Ordinära differentialekvationer

Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk funktion u där med D = {z; z < R} u = f i D, u() =, och detta bestämmer u entydigt. Om f(z) = a nz n så har vi helt enkelt u(z) = En allmännare form av detta resultat är följande a n z n+1 n + 1. Sats 1 Låt a och f vara analytiska funktioner i D och låt u C. Då finns en och endast en analytisk funktion i D som uppfyller u (z) + a(z)u(z) = f(z) då z D, u() = u. (1) Bevis. Vi har just konstaterat att det finns en analytisk funktion A med A (z) = a(z) och A() =. Om vi sätter v(z) = u(z)e A(z) så blir (1) ekvivalent med v (z) = f(z)e A(z), v() = u, som har en och endast en lösning v. Föregående sats gäller också för system av differentialekvationer: Sats 2 Låt a(z) = (a jk (z)) n j,k=1 vara en n n-matris med koefficienter som är analytiska i D, och låt f(z) = (f j (z)) n j=1 vara en n vektor med analytiska komponenter i D. För varje u C n kan man då finna en och endast en n-vektor u(z) = (u j (z)) n j=1 med komponenter som är analytiska i D och uppfyller u (z) + a(z)u(z) = f(z), z D, u() = u. (2) Bevis. Det räcker att bevisa påståendet då a och f är begränsade i D, för då finns ett entydigt bestämt u i varje mindre cirkelskiva. Vi definierar en följd u ν (z) så att u = u och då ν > u ν(z) + a(z)u ν 1 (z) = f(z), z D, u ν () = u. (3) Om vi sätter v ν = u ν+1 u ν så gäller v ν () = och v ν(z) = a(z)v ν 1 (z), ν >. 1

Låt k a jk(z) M då z D, och sätt Då gäller för ν M 1 = sup max v j (z). z D j M ν z ν v νj (z) M j. (4) ν! Detta följer av definitionen av M 1 då ν =. Om ν > och (4) redan bevisats för ν ersatt med ν 1 så får vi v µj(z) M ν z ν 1 a jk (z) v µ 1,k (z) M 1 (ν 1)! k så (4) följer genom integration från till z. Nu medför (4) att u(z) = lim u ν (z) = u + v ν (z) existerar med likformig konvergens. u är analytisk och u ν(z) u (z). Då ν i (3) får vi (2). Om det funnes en annan lösning till (2) så skulle skillnaden vara en lösning till v = av med v() =. Genom att övergå till en mindre cirkelskiva kan vi anta v begränsad och då sätta v ν = v för alla ν ovan. Eftersom v ν då ν får vi v =, vilket slutför beviset. Anmärkning I avsnitt 3 behöver vi ett tillägg nämligen att då f = max u j (z) M 1 e z M om j k a jk (z) M i D och u,j M 1. (5) Eftersom v (z) = u 1(z) = a(z)u har vi nämligen v j(z) M 1 M, alltså v j (z) M 1 M z. Vi kan därför förbättra (4) till vilket ger (5). ν+1 z ν+1 v νj (z) M 1 M (ν + 1)! Korollarium Om a 1,..., a m är analytiska i D så har differentialekvationen u (m) (z) + a 1 (z)u (m 1) (z) +... + a m (z)u(z) = f(z), z D, (6) för varje analytisk funktion f i D och varje u C n en och endast en analytisk lösning i D som uppfyller u (m j) () = u j, j = 1,..., m. (7) Bevis. Sätt u (m j) = u j. Då är (6) ekvivalent med u 1 + a 1 u 1 +... + a m u m = f, u 2 u 1 =,..., u m u m 1 =, och (7) kan skrivas u j () = u j. Påståendet följer genast av sats 1. 2

2 Differentialekvationer med konstanta koefficienter Låt A vara en n n-matis med konstanta komplexa koefficienter och betrakta differentialekvationssystemet u (z) = Au(z) (8) där u = (u j ) n j=1 är en n vektor med alla u j analytiska. Enligt sats 2 vet vi att det för varje u C n finns precis en hel analytisk lösning med u() = u. Om n = 1 så ges den av u(z) = e Az u. Vi skall nu utvidga detta till allmänt n genom att ge en lämplig definition av e Az. Låt allmänt F vara en hel analytisk funktion (med värden i C) F (z) = f j z j, z C. Vi definierar då F (A) = f j A j (9) där A = I, identitetsmatrisen. Först måste vi förstås bevisa att serien är konvergent. Skriv därför A = j,k a jk och observera att AB j,k,l a jk b kl A B. Vi har alltså att A j A j för varje j, så matriselementen i serien (9) har absolutbelopp mindre än termerna i den positiva konvergenta serien f j A j. Alltså konvergerar (9). Det är klart att om G är en annan hel funktion så blir F (A)G(A) = (F G)(A), för denna identitet innebär bara en omordning av termerna i en absolut konvergent dubbelserie. Vi skall nu ge en motsvarighet till Cauchys integralformel. Låt ω vara ett begränsat område med C 1 rand som i sitt inre har alla egenvärden till A, alltså alla lösningar till ekvationen Då har vi det(zi A) =. (1) F (A) = 1 F (ζ)(ζi A) 1 dζ. (11) Eftersom (ζi A) 1 är en analytisk funktion av ζ utanför nollställena till (1) är nämligen (11) oberoende av val av ω. Vi tar ω = {ζ; ζ < 1 + A }. För ζ ω har vi Integration ger (ζi A) 1 = ζ 1 (I + A/ζ +... + (A/ζ) N 1 ) + (A/ζ) N (ζi A) 1. N 1 1 F (ζ)(ζi A) 1 dζ F (j) () Aj j! = 1 F (ζ)(a/ζ) N (ζi A) 1 dζ. 3

Eftersom (A/ζ) N ( ) N A då N, ζ ω, 1 + A så går högerledet mot då N, vilket bevisar (11). Av (11) följer för övrigt att F (A) kan definieras för varje F som är analytisk i en omgivning av egenvärdena, men detta saknar betydelse för oss här. Speciellt för F (ζ) = e zζ får vi e Az = 1 e zζ (ζi A) 1 dζ, vilket genast visar att e Az är en analytisk funktion av z (dvs att matriselementen är det). Derivation med avseende på z ger d dz eaz = 1 e zζ ζ(ζi A) 1 dζ = 1 e zζ (I + A(ζI A) 1 )dζ = Ae Az. Vi kunde också ha fått detta ur potensserieutvecklingen e Az = z j Aj j!. Det följer nu genast att lösningen till (8) med u() = u är u(z) = e Az u. e Az har en mycket enkel analytisk form. Genom partialbråksuppdelning av den rationella funktionen (ζi A) 1, som är kvoten av kofaktormatrisen och det(ζi A), kan vi nämligen skriva (ζi A) 1 = R jk (ζ λ j ) k 1. (12) j k<m j Här är λ j egenvärdena till A, m j är högst lika med multipliciteten av λ j som rot till (1), och R jk är matriser med konstanta koefficienter. Cauchys integralformel ger nu e Az = j e λjz k<m j R jk zk k!. (13) Vi får alltså en summa av de vanliga exponentialfunktionerna exp λ j z multiplicerade med polynom av grad lägre än multipliciteten för λ j. Om vi multiplicerar (12) med ζi A = (ζ λ j )I + (λ j I A) och använder entydigheten av partialbråksuppdelningen så får vi I = j R j, (A λ j I)R jk = R j,k+1 (14) där R jk = då k m j. Vi har alltså R jk = (A λ j I) k R j, (A λ j I) mj R j =. (15) Värdeförrådet av R j består därför av generaliserade egenvektorer till egenvärdet λ j alltså vektorer x som uppfyller ekvationen (A λ j I) k x = för något k. Enligt första delen av (14) finns en bas för C n som består av generaliserade egenvektorer. 4

3 Isolerade singulariteter Vi skall nu studera ett system av differentialekvationer u (z) = a(z)u(z) (16) där a är en given analytisk n n matris med isolerad singularitet i och u skall vara en analytisk n-vektor. Antag att a är analytisk då < z < 1 till exempel och sätt Då övergår (16) i ekvationen z = e Z, U(Z) = u(e Z ) där Re Z <. U (z) = b(z)u(z) (17) där b(z) = e Z a(e Z ) är analytisk då Re z < och periodisk med perioden 2πi, b(z + 2πi) = b(z). (18) Om vi kan finna en lösning U till (17) med samma period så definierar U en entydig analytisk funktion då < z < 1 som uppfyller (16). Emellertid kommer det att visa sig att vi i allmänhet inte kan få en periodisk lösning till (17) och därför måste acceptera flertydiga lösningar till (16). Ekvationen (17) har enligt sats 2 en och endast en lösning i en godtycklig cirkel i vänstra halvplanet, med givet värde i medelpunkten. Genom att välja en växande följd av sådana cirklar ser vi att lösningen i själva verket existerar i hela halvplanet Re Z <. Vi väljer en fix punkt Z där och får för varje U C n en och endast en lösning till (17) då Re Z < med U(Z ) = U. Om vi ersätter Z med Z + 2πi i (17) och använder (18) så ser vi att Z U(Z + 2πi) också är en lösning till (17). Dess värde i Z beror lineärt på U, så vi kan definiera en linjär transformation A i C n genom Denna är uppenbart inverterbar. Alla egenvärden är alltså. Låt nu U vara en egenvektor till A, För lösningen U med U(Z ) = U har vi då AU(Z ) = U(Z + 2πi). (19) AU = λu. U(Z + 2πi) = λu(z) (2) för detta gäller då Z = Z. Sätt µ = (log λ)/2πi, med ett godtyckligt val av logaritmen. Då betyder (2) att U(Z)e µz har perioden 2πi och alltså är en analytisk funktion v(z). Vi får därför en lösning till (16) av formen z z µ v(z) (21) där v(z) är en entydig analytisk funktion då < z < 1. Flertydigheten ligger helt i potensfunktionen. Låt U nu i stället vara en generaliserad egenvektor till A, (A λi) m U =. Vi kan anta λ = 1 för annars kan vi sätta U(Z) = e µz V (Z), e 2πiµ = λ och betrakta ekvationen V (Z) = (b(z) µ)v (Z) 5

i stället. Vi påstår nu att om (A I) m U = så kan lösningen med U(Z ) = U till (17) på ett entydigt sätt skrivas i formen U(Z) = m 1 Z j U j (Z)/j! (22) där U j har perioden 2πi. Detta är klart om m = 1, så vi antar påståendet bevisat för lägre värden av m än det aktuella. Lösnignen U(Z + 2πi) U(Z) till (17) är lika med (A I)U i Z så vi kan då skriva U(Z + 2πi) U(Z) = m 2 Z j V j (Z)/j! där V j är periodiska med perioden 2πi och entydigt bestämda. Om vi sätter in (22) och använder periodiciteten hos U j så kan denna ekvation skrivas (2πi)U m 1 = V m 2, (2πi)U m 2 + (2πi) 2 U m 1 /2 = V m 3,... som vi kan lösa successivt för U m 1,..., U 1 som alla blir periodiska. Låt med dessa U j S(Z) = m 1 1 Z j U j (Z)/j!. Då har vi U(Z + 2πi) U(Z) = S(Z + 2πi) S(Z), så U (Z) = U(Z) S(Z) är periodisk med perioden 2πi. Sammanfattningsvis har vi bevisat: Sats 3 Det finns en bas för lösningarna till (17) av formen m 1 U(Z) = e µz Z j U j (Z)/j! (23) där U j är analytiska och U j (Z + 2πi) = U j (Z). Här är e 2πiµ ett egenvärde till avbildningen A som definieras av (19). För varje sådant finns en lösning av formen (23) med m = 1 som inte är identiskt. Om man återgår till de ursprungliga variablerna så får man lösningar till (16) av formen m 1 u(z) = z µ (log z) j u j (z)/j!, < z < 1, (24) där u j är entydiga analytiska funktioner. Flertydigheten orsakas alltså dels av potensfunktionen, dels av logaritmfunktionen. Exemplet u (z) = u(z)/z 2 där lösningen är u(z) = C exp( 1/z) visar att man kan få en lösning med väsentlig singularitet i även om a bara har en pol. Detta kan dock inte inträffa om man har en enkel pol: Sats 4 Om a har högst en enkel pol i så har funktionerna u j i (24) bara poler i. Bevis. Enligt Korollarium 5.5.2 räcker det att visa att det finns något heltal N sådant att u j (z)z N då z, alltså U j (Z)e NZ då Re Z. På grund av periodiciteten räcker det att bevisa det för Im Z π. Eftersom za(z) är begränsad då z så är b(z) begränsad i vänstra halvplanet. Av anmärkningen efter sats 2 följer därför att U(Z) U(W ) em, Z W < 1, 6

där U betecknar maximum av komponenterna. Men detta medför att U(Z) Ce M Z, alltså att U(Z)e NZ då Re Z och Im Z är begränsad, N > M. Men som i beviset för (22) kan vi framställa U j (Z) som en lineärkombination av U(Z + 2πik), k < m, och detta fullbordar beviset. Vi skall nu exemplifiera resultaten på differentialekvationer av andra ordningen med en vanligt förekommande typ av singularitet Lu = z 2 u (z) + za 1 (z)u (z) + a 2 (z)u(z) = (25) där a 1 och a 2 är analytiska i en omgivning av. Ett exempel är Bessels differentialekvation. Om vi sätter u 1 (z) = u(z), u 2 (z) = zu (z) så blir zu 2(z) = z 2 u (z) + zu (z). Ekvationen är därför ekvivalent med systemet zu 1(z) = u 2 (z), zu 2(z) = (a 1 (z) 1)u 2 (z) a 2 (z)u 1 (z) som uppfyller förutsättningarna i sats 3 och sats 4. Vi vet därför att (25) har minst en lösning av formen u(z) = z µ v(z) (26) där v är entydig och med högst en pol i origo. Genom att bryta ut en potens av z och ändra µ med ett heltal kan vi åstadkomma att v är anaytisk nära och v(), alltså Vi får nu att u(z) = z µ v j z j, v. (27) Lu = z µ (µ(µ 1) + µa 1 () + a 2 ())v + O(z µ+1 ) =, vilket då z medför att µ uppfyller indicialekvationen µ(µ 1) + µa 1 () + a 2 () =. (28) Om vi väljer v = 1 till exempel så får vi för bestämning av de andra koefficienterna successivt ekvationer av formen ((µ + j)(µ + j + 1) + (µ + j)a 1 () + a 2 ())v j = R j, j = 1, 2,... där R j kan beräknas med de föregående koefficienternas hjälp. Vi kan därför beräkna alla koefficienterna såvida inte µ + j är en lösning till indicialekvationen för något heltal j >. Sats 5 Om indicialekvationen har två rötter som inte skiljer sig med ett heltal så finns för varje rot µ en lösning till (25) av formen (27). Om indicialekvationen har rötter µ och ν så att µ ν är ett heltal så finns alltid en lösning u + som svarar mot den större roten µ. Det finns en lineärt oberoende lösning av formen u(z) = z ν w j z j + γ(log z)u + (z) där γ är en konstant (som eventuellt är ) och w om ν µ. Bevis. Om det finns två lineärt oberoende lösningar av formen (27) så kan vi genom att bilda en lämplig lineärkombination alltid se till att de har olika ledande exponenter µ. De måste därför svara mot olika rötter till indicialekvationen. I detta fall gäller påståendet i satsen (med γ = ). I annat fall finns en lösning av formen u(z) = z κ (w(z) + (log z)v(z)) 7

där v är analytisk i en omgivning av och v() medan w får ha en pol. Eftersom v(z) också måste vara en lösning då, så är κ en lösning till indicialekvationen. Om w har en pol med ordning m > så är det vidare klart att κ m måste lösa indicialekvationen, och man har då ett av fallen i satsen. I annat fall är w analytisk nära. Eftersom z d dz (zκ log z) = z κ (κ log z + 1), blir de enda termerna i Lu av ordning κ lika med z 2 d2 dz 2 (zκ log z) = z κ (κ(κ 1) log z + 2κ 1) ((2κ 1) + a 1 ())z κ v. Vi måste därför ha 2κ 1 + a 1 () = så κ är en dubbelrot till indicialekvationen. Detta bevisar satsen. Anmärkning För Bessels differentialekvation är indicinalekvationen µ 2 = n 2 med rötterna µ = ±n. Då 2n är ett heltal skulle det alltså enligt sats 5 kunna tänkas att en logaritmisk term förekommer i en lösning. Emellertid vet vi att detta inte händer utom då n är ett heltal. Logaritmiska termer behöver alltså inte alltid förekomma då de enligt sats 5 är tänkbara. 8