Labbrapport svängande skivor Erik Andersson Johan Schött Olof Berglund 11th October 008 Sammanfattning Grunden för att finna matematiska samband i fysiken kan vara lite svårt att förstå och hur man kan gå tillväga. I den här rapporten beskriver vi hur man kan göra för att finna enklare samband. Det exempel vi har tittat på är hur periodtiden för en svängande skiva påverkas av olika faktorer. Vi har koncentrerat oss på hur avståndet från upphängningspunkten och figurens tyngdpunkt, men även funderat över vilka andrafaktorer som kan påverka resultaten. Genom att först fundera över vilka faktorer som kan vara relevanta och sedan testat det hela i praktiken kunde vi genast utesluta vissa faktorer medan andra faktorer, så som massfördelning, tillkom. Detta har alltså att göra med tröghetsmoment, något som vi valt att inte gräva djupare i mer än att nämna det i den här rapporten. Därefter kunde vi ställa upp de matematiska samband som tillslut resulterade i ett uttryck. Med hjälp av de mätvärden vi uppmätt och den matematiska programvaran Matlab har vi kunnat våra mätvärden i en graf som vi sedan jämförde med den graf som vi kunde plotta genom att skriva vårt uttryck som en funktion i Matlab. Resultat var väldigt likt den graf som våra mätvärden gav oss vilket betyder att vår ansättning var korrekt.
Innehåll 1 Inledning 1 Metod 1 3 Resultat 3 4 Diskussion 9 A utrustningslista 10
1 Inledning Hur har man genom tiderna kommit fram till alla matematiska uttryck som vi idag kallar formler? Från att räkna saker omkring oss till att beskriva abstrakta rum som vi varken kan se eller föreställa oss? Någonstans grunder sig allting i och i den här rapporten har vi försökt hitta ett matematiskt samband för en s.k. svängande skiva. Genom resonemang och praktiska mätningar kan vi avgöra saker som om massan spelar roll, om vinkeln som vi släpper skivan i spelar roll etc. Vi använde en sensor för att mäta periodtiden för skivans svängning och med mätdata kan vi sedan jämföra med det uttryck som vi kommer fram till. Metod Vi började med att hänga upp en kvadratisk skiva i en upphängningsanordning, där friktion i upphängningspunkten försummas. I en kvadratisk skiva, med jämt fördelad massa, hamnar tyngdpunkten i skivans mittpunkt. För att kunna göra fler mätningar använde vi oss av ett snöre för att förlänga avståndet från skivans tyngdpunkt. För att ta reda på vilka olika variabler som påverkade periodtiden för den svängande skivan, mätte vi tiden för svängningar under olika förhålladen. Vårt mål med det här var att se vad som påverkade periodtiden och utifrån det skapa en formel för den. Den sensor som vi använde mätte halva periodtiden för skivan. Innan vi började mäta försökte vi resonera oss fram till vilka olika faktorer som spelade in. De faktorer vi trodde spelade in var sträckan från medelpunkten, upphängningspositionen (då avstådet från mittpunkten är konstant), vinkeln från ursprungsläget och tyngdaccelerationen (se figur 1). Här efter började vi göra mätningar då vi ändrade en variabel i taget. Utifrån de här mätningar kunde vi utesluta vissa faktorers inverkan. När vi hade tagit fram de faktorer som påverkade periodtiden, plottade vi de data som var relevanta. Ur den framtagna grafen kunde vi dra slutsatser om svängningens ekvation. Med hjälp av dem ansatte vi olika ekvaktioner. Genom att jämföra dem med våra mätvärden kunde vi sedan avgöra vilken av våra ansättningar som var den rätta. Efter det gjorde vi dimensionanalys för att bestämma våra konstanters värde och dimension. 1
Figur 1: Vår testanordning
1.8 1.6 1.4 T/ / s 1. 1 0.8 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 l / m Figur : Mätadata av halva periodtiden och sträckan från mittpunkten 3 Resultat Av våra mätningar kunde vi utläsa att varken upphängningspositionen (då avståndet från tyngdpunkten är konstant) eller vinkeln från ursprungsläget påverkade periodtiden. Däremot fick vi olika periodtider då vi varierade avståndet mellan upphängningspositionen och mittpunkten. När vi varierade denna sträcka släpptes skivan från 45 från bottenläget. Från den mätdata vi fick fram (se tabell 1) plottade vi en graf (se figur ). Den här grafen hade ett utseende vilket liknade en sammansättning av potensfunktioner. Därav antog vi att periodtidens ekvation också skulle bestå av potensfunktioner. Logaritmerar man en potensekvation y = a x b får man ln y = b ln x + ln a. Genom att logaritmera våra mätvärden (se tabell ) och sedan plotta en funktion av dem (se figur 3, hoppades vi på att få fram något som liknade räta linjens ekvation, där ln y skulle motsvara Y, b skulle motsvara k, ln x skulle motsvara X och ln a skulle motsvara m. På våra graf är x-axeln ln l (där l är längden till mittpunkten). Och på vår y-axel är ln T (där T är halva periodtiden). 3
0.6 0.4 ln T/ / ln s 0. 0 0. 0.4 0.6 4.5 4 3.5 3.5 1.5 1 0.5 0 ln l / ln m Figur 3: Logaritmerad mätadata med tangenter utritade 4
Tabell 1: Halva periodtider och avstånd från tyngdpunkten T /s l/m 1,759 0,009 1,111 0,06 0,903 0,044 0,779 0,06 0,718 0,080 0,669 0,098 0,653 0,116 0,630 0,15 0,66 0,188 0,634 0,3 0,646 0,58 0,66 0,93 0,695 0,358 0,738 0,433 0,771 0,490 0,877 0,655 Studerar man denna graf ser man att för små värden på ln l (små värden på l) liknar grafen en linjär ekvation. För stora värden på ln l (stora värden på l) antar grafen också en linjär karaktär. Alltså liknar grafen en potensfunktion vid små och stora l. Det verkar alltså som om ekvationen för periodtiden är sammansatt av två potensfunktioner, där den ena dominerar för små l och den andra potensfunktionen för stora l. Genom att tänka omvänt kan vi läsa utifrån grafen att ekvationen blir T = c 1 l n för små l och T = c l m för stora l:, där konstanterna n och m är de linjära ekvationernas k-värde. De blev cirka 0.4 respektive 0.41 vilka vi avrundade till och 1. Detta på grund av naturens enkelhet och 1 mätosäkerheten i våra mätningar. För att komma fram till ekvationen för T ansätter vi nu olika möjliga ekvationer, vilka vi genom linjärisering skall få till raka linjer om ansättningen är korrekt. Vi provade dessa två olika ansättningar: Ansats 1: T = c 1 l + c l. Ansats : T = (c 1 l + c l ). Den första ansättningens linjärisering blev T l = c 1 l + c och T linjäriseringen för den andra ansättningen blev l = c 1 l + c. 5
0.8 0.7 * l 0,5 m 0,5 0.6 0.5 T/) 0,5 *s 0,5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 l / m l / m Figur 4: De två ansättningarna efter linjärisering 6
Tabell : Logaritmerade mätvärden ln T ln l 0,56-4,71 0,11-3,65-0,10-3,1-0,5 -,78-0,33 -,53-0,40 -,3-0,43 -,15-0,46-1,88-0,47-1,67-0,46-1,50-0,44-1,35-0,41-1,3-0,36-1,03-0,30-0,84-0,6-0,71-0,13-0,4 Plottar man de här nya värdena (se fig 4) ser man att den andra ansättningen är den mest korrekta. Det är alltså den som beskriver T. Av grafen kunde vi utläsa att c 1 = 1.091 och c = 0.0333. Nu har vi alltså funnit ekvationen som beskriver halva periodtiden. Det som återstår är dimensionsanalys. Det gör vi genom att dela upp problemet. Vi betraktar ekvationen då l är litet respektive stort. Då l är stort går den ena termen mot noll (det vill säga T = c 1 l), vilket gör att [c 1 ] = s. m En analys man kan göra är att då l växer blir svängningen mer lik en l svängande pendel där ekvationen är T = π. Vilket kan omskrivas som g T = π l. Ur detta ser man att 1 m = s vilket stämmer med enheten på g s m c 1. Man kan också beräkna vad c 1 är teoretiskt ( π g likt vårt uppmätta värde. Alltså är T = π g = 1.005), vilket är mycket l för stora värden på l. För små värden på l blir på liknande resonemang som ovan T = c l. Det ger också att [c ] = ms. Sambandet för små värden på l var inte lika uppenbart som för stora. Genom diverse resonemang kom vi så småningom fram till att det måste ingå någon storhet som är beroende av hur massan i det svängande föremålet är fördelad. Efter att ha diskuterat med vår handledare 7
5 4.5 4 3.5 T/ / s 3.5 1.5 1 0.5 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 l / m Figur 5: Den ansatta funktionen för halva periodtiden och de mätdata vi fick var det tydligt att det var tröghetsmoment som vi hade i åtanke. Enheten för tröghetsmoment är kg m. Massan på skivan spelar ingen roll, (Tänk att två skivor svänger bredvid varandra med samma periodtid, om man då sammanför dem kommer periodtiden inte att påverkas), därför måste en variabel ha enheten 1 kg. Ur den här ekvation: [c ] = ms = kgm 1m s 1 kg ser man att en tredje variabel måste ha enheten 1 m. Då kan det tyckas rimligt att den s variabeln är 1 då det är likt värdet på vår konstant c g. Alltså ser ekvationen för små l ut så här: T = I l g m Då blir ekvationen för halva periodtiden: T = I 1 + 1 l Plottar man g m l g denna som en funktion i Matlab och jämför med de data som vi uppmätt ser vi tydligt att ansättningen är rimlig se figur (5). 8
4 Diskussion I vår labb analyserade vi halva periodtiden för en speciell skiva i svängning. Det hade varit intressant att göra mätningar på andra typer av skivor och se hur mätresultaten hade sett ut. Förmodligen hade tröghetsmomentet påverkat periodtiden i högre grad än vad det gjorde för oss, men våra resonemang borde stämma även för andra skivor. Vad anbeträffar mätosäkerheten gav sensorn oss mätdata med fyra värdesiffror, men på grund av att vi inte kunde skapa idealiska svängningar kan man inte anta att den säkerheten är adekvat. Hade vi kunnat göra fler mätningar för mindre och större l skulle vi fått fram ett tydligare samband för det slutgiltiga uttryckets potenser. Konstanterna c 1 och c kunde vi ha beräknat i Matlab med hjälp av den logaritmerade grafen. Det gjorde vi dock inte ty det blev bättre värden då vi hade avrundat potenserna till den naturliga potensen, 1. Skillnaden blev dock ej betydande. Båda ansättningarna vi gjorde skulle kunna vara korrekt, men den ena ansättningen ordnade sig inte till en rät linje efter linjärisering. 9
A utrustningslista Mätsensor Kvadratisk skiva Matlab Referenser [1] Physics Handbook, C. Nordling och J. Österman [] Joakim Nyman (Handledare) 10