ha[k] = h[k] + ha[k 1]

ÙÙ Ø ½ a ËÐØÚ ÁÒØÖÒ ¾¼½¼»½ ËÚÓÖ Ç ØØÔ»»½¾º½º¼º¾½¼¼½ Ó ÒØÖÒÓµ ØØÔ»»¾¼¼º½º½¼º½¼¼½ Ó ÜØÖÒÓµ ÇÖÒÞÓÖ ÐÜÒÖ ÓÒÐÚ ËÐÚ ÊÓÖØÓ ËÐÚÓ ÍÖØÒÓ ÊÓ Ó ÂÖº ÐÙÓ Ö Ë ßÐÜÒÖ ÖÓ Ó ÐÙÓÐ Ø ÓÒÚÐÐ ÓØ Ù ÓØ Ö ÄÑÖØ ÔÖÑØÓ ÓÒ ÙÐØÖ ÐÚÖÓ ÒÓØ ÓÙ ÕÙÐÕÙÖ ÓÙØÖÓ ÑØÖÐ ÑÔÖ Ó ÙÖÒØ ÔÖÓÚº ÓÖÖÓ ÙØÓÑØÞ ÔÓÖØÒØÓ ØÒØÑÒØ ÜÒ ØÖ ÕÙÒØÓ Ó ÓÖÑØÓ ÒØÖ Ù ÔÖÓÖѺ Ú¹ ÓÒ ÖÖ ÒØÖ ÔÖÓº ÈÖÓÙÖ Ö ÓÐÚÖ Ó ÔÖÓÐÑ ÑÒÖ Òغ Ë Ó ØÑÔÓ ÙÔÖÖ Ó ÐÑØ ÔÖ¹ÒÓ ÓÐÙÓ ÒÓ Øº ÓÐÙ Ó Ø Ø ÓÑ ÓÙØÖ ÒØÖ ÐÑ ÔÖ ÒØ ÓÑÓ ÜÑÔÐÓ Ó ÔÖÓÐÑ º Ì Ø Ù ÔÖÓÖÑ ÒØ ÙÑعÐÓº ÔÖÓÐÑ ØØÓ ÖÖÓ ÓÑÔÐÓ ÖÖÓ Ñ ØÑÔÓ ÜÙÓ ÓÐÙÓ ÒÓÖÖØ ÓÖÑØÓ ÑÔÖ ØÑÔÓ ÜÓ...µ ÔÒÐÞÓ 20 ÑÒÙØÓ º Ç ØÑÔÓ ÖØÖÓ ÑÔØ ÒØÖ Ù ÓÙ Ñ ÕÙÔ ÓÑ Ñ Ñ ÕÙÒØ ÔÖÓÐÑ Ö ÓÐÚÓ º ÍØÐÞ Ó ÐÖØÓÒ ÔÖ Ú ÔÖÓÚº Ç ÙÞ ÔÓÑ ÓÔÓÒÐÑÒØ ØÒ¹ÐÓ ÓÑ Ö ÔÓ Ø Ú ØÓÓ º

ÙÙ Ø ½ a ËÐØÚ ÁÒØÖÒ ÍË ¾¾ ÑÓ ¾¼½¼ ÓÒØÓ ½ ÈÖÓÐÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ØÒ ¾ ÈÖÓÐÑ ÓÕÙ Ó ØÖÒ ÈÖÓÐÑ À ØÓÖÑ ÙÑÙÐÓ ÈÖÓÐÑ ÄÖÒØÓ Ó ÔÖ ÈÖÓÐÑ ÐÓÖ Ø ÈÖÓÐÑ ÊÞ ÕÙÖ ÈÖÓÐÑ ÎÓÐØ ½¼ ÈÖÓÐÑ À ÏÒ ØÖÒ Ò ÖÓÚ ½¾ ÈÖÓÐÑ Á ÐÓÙ ½

½ ÈÖÓÐÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ØÒ ÖÕÙÚÓ ØºÔÔÚ Ñ ÙÑ ÑØÖÞ ØÒ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ p 0 p n ÔÓ Ö Ò ÓÑÓ Ó ÓÑÔÖÑÒØÓ n Ó ÑÒÓÖ ÑÒÓ ÒØÖ Ð Ó ÔÓÖ p 0, p 1,..., p k,...,p n ØÐ ÕÙ p k ÚÞÒÓ p k 1 ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ k 1 k nµ ÕÙÒº ÈÖ ÑÔÐÖ ÔÓÒØÓ p k p k 1 Ó ÚÞÒÓ ÔÓ ÓÒÓ µ Ò Ñ Ñ ÐÒ Ñ ÓÐÙÒ ÓÒ ÙØÚ ÓÙ µ Ò Ñ Ñ ÓÐÙÒ Ñ ÐÒ ÓÒ ÙØÚ º ØÖÒ ÓÖÑ ØÒ ÙÑ ÓÔÖÓ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÙÑ ÓØÓ ÙÐ 1µ Ñ ÙÑ ÑØÖÞ Ù ÑÒÓÖ ØÒ ÓÒÓÖÑ ÒÓ ÒØÖÓÖÑÒص ÔÓÒØÓ ÙÒÓ Ù 0µº ÜÑÔÐÓ ØÖÒ ÓÖÑÓ ÑØÖÞ A 0000111100 0011111110 0111111111 0111111111 0111111111 0011111111 0000111110 ) 0000122100 0011233210 0122344321 0123455432 0122345432 0011234321 0000123210 A dist(a ) Ø Ö ÙÐØÓ ÔÓ Ö ÙØÐÞÓ Ñ ÓÙØÖ ÖÖÑÒØ ÓÑÓ ØÖÑÒÓ ÑÒÓ ÑÒÑÓ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ ÖÑ ÎÓÖÓÒÓ ÑÒ Ó ÖØÐ ÖÓ Ó ÕÙÐØÓ ÑÓÖÓй Ó ÒØÖ ÓÙØÖÓ ÐÓÖØÑÓ º ÎÓ Ø ÒÚÓÐÚÒÓ ÙÑ ØÒ ÑÒØÓ ÓÖÑ Ò ÕÙÐ ØÖÒ ÓÖÑ ØÒ ØÑ ÔÔÐ ÙÒÑÒØк Ç ÒØÖ Ø Ñ ÔÐ Ò ÓÓÖÒ ÓÒ ØÒ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÓØÓ ÚÐÓÖ 1µ Ó ÙÒÓ ÚÐÓÖ 0µ Ñ ÜѺ ÒØÖ Ò ÓÑ Ó ÒÑÖÓ Ó Ø Ø T 1 T 100µº ÈÖ Ø Ø ÔÖÑÖ ÐÒ ÓÒØÑ Ó ÒØÖÓ H W ÓÑ Ó ÒÑÖÓ ÐÒ ÓÐÙÒ Ö ÔØÚÑÒØ ÑØÖÞ 1 H, W 256µº H ÐÒ ÙÒØ ÖÖѹ ÑØÖÞ Ò Öº ÈÖ Ó Ø Ø Ú¹ ÔÖÓÙÞÖ ÙÑ ÐÒ ÓÑ Ó ÑÓÖ ÚÐÓÖ ØÖÒ ÓÖÑ ØÒ µ ÓÓÖÒ µ ÒÓ ÓÖÑØÓ (linha, coluna) ÓÒ ØÐ ÚÐÓÖ ÒÓÒØÖ ÓÓÖÒ Ó Ð Ø Ò ÓÖÑ ÚÖÖÙÖ ÕÙÖ ÔÖ ÖØ Ñ ÔÖ ÜÓ Ó ÔÖÑÖÓ Ò ÐÒ ÓÐÙÒ ÙÐ ÞÖÓµº ½ ¼½½½¼¼¼ ½½½½½¼¼ ½½½½½¼¼ ½½½½½¼¼ ¼½½½¼¼¼ ½ ¾µ ¾ ½µ ¾ ¾µ ¾µ

¾ ÈÖÓÐÑ ÓÕÙ Ó ØÖÒ ÖÕÙÚÓ ÓºÔÔÚ ÖÙ ÓÖ ØÚ ÙÑ ÒØÖ ÒØ ÔÖ ÓÖ ØÖÒ º ËÙ ÖÓ ÓÑÓ ÓÓ Ø ËÒÓ x 1, x 2,...,x n ÕÙÒ ÖØÖ ØÖÒ Ö Óº ½º ÓÐ ÙÑ ÒØÖÓ m n ÒÑÖÓ ØÒØÓ p 1, p 2,..., p n ÔÖØÖ Ó ÓÒÙÒØÓ {1, 2,..., n} ÙÑ ÔÖÑÙØÓ Ó ÒÑÖÓ 1 nµº ¾º ÊÔØ Ó Ô Ó ÙÒØ m ÚÞ º º ÈÖ 1 i n ØÖÙ x pi ÔÖ y i ÒØÓ ÔÖ 1 i n Ù ØØÙ x i ÔÓÖ y i º ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÕÙÒÓ ÕÙÖÑÓ ÓÖ ØÖÒ ÐÐÓ Ò ÓÐÑÓ Ó ÚÐÓÖ m = 3 ÔÖÑÙØÓ 2, 3, 1, 5, 4 Ó Ó ÖÑ ÓÓ Ñ ØÖ ØÔ ÐÐÓ ÐÓÐ ÐÐÓ ÐÓк ÖÙ ¹Ð ØÖÒ Ó Ó ÒÑÖÓ m p 1,...,p n Ù Ó ÔÖ ÓÖ ÕÙÒ º Ð ÖÑ ÕÙ ÔÓÖÕÙ Ð Ù ÓÙ ÙÑ ÒÑÖÓ ÐØÓ m ÔÖ ÓÓ ÚÓ ÔÖ Ö ÑÙØÓ ØÑÔÓ ÔÖ ÓÖ ÕÙÒ º ÎÓ ÔÓ ÑÒØÖ Ø ÖÑÓ ØÖÚ ÙÑ Ö Ô ÓÓ ØÖÒ ÒØÖ ÓÒØÑ Ú ÖÓ Ó Ø Øº Ó Ø Ø Ò ÓÑ ÙÑ ÐÒ ÓÒØÒÓ Ó ÒÑÖÓ n m 1 n 80 1 m 10 9 µº ÐÒ ÙÖ ÓÒ Ø n ÒÑÖÓ ÖÒØ p 1,..., p n 1 p i nµº ØÖÖ ÐÒ Ó Ø Ø ÓÒ Ø ÜØÑÒØ n ÖØÖ ÖÔÖ ÒØ ØÖÒ Óº Ç ÐØÑÓ Ó Ø Ø ÙÓ ÔÓÖ ÙÑ ÐÒ ÓÒØÒÓ Ó ÞÖÓ º ÈÖ Ó Ø Ø ÑÔÖÑ ÙÑ ÐÒ ÓÑ ØÖÒ Óº ¾ ½ ÐÓÐ ½ ¼¾ ½ ½¼ ¾ ½ ½ ½¾ ½ ½ ½½ ÓØ Ø Ò ½¾ ¾ ½ ÒÓ ¼ ¼ ÐÐÓ ÓÒ Ø Ø ÒÓ

ÈÖÓÐÑ À ØÓÖÑ ÙÑÙÐÓ ÖÕÙÚÓ ºÔÔÚ ÍÑ ØÓÖÑ ÙÑ ÖÔÖ ÒØÓ ØÖÙÓ ÖÕÙÒ ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÚÐÓÖ ÙØÐÞÓ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ Ñ ÔÖÓ ÑÒØÓ Ò º ÑÒØ ÔÖ ÚÐÓÖ ÓÒع ÕÙÒØ ÚÞ Ó Ñ ÑÓ ÔÖ ÒÓ ÓÒÙÒØÓº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÔÖ Ó ÓÒÙÒØÓ ¾ ½ ¼ ¾ ½ ½ ¾ Ìѹ ÕÙ Ó ¼ ÔÖ ÙÑ Ò ÚÞ Ó ½ ÔÖ ØÖ ÚÞ Ó ¾ ØÖ ÚÞ Ó ÒÒÙÑ ÚÞ Ó ÙÑ ÚÞ Ó Ù ÚÞ º Ø ÑÓÓ Ó ØÓÖÑ ÔÖ Ø ÓÒÙÒØÓ ½ ¼ ½ ¾ ÈÖ ÐÙÒ ØÔÓ ÔÖÓ ÑÒØÓ Ø ÓÑÓ ÕÙÐÞÓ ØÓÖÑ ÙØÐÞ¹ Ò¹ ÓÖÑÓ Ó ØÓÖÑ ÙÑÙÐÓº ËÙÔÓÒÓ h ÙÑ ØÓÖÑ Ó ÚÐÓÖ Ù ØÓÖÑ ÙÑÙÐÓ ha Ó ÐÙÐÓ ÙÒØ ÓÖÑ ha[¼] = h[¼] ha[½] = h[½] + ha[¼] º ha[k] = h[k] + ha[k 1] º ha[n] = h[n] + ha[n 1] ÒÓ n ÙÐ Ó ÑÓÖ ÚÐÓÖ Ó ÓÒÙÒØÓº ÈÓÖØÒØÓ ÔÖ Ó ÜÑÔÐÓ ÒØÖÓÖ Ó ØÓÖÑ ÙÑÙÐÓ ½ ½¼ ÒØÖ Ò ÓÑ ÙÑ ÒÑÖÓ T 1 T 100µ ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ó ÒÑÖÓ Ó Ø Øº ÒØÓ ÙÑ T ÐÒ ÙÑ ÓÑ ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÚÐÓÖ ÒØÖÓ ÔÓ ØÚÓ ÔÖÓ ÔÓÖ ÔÓ ÒÓ ÚÐÓÖ v ÐÑØÓ Ñ ÙÑ ÑÔÐÓ ÒØÖÚÐÓ 0 v 1000000000µº Ó ÒÐ ÐÒ Øѹ Ó ÚÐÓÖ 1 ÕÙ ÒÓ ÔÖØ Ó ÓÒÙÒØÓ ÔÒ Ò ÒÐÞÓ ÙÑ Ó Ø Øº ÈÖ Ó Ø Ø ÒØÖ ÔÖ ÒØ ÙÑ ÐÒ Ò ÔÖÓ ÓÒØÒÓ ha[n] ÔÖ n ÙÐ Ó ÑÓÖ ÚÐÓÖ Ó ÓÒÙÒØÓº ¾ ¾ ½ ¼ ¾ ½ ½ ¾ ¹½ ¼ ½¼ ¹½ ½¼

ÈÖÓÐÑ ÄÖÒØÓ Ó ÔÖ ÖÕÙÚÓ ÐÖÒØÓºÔÔÚ Æ Ø ÔÖÓÐÑ ÚÓ ØÑ ÕÙ Ö ÓÐÚÖ ÙÑ ÐÖÒØÓ ÑÙØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ ½º ÍÑ Ö 6 ÔÓÖ 6 ÕÙÖÓ ÙÒØ ÖÓ ¾º 3 ÔÖ ÓÑÔÖÑÒØÓ ÒØÖ 1 6 ÓÐÓ ØÒØÓ Ò ÓÖÞÓÒØÐ ÓÑÓ Ò ÚÖØÐ ÔÖ ÔÖÖ ÕÙÖÓ º ÍÑ ÑÖ ÒÓ ÙÑ ÑÖ Ñ Ç ÐÖÒØÓ ØÑ Ø ÔØÓ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S E W N S E ÎÓ ØÑ ÕÙ ÒÓÒØÖÖ Ó ÑÒÓ Ñ ÙÖØÓ ÒØÖ ÑÖ ÒÓ Ë ÑÖ Ñ º Ë Ó ÔÖÑØÓ ÑÓÚÑÒØÓ ÒØÖ ÕÙÖÓ ÒØ º ÈÓÖ ÒØ ÒØÒѹ Ó ÕÙÖÓ ÕÙ ÓÑÔÖØÐÑ ÙÑ Ö Ø ÕÙ ÒÓ Ó ÔÖÓ ÔÓÖ ÙÑ ÔÖº ÆÓ ÔÖÑØÓ ÞÖ ÑÒÓ ÓÖ Öº ÒØÖ ÓÒ Ø Ñ Ú ÖÓ Ó Ø Øº Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ñ ÒÓ ÐÒ ÔÖÑÖ ÐÒ ÓÒØÑ Ó ÒÑÖÓ ÓÐÙÒ ÐÒ Ó ÕÙÖÓ ÓÑ ÑÖ ÒÓº ÙÒ ÐÒ ÓÒØÑ Ó ÒÑÖÓ ÓÐÙÒ ÐÒ Ó ÕÙÖÓ ÓÑ ÑÖ Ñº ØÖÖ ÕÙÖØ ÕÙÒØ ÐÒ ÔÑ ÐÓÐÞ ØÖ ÔÖ º ÔÓ ÔÖ ÔÓ Ö ÔÐ ÔÓ Ó ÜØÖÑ ÕÙÖ Ù ÔÐ ÔÓ Ó ÜØÖÑ ÖØ ÒÓ Ó ÔÖ ÓÖÞÓÒØ µ ÓÙ ÔÐ ÔÓ Ó Ó ÜØÖÑÓ ÙÔÖÓÖ Ù ÔÓ¹ Ó Ó ÜØÖÑÓ ÒÖÓÖ ÒÓ Ó ÔÖ ÚÖØ µº ÔÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÜØÖÑÓ ÙÑ ÔÖ ÔÐ ØÒ Ñ ÔÖØÖ Ó ÐÓ ÕÙÖÓ Ö Ù ØÒ Ñ ÔÖØÖ Ó ÐÓ ÙÔÖÓÖ Öº ÎÓ ÔÓ ÙÑÖ ÕÙ ØÖ ÔÖ ÒÓ ÒØÖ ØÑ ÙÑ ÓÙØÖ Ñ Ð ÔÓÑ ØÓÖ Ñ ÐÙÑ Ó ÒØÓ Öº Ñ ÑÔÖ ÚÖ ÙÑ ÑÒÓ Ú ÐÓ ÑÖ ÒÓ Ø ÑÖ Ñº ÆÓØ ÕÙ Ó Ô Ó ÐÖÒØÓ ÙÖ Ñº Ç ÐØÑÓ Ó Ø Ø ÙÓ ÔÓÖ ÙÑ ÐÒ ÓÑ Ó ÞÖÓ º

ÈÖ Ó Ø Ø ÑÔÖÑ ÖÓ Ó ÑÒÓ Ñ ÙÖØÓ ÑÖ ÒÓ Ø ÑÖ Ñº ÖÓ Ú ÔÖ ÖÓ ÑÓÚÑÒØÓ Æ³ ÔÖ ÑÓÚÖ ÔÖ Ñ ³ ÔÖ ÖØ Ë³ ÔÖ ÜÓ Ï³ ÔÖ ÕÙÖµº ÈÓ Ü ØÖ Ñ ÙÑ ÑÒÓ ÑÒÑÓ Ò Ø Ó ÚÓ ÔÓ ÑÔÖÑÖ ÕÙÐÕÙÖ ÙÑ Ð º ½ ¾ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ ÆËÏÏ

ÈÖÓÐÑ ÐÓÖ Ø ÖÕÙÚÓ ÐÓÖ ØºÔÔÚ ÖÙ ÓÖ Ø Ñ Ô ÒÙÑ ÓÖ Øº Ð ÑÒÒÓ ÕÙÐ Ó ØÖÓÒÓ ÖÚÓÖ Ñ ØÒØ ÕÙ ÒÓ ÐÓÕÙÓ Ù Ú Ø ÔÐÓ ØÖÓÒÓ ÓÙØÖ ÖÚÓÖ º ÖÙ Þ ÙÑ ÑÔ ÓÖ Øº Ç ÑÔ ÑÓ ØÖ Ù ÔÓ Ó ØÙÐ ÓÑÓ ÒÓ ÓÖÑ Ó ØÑ ÓÓÖÒ ÖØ Ò º ÖÚÓÖ i ÑÓ ØÖ ÒÓ ÑÔ ÓÑÓ ÙÑ ÖÙÐÓ ÓÑ ÒØÖÓ (x i, y i ) ÖÓ r i º ÎÓ ÔÓ ÙÑÖ ÕÙ Ó ØÖÓÒÓ ÙÑ ÖÚÓÖ Ú ÚÐ ÓÑÒØ Ü Ø ÒÓ ÑÔ ÙÑ ÑÒØÓ ÖØ ÓÖÑ (0, 0) Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ó ØÖÓÒÓ ÖÚÓÖ ÓÒ Ó ÑÒØÓ ÖØ ÒÓ ÒØÖ Ø ÓÙ ØÓ ÒÒÙÑ ÓÙØÖÓ ÖÙÐÓº ÒØÖ ÓÒØÑ Ú ÖÓ Ó Ø Øº ÔÖÑÖ ÐÒ Ó Ø Ø ÓÒØÑ ÙÑ ÒÑÖÓ n 1 n 1000µ ÓÒ n Ô ÕÙÒØ ÖÚÓÖ Ü ØÑ ÒÓ ÑÔº ÐÒ ÙÒØ ÓÒØÑ Ñ ÙÑ ÒØÖÓ x i y i r i 10000 x i, y i 10000 1 r i 1000µ ÓÒ (x i, y i ) ÖÔÖ ÒØ Ó ÒØÖÓ Ó ØÖÓÒÓ ÖÚÓÖ i r i Ó ÖÓ Ó ÖÙÐÓº ÎÓ ÔÓ ÙÑÖ ÕÙ ÒÒÙÑ ÔÖ ÖÙÐÓ ÒØÖ ÒØÖ ØÑ ØÓ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ Ó ÖÙÐÓ ØÒ ÒØÖ Ù ÒØÖÓ ÑÓÖ ÕÙ ÓÑ Ó Ù ÖÓ º Ò ÚÓ ÔÓ ÙÑÖ ÕÙ ÒÒÙÑ ÖÙÐÓ ÓÒØÑ ÓÖѺ Ç ÐØÑÓ Ó Ø Ø ÙÓ ÔÓÖ ÙÑ ÐÒ ÓÒØÒÓ ÙÑ ÞÖÓº ÈÖ Ó Ø Ø ÑÔÖÑ ÙÑ ÐÒ ÓÑ Ñ ÜÑ ØÒ ÙÐÒ ÓÖÑ Ø ÙÑ ÖÚÓÖ Ú Úк ØÒ Ø ÙÑ ÖÚÓÖ Ú Ö Ñ Ù ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÖÚÓÖ Ñ ÔÖÜÑÓ ÓÖÑ ÒÔÒÒØ Ø ÔÓÒØÓ Ö ÓÙ ÒÓ Ö Ú ÚÐ ØÓº ÖÖÓÒ Ö ÔÓ Ø ÔÖ ØÓ Ô Ó ÔÓÒØÓ Ñк ½¼ ½¼ ½½ ½ ½ ½ ¹¾¼ ¹½¼ ¾¼ ½ ¾ ¾ ¹¾ ½ ½ ¾ ¹½ ½ ¹½ ¹¾ ¾ ½¼¼¼¼ ¹½¼¼¼¼ ½¼¼¼ ¼ º½¾ ½º¾ ÆÓ ÙÒÓ Ó Ø Ø ÔÖÑÖ ÕÙØÖÓ ÖÚÓÖ ÐÓÕÙÑ Ú Ø ØÓ ÖÚÓÖ Ñ ØÒØ Ó ÕÙ Ø ÕÙØÖÓ ÖÚÓÖ º

ÈÖÓÐÑ ÊÞ ÕÙÖ ÖÕÙÚÓ ÖÞºÔÔÚ ÍÑ ØÙÒØ Ö ØÒÓÐÓ Ö ÓÐÚÙ ØÓÖÒÖ Ù Ó ÒÔÒÒØ ÐÙÑ ÐÓØ ÓÑÓ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ ÑØÑ Øº ÆÓ ÑÓÑÒØÓ Ð Ø Ù ÒÓ Ó ÅØÓÓ ÆÛØÓÒ ÔÖ ÒÓÒØÖÖ ÙÑ ÔÖÓÜÑÓ ÖÞ ÕÙÖ ÙÑ ÒÑÖÓ a x 0 = a 2 x i+1 = 1 ) (x i + axi 2 ÔÖ i = 0, 1, 2,... ÔÖÑÖ ÐÒ ÒØÖ ÓÒØÑ ÙÑ ÒØÖÓ nº ÐÒ ÙÒØ ÓÒØÑ n ÒÑÖÓ Ö º ÈÖ ÒÑÖÓ ÖÐ ÖÚ Ó ÚÐÓÖ ÑÒÑÓ i ÔÖ ÕÙ Ù ÖÞ ÕÙÖ x i+1 ØÐ ÕÙ x i+1 x i 0.001º Ó ÔÖ ÔÓÖ ÙÑ ÔÓ Ñ ÖÒÓº ½¼º º¾½ ¾ º

ÈÖÓÐÑ ÎÓÐØ ÖÕÙÚÓ ÚÓÐغÔÔÚ Ñ ÐÙÑ ÐÙÖ ÒÓ ÑÓ ÙÑ ÖØÓ ÚÚ ÙÑ ÔÕÙÒ ÓÑÔÐØÑÒØ ÕÙ ØÖÓ Æ³ÙÖº ÌÓÓ Ó ÓÑÒ ÑÙÐÖ ÖÒ ØÖÓ ÚÚÑ ÓÑ ÐÙÒ ÑÐÓ ÒÓ Ó Æ³ÙÖ Ô Ó Æ³ÙÖ ÒÓ ØÑ ÖÒ ÖØÚ ÕÙÒÓ ØÖØ ÒÓÑ ÓÖ Ó µº Ø ÔÓÖ Ô Ó ØÑ Ó Ñ Ñ Æ³ÙÖ ÐÙÒ ØÖ ØÖÖ ÖÖ ÚÖÒ Æ³ÙÖº ËÑ ÚÖÒº ÎÓ ÒÓ ÐÑÖ ÜØÑÒØ ÓÑÓ ÚÓ ÚÓ ÔÖÖ Ñ Æ³ÙÖº ÌÐÚÞ Ó Ù ÖÖÓ ØÒ ÕÙÖÓ ÕÙÒÓ ØÖÚ Ú Ó ÖØÓº ÌÐÚÞ ÚÓ ØÒ ÐØÓ ÙÑ ÚÓº ÌÐÚÞ ÚÓ ØÒ Ó ØÖÞÓ ÕÙ ÔÓÖ ÑÖÒÓ º Å Ó ÒÓ ÑÔÓÖØ ÓÖº ÎÓ ÕÙ Ø ÕÙ Ñ ÐÓÒ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÞÓº ÚÓ ÕÙÖ ÔÖÑÒØ ÚÓÐØÖ ÔÖ º Ò ÔÓ Ð Ö Ñ ÑÒÒÓ ÔÐÓ ÖØÓ Ñ ÖÓ ÙÚÐÐ Ñ ÔÖÜѺ ÎÓ ØÑ ÕÙ Ù Ö ÑÒÓ ÒÓ ÖØÓ ÑÓ ØÖÓ Ñ Ù ÑÔº ÑÒÓ ÓÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ò Óº Ç Ó Æ³ÙÖ ÙÚÐÐ ØÑÑ Ó ÓÒ ÖÓ ÔÓÒØÓ Ò Óº ÎÓ ÔÓ ÒÖ Ñ ÚÓ ÔÖ Ùº ÈÖ ÑÐ ÔÖÓÖÖ ÚÓ ØÑ ÕÙ Ö ÙÑ ÙÒ Ùº ÎÓ ÔÞ ØÖÒ ÔÓÖØÖ ÒÓ Ñ ÜÑÓ C ÙÒ Ù ÔÓÖ ÚÞº Ñ ÚÓ ÒÙÒ ÔÓ ÒÖ Ñ C ÑÐ Ñ Ö ØÖ Ù ÙÔÖÑÒØÓ Ùº Ç ÑÒÓ Ñ ÙÖØÓ ÔÖ ÙÚÐÐ ÔÖÓÚÚÐÑÒØ ÑÙØÓ ÑÓÖ ÕÙ C ÑÐ º Ñ ÔÖ ÕÙ ÚÓ Ú Ö Ñ Æ³ÙÖ ÔÖ ÑÔÖ Ñ ÙÑ ØÖÙÕÙ ÒÓ ÒÐ ÑÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ó ÓÑ ÙÑ Ö ÖÚØÖÓ Ù ÚÞÓº ÎÓ ÔÓ ØÖÒ ÔÓÖØÖ Ù Ñ ÙÑ Ö ÖÚØÖÓ Æ³ÙÖ ÓÙ ÓÙØÖÓ Ö ÖÚØÖÓ ÓÒ ÙÖÓÙ ÙÑ ÔÓÙÓ Ù ÒØ º ÎÓ ÔÓ ÒØÓ Ù Ö Ù ÖÑÞÒ Ñ ØÖ Ù ÒÓ ÚÔÓÖµº ÆØÙÖÐÑÒØ ÚÓ ÔÓ ÐÚÖ Ù ÕÙ ØÚÖ Ñ ÕÙÐÕÙÖ Ö ÖÚØÖÓº ÎÓ ÔÓ Ù Ö ØÒØ Ù Ó Ó Æ³ÙÖ ÕÙÒØÓ ÓÖ Ò ÖÓ Ñ ÕÙ Ù ÑÙØÓ ÚÐÓ ÒÓ ÖØÓ ÚÓ ÔÖÓÑØÙ ÕÙ Ö ÙØÐÞÖ ÔÒ ÕÙÒØ ÑÒÑ Ò Ö ÔÖ Ó Ù ÖÖ Ó ÙÚÐк Æ ØÖ Ò ÕÙÖÑÓ ÕÙ ÚÓ ÐÙÐ ÕÙÒØ ÑÒÑ Ù ÕÙ ÚÓ ÔÖ º ÔÖÑÖ ÐÒ ÓÒØÑ ØÖ ÒØÖÓ N M C ÓÒ N Ó ÒÑÖÓ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó M Ó ÒÑÖÓ ÑÒÓ C Ù Ô Öº M ÐÒ ÙÑ ÙÑ ÖÚÒÓ ÙÑ ÑÒÓ ÒÓ ÑÔº ÐÒ ÓÒØÑ ØÖ ÒÑÖÓ x y l ÓÒ x y Ó Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó ÐÓ ÔÓÖ ÙÑ ÑÒÓ l Ó ÓÑÔÖÑÒØÓ ÑÒÓ Ñ ÑÐ º Ç ÔÓÒØÓ Ò Ó Ó ÒÙÑÖÓ 1 N ÓÒ ÔÓÒØÓ Ò Ó 1 Ó Ó Æ³ÙÖ ÔÓÒØÓ Ò Ó N ÙÚÐк Ç ÖÚÓ ÎÓ ÔÓ ÙÑÖ ÕÙ ÐÓ ÒÓ ÑÔ Ô ÔÐÓ ÔÓÒØÓ Ò Ó N ÓÙ ÙÚÐеº ÍÑ ÐÓ ÙÑ ÕÙÒ ÔÓÒØÓ Ò Ó ØÒØÓ r 1, r 2,...,r k k > 2µ ØÐ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÑÒÓ r 1 ÔÖ r 2 r 2 ÔÖ r 3... r k ÔÖ r 1 º

ËÙ Ú ÓÒØÖ ÙÑ ÒÓ ÒØÖÓ ÕÙÒØ ÑÒÑ Ù Ò Ö ÔÖ ÕÙ ÚÓ ÚÓÐØ Æ³ÙÖ ÔÖ ÙÚÐк Ë ÒÓ ÓÙÚÖ ÔÓ Ð Ö ÙÚÐÐ ÓÑ Ù ØÙÐ Ô Ö C ÚÓ Ú ÖÖ ÓÑÓ Ó ÒÑÖÓ 1º ½¼ ¾ ½ ¾ ¾ ½¾ ½ ¾ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ Ç ÖÚÓ Ó ÜÑÔÐÓ ÎÓ ÔÓ ÚÓÐØÖ ÙÚÐÐ ÙÒØ ÓÖÑ ÔÖÑÖÓ ÔÙ 25 ÙÒ Ù Æ³ÙÖ Ú ÔÖ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó 2 Ð 19 ÙÒ ÒÓ Ö ÖÚØÖÓ ÚÓÐØ ÔÖ Æ³ÙÖº ÒØÓ ÚÓ ÖÔØ Ø ÚÑ ØÖÞÒÓ Ñ 19 ÙÒ ÔÖ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó 2º ÈÓÖ Ñ ÚÓ ØÓÑ 15 ÙÒ Æ³ÙÖ ÔÖ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó 2º ÓÖ ÚÓ ØÑ 19 + 19 + 12 = 50 ÙÒ Ù ÕÙº ÎÓ ÖØÓÖÒ Ó ÔÓÒØÓ 3 Ò ÚÓÐØ Ü Ð 1 ÙÒ Ùº ÓÖ ÚÓ Ô ØÓ Ù ÕÙ ÜÓÙ ÔÖØÖ Ó ÔÓÒØÓ 2 Ú Ó ÔÓÒØÓ 3 ÐÚ ÙÑ ÙÒ ÔÖØÖ Ó ÔÓÒØÓ 3 ÓÖ ÚÓ ØÑ 25 12+1 = 14 ÙÒ µ Ú ÙÚÐÐ ØÖÚ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó 5º

ÈÖÓÐÑ À ÏÒ ØÖÒ Ò ÖÓÚ ÖÕÙÚÓ ÖÓÚºÔÔÚ ÝÓÙ ÑÝ ÒÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÑ ØÖÜ Ò Ø ØÒ³ ËÐ ÖÓÚ ÓÒ Ø Ó ÓÒ ØÖØ Ò ÚÖÝ ÒØÒØ Ó Ø ØÝ ÛÒ Ð ÑÒº ÓÙ ÛÓÒÖ ÓÛ Ø ÓÒÓÑÝ ÛÓÖ ËÑÔÐ ÒÓÙ ÚÖÝÓÒ ÙÝ ÛÒ ÖÓÑ ÓØÖ ÒØÒØ Ó Ø Øݺ ÚÖÝ Ý ÒØÒØ ÓÛ ÑÙ ÛÒ ÛÒØ ØÓ ÙÝ ÓÖ Ðк ÁÒØÖ ØÒÐÝ ÑÒ Ò ÙÔÔÐÝ ÐÛÝ Ø Ñ Ó ØØ ÒØÒØ Ø ÛØ ÛÒØ º ÌÖ ÓÒ ÔÖÓÐÑ ÓÛÚÖ ÌÖÒ ÔÓÖØÒ ÛÒ ÖÓÑ ÓÒ ÓÙ ØÓ ÒÓØÖ Ö ÙÐØ Ò ÛÓÖº ËÒ ÐÐ ÛÒ Ö ÕÙÐÐÝ ÓÓ Ø ÒØÒØ Ó ÖÓÚ ÓÒ³Ø Ö Û ÔÖ ÓÒ ØÝ Ö ÓÒ ØÖ ÛØ ØÝ Ö ÓÒÐÝ ÒØÖ Ø Ò ÐÐÒ ÓÖ ÙÝÒ Ô ÑÓÙÒØ Ó ÛÒº ÌÝ Ö ÐÚÖ ÒÓÙ ØÓ ÙÖ ÓÙØ ÛÝ Ó ØÖÒ Ó ØØ Ø ÓÚÖÐÐ ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ Ò ÓÖ ØÖÒ ÔÓÖØ ÑÒÑÞº ÁÒ Ø ÔÖÓÐÑ ÝÓÙ Ö ØÓ ÖÓÒ ØÖÙØ Ø ØÖÒ ÙÖÒ ÓÒ Ý Ò ÖÓÚº ÓÖ ÑÔÐØÝ Û ÛÐÐ ÙÑ ØØ Ø ÓÙ Ö ÙÐØ ÐÓÒ ØÖØ ÐÒ ÛØ ÕÙÐ ØÒ ØÛÒ ÒØ ÓÙ º ÌÖÒ ÔÓÖØÒ ÓÒ ÓØØÐ Ó ÛÒ ÖÓÑ ÓÒ ÓÙ ØÓ Ò ÒØ ÓÙ Ö ÙÐØ Ò ÓÒ ÙÒØ Ó ÛÓÖº ÁÒÔÙØ ÔØÓÒ Ì ÒÔÙØ ÓÒ Ø Ó ÚÖÐ Ø Ø º Ø Ø ØÖØ ÛØ Ø ÒÙÑÖ Ó ÒØÒØ n 2 n 100000µº Ì ÓÐÐÓÛÒ ÐÒ ÓÒØÒ n ÒØÖ a i 1000 a i 1000µº Á a i 0 Ø ÑÒ ØØ Ø ÒØÒØ ÐÚÒ Ò Ø i th ÓÙ ÛÒØ ØÓ ÙÝ a i ÓØØÐ Ó ÛÒ ÓØÖÛ a i < 0 ÛÒØ ØÓ ÐÐ a i ÓØØÐ Ó ÛÒº ÓÙ ÑÝ ÙÑ ØØ Ø ÒÙÑÖ a i ÙÑ ÙÔ ØÓ 0º Ì Ð Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ý ÐÒ ÓÒØÒÒ 0º ÇÙØÔÙØ ÔØÓÒ ÓÖ Ø Ø ÔÖÒØ Ø ÑÒÑÙÑ ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ ÙÒØ Ò Ó ØØ ÚÖÝ ÒØÒØ ÑÒ ÙÐÐк ÓÙ ÑÝ ÙÑ ØØ Ø ÒÙÑÖ Ø ÒØÓ Ò ¹Ø ÒØÖ Ò» ÝÓÙ Ò Ù Ø Ø ØÝÔ ÐÓÒ ÐÓÒ Ò ÂÎ Ø Ø ØÝÔ ÐÓÒµº ÁÒÔÙØ ÜÑÔÐ ¹ ½ ¹ ½ ¹½¼¼¼ ¹½¼¼¼ ¹½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ¼ ÇÙØÔÙØ ÜÑÔÐ ¼¼¼

ÈÖÓÐÑ Á ÐÓÙ ÖÕÙÚÓ ºÔÔÚ ÄÒ Ð ØÓ Ò Ö ÐÓÓ ÛÒ ÐÖÒ ØÓ ÖÓÑ Ö ÑÓѺ Ë ÓÓÒ Ñ ÜÔÖØ Ð ØÓ ÓÓÐØ ÔÔÐ Ô ÑÙÒ ÓÓ ¹ ØÓÖØ Ò ÑÒÝ ÓØÖ º ÊÒØÐÝ ØÖØ Ö ØÙ Ó ÑØ Ø ÓÑÒÙ ÍÒÚÖ ØÝ Ò ÖØ ÐÚº ÁÒ Ø Ö Ø ÝÖ ØÒ ÓÑÒØÓÖ Ð º ÌÓÝ ØÙÝÒ ÓÖ Ø ÒÐ ÜѺ ËÒ Ø ÖÒ Ò ÐÓØ Ó ÙÖ ØÓ ØÙÝ ÑØ Ù Ø ÓÖ Ö Ð Ö ÚÓÖØ ÚÖÝ ÐÓÙ ØÖÛÖÖÝ º Ì ØÐÐ ÓØ ÐÝÒ ÓÒ Ò N M Ò Ø ÔÒº ÀÙÒÖÐÝ ÛØÒ ÓÖ Ø ØÓ ÓÓÐ Ó ÄÒ Ñ ÙÔ ÛØ Ò ÒØÖ ØÒ ÓÑÒØÓÖÐ ÕÙ ØÓÒ ÀÓÛ ÑÒÝ ÖÒØ ÔÓ ÐØ ØÓ ÙØ Ø Ö ØÖ Ó ØØ ÚÖÝ ÓÒÒØ Ô ÓÒ Ø Ó ÓÑ ÒÙÑÖ Ó 1 1 Ò ÙÒØ ÕÙÖ Ì Ò ÚÛ Ö ÓÒ ØÒ Ó N M ÙÒØ ÕÙÖ º Ï Ö ÐÐÓÛ ØÓ ÙØ Ø ÐÓÒ Ø Ö ÐÒ º Ö ÙÐØ Ø ÔÐØ ÒØÓ ÚÖÐ ÓÒÒØ Ô º ÌÛÓ ÙÒØ ÕÙÖ ÖÑÒ ÓÒÒØ ØÝ Ö Û Û ÒÓØ Ùغµ ÀÓÛ ÑÒÝ ÖÒØ ÛÝ Ö ØÖ ØÓ ÙØ Ø Ï ÓÒ Ö ØÛÓ ÙØØÒ Ó Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ö ÙÐØÒ ÓÒÒØ Ô Ó ÓØ ÙØØÒ Ú Ø Ñ Ô Ò Ö Ø Ø Ñ ÔÓ ØÓÒ ÛØÒ Ø º ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ Û Ö ÓÒÐÝ ÓÙÒØÒ ØÓ ÙØØÒ ÛÖ ÒÓ ÙØ Ð ØÛÒ ØÛÓ ÙÒØ ÕÙÖ ØØ Ö Ò Ø Ñ ÓÒÒØ Ôº Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔØÙÖ ÐÙ ØÖØ ÐÐ Ø 12 ÖÒØ ÔÓ Ð ÛÝ ÓÛ ØÓ ÙØ 2 2 Ò ÆÓØ ØØ ÙØØÒ ÓÖ ÜÑÔÐ ÓÒ ÓÐÐÓÛÒ ÔØÙÖ Ø Ñ ÒÓØ ÙØØÒ Ø Ðк ÁÒÔÙØ ÔØÓÒ Ì Ö Ø ÐÒ Ó Ø ÒÔÙØ Ð ÓÒØÒ Ò ÒØÖ T ÔÝÒ Ø ÒÙÑÖ Ó Ø Ø º Ø Ø ÔÖ Ý ÐÒ ÐÒº Ø Ø ÓÒ Ø Ó ÒÐ ÐÒ ÛØ ØÛÓ ÔÓ ØÚ ÒØÖ N Ò M ÑÒ ÓÒ Ó Ø º ÇÙØÔÙØ ÔØÓÒ ÓÖ Ø Ø ÓÙØÔÙØ ÐÒ ÛØ ÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÖ Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÒØ ÔÓ ÐØ ÓÛ ØÓ ÙØ Ø º ÁÒÔÙØ ÜÑÔÐ ¾ ½ ¾ ÇÙØÔÙØ ÜÑÔÐ ¾ ½¾ ¾ ¾