar på en yta är = trycket arean ifall trycket är detsamma över hela ytan. Annars dela upp ytan i så små bitar, att trycket kan anses i praktiken konstant över varje bit, tillämpa formeln på varje bit för sig och summera sedan: Z F = pda LTH, övn. 7.45 (ej tryckcentrum)
Resterande exempel t.o.m sid. avsedda som bredvidläsning. Newtons andra lag brukar i skolan formuleras F = ma 3 är menhurgörbehandlarmanenkroppk med utsträckning, vars delar har olika accelerationer (tänk på något som vrider sig) och/eller angrips av flera krafter? Generaliseringen gavs av Euler och brukar skrivas symboliskt på följande sätt Z Z df = adm K Vänsterledet står för summan av alla krafter på kroppen K, resultanten. Högerledet säger: Dela in kroppen i små bitar. För varje liten bit är då accelerationen a (ungefär) konstant, multiplicera den med bitens massa dm. Summera sedan. Ju finare indelning, desto bättre. Summorna går då mot en viss integral beräkna denna! (Egentligen är kraft och acceleration vektorstorheter de har såväl storlek som riktning. Med addition avses då vektoraddition tänk på kraftaddition från gymnasiet, eller den geometriska tolkningen av addition av komplexa tal. När man skall räkna, så kan man dela upp alla krafter och accelerationer i x-, y-resp. z-komposanter och addera dem var för sig.) K Masscentrum Vid beräkning av masscentrums läge (i mekaniken) dyker föjande integraler upp (har med vridmoment att göra.): Z Z Z xdm, ydm, zdm K K Den första säger oss (övriga - helt analogt): Dela in kroppen i så små bitar att punkterna som ingår i en viss bit har väsentligen samma x-koordinat. Multiplicera då denna x-koordinat med bitens massa dm. Slutligen addera produkterna som fås från varje bit. Ju finare indelning, desto närmare kommer vi en viss integral beräkna denna! K
Tröghetsmoment Tröghetsmomentet J för en kropp är en slags motsvarighet till massan vid rotationsrörelse. Newtons andra lag Ex. Tröghetsmoment för en homogen stav med längden L och massan m, med avseende på en axel vinkelrätt mot staven, genom ena ändpunkten: F = ma har nämligen följande analog för en kropp som kan rotera kring en fix axel: τ = Jα där τ = yttre krafternas vridmoment, α = vinkelaccelerationen J = tröghetsmomentet allt med avseende på rotationsaxeln Tröghetsmomentet beror på kroppens geometri och massfördelning enligt Z J = r dm K Bokstaven r står för masspunkten dm:s avstånd till denna axel. Formeln säger oss: Dela in kroppen i så små bitar att avståndet till axeln r är väsentligen konstant över varje enskild bit. För varje bit: multiplicera dess r med dess massa dm. Summera sedan. Ju finare indelning, desto närmare kommer vi en viss integral beräkna denna! Det är bekvämt att räkna med stavens längddensitet ρ (även om den aldrig omnämns explicit!). Att staven är homogen innebär att ρ är konstant. Tänk dig staven liggandes längs x-axeln, med y-axeln som rotationsaxel. Dela in staven, d.v.s. intervallet x L, ikortabitar,avlängddx. dm = ρ dx Z J = r dm = = Z L L x ρ dx = ρ 3 x3 = [m = ρl] = 3 ml där den sista omskrivningen kommer sig av att vi ville uttrycka svaret med massan m, och inte densiteten, och för en homogen stav är m = ρl. Ex. Tröghetsmoment för en homogen platta med massa m och radie R, med avseende på en axel vinkelrät mot plattan, genom dess medelpunkt. Låt ρ = plattans ytdensitet = konstant. Dela in plattan i koncentriska ringar, som vid en av beräkningarna av cirkelns area. En smal ring på avståndet r från medelpunkten, och med tjockleken dr, har approximativt arean J = = arean da = πr dr och massan dm = ρda = ρπrdr Z Z R r dm = R r ρπrdr=πρ 4 r4 = ρπr4 = = m = ρ πr = mr 3