MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA18 Differential- och integralkalkyl III Datum: juni 01 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen, 4, 5 krävs minst 18, 6 respektive 4 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Vektorerna e 1, e, e utgör i förekommande fall en HON-bas. 1. Beräkna (4x y 7 + 5x 4 y 5 ) dx + (7x 4 y 6 + 5x 5 y 4 ) dy, γ där γ är den i medurs led genomlupna tjocka halvcirkeln (x 1) 1 + (y 1) 1 = 1, x 1, från punkten A : (1, 0) till punkten B : (1, ).. Kurvan γ ges av ekvationen r = t e 1 + t e + t e. Bestäm krökningsradien i punkten P : ( 1 1, 6 1, ) och koordinaterna för motsvarande krökningscentrum.. Beräkna Y xe 1 + ye + ze ˆn ds, (x + y + z ) där ytan Y utgörs av randen till det mellan planet z = 0 och konen z = x + y befintliga sfäriska skiktet 1 x + y + z 4, och där det normerade normalfältet ˆn till ytan är riktat ut från skiktet. 4. Låt f(x) = ( 4x) 1. Bestäm Taylorserien till f kring punkten 1. Ange även konvergensintervallet för serien. 5. Bestäm volymen av den ändliga kropp K som precis innesluts av den paraboliska cylindern y = x och de tre planen x = y, y = z, z = x. 6. Beräkna γ x dy y dz, där γ är (ett varv av) den sett från punkten A : (0, 0, 1) i moturs led genomlupna skärningen mellan paraboloiden x + y = z och planet x = z. 7. Är serien n=0 n + 7n (ln()) n absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent? 8. Beräkna 16 D (x y) + 16 da, där D är parallellogrammen med hörnen i punkterna med koordinaterna (0, 0), (1, 1), (4, 0) och (, 1).
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMENN I MATEMATIK MMA18 Differential- ochh integralkalkyl III Datum: juni 01 BEDÖMNINGSPRINCIPERR med POÄNGSPANN 1. 160 Tentamen 01-06-0 ( 1 ). R( t P ) 6 r ( 1 e c t P ) t P 1 1 6 e 7 e BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna p: Korrekt visat att vektorfältet är konservativt på varje enkelt sammanhängande öppet område, dvs att vektorfältet har en potential och att kurvintegralen är vägoberoende p: Korrekt byttt väg från (xx 1) 1 ( y 1) 1 1, x 1 till någon enklare (t.ex. x 1, y : 0 ) eller bestämt en potential 1p: Korrekt slutfört beräkningen av kurvintegralenn 1p: Korrekt funnit det allmänna uttrycket för krökningsradienn 1p: Korrekt beräknat krökningsradien i punkten P 1p: Korrekt funnit det allmänna uttrycket för huvudnormalenn 1p: Korrekt definierat det allmänna a uttrycket för krökningsce entrum 1p: Korrekt beräknat koordinaterna förr krökningscentrum. 1p: Korrekt med Gauss sats omskrivitt integralen 1p: Korrekt bestämt divergensen av vektorfältet p: Korrekt variabelsubstituerat till rymdpolära koordinater, varav 1p för korrekt funna gränser för dee rymdpolära koordinaterna 1p: Korrekt slutfört integrationen 4. f (x) 4 1 n ( 7 7 n0 Konvergensintervallet = 1 1 4, x 1) n 4 p: Korrekt förberett för attt kunna nyttja utvecklingen för ( 1 u 1p: Korrekt bestämt alla koefficienter c n 1p: Korrekt bestämt konvergensintervallets inre punkter 1p: Korrekt avgjort konvergensintervallets ändpunkter ) 1 5. 1 v.e. 60 p: Korrekt hittat gränsernaa i någon avv de möjliga iterationerna (1+1+1)p: Korrekt integrerat i den valda iterationen 6. 7. Serien är absolut konvergent 8. 1p: Korrekt skrivit om integralen enligt Stokes sats, samt korrekt bestämt F 1p: Korrekt bestämt normalvektorn tilll den valda Stokes-ytan 1p: Korrekt ortogonalt projicerat ytelementet ds på xy-planet 1p: Korrekt ortogonalt projicerat Stokes-ytan på xy-planet 1p: Korrekt beräknat den resterande dubbelintegralen 1p: Korrekt noterat att kvotkriteriet är användbartt a n1 1 1 p: Korrekt funnit att lim 1 n a ln() ) ln( e) p: Korrekt dragit slutsatsen att serien n a n är absolut konvergent 1p: Korrekt valt sådana nyaa integrationsvariabler som ger ettt rektangulärtt integrationsområde 1p: Korrekt hanterat skalförändringen i variabelbytet p: Korrekt funnit gränserna i de nya variablerna 1p: Korrekt beräknat dubbelintegralen n efter det gjorda variabelbytet