9, 10
Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson,
9 W = F r Exempel: Partikel som rör sig nedåt sträckan h under påverkan av gravitationen = -h = -m W 1 = mgh 1
En mer allmän definition av fysikaliskt arbete kan ges för konstanta krafter som inte alltid är i den rätlinjiga rörelsens riktning W = F r cosφ 9 = -m h 3 l 1 1 = l = -m W 1 = mgl 0 = 0 = 90 o 3 = h = -m = 180 o W 3 = mgh (-1) = -mgh 1 3 = l +h = -m W 1 3 = -mg h h/ h = -mgh cos() = -h/ h Fredrik Karlsson,
9 Enbart kraftens komponent i rörelsens riktning uträttar arbete! cos. W = F r cosφ W = F r skrivs oftast som, och läses som skalärprodukten mellan vektorerna och. Fredrik Karlsson,
Skalärprodukt A B= A B cosφ B φ A B cosφ Fredrik Karlsson,
Skalärprodukt B C φ C A B= A B cosφ φ B φ BC B+ C A B cosφ B C cosφ C B+ C cosφ BC Distributiv lag: A ( B+ C) = A B+ A C Fredrik Karlsson,
Skalärprodukt B φ A B= A B cosφ A Fredrik Karlsson,
Skalärprodukt B ŷ φ ˆx A B= A B cosφ A ˆx ŷ =1 1 cos π = 0 ˆx ˆx = ŷ ŷ =1 1 cos0 =1 Fredrik Karlsson,
Skalärprodukt A = A x ˆx+ A y ŷ B = B x ˆx+ B y ŷ A B= ( A x ˆx+ A y ŷ) ( B x ˆx+ B y ŷ) = A x B x ˆx ˆx+ A y B x ˆx ŷ+ A x B y ŷ ˆx+ A y B y ŷ ŷ = A x B x + A y B y kan beräknas på två sätt: A B= A x B x + A y B y A B= A B cosφ Fredrik Karlsson,
9 3 A B= A x B x + A y B y h l 1 1 3 = l +h = -m W 1 3 = = (0 -m) (l +h) = 0 l + (-mgh) = -mgh Förflyttningen från (1) till (3) kan ske längs olika vägar, t.ex. via (). Om sträckan består av flera delsträckor så ges det totala arbetet som summan: W 1 3 = W 1 + W 3 = (0 ) (l ) + (-m) (h) = 0 l + (-mgh) = -mgh I detta fall blir arbetet detsamma för W 1 3 och W 1 3, men arbetet kan vara beroende av vägen. Mer om detta lite senare.
Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 9 i j
9 Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 1D exempel Bestäm arbetet för en förflyttning från jämviktsläget (1) till det utsträckta längden () l under påverkan av en fjäderkraft. Endast förflyttning i y-led: = -k 1 = k $ k! / %
9 Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 1D exempel Bestäm arbetet för en förflyttning från (1) r 0 till () höjden h r 0 under påverkan av gravitationskraften. Endast förflyttning i y-led: = -G &' ( ) 1 = G &' () GMm*( ( ) +, -. GMm +, =GMm 1 0 % h! 1 0 %
= -m 3 1 1 3 = l +h = -m W 1 3 = = (0 -m) (l +h) = 0 l + (-mgh) = -mgh W 1 3 = W 1 + W 3 = (0 ) (l ) + (-m) (h) = 0 l + (-mgh) = -mgh W 1 3 =.= -mgh W 1 3 =.= -mgh Om arbetet är oberoende av vägen, kallas arbetet konservativt och man säger att man har en konservativ kraft!
= -m 3 För en konservativ kraft är arbetet som uträttas vid en förflyttning längs en sluten kurva (vilken som helst) noll. 1 1 3 1 W 1 3 1 = W 1 3 - W 1 3 = 0 skrivs ofta som 1 0 eller 1 0
Fjäderkraften är en konservativ kraft. Liksom alla andra centralkrafter där kraftens storlek endast beror på avståndet till en punkt, och kraften är riktad mot punkten. x 1 Även gravitationskraften är alltså en konservativ kraft. 1 1 W 1 1 = W 1 + W 1 = 0 För konservativa krafter kan vi för varje punkt P i rummet definiera potentiell energi U som arbetet som uträttas vid en förflyttning från punkten till en godtyckligt vald referenspunkt P Ref : 4 5 678 5
Den potentiella energin U kan användas för att beräkna det fysikaliska arbetet W som uträttas under en förflyttning från läge (1) till läge (), oberoende av vägen. U = W Ref () W Ref Ref. W 1 Ref U 1 = W 1 Ref (1) W 1 = W 1 Ref W Ref W 1 =U 1 U = U Potentiell energiskillnad Fredrik Karlsson,
9 18
9 1 >= -m = d =!9 W 1? ( mg? ( ( W 1? mg?!w ( 1 W 1 + W 1 = 0 Välj y = 0 som referenspunkt och y = Δy som godtycklig punkt. 5 678 4 5 %!9 :; 9Δy
1 D = v 0 A = -bd = -bv 0 = db W 1? A C bv 0? B C bv 0 B!B 1 1 1 D = -v 0 A = -bd = +bv 0 = db W 1? A C bv 0? B C bv 0 B 1!B W 1 W 1 + W 1 = W 1 0 Friktionskraften ej konservativ, U ej definierat!
1 = -k = k W 1? W 1? W 1 + W 1 = 0 ( k? ( ( k?!w ( 1 Välj y = 0 som referenspunkt och y = Δs som godtycklig punkt. 5 678 4 5 % k :F Δs /
9 P P P W net = ò F net dr = ò ma dr = m dv v ò dr = m dr v ò dv = ò mv dv P 1 P 1 P 1 dt v 1 dt v 1 v æ = mò ( v x dv x + v y dv y + v z d z ) = m v v é ù x x ê ú + v v é ù y y ê ú + v v é ù z ö ç z ê ú ç èë ûv 1 x ë û v 1 ë û y v 1 zø v 1 ( ) = m v x + v y + v z ( ) m v 1x + v 1y + v 1z = m v m v1 9.8 K = K K 1 = m v m v1 = W net {RK9.9}
RK10.9 Totala mekaniska energin G H7IJ K4 bevaras!
Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson,
Trasigt hus En tegelpanna (massa 400 g) lossnar från en punkt P på ett hus tak. Pannan glider med friktionskoefficienten 0,4 utför taket och landar så småningom i en punkt Q på marken. a) Hur stort fysikaliskt arbete uträttas av friktionskraften på tegelpannan? b) Vad är tegelpannans fart när den lämnar taket?
Fredrik Karlsson,
9.6 Uträttat arbete per tidsenhet RK9.30