1. Stela kroppars mekanik

1. Stela kroppars mekanik L1 Med en stel kropp menas ett föremål som inte böjer sig eller viker sig på något sätt. (Behandlingen av icke stela kroppar hör inte till gymnasiekursen) 1.1 Kraftmoment, M Ett kraftmoment (även vridmoment) som verkar på en kropp strävar till att sätta kroppen i rotation kring någon rotationspunkt. Kraftmomentet orsakas av en påverkande kraft, och dess storlek beror på kraftens angreppspunkt (var kraften verkar). Ju större avståndet till rotationspunkten är, desto större blir kraftmomentet. Kraftmomentets storlek fås som produkten av avståndet till rotationspunkten och kraftens vinkelräta komponent mot avståndet: (1) Handens kraft ger upphov till ett kraftmoment som orsakar rotation hos muttern. Kraftmomentets enhet är Nm vilket INTE skall förväxlas med arbetets enhet! Båda är Nm, men den ena betecknar moment som orsakar rotation, den andra arbete utfört av en kraft som verkar under en förflyttning! Eftersom föremål kan rotera åt två håll, måste rotationsriktningen anges. Man har valt att ange motsols rotation som positiv och medsols som negativ riktning för rotationen (och alltså även för vridmomentet). Om ett föremål påverkas av flera vridmoment, måste de adderas. Om alla vridmoment tar ut varandra, säger vi att föremålet befinner sig i jämvikt med avseende på rotationsrörelse. Det kommer alltså inte att börja rotera om det är i vila, och det kommer inte att ändra sin rotation om det redan roterar. 1

Ex. 1 Handen påverkar skiftnyckeln enligt bilden. Friktion i muttern moverkar rotationen med ett kraftmoment av 8,5 Nm. Kommer muttern att rotera? 2

Ex. 2 L1 Flickan sitter på ett gungbräde. Hur stort vridmoment orsakar hon på brädet? Läs sidorna 6 11, Lös uppgifterna 1 2, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8 3

Enkla maskiner Redan i de förhistoriska kulturerna insåg man att det är lättare att flytta tunga föremål genom att använda olika hjälpmedel. Dessa så kallade enkla maskiner bygger på att man minskar kraften som används, men ökar sträckan som man behöver påverka föremålet. Hävstången Hävstången bygger på vridmomentets princip. Ju längre hävstång som används, desto mindre kraft behövs. Vi kan skriva ut hävstångsvillkoret: Vinschen Vinschen bygger också vridmoment; en vikt är kopplad till ett litet hjul, som är kopplat till samma vridaxel som ett större hjul. Det krävs mindre kraft att vrida det större hjulet eftersom avståndet till vridaxeln är större. Block och talja Block och talja (dvs. trissa och rep) kan användas för att ändra kraftens riktning, men också för att minska den behövda kraften. Vid en kraftminskning kommer dock sträckan att öka. Detta kallas mekanikens gyllene regel, och är lätt att förstå då man minns arbetsprincipen; För att lyfta en vikt en viss sträcka måste ett visst arbete utföras Då arbete är definierat som produkten av kraft och sträcka MÅSTE sträckan öka om kraften minskas. Ramp/lutande plan Det lutande planet underlättar lyftande av föremål, då man inte behöver övervinna kroppens hela tyngd, utan endast den tyngd som är riktad längs planet och eventuell friktion. Ju flackare lutning, desto mindre kraft behövs, men i gengäld ökar sträckan. 4

1.2 Tyngdpunkt Tyngdkraften kan orsaka rotation hos stela kroppar. För att kunna beräkna vridmomentets storlek måste vi veta var tyngden verkar på kroppen, annars vet vi inte avståndet till rotationspunkten. Det visar sig att vi kan anta att hela kroppens tyngd är koncentrerad till en punkt, tyngdpunkten. L2 Guldbollen påverkas av en större tyngdkraft än den blå bollen, så systemets tyngdpunkt är närmare guldbollen. Tyngdpunkten för vilket föremål som helst kan hittas genom att hänga upp föremålet i olika "hörn" och undersöka en lodlinje genom föremålet. Skärningspunkten för lodlinjerna är tyngdpunkten. För symmetriska föremål som är homogena (helt igenom av samma material) är det lätt att hitta tyngdpunkten man behöver bara beräkna den geometriska medelpunkten. I den här kursen använder vi även begreppet massmedelpunkt synonymt med tyngdpunkt; massmedelpunkten är den punkt där man kan anta att hela föremålets massa är koncentrerad. För att beräkna massmedelpunkten tänker vi oss att föremålet består av mindre delar vars massor och massmedelpunkter är kända. Genom att sedan kombinera de enskilda massorna och massmedelpunkterna fås hela kroppens massmedelpunkt enligt: Hur man hittar tyngdpunkten. Symmetriska och homogena föremål. Ett system kan indelas i mindre kroppar. (2) Här är n antalet olika massor i det undersökta systemet. Vi har antagit att alla massmedelpunkterna ligger på samma linje. Om massorna är utspridda i två dimensioner, måste vi även beräkna massmedelpunktens y koordinat. Vi gör likadant, men ersätter alla x i ekvationen med y. 5

Ex. 3 L2 Beräkna systemets massmedelpunkt. 6

1.2.1 Massmedelpunkten i fysiken L2 Då vi betraktar ett föremål eller ett system kan vi förenkla situationen till att betrakta endast massmedelpunkten för systemet. Massmedelpunkten kommer att röra sig helt enligt fysikens lagar. En yttre kraft som verkar på en kropp orsakar en acceleration hos massmedelpunkten. Om kraften inte är riktad så att den går genom massmedelpunkten kommer föremålet också att börja rotera. Inbördes krafter i ett system kan inte påverka massmedelpunktens rörelse. Du kan alltså inte lyfta dig själv i kragen för armens kraft är en del av det system din kropp utgör. För att kunna lyfta dig själv måste du ta spjärn mot något utanför dig själv. Massmedelpunkten rör sig i en parabelformad bana, vilket förutsägs av fysiken. Genom att lyfta benen kan hopparen variera massmedelpunktens läge i förhållande till huvudet huvudet rör sig därför längs en rak linje. Däremot kan du, genom att flytta armar och ben på olika sätt, ändra var tyngdpunkten är i förhållande till din kropps delar. En höjdhoppare är ett exempel på detta; massmedelpunkten passerar faktiskt under ribban, men hopparens kropp går över den, tack vare hopptekniken. Kanonkulan exploderar i luften. Bitarna rör sig på olika sätt, men deras gemensamma massmedelpunkt fortsätter i samma bana som kulan hade före explosionen. Läs sid. 13 21 Lös uppgifter: 1 18, 1 20, 1 24, 1 26, 1 29 I en kollision antas att inga yttre krafter påverkar. Massmedelpunktens hastighet och rörelsemängd är oförändrad. 7

1.3 Stel kropp i jämvikt L3 En kropp sägs vara i jämvikt, då nettokraften på den är noll, dvs. alla krafter tar ut varandra, och då det totala vridmomentet på den också är noll. Vi kan skriva detta i formen (3) Gungbrädan är i jämvikt, om nettokraften på den är noll... Jämvikt är ett tillstånd som eftersträvas av arkitekter man vill ju helst att en byggnad skall stå stilla. Broar, skyskrapor, stolar...det är viktigt att behärska jämviktsvillkoren i alla givna situationer. För att lösa ett jämviktsproblem:...och kraftmomenten tar ut varandra. 1. Rita ett frikroppsdiagram över situationen. Rita alltså in alla de krafter som verkar på det föremål du undersöker. Indela krafterna i komponenter, om det behövs. Om du inte vet exakt vartåt en kraft är riktad, gissa. Kraftens riktning kommer att visa sig småningom. 2. Använd jämviktsvillkoren i (3). Det kan hända att du måste betrakta x led skilt och y led skilt.välj en punkt som rotationspunkt. Välj punkten så att så många av krafterna som möjligt går genom den då behöver du inte räkna kraftmomenten för de krafterna. 3. Lös ekvationerna du får från villkoren. 8

Fy 05.notebook October 02, 2013 Jämvikt: Ange: Krafterna som verkar på trästaven. Bestäm: Massornas förhållande M1/M2, där M1 = mindre viktens massa. M2 M1 9

Ex. 4 L3 Häxan och ankan är i jämvikt på vågen. Ankans tyngd är 44,5 N. Vad är häxans tyngd? 10

Ex. 5 L3 Stegen står stilla. Anta att väggen är friktionsfri. Vilka är komponenterna av kraften från marken på stegen? Läs sid. 23 26 Lös uppgifter 1 32, 1 33, 1 35, 1 36, 1 37, 1 39 + TVDK 11

2. Rotations och centralrörelse L4 I föregående avsnitt lärde vi oss att det behövs ett kraftmoment för att något skall börja rotera. I detta avsnitt lär vi oss hur vi beskriver roterande rörelse. 2.1 Rotationsrörelse Vi betraktar en stel kropp som roterar kring någon punkt, t.ex. ett cykelhjul. Vi kan definiera ett antal begrepp som hjälper oss beskriva rörelsen. 2.1.1 Varvfrekvens n Varvfrekvensen anger hur många hela varv kroppen roterar per sekund. Om vi vet antalet varv och tiden som gått, fås alltså varvfrekvensen som (4) Om vi vet perioden T, dvs. tiden för att rotera ett varv, blir varvfrekvensen enligt ovan: (5) Varvfrekvensens enhet är 1/s, eller Hertz, men ofta används rpm (rotations per minute). 12

2.1.2 Vridningsvinkel φ L4 Vi inför begreppet vridningsvinkel, som motsvarar position i translatorisk rörelse. Genom att sätta en utgångsposition för rotationen kan vi sedan säga vilken vridningsvinkel kroppen befinner sig i. Utgångspunkten är x axeln, eller "klockan 3". Vridning motsols ger en positiv vridningsvinkel, och medsols en negativ vridningsvinkel. Positiv vridning Vridningsvinkelns storlek ges av förhållandet mellan den båge (sträcka längs rotationen) som en ytterpunkt på föremålet rör sig, och radien (avståndet från ytterpunkten till rotationspunkten). Symboliskt uttryckt: (6) Negativ vridning Vridningsvinkeln saknar enhet (både s och r har enheten meter). För att inte blanda med vanliga siffror använder man den så kallade absoluta vinkelenheten, även kallad radian, som förkortas rad. Ett helt varv motsvarar vridningsvinkeln φ = 2π rad. Vinkeln fås m.h.a. bågen s och radien r. 13

Ex. 6 L4 Vridningsvinkelns definition kan användas för att lösa ut båglängden vid en rotation. 14

2.1.3 Förändring i vridningsvinkel, Δφ L4 Då kroppen roterar från ett läge till ett annat, kan vi ange hur mycket den roterat genom att ange skillnaden mellan vridningsvinkeln i de två lägena. Detta motsvarar förändringen i position, dvs. sträckan, i translatorisk rörelse. Förändringen anges som bekant med symbolen delta: (7) Uttrycket ger oss både hur mycket kroppen har roterat, och rotationsriktningen. Märk att vi här kan undersöka vridningar över flera varv, vridningsvinkeln "nollställs" inte efter ett varv utan fortsätter öka. Startvinkeln är här φ 1 =π/2 rad, slutvinkeln φ 2 =π rad. Förändringen är φ 2 φ 1 = π/2 rad. Startvinkeln är här φ 1 =π/2 rad, slutvinkeln φ 2 =3π rad. Förändringen är φ 2 φ 1 = 5π/2 rad. 15

Ex. 7 Hur ändras vridningsvinkeln då minutvisaren går från 12.10 till 12.25? 16

2.1.4 Vinkelhastighet L4 Vi inför begreppet vinkelhastighet för att beskriva rotationens hastighet. Vinkelhastigheten ges av förhållandet mellan vridningsvinkelns förändring och tiden: (8) Strängt taget är detta uttrycket för medelvinkelhastigheten, men vid likformig rotationsrörelse ändras inte vinkelhastigheten, så vi kan använda ovanstående uttryck. Enheten för vinkelhastigheten är rad/s. 2.1.5 Likformig rotationsrörelse Vid likformig rotationrörelse är vinkelhastigheten ω konstant. Vi kan då uttrycka förändringen i vridningsvinkel enligt följande: (9) 17

Ex. 8 L4 Motorcyklisten åker ett varv motsols på den angivna tiden. Var är hennes medelvinkelhastighet? 18

2.1.6 Vinkelacceleration α L4 Om kroppens vinkelhastighet ändras vill vi kunna ange på vilket sätt den ändras. För detta inför vi vinkelaccelerationen α, som fås som förhållandet mellan vinkelhastighetens förändring och tiden: (10) Bilens vinkelhastighet är olika stor i början och i slutet. Den har haft en vinkelacceleration. Ovanstående uttryck beskriver medelvinkelaccelerationen, men då vi betraktar likformigt föränderlig rotation kan vi använda det direkt. Enheten för α är rad/s 2. 2.1.7 Likformigt föränderlig rotationsrörelse Om rotationen ändras likformigt, betyder det att vinkelhastigheten ändrar lika mycket hela tiden, dvs vinkelaccelerationen är konstant. Då kan vi utrycka vinkelhastighetens förändring enligt: (11) För vridningsvinkelns förändring fås (se boken sid. 44): (12) 19

Ex. 9 L4 Blandaren kopplas på och har under 5,0 sekunder en konstant vinkelacceleration av 44 rad/s 2. Beräkna dess slutliga vinkelhastighet och förändring i vridningsvinkel. Läs sid. 31 46 (s. 36 46 är matematisk behandling), Lös uppgifter: 2 1, 2 2, 2 3, 2 7, 2 9, 2 11 20

2.2 Centralrörelse L5 I rotationsrörelse är det föremålet självt som roterar kring en rotationspunkt; i centralrörelse rör sig föremålet i en cirkelbana kring en punkt. Vi kan använda samma begrepp som vi införde i rotationsavsnittet för att beskriva rörelsen. Ett föremål som cirklar med jämn hastighet har alltså en vinkelhastighet, om rörelsen ändras finns det en vinkelacceleration, och vi kan ange hur mycket föremålet har cirklat genom att använda vridningsvinkeln. 2.2.1 Banhastighet, tangentiell hastighet Föremålet som rör sig i cirkelbanan rör sig med någon vinkelhastighet ω. I varje enskilt ögonblick kan vi också säga att föremålet har en hastighet som är riktad längs tangenten till cirkelbanan. Denna hastighet kallas banhastighet eller tangentiell hastighet. Banhastigheten beror på vinkelhastigheten, men också på hur långt från cirkelns mittpunkt föremålet är: (13) Enheten för banhastigheten är den bekanta enheten för hastighet, m/s. Vinkelhastigheten har enheten rad/s, men radianer är dimensionslösa i sig själva, dvs. vi får rad/s * m = m/s. Se även härledningen på sid 64. 21

Ex. 10 L5 CD skivan snurrar med varvfrekvensen 205 rpm. Hur snabbt rör sig en punkt på skivans kant, 12,0 cm från mitten? 22

2.2.2 Banacceleration, tangentiell acceleration a T L5 Om föremålet i centralrörelse inte rör sig med jämn fart, måste vi ange dess acceleration. Vi känner redan till att det har en vinkelacceleration, eftersom vinkelhastigheten ändras, men banhastigheten ändras ju också, så vi vill ge ett uttryck för detta. Vi inför begreppet banacceleration eller tangentiell acceleration. Eftersom banhastigheten i varje enskilt ögonblick är riktad i tangentens riktning måste också accelerationen vara det. Det visar sig att den tangentiella accelerationen är beroende av vinkelaccelerationens storlek, och avståndet till banans mittpunkt: (14) 2.2.3 Centralacceleration/normalacceleration, a n Vi såg tidigare att banhastigheten ändrar riktning hela tiden, även om farten är konstant. Detta innebär att föremålet måste accelerera. Denna acceleration är riktad mot mitten av cirkelbanan, därav uttrycket centralacceleration. In mot mitten är vinkelrätt mot banhastighetens riktning. Accelerationen är alltså riktad längs normalen mot banhastighetens riktning, så vi kan även använda uttrycket normalacceleration. Det visar sig (se sidan 49) att centralaccelerationen beror på banhastighetens storlek och avståndet till mittpunkten: (15) Vi kan kombinera uttryck (15) med uttryck (13) för att få ett alternativt uttryck för centralaccelerationen: (16) 23

Ex. 11 L5 Hur stor är tågets normalacceleration? 24

2.2.5 Kombination av tangentiell acceleration och centralacceleration L5 Om ett föremål i centralrörelse ökar sin banhastighet, måste det finnas en banacceleration. Samtidigt finns en centralacceleration, annars skulle föremålet inte röra sig i en cirkelbana. Den totala accelerationen hos föremålet fås genom att kombinera de två accelerationerna: (17) Märk att banaccelerationen är konstant, medan centralaccelerationen ökar hela tiden (den beror ju på banhastighetens storlek). Totalaccelerationen blir alltså också större med tiden. Totalaccelerationens riktning uttrycks som vinkeln mot radien, vilken fås enligt: (18) 25

Ex. 12 L5 Ange totalaccelerationen. Läs sid. 64 68 Lös uppgifter 2 34, 2 35, 2 36, 2 39, 2 40, 2 41 26

2.3 Centripetalkraft L6 Vi betraktar ett föremål i likformig centralrörelse. Banhastighetens riktning ändras på grund av centralaccelerationen. Newtons 2:a lag säger oss att kraft ger upphov till acceleration. Det måste alltså finnas någon kraft som alltid är riktad längs radien mot mitten av cirkeln. Vi kallar denna kraft centripetalkraft. Olika krafter kan verka som centripetalkraft beroende på situationen; en pendel som roteras i ett snöre påverkas av snörets spännkraft, en bil som åker i en kurva påverkas av friktion, kläderna i en torktumlare påverkas av stödkraft från tumlarens innervägg, en planet hålls i sin bana på grund av gravitation. I alla dessa situationer påverkas föremålen av en kraft riktad mot mitten av rörelsen, dvs. en centripetalkraft. Vi kan lätt bestämma centripetalkraftens storlek; Newtons 2:a lag ger oss det allmänna uttrycket för en kraft. Vi vet att centripetalkraften ger upphov till centralacceleration, och vi vet uttrycket för denna (15). Vi kombinerar och får: Snörets spännkraft är centripetalkraft. Friktion mellan däck och väg är centripetalkraft. (19) Stödkraftens vågräta komponent är centripetalkraft. Om banhastigheten ökar måste centripetalkraften öka om man vill behålla banans radie oförändrad. Om kraften är av en konstant storlek, och man ökar banhastigheten, måste radien öka. Centripetalkraftens storlek beror på banhastighet och radie. 27

28

Ex. 13 L6 Beräkna centripetalkraftens storlek på motorcyklisten. Vilken kraft är det som är centripetalkraft i denna situation? 29

Ex. 14 L6 Bestäm hur stor lutningsvinkeln θ skall vara för att bilen skall kunna åka genom kurvan utan friktion på hjulen. Läs sid. 48 54 Lös uppgifter 2 12, 2 13, 2 14, 2 15, 2 16, 2 17 30

2.4 Föränderlig rotationsrörelse I avsnittet om kombination av centralacceleration och banacceleration behandlades redan rotationsrörelse där banhastigheten ändras under rörelsen. Uttrycket för totalaccelerationen är L7 En kropps acceleration orsakas alltid av den nettokraft som påverkar kroppen. Vid föränderlig rotationsrörelse finns alltså en nettokraft som både ökar banhastigheten och håller kroppen i cirkelbana. Nettokraftens storlek fås (förstås) av Newtons 2:lag; (20) 2.4.1 Looping i berg och dalbana Vi ser på en vagn som åker i en loop. Medan vagnen åker genom loopen befinner den sig i centralrörelse, och påverkas alltså åtminstone av en centripetalkraft. Centripetalkraften orsakas nästan helt av banans stödkraft, som hela tiden påverkar vagnen mot loopens mittpunkt. Då vagnen är i sitt högsta läge verkar även tyngdkraften mot mitten av banan. Den orsakar då tillsammans med stödkraften den nödvändiga centripetalkraften. Då inverkar inte stödkraften lika mycket och en passagerare i vagnen upplever att han väger mindre, eftersom han inte "pressas mot underlaget" lika mycket (OBS! Detta är en upplevd kraft, inte verklig!). Ju saktare vagnen åker genom loopen, desto mindre blir stödkraften i det högsta läget, eftersom den nödvändiga centripetalkraften blir mindre. Vid en viss gränshastighet behövs enbart tyngdkraften som centripetalkraft. Om vagnen åker ännu saktare än gränshastigheten kommer den inte att klara loopen utan kraschar. Vi skall (tillsammans) härleda ett uttryck för denna hastighet; 31

L7 Läs sid. 48 54 Lös uppgifter 2 12, 2 13, 2 14, 2 15, 2 16, 2 17 Läs sid. 56 62 Lös uppgifter 2 18, 2 20, 2 21, 2 22, 2 24, 2 26 32

3. Rotationsrörelsens dynamik L8 3.1 Rörelse ekvationen för rotationsrörelse För translatorisk rörelse gäller Newtons andra lag, ƩF = ma. En nettokraft på en kropp ger upphov till en acceleration, och kroppens rörelsetillstånd ändras. Vi undersöker nu om det går att hitta ett motsvarande uttryck för rotationsrörelse. Vikten påverkar trissan med ett vridmoment, och trissan börjar rotera. För rotationsrörelse gäller att ett nettovridmoment orsakar en vinkelacceleration, dvs. en ändring av rotationen. Det visar sig Newtons lag för rotationsrörelse kan skrivas som: (21) Vi känner igen M och α, men vad är J? 3.2 Tröghetsmoment, J Tröghetsmomentet är ett föremåls förmåga att motverka en ändring i rotation. Olika föremål har olika tröghetsmoment, och tröghetsmomentet för ett och samma föremål kan också variera, beroende på vilken axel föremålet roterar kring. Tröghetsmomentet är beroende av hur massan är fördelad kring rotationspunkten. Om föremålets hela massa är nära rotationsaxeln är tröghetsmomentet litet. Genom att betrakta ett roterande föremål, och beräkna den kinetiska energin för varje enskild masspartikel i förmålet, fås rotationsenergin för föremålet. Samtidigt får vi ett uttryck för tröghetsmomentet (se sidan 79): (22) Tröghetsmomentet har enheten kgm 2. 33

Ex. 15 L8 Vad är trissans tröghetsmoment? 34

Ex. 16 L8 Vad är systemets tröghetsmoment, då staven borträknas? 35

Vi såg i Ex. 15 och 16 två exempel på hur tröghetsmomentet kan beräknas. För att underlätta beräkningarna har man räknat ut tröghetsmomentet för olika kroppar färdigt, och de finns i MAOL. L8 3.3 Steiners sats De ovanstående uttrycken för tröghetsmomentet gäller då kroppen roteras kring en axel som gå genom kroppens tyngdpunkt. Om kroppen roteras kring någon annan axel, måste man beräkna tröghetsmomentet med hjälp av Steiners sats: Tröghetsmomentet för en kropp med massan m som roterar kring en axel på avståndet r från tyngdpunkten O fås av uttrycket (23) 3.4 Rotationsenergi E r Då ett föremål roterar, har det rotationsenergi. Uttrycket för rotationsenergin är (24) Läs sid 74 84 Lös uppgifter 3 7, 3 8, 3 9, 3 10, 3 11, 3 12, 3 13, 3 14, 3 15, 3 16, 3 17, 3 18, 3 19, 3 20 36

3.5 Rörelsemängdsmoment, L L9 I translatorisk rörelse har vi begreppet rörelsemängd p, som definieras som produkten av massa och hastighet; p = mv. I rotationsrörelse och centralrörelse har vi ett motsvarande begrepp, kallat rörelsemängdsmoment, som betecknas med bokstaven L. Beroende på om vi har centralrörelse eller rotationsrörelse får vi aningen olika uttryck för rörelsemängdsmomentet; 3.5.1 Rörelsemängdsmoment i centralrörelse Vi betraktar en partikel i centralrörelse. Partikeln har massan m, banhastigheten v och avståndet r till mittpunkten för rörelsen. Rörelsemängdsmomentet fås som produkten av dessa: (25) Rörelsemängdsmomentets enhet är kgm 2 /s. 37

Ex. 17 L9 Hur stort är lokets rörelsemängdsmoment? 38

3.5.2 Rörelsemängdsmoment vid rotationsrörelse L9 Vi betraktar ett objekt som roterar kring en axel. Föremålets tröghetsmoment är J och dess vinkelhastighet är ω. Vi får nu rörelsemängdsmomentets uttryck: (26) 39

Ex.18 Beräkna Kira Korpis rörelsemängdsmoment:) 40

3.5.3 Rörelsemängdsmoment, allmänt fall L9 Det är möjligt att beräkna rörelsemängdsmomentet för en kropp i rörelse som inte är rotationell. Rörelsemängdsmomentet för en kropp i rörelse i förhållande till någon viss punkt ges av uttrycket (27) m är kroppens massa, r är avståndet till kroppen och v är kroppens hastighet. α är den mindre vinkeln mellan hastighetens riktning och avståndsvektorn. v 41

Ex. 19 L9 Beräkna satellitens rörelsemängdsmoment då jorden är utgångspunkt. 42

3.5.4 Rörelsemängdsmomentets bevarande L9 Precis som rörelsemängden p bevaras i kollisioner, bevaras även rörelsemängdsmomentet från tidpunkt till tidpunkt, om inga yttre krafters vridmoment verkar på systemet. Inre krafter i systemet kan påverka systemets tröghetsmoment men då måste även vinkelhastigheten ändras. Skridskoåkaren roterar först med en jämn vinkelhastighet. Då hon drar in armarna minskar hennes tröghetsmoment, så vinkelhastigheten måste öka för att rörelsemängdsmomentet skall bevaras. Vi får uttrycket (28) 43

Ex. 20 Konståkaren halverar sitt tröghetsmoment genom att dra in armarna. Hur ändras vinkelhastigheten? Visa det matematiskt. L9 Läs sid. 88 92 Lös uppgifter 3 23, 3 25, 3 26 44

3.6 Kombinerad translations och rotationsrörelse; rullning L10 Translatorisk rörelse behandlades i kurs Fy 4, och rotationsrörelse borde vara bekant från pågående kurs. Vi har sett att de två har motsvarande symboler och begrepp. Ett objekt som rullar kombinerar dessa rörelsetyper. 3.6.1 Rullande kroppars energi En rullande kropp rör sig med en viss hastighet, och har därmed translatorisk rörelseenergi. Den har dock även rotationsenergi. Den totala kinetiska energin hos kroppen är summan av dessa: (29) 3.6.3 Lagen om mekaniska energins bevarande och energiprincipen för rullande föremål Då ett föremål rullar från någon höjd h ovanför en valfri nollnivå och mycket små nettokrafter eller nettovridmoment utför arbete på det, är det möjligt att ange systemets tillstånd med hjälp av lagen om den mekaniska energins bevarande: (30) Om systemet inte är "isolerat från omvärlden" gäller i stället energiprincipen; (31) W är det arbete som systemet utför, eller det yttre arbete som utförs på systemet. 45

3.6.3 Rullningsvillkor L10 En kropp rullar, då den punkt som är i kontakt med marken inte glider. Denna punkt rör sig med banhastigheten v = ωr i förhållande till kroppens mittpunkt. Det måste alltså gälla att kroppens mittpunkt rör sig med samma hastighet i förhållande till marken. Ett annat sätt att ange detta är att jämföra sträckan kroppen färdas längs marken med den roterade sträckan, dvs. båglängden rθ. Vi får villkoren för hur en kropp rör sig: Rullande: v = rω Slirande, acceleration: v < rω (32) Slirande, inbromsning: v > rω 46

Ex. 21 L10 Den kompakta, homogena skivan rullar utan att glida. Vad är dess totala kinetiska nergi? 47

Ex. 22 L10 Den ihåliga badbollen har massan 0,10 kg och rullar utan att glida ned längs rampen. Högst upp har den 0,75 J potentiell energi, längst ned har den ingen potentiell energi. Beräkna den translatoriska och rotationella rörelseenergin längst ned. Läs sid. 95 102 Lös uppgifter 3 31, 3 33, 3 34, 3 36, 3 37, 3 39 +TVDK 48

4. Gravitation L11 Gravitation är en av de fyra grundväxelverkanstyperna i universum, och den vi är mest bekanta med trots att den är den överlägset svagaste av dem! Gravitationen beskrevs först av Isaac Newton, men han hade hjälp av de upptäckter Johannes Kepler gjorde angående planernas rörelse. Vi inleder med att granska Keplers lagar för planetrörelse. 4.1 Keplers lagar Johannes Kepler analyserade data över planetrörelser, som hans läromästare Tycho Brahe hade samlat in. Han kunde sammanfatta sina resultat i tre lagar. Första lagen: Planeterna rör sig i ellipsbanor kring solen med solen i ena brännpunkten. Denna lag gäller, förutom planeter, alla kroppar som kretsar kring ett massivt objekt, t.ex. satelliter i bana kring jorden. Planeterna i vårt solsystem har nästan cirkelformade banor. Andra lagen: Planeternas rörelse kring ellipsbanorna sker med sådan hastighet att linjen från solen till planeten på lika tid överfar lika stor area. Planeter rör sig alltså snabbare då de är nära solen och långsammare då de är långt ifrån solen. Tredje lagen: Kvadraterna på planeternas omloppstider T förhåller sig som kuberna på deras medelavstånd r från solen: (33) Då vi insätter planetavstånden och perioderna i ett koordinatsystem med logaritmisk skala, ser vi detta förhållande tydligt. MIT Lec. 22 2:40 6:20 49

4.2 Den allmänna gravitationslagen L11 Isaac Newton använde Keplers lagar då han formulerade sin beskrivning av gravitationens egenskaper. Vi sammanfattar hans upptäckter i den allmänna gravitationslagen: Två punktformiga kroppar med massorna m 1 och m 2 på avståndet r från varandra attraherar varandra med en kraft, som är direkt proportionell mot massornas produkt och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem: γ är gravitationskonstanten, som har värdet 6,67259 x 10 11 Nm 2 /kg 2. Ibland används symbolen G för att beteckna konstanten. (34) 50

Ex. 24 Hur stor är gravitationskraften mellan jorden och månen? L11 51

Ex. 25 Hur stor är gravitationskraften mellan bilarna? L11 52

4.3 Gravitationskonstanten G, fallaccelerationen g och begreppet tyngd L11 Gravitationskonstantens värde var inte känt exakt på Newtons tid, värdet var en uppskattning. Henry Cavendish lyckades uppmäta värdet med stor noggranhet se boken för en beskrivning av försöksuppställningen! Gravitationskonstantens värde är detsamma i hela universum, så vitt vi vet. Däremot är värdet för fallaccelerationen g helt beroende av var vi befinner oss. Vi har tidigare definierat tyngden mg som den kraft som drar ett föremål med massan m mot jorden. Vi vet nu att denna kraft orsakas av gravitation, så vi kan uttrycka tyngden med hjälp av gravitationslagen: Här är M jordens massa och r jordens radie. Genom att dividera med m får vi (35) Vi ser att g:s värde är beroende av jordens massa men också av avståndet till jordens mittpunkt. Värdet g = 9,81m/s 2 gäller strängt taget bara vid jordytan, och även då varierar värdet beroende på breddgrad se sidan115! För andra planeter med andra massor och radier får g naturligtvis andra värden. 53

6. Isaac Newton beräknade i slutet av 1600 talet förhållandet mellan solens och jordens massor med hjälp av följande dåtida fakta: Solens medelavstånd till jorden är 21 000 gånger jordens radie, månens medelavstånd till jorden är 60 gånger jordens radie, jordens omloppstid runt solen är 365 dygn och månen omloppstid kring jorden är 27,3 dygn. Vilket värde erhöll Newton för förhållandet mellan solens och jordens massor? (Stud.ex. H06) L11 Läs sid. 108 115 Lös uppgifter 4 8, 4 11, 4 12, 4 13, 4 14, 4 15 54

55

4.4 Gravitationsfält L12 I stället för att beskriva gravitationskraften som en kraftverkan mellan två kroppar A och B kan vi använda ett så kallat fältbegrepp; vi tänker oss att kropp A ger upphov till ett gravitationsfält i rymden omkring sig, och kropp B påverkas av fältet. A å sin sida påverkas av fältet som B ger upphov till. Allmänt påverkas en kropp med massan m av en gravitationskraft då den befinner sig i ett gravitationsfält. 4.4.1 Fältlinjer Vi kan åskådliggöra gravitationsfältets styrka och riktning med hjälp av fältlinjer. Ju tätare linjerna ritas, desto starkare är fältet. Linjernas riktning ges av den riktning som en kropp med massan m i fältet påverkas mot. 4.4.2 Gravitationens fältstyrka http://www.antonine education.co.uk/new_items/sta/g Field/field_2.gif Fältstyrkan i en punkt anger hur stark gravitationen är i den punkten i fältet. Vi definierar fältstyrkan som förhållandet mellan gravitationskraften på en kropp och kroppens massa. För en kropp i jordens gravitationsfält fås: (36) M är jordens massa och r avståndet till jordens medelpunkt. Fältstyrkan är tydligen liktydig med tyngdaccelerationen g! 56

4.5 Potentiell energi i gravitationsfält L12 Den potentiella energin nära markytan kan som bekant anges med uttrycket E p = mgh. Här antas att tyngdkraften mg är konstant på alla avstånd från jordytan men detta stämmer egentligen inte, den avtar ju med kvadraten på avståndet! Dessutom antar man att höjden h kan bestämmas från en valbar nollnivå. Då vi ser på gravitationell energi på en större skala, måste vi frångå en fritt valbar nollnivå. För att flytta en kropp längre ifrån en planet, måste vi utföra ett arbete på kroppen. Ju längre ifrån planeten vi kommer, desto svagare är gravitationsfältet och desto mindre är det arbete som behöver utföras. Med andra ord närmar sig energibehovet för förflyttning noll då vi kommer längre och längre bort. Vi definierar att nollnivån för den gravitationella potentiella energin är oändligt långt borta från planeten, och att den gravitationella potentiella energin är negativ (eftersom föremålet behöver ett tillskott av energi för att komma till nollnivån måste dess energi från början ha varit negativ): (37) Detta är uttrycket för den potentiella energin hos en kropp med massan m på avståndet r från en kropp med massan M, som orsakar gravitationsfältet den första kroppen befinner sig i. Det kan exempelvis handla om en planet i solens gravitationsfält. 4.5.1 Lagen om mekaniska energins bevarande En kropp med massan m som rör sig med hastigheten v i ett gravitationsfält på avståndet r från den planet (eller stjärna) med massan M som orsakar fältet har mekanisk energi; E tot = E k + E p. Den mekaniska energin hålls konstant då inga yttre krafter påverkar, så med vårt uttryck för potentiell energi kan vi skriva (38) Vi kunde exempelvis beräkna energin för en planet i bana kring solen. (Planeterna har också rotationsenergi, men den är försumbar jämfört med den kinetiska och potentiella energin.) 57

L12 Läs sid. 117 125 Läs uppgifter 4 9, 4 10, 4 18, 4 19 58

4.6 Satellitrörelse L13 I den moderna världen är satelliter oumbärliga (= vi kan inte vara utan dem). Tekniken är dock inte gammal; den första satelliten sändes upp av Sovjetunionen år 1957. Däremot har idén om konstgjorda månar funnits länge redan Newton insåg att det är möjligt att skjuta iväg en kropp med tillräcklig hastighet för att nå omlopppsbana. Denna idé kallas numera Newtons kanon. 4.6.1 Newtons kanon Newtons kanon kan avfyra projektiler horisontellt med olika hastighet. Ju högre avfyrningshastighet, desto längre flyger kroppen. Newton insåg att vid en tillräckligt hög hastighet hinner kroppen färdas så långt i sidled medan den faller nedåt mot jorden, att jorden själv böjer undan från kroppens bana lika snabbt som kroppen faller mot den. Kroppen hålls alltså på samma höjd över jordytan. http://sv.wikipedia.org/wiki/fil:sputnik_asm.jpg 4.6.2 Satelliter i omloppsbana Då en satellit skjuts upp i omloppsbana (vi begränsar oss till cirkelformade banor) används raketen för att nå den önskade höjden. Därefter ges satelliten också en hastighet i vertikal riktning för att nå omloppshastigheten. Därefter håller satelliten en konstant fart, men påverkas hela tiden mot jorden på grund av gravitationen. Gravitationen är centripetalkraft, så vi kan få ett utryck för satellitens hastighet i banan: (39) Vi ser att banhastigheten blir lägre ju högre höjd satelliten befinner sig på. 59

Ex. 26 Hur stor är satellitens banhastighet? L13 60

4.6.3 Flykthastighet L13 Vi har sett att det finns en specifik hastighet förknippad med satellitrörelse, beroende på höjden över marken. För en satellit vid ekvatorn är banhastigheten ca 8 km/s. Men hur hög hastighet behövs för att helt fly från en planets gravitationsfält? För att beräkna detta använder vi lagen om den mekaniska energins bevarande. Enligt vad vi sett tidigare i formel (38) kan vi skriva Då en kropp helt flyr ur en planets gravitationsfält, är dess potentialenergi noll och avståndet till planeten är oändligt. Vi kan alltså ersätta potentialenergin i slutet med noll. Samtidigt kan vi tänka oss att all kinetisk energi i slutet är noll all rörelsenergi har åtgått till att "lyfta" kroppen ur gravitationsbrunnen (minns att potentialenergin är negativ!) Vi kan alltså skriva M är massan för planeten eller stjärnan vars gravitationsfält man vill fly, och r är planetens radie. Då vi insätter värden för jorden, får vi värdet v = 11,2 km/s för flykthastigheten. 61

Ex. 27 L13 Visa att en geostationär satellit har en omloppshöjd på 36 000 km. En geostationär satellit befinner sig hela tiden ovanför samma punkt på jordytan. Läs sid. 126 131 Lös uppgifter: 4 16, 4 17, 4 20 62

Projektilrörelse... 63