ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ Ô ÑØÖ ÐÑÒØÒ ÚÐØ Ò ÔÖÓÐÑ Ú ÒÙÑÖ ÖÒÒÖº ËÝØØ Ñ ÓÖ Ö ØØ Ú ÙÖ ÑÒ ÔÖÒÔ Ò ÓÖÒ Ö ÓÑ ÑÒ ÙØÖ ÖÒ ØØ ÐÐ ÖÒÓÔÖØÓÒÖ Ò ÙØÖ Üغ Å Ø ÒØÖ ÒØ Ö Ò ÜÑÔÐØ Ô Ò º ÂÓÖÒÐÓ ÄØ N m ØÒ m m ÑØÖ Ò Ñ ØØÓÖ Ô ÓÒÐÒ ÓÑÐÖØ ÓÚÒÖ ÙÚÙÓÒÐÒ Ó ÒÓÐÐÓÖ Ö ÚÖØ { 1 k j = 1 (N m ) jk = 0 ÒÒÖ º ÇÑ Ú ÐØÖ I j ØÒ ÓÐÓÒÒ j ÒØ ÑØÖ Ò ÐÐÖ ÙÔÔÒÖÐÒ N m I j = (N m ) j = { 0 j = 1 I j 1 2 j m.. Ò ÓØÝÐ ÓÐÓÒÒÚØÓÖ X = (x 1 x 2... x m ) T Ò ÖÚ X = m x ji j Ø ÐÖ ØØ m m N m X = x j N m I j = x j I j 1, Ó ÐÐÑÒÒÖ NmX k = m j=k+1 x ji j k º ÀÖÚ Ö Ú ÄÑÑ ½ ÅØÖ Ò N m Ö ÒÐÔÓØÒØ Ó ÖÒ(Nm k ) = max (m k, 0)º ÇÑ k m ÐÐÖ X N(Nm) k ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ X Ö Ò ÐÒÖÓÑÒØÓÒ Ú Ö Ø k ÓÐÓÒÒÖÒ ÒØ ÑØÖ Òº ÒØÓÒ ½ Å ØØ m m ÂÓÖÒÐÓ Ñ ÒÚÖ λ ÑÒÖ Ú Ñ¹ ØÖ Ò J m (λ) = λi + N m. j=2 ½
ØÖ ÓÑ J m (λ) Ö ØÖÒÙÐÖ Ö Ú ÖØ ØØ Ø Ò ÒÚÖØ Ö λ Ó ØØ Ø Ö ÐÖ ÑÙÐØÔÐØØ mº Ò ÓÑØÖ ÑÙÐØÔÐØØÒ Ö 1 ØÖ ÓÑ J m (λ) λi = N m º ÂÓÖÒ ÖÒ ÂÓÖÒ Ø Ø º½µ Ö ØØ Ö ÚÖ n n ÑØÖ A ÖÐÐ ÐÐÖ ÓÑÔÐܵ ÒÒ Ò Úº ÓÑÔÐܵ ÒÚÖØÖÖ n n ÑØÖ S Ò ØØ J = S 1 AS Ö Ò Úº ÓÑÔÐܵ ÂÓÖÒÑØÖ Ú Ò ÐÓÓÒÐ ÑØÖ ØÒ Ú ÂÓÖÒÐÓº ÅØÖ Ò J ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö A Ó Ö ÒØÝØ ØÑ ÒÖ ÓÑ Ô ÓÖÒÒÒ ÑÐÐÒ ÐÓÒº ÇÑ p A (λ) = (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m 2...(λ λ q ) mq, Ñ m 1 + m 2 +... + m q = n Ò Ú ÚÐ J = (J 1, J 2,..., J q ), Ö J k Ö Ò m k m k ÂÓÖÒÑØÖ ÚÐÒ ÐÐ ÐÓ Ö ÒÚÖØ λ k º ÒØÓÒ ¾ ËØÓÖÐÒ Ô Ø ØÖ Ø ÂÓÖÒÐÓØ ÓÑ Ö ØÐÐ ÒÚÖØ λ k ÐÐ ÒÜ Ö λ k Ó ØÒ s k º ÍÔÔÒÖÐÒ Ö ÐÐ ÐÓÒ J k λ k I ÒÐÔÓØÒØ Ú ÓÖÒÒ s k m k ÚÖÖ (J λ k I) s k = ((J 1 λ k I) s k, (J 2 λ k I) s k,..., 0,..., (J q λ k I) s k ), Ö ÒÓÐÐÒ ØÖ Ô ÔÐØ kº ØÑÒÒ Ú ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖѺ ÆÖ Ú ÚÐ ÚØ ØØ Ø ÒÒ Ò ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ò Ú ÙØÖ ÙÖ Ú Ò ÒÒ Ò Ö Ú ÒØØ º ÓÒº ÀÙÖ ÑÒ ÔÖÒÔ Ò ÒÒ S ÓÑÑÖ Ú ØØ ÙØÖ Ò Ø Ú ÒØغµ Î ÐÐ Ú ÙÖ Ú Ñ ÒÒÓÑ ÓÑ A ÒÚÖÒ λ 1,..., λ q Ò ÖÒ ÙØ ØÓÖÐ Ó ÒØÐ Ö ÂÓÖÒÐÓÒ ÙÒÖ ÖÙØ ØØÒÒ ØØ Ú Ò ØÑÑ ÒÙÐÐØØÒ ÐÐÖ ÚÚÐÒØ ÖÒÒµ Ú (A λ j I) k Ö ÐÐ j q Ó k m j º ÄÑÑ ¾ ÇÑ B Ó C Ö ÐÓÖÑ ÐÐÖ ν((b λi) k ) = ν((c λi) k ) ¾
Ö ÚÖ λ C Ó k Z + º Ú ÇÑ B = S 1 CS ÐÐÖ (B λi) k = (S 1 (C λi)s) k = S 1 (C λi) k S Ø ÖÖ ØØ Ú ØØ ν( B) = ν( C) ÓÑ B = S 1 CSº ÄØ V 1,.., V ν ÚÖ Ò Ö N( C)º Î Ö SX = BX = 0 CSX ν ν z j V j X = z j S 1 V j, Ó ØÖ ÓÑ ν λ j S 1 V j = S 1 ( ν λ j V j ) Ö ν ÚØÓÖÖÒ S 1 V j 1 j ν ÐÒÖØ ÓÖÓÒ Ó ÐÐØ Ò Ö N( B)º ÄØ Ó ÒÖ ØÒÒÒ p k (λ j ) = ν((a λ j I) k ) ÓÑ Ú ÒØÖ Ò Ö¹ Ò º Ò ÓÑÐÖ Ð Ú ÐÑÑØ Ö ØØ Ó Ú ØÖÙØÙÖÒ Ô J ÐÖ ØØ p k (λ j ) = ν((j λ j I) k ), ν((j λ j I) k ) = ν((j j λ j ) k ) ÒÖ ÐÓÒ Ö ÒÚÖØÖÖµº ØÖ ÓÑ J j Ò ØÙÖ Ö ÐÓÓÒÐ J j = (J mj1 (λ j ), J mj2 (λ j ),..., J mjrj (λ j )), Ö r j Ö ØÓØÐ ÒØÐØ ÂÓÖÒÐÓ Ñ ÒÚÖ λ j Ó J mjl λ j I = N mjl Ö Ú r j p k (λ j ) = ν(nm k jl ). ½µ l=1 Î ÐÐ ÒÙ ÒÚÒ ÄÑÑ ½ Ö ØØ ÚÐÙÖ ÖÐØ ½µº Ö k = 1 ÐÐÖ ν(n m ) = 1 Ö ÐÐ m Ú p 1 (λ j ) = r j º ÒÖ Ò ÐÐÖ p 1 (λ j ) =
ν(a λ j I) ÚÐØ Ö Ò ÓÑØÖ ÑÙÐØÔÐØØÒ Ö ÒÚÖØ λ j º Ø ÐÐÖ ÐÐØ ÒØÐØ ÂÓÖÒÐÓ Ñ ÒÚÖØ λ j Ö Ð Ñ Ò ÓÑØÖ ÑÙÐØÔй ØØÒ Ö λ j º ÇÑ k > 1 Ö Ú p k (λ j ) p k 1 (λ j ) = Ó ÒÐØ ÐÑÑ ½ ÐÐÖ ØØ r j l=1 ν(n k m) ν(n k 1 m ) = (ν(n k m jl ) ν(n k 1 m jl ). { 1 k m 0 k > m. Ø ÐÖ ØØ p k (λ j ) p k 1 (λ j ) Ö k > 1 Ö Ð Ñ ÒØÐØ ÂÓÖÒÐÓ ÚÖÒ ÑÓØ ÒÚÖØ λ j ÓÑ Ö ØÓÖÐ ØÖÖ Ò ÐÐÖ Ð Ñ kº ÇÑ Ú ØØÖ p 0 (λ j ) = ν(i) = 0 ÐÐÖ ØØ ÚÒ Ö k = 1º µ ËÔÐÐØ ÐÐÖ p k (λ j ) = p sj (λ) Ö k s j Ó p k+1 (λ j ) > p k (λ j ) ÓÑ k < s j º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ÒØÐØ ÂÓÖÒÐÓ Ñ ÒÚÖØ λ j ÓÑ Ö ØÓÖÐ ØÖÖ Ò ÐÐÖ Ð Ñ k Ö Ð Ñ p k (λ j ) p k 1 (λ j ) Ö p k (λ j ) = ν((a λ j I) k )º Ò ÓÖÒ ÖÒ ÑØÖ Òº Î ÐÐ ÒÙ ÙØÖ ÙÖ Ú Ò ÒÒ Ò ÓÖÒ ÖÒ ÑØÖ Sº Î ÙØÖ ØÑÐÒ ÓÖÐ Ø Øµ ÖÒ ØØ Ú Ö ØÑØ J ÒÐØ ÓÚÒ Ó ØØ Ú Ò ØÑÑ Ò Ö N((A λ j I) k ) Ö ÐÐ j q Ó k s j º ÒØ ØØ ØØ ÂÓÖÒÐÓ J Ñ ÒÚÖ λ ÙÔÔØÖ ÓÐÓÒÒÖÒ M + 1, M + 2,..., M + mº ÇÑ I j ØÒÖ ÓÐÓÒÒ j ÒØ ÑØÖ Ò Ú ØÓÖÐ n ÐÐÖ JI M+1 = λi M+1 JI M+k = λi M+k + I M+k 1, 2 k m, Ú ÚØÓÖÖÒ I j j = M + 1,..., M + m ÙØÖ Ò ÓÖÒ Ú ÐÒ m ÚÖÒ ÑÓØ ÒÚÖØ λ Ö Jº ÇÑ Ú ØØÖ Ò J = S 1 AS ÓÚÒ ØÒ ÑÙÐØÔÐÖÖ ÖÒ ÚÒ ØÖ Ñ S ÑØ ÒÚÒÖ ØØ SI j = S j ÓÐÓÒÒ j S Ö Ú AS M+1 = λs M+1 AS M+k = λs M+k + S M+k 1, 2 k m,
Ú ÓÐÓÒÒÖÒ M + 1,..., M + m S ÐÖ Ò ÂÓÖÒ Ö Aº Ö ØØ Ð S ÚÖ Ú ÐÐØ ÒÒ Ò Ö R n ÓÑ ØÖ Ú ÒÖÐ Ö ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ Aº Ö J ÙØÖ ÒØ ÑØÖ Ò ÓÐÓÒÒÖ ÓÑ Ø Ò Ú ÒÖÐ Ö ÒÚØÓÖÖ Ó Ò ÒØÙÖÐØ Ð Ò q ÖÙÔÔÖ ØÖ ÚÐØ ÒÚÖ ÚÖÖ ÑÓغ Î Ö ÐØØ ØØ X ØÐÐÖ Ø ÐÒÖ ÐØ Ú ÒÖÐ Ö ÒÚØÓÖÖ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ λ j ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ (J λ j I) s j X = 0. ¾µ ÒÐØ ØÝØ ÓÚÒ ÓÑÑÖ Y = SX ØØ ØÐÐÖ Ø ÐÒÖ ÐØ Ú ÒÖÐ ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ A ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ λ j º ØÖ ÓÑ J = S 1 AS ÐÖ Ø Ú ¾µ ØØ ØØ Ö ÚÚÐÒØ Ñ (A λ j I) s j Y = 0. ËÐÙØ Ø ½ m j ÓÐÓÒÒÖÒ S ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ λ j Ò ÚÐ ÙÖ V j := N((A λ j I) s j )º ÇÑ A Ö Ö ØØ ÒÚÖ Ö ØØ Ð ÖÙÑÑغµ Î Ò ØÑÑ Ò E 1, E 2,..., E mj Ö V j ÒÓÑ ØØ Ð ÚØÓÒ Ý ØÑØ (A λ j I) s j X = 0 Ó Ø ØÖ ØÖ Ò ØØ ØÑÑ ÓÓÖÒØÖÒ Ö ØÙÐÐ S¹ ÓÐÓÒÒÖÒ Ñ Ú Ò Ô ÒÒ º ÅØÖ Ò A ÚÐÖ ÚØÓÖÖ V j Ô ÚØÓÖÖ V j ØÝ ÓÑ u V j ÐÖ ØØ (A λ j I) s j Au = A(A λ j I) s j u = 0. ÐÐØ Ò Ú ÙÔÔØØ A ÓÑ Ò ÐÒÖ ÚÐÒÒ V j V j ÓÑ Ò E 1,..., E mj ÖÔÖ ÒØÖ Ú Ò m j m j ÑØÖ A j ÓÑ Ö Ö ÒÚÖØ λ j ØÖ ÓÑ (A λ j I) s j E k = 0 Ö ÐÐ ÚØÓÖÖ Ö V j ÐÖ ØØ A j λ j I Ö ÒÐÔÓØÒصº ØÖ ÓÑ Ú ÒÙ Ö ÖÙÖØ Ó ØÐÐ ØÙØÓÒÒ Ñ ØØ Ò ÒÚÖ ÓÑÑÖ ÒØÖ ØØ ÙØ ÐÙØ ÒÜØ jº ÎÖ ÖÖ Ø ØØ ØÖØ ÑØÖ Ò B = A λi ÓÑ Ö ÒÚÖ ÒÓÐÐ ÑØ ÙÔÔÝÐÐÖ B s = 0 ÑÒ B s 1 0º ÒØ ÒÙ ØØ S α,..., S α+r Ö Ò ÂÓÖÒ Ö B Ú BS α = 0, BS α+1 = B α, BS α+2 = S α+1,..., BS α+r = S α+r 1. ÐÖ Ù ÚØ ØØ S α+r k = B k S α+r 1 k r ÑØ B r+1 S α+r = 0º ÎÖ ÂÓÖÒ S α,..., S α+k 1 Ú ÐÒ kµ Ö B Ö ÐÐØ ÓÖÑÒ B k j X 1 j k Ñ B k 1 X 0 ÑÒ B k X = 0º
Ò Ú Ò Ò ÒÙ ÓÒ ØÖÙÖ ÖÙÖ ÚØ ÒÐØ Ú Ø Ú ÐÒ ÐÑѺ ÄÑÑ ÄØ B ÚÖ Ò ÒÐÔÓØÒØ n n¹ñøö Ú ÓÖÒÒ s Ú B s = 0 ÑÒ B s 1 0µ Ó ν(b) = pº ÒÒ Ò Ö R n Ú ÓÖÑÒ B j X k, 1 k p, 0 j s k < s, Ñ B s k Xk = 0º Ö ØØ Ö Ú Ø ÑÖ ÐØØÐ Ø ÓÖÑÙÐÖÖ Ú Ö Ø ÐÒ Ø ÓÑ ÚÒ Ò ÒÚÒ ÒÖ ÐÒ Ú Ú Ø Ú Ø º½ Ó ÓÑ ÑÖ ÑÒ¹ ÓÒ Ø Ò ËØ ½ ÄØ F : V W ÚÖ Ò ÐÒÖ ÚÐÒÒº ÄØ f 1,..., f r ÚÖ Ò Ö R(F) W Ó g 1,..., g ν Ö Ò Ö N(F) V º ÇÑ ÚØÓÖÖÒ e 1,..., e r V ÙÔÔÝÐÐÖ F(e j ) = f j 1 j r Ö e 1,...e r, g 1,..., g ν Ò Ö V º Ú ÇÑ x V ÒÒ ØÐ x 1,..., x r Ò ØØ F(x) = x k f k. ÒÚÒÖ Ú ÒÙ ØØ F Ö ÐÒÖ Ö Ú ØØ F(x x k e k ) = F(x) x k F(e k ) = F(x) x k f k = 0. Ø ØÝÖ ØØ x r x ke k ØÐÐÖ ÒÓÐÐÖÙÑÑØ ØÐÐ F Ú Ò ÖÚ ÓÑ ν y jg j º Î Ö ÐÐØ Ú Ø ØØ x = x k e k + ν y j g j, Ú ØØ ÚØÓÖÖÒ e 1,..., e r, g 1,..., g ν ÔÒÒÖ ÙÔÔ V º Ö ØØ ØØ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÒØÖ Ú ØØ ν λ k e k + µ j g j = 0. ÇÑ Ú ÐØÖ F ÚÖ Ô ÓÖ Ó ÒÚÒÖ ÐÒÖØØÒ Ö Ú λ k f k = 0,
ÚÐØ ÑÖ ØØ ÐÐ λ k = 0 ÑÒ Ñ Ø ÚÒ µ j = 0 1 j ν ØÖ ÓÑ Ú ÚØ ØØ ÚØÓÖÖÒ g j Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒº Ú Ú ÐÑÑ Î ÒÚÒÖ ÒÙØÓÒ ÚÖ sº ÇÑ s = 1 Ö B = 0 ÑØ p = nµ Ó Ú Ò Ø ÚÐÒ ÓÑ Ð Øº ÒØ ÒÙ ØØ ÐÑÑØ Ö Ú Ø Ö s σ 1 Ó ØÖØ ÐÐØ s = σ Ó ØÖØ R(B) ÓÑ Ö ÑÒ ÓÒ n pº ØÖ ÓÑ B ÚÐÖ R(B) Ò R(B) Ò Ú ÙÔÔØØ B ÓÑ Ò ÐÒÖ ÚÐÒÒ Ô R(B) Ó Ö ÚÖ u = Bv R(B) ÐÐÖ B σ 1 u = B σ v = 0 ØØ ÒÒ ÚÐÒÒ Ö ÒÐÔÓØÒØ Ú ÓÖÒÒ σ 1º ÒÐØ ÒÙØÓÒ ÒØÒØ ÒÒ Ø ÐÐØ Ò Ö R(B) Ú ÓÖÑÒ B j Xk, 1 k q, 0 j s k 1 < σ 1, Ö q = dim R(B) N(B) p Ó B s k Xk = 0º Î ÐÐ ÒÙ ÓÒ ØÖÙÖ Ò Ö Ð V = R n ÒÓÑ ØØ Ý Ô ÚÖ R(B) Ñ ØØ ÐÑÒØ ÑØ ÚÒØÙÐÐØ Ö ÒÖ ÒÝ ÒÚØÓÖÖ ÓÑ Ñ Ø Ð N(B) \ R(B)µº Î ÓÑÑÖ ÔÖÒÔ ØØ ÒÚÒ Ó Ú ËØ ½ Ñ F : V = R n X BX W = R(B). ØÖ ÓÑ X k 1 k q ÓÚÒ ÐÖ R(B) ÒÒ Ö ÚÖ 1 k q ØØ X k ØØ X k = BX k Ó ÖÑ B j Xk = B(B j X k ), 1 k q, 0 j s k 1 < σ 1. ÎØÓÖÖÒ B j X k 0 j s k ÚÖÖ ÐÐØ ÑÓØ ÚØÓÖÖÒ e k Ø ½º Ø ØÖ ØÖ ØØ ÒÒ Ò Ö N(B)º ØÖ ÓÑ B(B s k Xk ) = B s k Xk = 0 ÐÖ q ÚØÓÖÖÒ B s k Xk = B s k 1 Xk N(B) Ó Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ØÖ ÓÑ ÒÖ Ò Ö R(B)º ÇÑ p = dim N(B) > q Ò Ú ÓÑÔÐØØÖ Ñ Ñ X q+1,..., X p ØÐÐ Ò Ö N(B)º ÜÑÔÐ ËÓÑ ÜÑÔÐ ÂÓÖÒ ÖÖ Ú ÑØÖ Ò 2 1 0 0 0 0 6 4 1 0 0 0 B = 8 6 2 0 0 0 29 15 6 3 1 0, 53 22 12 9 3 0 32 20 4 0 0 0
ÓÑ ÒÖØ Ö ÒÚÖØ 0º Ä ÒÒ Ö ÖÑØ ÓÚ ÒÓØÖÖ ØØ 2 2 1 0 0 0 4 4 2 0 0 0 B 2 = 4 4 2 0 0 0 18 18 9 0 0 0 32 32 16 0 0 0 24 24 12 0 0 0 Ó B 3 = 0. ÒÚÒÒÒ Ú ÑØÐ ÐÐÖ Ð ÒÒ Ú BX = 0µ Ö ØØ p 1 (0) = ν(b) = 3 Ú Ø ÐÐ ÒÒ ØÖ ÂÓÖÒÐÓº ÍÖ B 2 Ö Ú ÖØ ØØ r(b 2 ) = 1 ØØ p 2 (0) = ν(b 2 ) = 6 1 = 5º Ø ÒÒ ÐÐØ p 2 (0) p 1 (0) = 2 ÐÓ ÓÑ Ö ØÓÖÐ ¾ ÐÐÖ ØÖÖº Ò ÑÐØÒ Ö ÐÐØ ØØ Ø ÒÒ ØØ 3 3¹ÐÓ ØØ 2 2¹ÐÓ Ó ØØ 1 1¹ÐÓº ÃÓÐÓÒÒÖÒ S Ò ÐÐØ ÚÐ ÓÑ B 2 X 1, BX 1, X 1, BX 2, X 2, X 3, Ö B 2 X 1, BX 2, X 3 ÐÖ Ò N(B)º ØÖ ÓÑ r(b 2 ) = 1 Ö B 2 X 1 ØÑØ ÒÖ ÓÑ Ô Ò ÐÖ ØÓÖº  ØÖ X 1 = I 3 ÚÐØ Ö ØØ B 2 X 1 Ó BX 1 Ö ÓÐÓÒÒ B 2 Ö ÔØÚ B B 2 I 3 = 1 2 2 9 16 12 Ó BI 3 = 0 1 2 6 12 4. ÄØ Ó ÒÙ ØÙÖ R(B)º ØÖ ÓÑ r(b) = 3 Ó r(b 2 ) = 1 ÐÐ Ò Ñ ÂÓÖÒÓÖ Ö B Ö ÒÒÐÐ ÚØÓÖÖ ÚÖÚ ØÚ ÐÐ ØÐÐÖ N(B)º Î Ö ÖÒ B 2 I 3 Ó BI 3 Ú ÚÐ Ò Ö Ø ØÐÐÖ N(B)º Ø ÖÖ ÐÐØ ØØ ÚÐ Ò ¹ØÖÚÐ ÓÐÓÒÒ B ÓÑ ØÐÐÖ N(B) ÑÒ ÒØ Ö ÔÖÐÐÐÐ Ñ B 2 I 3 º  ØÖ BI 5 ÓÑ ØÐÐÖ N(B) ØÖ ÓÑ B 2 I 5 = 0µ ÚÐØ Ö ¾¹Ò BI 5, I 5 º ØÖ ØÖ ØØ ØÙÖ B Ô Ð R 6 Ñ ν(b) = 3º Î Ö ÖÒ ÚØÓÖÖÒ B 2 I 3, BI 3, I 3, BI 5, I 5, Ú ÚÐ B 2 I 3 Ó BI 5 ØÐÐÖ N(B)º Ø ØÖ ØÖ ØØ ÚÐ X 3 ÐÒÖØ ÓÖÓ¹ Ò Ú ØØ BX 3 = 0º Ò ÑÐØ Ö X 3 = I 6.
ËÑÑÒØØÒÒ Ú ÇÑ 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 S = 2 2 1 0 0 0 9 6 0 1 0 0 16 12 0 3 1 0 12 4 0 0 0 1 Ó J = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ÐÐÖ S 1 BS = Jº ÒÑÖÒÒ ÄÑÑ Ö Ú ÒØÐÒ Ø º½ ÐÐØ A Ö Ö ØØ ÒÚÖº Ú Ø Ú ÐÑÑØ Ö Ú Ø Ú Ø Ò ÒÔ Ø ØÐÐ ÒÒ ¹ ØÙØÓÒ Ñ ÐØ ÑÖ ÜÔÐØ ØÒÒÖ ÑØ Ñ Ú Ø Ú ÐÒÖØ ÓÖÓÒ Ö ØØ Ñ ÒÚ ÒÒÒ ØÐÐ Ø ½º Å ÐÔ Ú ÐÑÑ ÒÒ Ò Ú ÑÓÖ Ú Ø Ú ÐÑÑ ØÐÐ ØØ Ú Ú Ø º½ Ø ÐÐÑÒÒ ÐÐغ Ä ÓÑ Ú Ø Ú Ø º½ ÖÖ Ø ØØ Ú ØØ ÓÑ n n¹ñøö Ò A Ö ÒÚÖØ 0 Ó ÓÑ Ø Ö ÚÖ ÑÒÖ ÑØÖ ÒÒ Ò ØÒ Ú ÂÓÖÒÓÖ ÒÒ Ø ÒÒ Ø Ò R n ÓÑ ØÖ Ú ÂÓÖÒÓÖ ØÐÐ Aº ØÖ ÓÑ A : R(A) R(A) Ñ r = dim R(A) = n ν(a) < n Ö Ò¹ ÙØÓÒ ÒØÒØ ØØ Ø ÒÒ Ò f 1,..., f r Ö R(A) ÓÑ ØÖ Ú ÂÓÖÒÓÖº Ò ÒÙ ÚÖ Ú ØÚ ØÝÔÖ ÓÖ Ñ ÒÚÖØ ÒÓÐÐ Ó ÓÖ Ñ ÒÒØ ÒÚÖº ÇÑ f J ØÐÐÖ Ò Ú Ò ÖÖ ØÝÔÒ ÒÒ Ð ÓÑ Ú Ø Ú ÐÑÑ Ò ÚØÓÖ X = AX R(A) Ó ØØ j ØØ f J = A j X Ó f J = Ae J Ñ e J = A j Xº ÒÖ Ò ÓÑ f J ØÐÐÖ Ò Ñ λ 0 ÒÒ ÒÐØ ÐÑÑ Ò Ú ÑÑ ÐÒ Ó Ñ ÑÑ λ ÓÑ ÒÒÐÐÖ e J Ñ f j = Ae J º Ò Ö N(A) ØÖ ÓÑ Ú Ø Ö ÐÑÑ Ú Ö Ø ÐÑÒØÒ q ÓÖÒ R(A) Ñ ÒÚÖ ÒÓÐÐ ÑØ ν(a) q ÝØØÖÐÖ ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÒÚÖØ 0 ÓÑ ÒØ ØÐÐÖ R(A)º ÄÑÑ ÄØ u 1,..., u l ÚÖ Ò ÂÓÖÒ Ö ÑØÖ Ò A ÚÖÒ ÑÓØ ÒÚÖØ λ 0º ÒÒ Ò ÂÓÖÒ v 1,..., v l ÚÖÒ ÑÓØ ÑÑ ÒÚÖ Ò ØØ Av j = u j 1 j lº Ú ÒÐØ ÖÙØ ØØÒÒÖÒ ÐÐÖ (A λi)u 1 = 0, (A λi)u j = u j 1, 2 j l.
ËØØ ÒÙ v 1 = 1 λ u 1, v j = 1 λ (u j v j 1 ), 2 j l. ÐÐÖ Av j = u j 1 j l ØÝ ØØ Ö ÐÖØ j = 1 Ó ÓÑ Ú Ú Ø Ø Ö j = r ÐÖ ØØ Av r+1 = 1 λ (Au r+1 Av r ) = 1 λ (λu r+1 + u r u r ) = u r+1. ÎÖ Ö v 1,..., v l Ò ÂÓÖÒ ØÝ (A λi)v 1 = 0 Ó ÓÑ 2 j l ÐÐÖ (A λi)v j = v j 1. Ø ÒÖ Ô ØÒØ Ö ÒØ Ö j = 2 ØÖ ÓÑ (A λi)v 2 = 1 λ ((A λi)u 2 (A λi)v 1 ) = 1 λ u 1 = v 1, Ó ÓÑ Ú Ú Ø Ø Ö j = r ÐÖ ØØ (A λi)v r+1 = 1 λ ((A λi)u r+1 (A λi)v r ) = 1 λ (u r v r 1 ) = v r. ÒÑÖÒÒ ¾ ØÐÐ ÜÑÔÐØ Î Ò Ó ÒÚÒ ÒÙØÓÒ ÑØÓÒ Ú Ø Ú ÐÑÑ ØÖ ÓÑ ν(b) = 3 < 6 Ö B ÒØ ÓÒÐ ÖÖº Î ÚÖÖ ÖÖ ØÐÐ ØÙÖ Ö ØÖØÓÒÒ Ú B ØÐÐ ÚÖÖÙÑÑØ R(B)º Ø Ö ÐØØ ØØ ØØ Ò Ñе Ö R(B) Ú ÓÐÓÒÒÖÒ B 1 B 3 Ó B 5 º ÐÖÒ Ú Ö ÑÓØ ÚÖÒ ÓÐÓÒÒÖ B 2 º Î ÚÖ ÐÐØ ÙØÚÐ B 1 B 3 Ó B 5 º ÄØ ÖÒÒ Ö BB 1 = B 1 2B 3 + B 5 BB 3 = 1 2 B 1 + B 3 1 2 B 5 BB 5 = 0. ½¼
Å Ú Ò Ô ÒÒ Ö R(B)µ ÖÔÖ ÒØÖ ÐÐØ B Ú ÑØÖ Ò 1 1/2 0 B = 2 1 0. 1 1/2 0 ÁÒØ ÐÐÖ ÒÒ ÑØÖ Ö ÓÒÐ ÖÖ ØÖ ÓÑ ÒØÐØ ÂÓÖÒÐÓ Ö ν( B) = 2 < 3º Ø Ö ÑÐÐÖØ ÐÖØ ØØ Ú Ñ Ø ØØ 1 1 Ó ØØ 2 2 ÐÓº ÂÓÖÒÓÖÒ ÐÐ ÙÔÔÝÐÐ B S 1 = 0, B S2 = S 1, B S3 = 0. Ø Ö ÐÖØ ØØ Ú Ñ Ø S 1 R( B) Ø Ü S 1 = B 2 = [1/2 1 1/2] T º Ö Ø Ö Ñ S 2 = I 2 Ó Ú Ò Ø S 3 = I 3 ÓÑ ÐÖ N( B) ÑÒ ÒØ R( B)µº Å ØÒÒÖÒ ÒÙØÓÒ ØØ Ö Ú ÐÐØ ÓÖÒ B X 1 = B(BI 3 ) X 1 = BI 3 Ó X 2 = BI 5 ÓÑ ØÐÐ ÑÑÒ ÐÖ Ò Ö R(B)º Î Ò ÐÐØ Ø X 1 = I 3 X 2 = I 5 ÚÐØ Ö Ó Ñ ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÚØÓÖÖÒ B 2 I 3, BI 3, I 3, BI 5, I 5, Ú ÚÐ B 2 I 3 Ó BI 5 ØÐÐÖ N(B)º Ø ØÖ ØÖ ØØ ÓÑÔÐØØÖ ØÚ Ñ ÒÓÒ ÚØÓÖ Ø Ü I 6 ØÐÐ Ò Ö N(B)º ½½