INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

Relevanta dokument
Repetitionsuppgifter. Geometri

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

Lösningar kapitel 10

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Svar och anvisningar till arbetsbladen

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

3.1 Derivator och deriveringsregler

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017

Sidor i boken Figur 1:

Tentamen i Envariabelanalys 1

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Repetition inför kontrollskrivning 2

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

MA2001 Envariabelanalys

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Repetition inför tentamen

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

MVE365, Geometriproblem

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Enklare matematiska uppgifter

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Teorifrå gor kåp

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Lösningsförslag till problem 1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

x 1 1/ maximum

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Matematiska uppgifter

Planering för kurs C i Matematik

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Kontrollskrivning 25 nov 2013

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Checklista för funktionsundersökning

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

Lösningar till udda övningsuppgifter

III. Analys av rationella funktioner

SF1625 Envariabelanalys

Sidor i boken 8-9, 90-93

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Transkript:

TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös ekvationen e 6e = 1. (0.) c) Lös ekvationen + + 4 = 9. (0.4). Rita grafen till funktionen f() = 1 + arctan. Ange alla eventuella lokala etrempunkter och asymptoter, samt funktionens värdemängd. + 6. a) Beräkna lim. (0.) b) Beräkna lim ( 4). (0.) c) Låt f vara en funktion definierad av { ln(1+sin ) då = 0 f() = e 4 1 a då = 0, där a är en konstant. Bestäm a så att funktionen f blir kontinuerlig. (0.4) 4. a) Bevisa logaritmlagen a log st = a log s + a log t, s, t > 0, med hjälp av någon lämplig potenslag. (0.) b) Formulera och bevisa faktorsatsen. (0.5) c) Ekvationen 4 + 5 + 6 = 0 har en rot =. Lös den fullständigt. (0.) 5. Låt ABC vara en likbent triangel med AB = AC. Antag att toppvinkeln BAC är hälften så stor som var och en av basvinklarna ABC och ACB. Drag bisektrisen från hörnet C och kalla dess skärning med sträckan AB för D. a) Visa att trianglarna BCD och CAB är likformiga. (0.) b) Antag att BC =. Bestäm längden av sidan AB. (0.7) 6. Tangenten till kurvan y = e + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med -aeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt.

TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B1 011 04 6, 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. 1 ln(1 + sin ) a) Beräkna gränsvärdet lim. 0 (0.) n ( b) Beräkna gränsvärdet lim k. n ) (0.4) k= c) Lös ekvationen sin + cos =. (0.) a) Polynomet p() = 5 5 4 + 5 + 5 6 har faktorn 1. Finn alla lösningar till ekvationen p() = 0. (0.5) b) Formulera och bevisa faktorsatsen för polynom. (0.5) a) Bevisa med hjälp av räkneregler för potenser att ln(ab) = ln a + ln b, där a, b > 0. (0.5) b) Lös ekvationen ln sin + ln cos + ln 4 = 0. (0.5) 4 Låt f() = 1 och asymptoter.. Rita grafen till f och ange eventuella lokala etrempunkter 5 a) En triangel har arean. Två av sidorna har längderna och 7. Beräkna den tredje sidans längd. (0.5) b) Ange koefficienten för 5 -termen i ( ) 10. (0.5) 6 En kabel ska dras från ett kraftverk till en (punktformig) ö. Ön ligger 5 km rakt ut från en punkt P på den fullständigt raka stranden och kraftverket ligger på stranden 10 km från P. Det kostar 50 000 kronor per kilometer att lägga kabeln i vattnet och 0 000 kronor per kilometer att lägga kabeln längs med stranden. Hur ska kabeln dras för att bli så billig som möjligt? Ön P Kraftverk LYCKA TILL!

TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 01 1, kl. 14 19 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. Rita grafen till funktionen f() = +. Ange alla eventuella lokala etrempunkter och asymptoter.. a) Lös ekvationen sin = cos. (0.) b) Lös ekvationen ln ln = ln( + 4). (0.) c) Lös ekvationen 1 = 1. (0.4). a) Bestäm den konstanta termen i utvecklingen av ( + ) 9. (0.) b) Beräkna gränsvärdet lim 0 ln(1 + sin ). (0.) c) Bestäm den vågräta asymptoten till funktionen f() = + då. (0.4) 4. a) Formulera definitionen av att en funktion f är deriverbar i punkten a. (0.) b) Visa att om f är deriverbar i punkten a så är f kontinuerlig i punkten a. (0.4) c) Låt f vara en funktion definierad på ett intervall I =]a, b[ med f () > 0 på I. Visa med hjälp av medelvärdessatsen att f är strängt väande på I. (0.4) 5. a) Beskriv den kurva i planet som ges av ekvationen 4 + 8 + y + 6y + 4 = 0. Rita även ut den. (0.5) b) Låt ABC vara en triangel där AB =, AC = 4 och BC = 5. Drag bisektrisen från hörnet B och kalla dess skärning med sträckan AC för D. Bestäm längden av sträckan BD. (0.5) 6. Ett klot med radie är innehållet i en rak, cirkulär kon. Bestäm minsta möjliga volym av denna kon.

Svar och anvisningar Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1. 1. a) Med hjälp av formeln cos = 1 sin fås efter omskrivning ekvationen sin + sin 1 = 0, vilket ger sin = eller sin = 1. Ekvationen sin = saknar lösningar medan ekvationen sin = 1 ger = π 6 + πk, = 5π 6 +πk, k heltal. b) Variabelbytet t = e ger ekvationen t t 6 = 0 med lösningar t = och t =. Alltså är = ln enda lösningen till den ursprungliga ekvationen. c) Då fås ekvationen ( )++4 = 9, vilken har lösning =. Då 4 < fås ekvationen ( )++4 = 9, vilken har lösning = 1, och då < 4 fås ekvationen ( ) 4 = 9, som saknar lösning. Lösningarna är alltså = och = 1.. Lokal maimipunkt = 1 med lokalt maimivärde 1 π/ och lokal minimipunkt = 1 med lokalt minimivärde 1 + π/. Vågräta asymptoter y = π då och y = π då. Värdemängden är [1+ π, ) (, 1 π ]. 6 4 6 4 0 4 6 4 6. a) + 6 = ( )(+) = + 5 då. b) ( 4) = ( 4)(+ 4) + 4. c) ln(1+sin) e 4 1 = ln(1+sin) 4 sin e 4 1 sin 4 =... = 1+ 4 1 4 1+1 = då 1 1 1 1 1 = 1 då 0 enligt standardgränsvärden, ty sin 0 då 0 och 4 0 och 0 då 0. För att f ska vara kontinuerlig för = 0 måste alltså a = lim 0 f() = 1. 4. a) Se sidan 78 i analysboken. b) Se sidan 5 i analysboken. c) Division med + ger ekvationen + = 0. Eftersom + = ( 1) ( 1) = ( )( 1) = ( )(+ )( 1), är lösningarna till den ursprungliga ekvationen =,1,±. 5. a) Bisektrisen delar vinkeln ACB mitt itu. Likformigheten följer nu av likformighetsfall VV. 1

b) Låt basvinklarna ABC = ACB = α. Det följer att vinkeln BDC = α. Eftersom triangeln CDB har två lika basvinklar (= α) är den likbent. Således är sträckancd = (Detta följer även av likformigheten i uppgift a). Därefter följer, eftersom triangeln DAC också är likbent (basvinklar α/), att sträckan AD =. Låt AB = AC =. Från bisektrissatsen följer nu att =, dvs 9 = 0, vilken har lösningar = (1± 5). Alltså är sidan AB = (1+ 5). 6. Låt f() = e + 1 och låt P = (a,f(a)). Ekvationen för tangenten i punkten P är y = f(a) + f (a)( a), där f (a) = e a. Alltså är tangenten y = e a + ae a + e a + 1, vilken skär -aeln i en punkt med -koordinat = a+1+ 1 ea. Eftersom den bildade triangeln har bas 1+ 1 ea och höjd e a +1 är dess area e a +1+ 1 4 ea. Derivering och teckenstudium ger att minimum antas för a = ln. Eftersom f(ln) = är P = (ln,).

SVAR TILL SKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B1 011 04 6, 8 1 1 a) Gränsvärdet är 1. b) Gränsvärdet är 4. 15 c) Lösningarna är = π 5π + πk och = + πk, där k är ett heltal. 1 1 a) Lösningarna är = 1, 0, 1,,. b) Se läroboken. a) Se läroboken. b) Lösningarna är = π 5π +πk och = +πk, där k är ett heltal. (Endast 1 1 lösningar i första kvadranten kommer i fråga.) 4 Funktionen saknar lokala etrempunkter. Den har asymptoterna y = 0, = 1 och =. Grafen visas i vidstående figur. 1 (-1)/( --) 0-1 - - - - -1 0 1 5 a) Sidan har längden eller 4. b) Koefficienten är 8064. 6 Kabeln ska dras rakt genom vattnet från ön till en punkt Q mellan P och kraftverket, så att avståndet från P till Q är 15, och därefter rakt längs med 4 stranden från Q till kraftverket.

Svar och anvisningar Endimensionell analys, B1 010 01 1, kl. 14 19. 1. Lokal maimipunkt = med lokalt maimivärde 6 och lokal minimipunkt = 1 med lokalt minimivärde. Sned asymptot y = då ±. 4 6 4 4 4 6 8 10. a) Med hjälp av formeln sin = sincos fås efter omskrivning ekvationen cos(sin ) = 0, som har lösningar = π + kπ, = π + kπ och = π +kπ, k heltal. b) = 4 ( = är en falsk rot). c) Då fås ekvationen ( 1) = 1, vilken saknar lösning i detta intervall. Då 1 < fås ekvationen + ( 1) = 1, vilken har lösning = 4/, och då < 1 blir ekvationen ++( 1) = 1, som har lösning = 0. Lösningarna är alltså = 4/ och = 0.. a) Den sökta termen är ( ) 9 6 = 9! 9 8 7 6!! 8 = 8 = 67. b) ln(1+sin) = sin ln(1+sin) sin 1 1 =, enligt standardgränsvärden, ty sin 0 då 0 och 0 då 0. c) f har den vågräta asymptoten y = då ty f() = + = ( + )( ++) =... = ++ 1+ +1 1+1 = då. 4. a) Se sidan 179 i analysboken. b) Se sidan 185 i analysboken. c) Se sidan 06 i analysboken. 5. a) Kvadratkomplettering och division med 9 ger att ekvationen 4 +8+y + 6y+4 = 0 är ekvivalent med ekvationen (+1) (/) + (y+) = 1. Kurvan är alltså 1

en ellips med medelpunkt ( 1, ) och halvalar / och..5 1.5 1 0.5 0.5 0 1 y 4 5 6 b) Eftersom + 4 = 5 ger omvändningen till Pythagoras sats att triangeln är rätvinklig. Bisektrissatsen ger sen 5 = 4, dvs =. Pythagoras sats ger därefter att bisektrisens längd är y = (/) + = 5. B y A D 4 C 6. Låt konen ha höjden h och radien. Rätvinkliga likformiga tringlar ger att h = +h, vilket efter kvadrering och förenkling ger att = 9h h 6. Konens volym som en funktion av h är alltså π h = πh h 6. Derivering och teckenstudium av derivatan ger att denna funktion har ett minimum för h = 1. Konens minsta volym är således π 1 1 6 = 7π.