KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: bara formelsamlingen som delas ut Obs! Miniräknare ej tillåten. Notera gärna dina bonuspoäng på omslaget. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Notation: Edwin Langmann (Epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, https://kth.instructure.com/courses/4568/ Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Inför och förklara konstanter och symboler du behöver! u x (x, t) = x u(x, t); f (x) = df(x) dx ; x betyder < x < 1. 1 (a) Beräkna elektriska potentialen U(r, θ) inom ett homogent metallisk rör med inre radie > och yttre radie 2. Potentialen vid ränderna är fixerade, U(, θ) = U sin 2 θ, U(2, θ) = U cos 2 θ där U > är en konstant. Potentialen uppfyller Laplaces ekvation U =. (r, θ, z är cylinderkoordinater: x = r cos θ och y = r sin θ, och röret är så långt att man kan anta att potentialen är oberoende av z.) (4p) (b) Ange PDE problemet som definierar Greenfunktionen till problemet i 1(a) ovan. OBS: Du behöver inte beräkna Greenfunktionen! (2p) 2. (a) Bestäm lösningen u(x, t), t > och < x < L, till följande problem, ρu tt (x, t) Su xx (x, t) = ( < x < L, t > ) u(, t) =, u(l, t) = A sin(ωt) (t > ) u(x, ) = u t (x, ) = ( < x < L) där A >, ρ >, S >, ω >, L > är constanter. Du behöver inte beräkna alla integraler för full poäng. (5p) (b) Ange en möjlig fysikalisk tolkning av problemet i (a). (1p) 3. En sfärisk kula med radie har från början överallt temperaturen T. Den avkyls genom att dess yta från tiden t = hålls vid temperaturen T /5. (a) Beräkna temperaturen inom kulan vid alla tider t. (5p) (b) Beräkna approximativt tiden då temperaturen i centrum är lika med T /2. (1p) Ledning: Temperaturen T = T (r, t) oberoende av θ och ϕ. Alla integraler ska beräknas för full poäng. Ledning: sin(kx)xdx = [sin(kx) kx cos(kx)]/k 2. 1 Dina bonuspoäng från hemtalen under VT218 adderas till dina poäng i uppgiften 1, dock kan du bara få 6 poäng max.
4. (a) Bestäm lösningen u(x, t), x och t, till problemet u t (x, t) au xx (x, t) =, u(x, ) = u e x2 / 2 där >, u och a > är konstanter. Anta att u(x, t) när x för alla t >. (b) Ange Greenfunktionen till problemet i (a)! (c) Beskriv (i ord) en möjlig situation som kan beskrivas med modellen i (a). Det skall vara möjligt att ställa upp modellen från beskrivningen. (6p) 5. Då vattnet i en rak cirkulär cylinder med radie roterar med vinkelhastigheten ω > runt cylinderaxeln formar sig ytan så att den potentiella energien U i det roterande systemet blir minimal. Bestäm vattenytans höjd h(r) som funktion av avståndet r från cylinderaxeln! Ledning: Bidraget du till potentiella energin från volymelementet dv är du = ρ M ( gz ω2 r 2 2 ) dv där g = 9.82m/s 2, ρ M är vattens densitet, och r, ϕ, z är cylinderkoordinater. Anta att totala vattenvolymen V är så stor att h(r) > för alla r. Ange eventuella bivillkor. (6p) 6. En elektrisk potential U(r, t) genereras av en laddningsfördelning ρ sin(ωt) om x ρ L (r, t) = 2 + y 2 a annars vid tiden t, där r = (x, y, z) är positionen i kartesiska koordinater; ρ >, ω > och a > är konstanter. Beräkna en stationär periodisk lösning U(r, t), r 3 och t, till problemet! Ledning: U(r, t) uppfyller inhomogena vågekvationen U tt c 2 U = ρ L. OBS att U och Us normalderivata skall vara kontinuerliga vid ytan x 2 + y 2 = a, och U när x 2 + y 2. (6p) LYCKA TILL!
Lösningsföreslag till tentamen i Fysikens matematiska metoder 1869 I TYPED THIS QUICKLY: PLEASE LET ME KNOW BY EMAIL IF YOU FIND ANY MISTAKES/TYPOS. THANKS. 1. (a) Problemet lyder ( U)(r, θ) = U rr (r, θ) + 1 r U r(r, θ) + 1 r 2 U θθ(r, θ) = ( < r < 2, θ 2π) U(, θ) = U sin 2 (θ) = 1 2 U (1 cos 2θ), U(, θ) = U cos 2 (θ) = 1 2 U (1 + cos 2θ). Allmänna lösningen till PDE i området < r < 2 är ( U(r, θ) = (a +b ln(r/))+ r n [a n cos(nθ) + b n sin(nθ)] + r n [c n cos(nθ) + d n sin(nθ)] ) med godtyckliga konstanter a n, b n, c n, d n, och randvillkoren där U(r, θ) = 1 2 U + cos(2θ)[a 2 r 2 + c 2 r 2 ] a 2 2 + c 2 2 = U 2, a 2(2) 2 + c 2 (2) 2 = U 2 a 2 = 1/6 2, c 2 = 2 2 /3. Svar: U(r, θ) = U (1/2 + [r 2 /6 2 2 2 /3r 2 ] cos(2θ)) (b) PDE problemet som Bestämmer Greenfunctionen G(r, r ), r = (x, y) och r = (x, y ), är ( r G)(r, r ) = δ(r r ) ( < r < 2, < r < 2) G(r, r ) r = = G(r, r ) r =2 = där r = x 2 + y 2 osv. (Man kan också skriva det i polära koordinater förstås, men det behövs inte för full poäng.) 2. PDE problemet lyder u tt (x, t) c 2 u xx (x, t) =, u(, t) =, u(l, t) = A sin(ωt), u(x, ) = u t (x, t) = där c = S/ρ. Ansatsen u p (x, t) = f(x) sin(ωt) för en partikulärlösning ω 2 f(x) c 2 f (x) =, f() =, f(l) = A f(x) = A sin(ωx/c) sin(ωl/c). esonansfrekvens: ωl/c = nπ där n = 1, 2,... ω n = nπc/l. Vi antar att ω ω n dvs. sin(ωl/x). Ansatsen u(x, t) = u p (x, t) + U(x, t) U tt (x, t) c 2 U xx =, U(, t) = U(L, t) =, U(x, ) =, U t (x, ) = f(x)ω med f(x) ovan. U(x, t) = där k n = nπ/l. a n sin(k n x) sin(k n ct), a n = ω 2 k n c L L Svar: u(x, t) = f(x) sin(ωt) + U(x, t) med f(x) och U(x, t) ovan. sin(k n x)f(x)dx
3. T t (r, t) T (r, t) =, T (, t) = T /5, T (r, ) = T T (r, t) = T /5 + a n 1 r sin(k nr), k n = nπ/ a n = 2 4T 5 sin(k nr)rdr. Svar: T (r, t) = 1 5 T + 8 5 T ( 1) n 1 k n 1 r sin(k nr), k n = nπ/ 4. (a) Fourier transformen U(k, t) = U t (k, t) + ak 2 U(k, t) =, U(k, ) = u(x, t)e ikx dx (integralen ges i formelsamlingen) som har lösningen u e x2 / 2 e ikx dx = u πe k2 2 /4 U(k, t) = U(k, )e ak2t = u πe k2 ( 2 +4at)/4. Inversa Fourier transformen svaret: u(x, t) = 1 U(k, t)e ikx dk = u π 2π 2π dvs. (integralen ges i formelsamlingen) u(x, t) = 2 + 4at u e x2 /( 2 +4at). e k2 ( 2 +at)/4 e ikx dk (b) Greensfunktionen G(x, t, x, t ) bestäms av problemet G t (x, t, x, t ) ag xx (x, t, x, t ) = δ(t t )δ(x x ), G(x,, x, t ) = som har lösningen G(x, t, x, t ) = Θ(t t 1 ) ) 2 /4a(t t ) 4πa(t t ) e (x x med Heavisidefunktionen Θ (fundamentallösningen G (x, t) så att G(x, t, x, t ) = Θ(t t )G (x x, t t ) finns i formelsamlingen). (c) Värmeledning i en isolerad homogen stav som är så lång att randeffekterna kan ignoreras: u(x, t) är temperaturen i positionen x och vid tiden t som uppfyller den en-dimensionalla värmeledningsekvation. Temperaturen vid tiden t = är lika med u e x2 / 2. (Det är en möjlig svar; det finns många andra.)
5. Vattenvolymen V definieras genom r, z h(r), θ 2π i cylinder koordinater r, θ, z, dvs. h(r) ( ) U = 2π rdr dzρ M gz ω2 r 2 ( = 2πρ M dr g 1 2 2 rh(r)2 1 ) 2 ω2 r 3 h(r), och vi har ett villkor att volymen h(r) V = 2π rdr dz = 2π drrh(r) är fixerad och like med V. Problemet lyder: bestäm h(r) så att U är minimum med bivillkoret V = V. Lösningen är att bestämmer extremum till funktionalen U λv = 2π drf (h(r)) med Lagrange multiplikatorn λ och F (h(r)) = ρ M (g 1 2 rh(r)2 1 ) 2 ω2 r 3 h(r) λrh(r). Euler-Lagrange ekvationen är (p.g.a. F/ h (r) = ) F h(r) = ρ M(grh(r) + 1 2 ω2 r 3 ) λr = h(r) = λ ρ Mω 2 r 2 /2 ρ M g där λ bestäms genom V = 2π Svar: drr λ ρ Mω 2 r 2 /2 ρ M g = 2π ( 1 ρ M g 2 λ2 1 ) 8 ρ Mω 2 4 λ = 1 4 ρ Mω 2 2 + V ρ M g π. 2 h(r) = ω2 ( 2 2r 2 ) 4g + V π 2. [Kolla att dimensionerna stämmer: [h(r)] = L, [V / 2 ] = L OK, [ω 2 2 /g] = T 2 L 2 /(L/T 2 ) = L OK.] 6. Problemet lyder U tt (r, t) c 2 U(r, t) = ρ(r, t), U(r, ) = U t (r, ) =. Ansatsen U p (r, t) = f(r) sin(ωt), r = x 2 + y 2, för en partikulärlösning till PDE ω 2 f(r) c 2 1 r ρ r < a r(r r f(r)) = r > som har en lösning f(r) = ρ /ω 2 AJ (λr) + BY (λr) r < a r > där λ = ω/c och där A och B bestäms så att f(r) och f () är kontinuerliga vid r = (enl. ledningen) dvs. AJ (λ) + BY (λ) = ρ /ω 2, AλJ (λ) + BλY (λ) =. Svar: U(r, t) = f(r) sin(ωt) med f(r) ovan och ρ Y A = (λ) ω 2 (J (λ)y (λ) Y (λ)j (λ)), B = ρ J (λ) ω 2 (J (λ)y (λ) Y (λ)j (λ)).