Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

Relevanta dokument
KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1304 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 24 augusti 2004 kl

Tentamen Fysikens Matematiska Metoder, Tilläggskurs, vt 2009, SI (a) Bestäm en reellvärd funktion f(x), 0 x 1, för vilken funktionalen

Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs

1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, y) till Laplaces ekvation u = 0 inom rektangeln 0 < x < a och 0 < y < b med följande randvillkor 1

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1 (Del 2 på andra sidan)

1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0

Edwin Langmann (tel: Epost: DEL 1

KTH Fysik Tentamen i 5A1301/5A1305 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 23 augusti 2005, kl

2. För ljudvågor i en gas, innesluten i ett sfärisk skal, gäller vågekvationen. u tt = c 2 u

KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A1304/5A1305 Fysikens matematiska metoder Onsdagen den 11 januari 2006, kl 08:00-13:00

för t > 0 och 0 x L med följande rand- och begynnelsevillkor

TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

1. (a) Bestäm funktionen u = u(t, x), t > 0 och 0 < x < L, som uppfyller. u(t, 0) = 0, u x (t, L) = 0 u(0, x) = Ax(2L x)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Tentamen: Lösningsförslag

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

3. Analytiska funktioner.

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

14. Potentialer och fält

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Kvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

Kontrollskrivning 1A

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösning till kontrollskrivning 1A

Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Transkript:

KTH Teoretisk Fysik Omtentamen i Fysikens matematiska metoder SI12; SI114 Del 2; SI1143 Lördagen den 9 juni 218 kl 9. 14. Anteckna på varje blad: namn, personnummer, och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: bara formelsamlingen som delas ut Obs! Miniräknare ej tillåten. Notera gärna dina bonuspoäng på omslaget. Examinator: Lösningar: Motivera utförligt! Notation: Edwin Langmann (Epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, https://kth.instructure.com/courses/4568/ Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Inför och förklara konstanter och symboler du behöver! u x (x, t) = x u(x, t); f (x) = df(x) dx ; x betyder < x < 1. 1 (a) Beräkna elektriska potentialen U(r, θ) inom ett homogent metallisk rör med inre radie > och yttre radie 2. Potentialen vid ränderna är fixerade, U(, θ) = U sin 2 θ, U(2, θ) = U cos 2 θ där U > är en konstant. Potentialen uppfyller Laplaces ekvation U =. (r, θ, z är cylinderkoordinater: x = r cos θ och y = r sin θ, och röret är så långt att man kan anta att potentialen är oberoende av z.) (4p) (b) Ange PDE problemet som definierar Greenfunktionen till problemet i 1(a) ovan. OBS: Du behöver inte beräkna Greenfunktionen! (2p) 2. (a) Bestäm lösningen u(x, t), t > och < x < L, till följande problem, ρu tt (x, t) Su xx (x, t) = ( < x < L, t > ) u(, t) =, u(l, t) = A sin(ωt) (t > ) u(x, ) = u t (x, ) = ( < x < L) där A >, ρ >, S >, ω >, L > är constanter. Du behöver inte beräkna alla integraler för full poäng. (5p) (b) Ange en möjlig fysikalisk tolkning av problemet i (a). (1p) 3. En sfärisk kula med radie har från början överallt temperaturen T. Den avkyls genom att dess yta från tiden t = hålls vid temperaturen T /5. (a) Beräkna temperaturen inom kulan vid alla tider t. (5p) (b) Beräkna approximativt tiden då temperaturen i centrum är lika med T /2. (1p) Ledning: Temperaturen T = T (r, t) oberoende av θ och ϕ. Alla integraler ska beräknas för full poäng. Ledning: sin(kx)xdx = [sin(kx) kx cos(kx)]/k 2. 1 Dina bonuspoäng från hemtalen under VT218 adderas till dina poäng i uppgiften 1, dock kan du bara få 6 poäng max.

4. (a) Bestäm lösningen u(x, t), x och t, till problemet u t (x, t) au xx (x, t) =, u(x, ) = u e x2 / 2 där >, u och a > är konstanter. Anta att u(x, t) när x för alla t >. (b) Ange Greenfunktionen till problemet i (a)! (c) Beskriv (i ord) en möjlig situation som kan beskrivas med modellen i (a). Det skall vara möjligt att ställa upp modellen från beskrivningen. (6p) 5. Då vattnet i en rak cirkulär cylinder med radie roterar med vinkelhastigheten ω > runt cylinderaxeln formar sig ytan så att den potentiella energien U i det roterande systemet blir minimal. Bestäm vattenytans höjd h(r) som funktion av avståndet r från cylinderaxeln! Ledning: Bidraget du till potentiella energin från volymelementet dv är du = ρ M ( gz ω2 r 2 2 ) dv där g = 9.82m/s 2, ρ M är vattens densitet, och r, ϕ, z är cylinderkoordinater. Anta att totala vattenvolymen V är så stor att h(r) > för alla r. Ange eventuella bivillkor. (6p) 6. En elektrisk potential U(r, t) genereras av en laddningsfördelning ρ sin(ωt) om x ρ L (r, t) = 2 + y 2 a annars vid tiden t, där r = (x, y, z) är positionen i kartesiska koordinater; ρ >, ω > och a > är konstanter. Beräkna en stationär periodisk lösning U(r, t), r 3 och t, till problemet! Ledning: U(r, t) uppfyller inhomogena vågekvationen U tt c 2 U = ρ L. OBS att U och Us normalderivata skall vara kontinuerliga vid ytan x 2 + y 2 = a, och U när x 2 + y 2. (6p) LYCKA TILL!

Lösningsföreslag till tentamen i Fysikens matematiska metoder 1869 I TYPED THIS QUICKLY: PLEASE LET ME KNOW BY EMAIL IF YOU FIND ANY MISTAKES/TYPOS. THANKS. 1. (a) Problemet lyder ( U)(r, θ) = U rr (r, θ) + 1 r U r(r, θ) + 1 r 2 U θθ(r, θ) = ( < r < 2, θ 2π) U(, θ) = U sin 2 (θ) = 1 2 U (1 cos 2θ), U(, θ) = U cos 2 (θ) = 1 2 U (1 + cos 2θ). Allmänna lösningen till PDE i området < r < 2 är ( U(r, θ) = (a +b ln(r/))+ r n [a n cos(nθ) + b n sin(nθ)] + r n [c n cos(nθ) + d n sin(nθ)] ) med godtyckliga konstanter a n, b n, c n, d n, och randvillkoren där U(r, θ) = 1 2 U + cos(2θ)[a 2 r 2 + c 2 r 2 ] a 2 2 + c 2 2 = U 2, a 2(2) 2 + c 2 (2) 2 = U 2 a 2 = 1/6 2, c 2 = 2 2 /3. Svar: U(r, θ) = U (1/2 + [r 2 /6 2 2 2 /3r 2 ] cos(2θ)) (b) PDE problemet som Bestämmer Greenfunctionen G(r, r ), r = (x, y) och r = (x, y ), är ( r G)(r, r ) = δ(r r ) ( < r < 2, < r < 2) G(r, r ) r = = G(r, r ) r =2 = där r = x 2 + y 2 osv. (Man kan också skriva det i polära koordinater förstås, men det behövs inte för full poäng.) 2. PDE problemet lyder u tt (x, t) c 2 u xx (x, t) =, u(, t) =, u(l, t) = A sin(ωt), u(x, ) = u t (x, t) = där c = S/ρ. Ansatsen u p (x, t) = f(x) sin(ωt) för en partikulärlösning ω 2 f(x) c 2 f (x) =, f() =, f(l) = A f(x) = A sin(ωx/c) sin(ωl/c). esonansfrekvens: ωl/c = nπ där n = 1, 2,... ω n = nπc/l. Vi antar att ω ω n dvs. sin(ωl/x). Ansatsen u(x, t) = u p (x, t) + U(x, t) U tt (x, t) c 2 U xx =, U(, t) = U(L, t) =, U(x, ) =, U t (x, ) = f(x)ω med f(x) ovan. U(x, t) = där k n = nπ/l. a n sin(k n x) sin(k n ct), a n = ω 2 k n c L L Svar: u(x, t) = f(x) sin(ωt) + U(x, t) med f(x) och U(x, t) ovan. sin(k n x)f(x)dx

3. T t (r, t) T (r, t) =, T (, t) = T /5, T (r, ) = T T (r, t) = T /5 + a n 1 r sin(k nr), k n = nπ/ a n = 2 4T 5 sin(k nr)rdr. Svar: T (r, t) = 1 5 T + 8 5 T ( 1) n 1 k n 1 r sin(k nr), k n = nπ/ 4. (a) Fourier transformen U(k, t) = U t (k, t) + ak 2 U(k, t) =, U(k, ) = u(x, t)e ikx dx (integralen ges i formelsamlingen) som har lösningen u e x2 / 2 e ikx dx = u πe k2 2 /4 U(k, t) = U(k, )e ak2t = u πe k2 ( 2 +4at)/4. Inversa Fourier transformen svaret: u(x, t) = 1 U(k, t)e ikx dk = u π 2π 2π dvs. (integralen ges i formelsamlingen) u(x, t) = 2 + 4at u e x2 /( 2 +4at). e k2 ( 2 +at)/4 e ikx dk (b) Greensfunktionen G(x, t, x, t ) bestäms av problemet G t (x, t, x, t ) ag xx (x, t, x, t ) = δ(t t )δ(x x ), G(x,, x, t ) = som har lösningen G(x, t, x, t ) = Θ(t t 1 ) ) 2 /4a(t t ) 4πa(t t ) e (x x med Heavisidefunktionen Θ (fundamentallösningen G (x, t) så att G(x, t, x, t ) = Θ(t t )G (x x, t t ) finns i formelsamlingen). (c) Värmeledning i en isolerad homogen stav som är så lång att randeffekterna kan ignoreras: u(x, t) är temperaturen i positionen x och vid tiden t som uppfyller den en-dimensionalla värmeledningsekvation. Temperaturen vid tiden t = är lika med u e x2 / 2. (Det är en möjlig svar; det finns många andra.)

5. Vattenvolymen V definieras genom r, z h(r), θ 2π i cylinder koordinater r, θ, z, dvs. h(r) ( ) U = 2π rdr dzρ M gz ω2 r 2 ( = 2πρ M dr g 1 2 2 rh(r)2 1 ) 2 ω2 r 3 h(r), och vi har ett villkor att volymen h(r) V = 2π rdr dz = 2π drrh(r) är fixerad och like med V. Problemet lyder: bestäm h(r) så att U är minimum med bivillkoret V = V. Lösningen är att bestämmer extremum till funktionalen U λv = 2π drf (h(r)) med Lagrange multiplikatorn λ och F (h(r)) = ρ M (g 1 2 rh(r)2 1 ) 2 ω2 r 3 h(r) λrh(r). Euler-Lagrange ekvationen är (p.g.a. F/ h (r) = ) F h(r) = ρ M(grh(r) + 1 2 ω2 r 3 ) λr = h(r) = λ ρ Mω 2 r 2 /2 ρ M g där λ bestäms genom V = 2π Svar: drr λ ρ Mω 2 r 2 /2 ρ M g = 2π ( 1 ρ M g 2 λ2 1 ) 8 ρ Mω 2 4 λ = 1 4 ρ Mω 2 2 + V ρ M g π. 2 h(r) = ω2 ( 2 2r 2 ) 4g + V π 2. [Kolla att dimensionerna stämmer: [h(r)] = L, [V / 2 ] = L OK, [ω 2 2 /g] = T 2 L 2 /(L/T 2 ) = L OK.] 6. Problemet lyder U tt (r, t) c 2 U(r, t) = ρ(r, t), U(r, ) = U t (r, ) =. Ansatsen U p (r, t) = f(r) sin(ωt), r = x 2 + y 2, för en partikulärlösning till PDE ω 2 f(r) c 2 1 r ρ r < a r(r r f(r)) = r > som har en lösning f(r) = ρ /ω 2 AJ (λr) + BY (λr) r < a r > där λ = ω/c och där A och B bestäms så att f(r) och f () är kontinuerliga vid r = (enl. ledningen) dvs. AJ (λ) + BY (λ) = ρ /ω 2, AλJ (λ) + BλY (λ) =. Svar: U(r, t) = f(r) sin(ωt) med f(r) ovan och ρ Y A = (λ) ω 2 (J (λ)y (λ) Y (λ)j (λ)), B = ρ J (λ) ω 2 (J (λ)y (λ) Y (λ)j (λ)).