für Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig

ÅܹÈÐÒ¹ÁÒ ØØÙØ für Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig Tensor decomposition in electronic structure calculations on 3D Cartesian grids (revised version: November 27) by Sambasiva Rao Chinnamsetty, Heinz-Jürgen Flad, Venera Khoromskaia, and Boris N. Khoromskij Preprint no.: 65 27

ÌÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ö Ëº ʺ ÒÒÑ ØØÝ Àº¹Âº Рκ ÃÓÖÓÑ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÅܹÈÐÒ¹ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ Ò Ø ËÒ ÁÒ Ð ØÖº ¾¾¹¾ ¹¼½¼ ÄÔÞ ÖÑÒݺ Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÈÐØÞ ¾¼ ÃÐ ÖÑÒݺ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙØÓÖ ÚÑ ºÑÔº κ ÃÓÖÓÑ µ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÔÖÓÔÓ ÒÓÚÐ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò ÒÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ØÒÕÙ ÓÖ Ø ÆÒØ ÒÙÑÖÐ ÔÔÖÓÜѹ ØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Û ØÙÝ ÔÓØÒØÐ ÔÔÐØÓÒ Ó ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹Ó Ò ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ö º ÄÓÛ¹ÖÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ö ÒÚ ØØ ÓÖ Ð¹ ØÖÓÒ Ò Ø Ò ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ ÛÖ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖ¹ Ò ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó ÖÚº Ì ÒÐ Ò ÆÒØ ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ù Ò ÓÐÐÓØÓÒ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ú ÔÛ ÓÒ ØÒØ ÙÒØÓÒ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ò Ò Ò Öº ÓÑÒ ÛØ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÜØ Ç µ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ç Ò ½ µ Ò ÖÕÙÖ Ç ÖÒ Ö µ ØÓÖ ÛÖ Ö ÒÓØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÛØ Ö Ò ÐÑÓ Ø ÙÒÓÖÑÐÝ Ò Ò Ô ÐÐÝ Ö Ç ÐÓ Òµµº ÓÖ ÜÑÔÐ ÀÖØÖ¹Ó ÐÙÐØÓÒ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛØ Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ØÓÑ Ú ÙÖ Ó Ø ÓÖÖ Ó ½¼ ÖØÖ ÛØ Ö¹ Þ Ò Ó ÚÖÐ ÙÒÖ º ÓÖ ÐÖ Ö Ò ½¾µ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÑÖÐÝ ÓÙØÔÖÓÖÑ Ø Ì Ò ÓØ Ø ÓÑÔÙØÒ ØÑ Ò ØÓÖ ÖÕÙÖÑÒØ º ÅË ËÙØ Ð ØÓÒ ¼ ¼ Æ ¼ ÃÝ ÛÓÖ ÌÙÖ¹ØÝÔ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÀÖØÖ¹Ó ÕÙØÓÒ ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÔØÚ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ º ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ù ÙÐ ØÖØÝ ØÓ ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÔÐÜØÝ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙ¹ ÐØÓÒ ÓÒ Ö Ó ÐÓÛ¹ÖÒ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÖÒÒ ÖÓÑ ÑÒݹ ½

ÐØÖÓÒ ÛÚÙÒØÓÒ Ò ÖÐØ ÕÙÒØØ Ð ÐØÖÓÒ Ò Ø ÙÔ ØÓ ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒ¹ ØÐ ÖÔÖ ÒØÒ ÒØÖ¹ÐØÖÓÒ ÒØÖØÓÒ Ò ÜØÖÒÐ ÔÓØÒØÐ Ù ØÓ ØÓÑ ÒÙк ÄØ Ù Ù Ø ÑÒØÓÒ ÐÒÖ ÓÑÒØÓÒ Ó ËÐØÖ ØÖÑÒÒØ Ù Ò¹ØÝÔ ÓÖØÐ Ìǵ Ø Ò Ø ÓÑÑÓÒÐÝ ÑÔÐÓÝ Ù Ò¹ØÖÒ ÓÖÑ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ÓÖ Ø ÚÐÙØÓÒ Ó ÒØÖÐ ÒÚÓÐÚÒ ÌÇ ÙÒØÓÒ º Ï ÖÖ ØÓ Ø ÑÓÒÓÖÔ ¾¼ ÓÖ ØÐ ÜÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÙØ º ÙÖØÖÑÓÖ ÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÒÖÝ ÒÓÑÒØÓÖ ÓÐÐÓÛÒ Ø ÔÓÒÖÒ ÛÓÖ Ó ÐÑÐĐÓ Ò ÀĐ Ö ½ ½ Ñ ÔÓÔÙÐÖ ÔÔÖÓ ØÓ ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ «ÓÖØ Ò ÑÒݹÓÝ ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖݺ ÊÒØÐÝ ÐØÖÒØÚ ÔÔÖÓ ÓÒ ÓÔØÑÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ÖØÒ ÒÓÖÑ µ Ú Ò Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖº ÀÖ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÖÖ ØÓ ÓÔØÑÐ Ò Ø Ò Ó Ø Ø ÔÓ Ð ÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ê Üµ ½ ܽµ¾ ܾµ Ü µ Ü ¾ Ê ½º½µ ÓÖ ÚÒ ÖÒ Ê ÛØÓÙØ ÒÝ ÓÒ ØÖÒØ ÑÔÓ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ ÛØ ½ º Ì ÓÖÑØ Ò ÖÕÙÒØÐÝ ÒÓØ ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò Ø Ðع ÖØÙÖº ÁÒØØ Ý Ø ÛÓÖ Ó ÝÐÒ Ò ÅÓÐÑÑÔ ÓÔØÑÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÚÖÓÙ ÔÓØÒØÐ Ò ÑÓÖ ÒÖÐ ÒØÖÐ ÓÔÖØÓÖ ÛØ ÔÓ Ð Ô¹ ÔÐØÓÒ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ú Ò Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖ º Ê º ½ ½¾ ½ ½ Ò ÖÖÒ ØÖÒº Ï ÓÙ ÓÒ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò Ø ÓÑÔÙع ØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹ÔÓØÒØÐ Û ÖÔÖ ÒØ ÑÓÖ ÓØØÐÒ ÓÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó ÀÖØÖ¹Ó Ò ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ º ÌÖØÓÒÐÐÝ ÌÇ Ø Ú Ò ÜØÒ¹ ÚÐÝ Ù ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖݺ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ò Ó¹ÐÐ ÙÜÐÖÝ ÌÇ Ò Ù ÕÙÒØ ÒÐÝØ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ¹ÔÓØÒØÐ Ñ ÒÓÛÒ Ò Øݹ ØØÒ ÓÖ Ö ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÒØØÝ ÑØÓ º Ê º ½½ ¾ Ò ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ò ÒØÐ ÑÔÖÓÚÑÒØ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÆÒݺ ÐØÓÙ Ù Ò Ó ÔÔÖÓ ÙØÐÞ Ø ÔÖÐØÝ Ó ÌÇ Ø Ø Ñ ØØ ÔÓ Ð ÒÖÐÞØÓÒ ÓÒÖÒÒ Ø Ù Ö ÖÖÐÝ Ù Ò Ø ÐØÖØÙÖº Ò ÒØÖ ØÒ ÜÔØÓÒ ÔÔÖ Ý ÐÑÐĐÓ ¾ ÛÓ ÓÒ Ö ÔÓ Ð ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÓÒÔØ ÓÖ Ò ÆÒØ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø Ó ÑØÖܺ ÊÒØÐÝ Ò ØÝ ØØÒ Ñ ÓÒ ÓÔع ÑÐ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ½º½µ Ò ØÙ Ò Êº º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ ØØ Ò ÒØ ÑÔÖÓÚÑÒØ ÝÓÒ ÌÇ Ø Ò Ú ÓÛÚÖ Ø ÙÒÓÒ ØÖÒØ ÓÔØÑÞØÓÒ Ó ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ ÖÔÖ ÒØ ÒÖÐÐÝ ÐйÔÓ ÔÖÓÐÑ Ò ÖØÖ ÓÔ ØØ ÓÔØÑÞØÓÒ ØÒÕÙ Ö Ò ÖÝ Ò ÓÖÖ ØÓ Ú Ø ÖÕÙÖ ÙÖ º ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÔÖÓÔÓ ÒÓÚÐ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò ÒÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ØÒÕÙ ÓÖ Ø ÆÒØ ÒÙÑÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º Ì ÌÙÖ ÓÖÑØ ÔÓ ÓÖØÓÓÒÐØÝ ÓÒ ØÖÒØ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ Û ØÙÖÒ Ø ÓÔØÑÞØÓÒ ÒØÓ ÛÐйÔÓ ÔÖÓÐѺ ÈÖÑÖÐÝ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Û ÔÔÐ Ò ÑÓÑØÖ Ò ÒÔÒÒØ ÓÑÔÓÒÒØ ÒÐÝ Ò Ø Û ÒÖÐÐÝ ØÖØ ÑØÓ ÓÖ ØØ ØÐ Ø ÔÖÓ Ò ¾ ÛØ ÑÓÖØ ÙÖÝ ÖÕÙÖÑÒØ º ÈÓØÒØÐ ÔÔÐØÓÒ ÓÖ ÐÖ Ð ÔÖÓÐÑ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ú Ò ÐÖÝ ÓÛÒ ÖÒØÐÝ Ò Êº ¾ ÛÖ ÓÒ Ò Ò ØÓÖÓÙ ÖÔØÓÒ Ó ØÒ ÓÖ ÓÔÖØÓÒ Ò Ø ÌÙÖ ÓÖÑغ ¾

Ì ÑÒ Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÔÖ Ø ÆÒØ Ò ÙÖØ ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÙÐÐÝ ÖØ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÓ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ÖØ Ò Ò Ò Ò Ö ÙÖØÖ ÒÓØ Ý Ò Å µ Ú Ø Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ¾ ¾ Ø Ø Ó Ø Ó Ç Ê ½ Ê ¾ Òµ ÓÔÖØÓÒ º ÀÖ Ê ½ Ê ¾ ÒÓØ Ø ÔÖØÓÒ ÖÒ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ö¹ ÔØÚÐݺ ÓÖ ÔÖ ÒØÓÒ Ó Ø ÖÒ Û ÖÖ ØÓ ËØÓÒ º Ï ÛÒØ ØÓ ÑÒØÓÒ ØØ Ê ½ Ê ¾ ÓÒÐÝ ÛÐÝ ÔÒ ÓÒ Ø Ö ÔÒ Ò Ò ÓÒ Ö ÐÑÓ Ø ÙÒ¹ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ Ò Ø ÙÒÚÖØ ÔÖÓÐÑ Þ Ò º ÓÙÖ Ù ÓÒ Ò ËØÓÒ ¾º ÁØ ÓÙÐ Ð Ó ÒÓØ ØØ Ø ÒÔÙØ Ø ÓÖ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ö Ù ÙÐÐÝ ÚÒ ÛØ Ò ÒØÐ ÖÒ Ê Ê ½ º ÔÔÐÝÒ Ø ØÛÓ¹ÐÚÐ Ñ ¾ Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÖÒ¹Ö ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ØÒ ÖÓÑÔÖ Ø ÑÐÐ Þ ÓÖ ØÒ ÓÖ Ý Ø ÖÒ¹Ê ½ ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒº Ò ÒØÐ ÒÛ ØÙÖ Ó Ø Ñ ØØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ ½ Ì Ò Ø Ó Ì Ò ØÖØÓÒÐ ÔÔÖÓ ÓÖ ÜÑÔÐ ÐÖ ÚÖØÝ Ó ÔÐÒ ÛÚ Ò ÛÚÐØ ÑØÓ ÜØÒ ÐÒÖ ÐÒ Ò Ø ÒÙÑÖ Æ Ò Ó Ö ÔÓÒØ ºº Ø Ì ÔÖÓÖÑ ¾½ ¾¾ ºµ ÌÖÓÖ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÖÑ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÙ ÐÓÛÖ ÓÑÔÐÜØÝ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Ö Þ Æ ÊÑÖ ¾º½µº ÙÖØÖÑÓÖ ØÓÖ Ó Ø ÙÐÐ Ö ÒÓ ÐÓÒÖ ÖÕÙÖ Û ÔÖÓÚ ÒÓØÖ ÔÓØÒØÐÐÝ Ò ÒØ ÚÒØ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ÓÒÚÒØÓÒÐ ÑØÓ Ó Ç Æ µ ÓÑÔÐÜØݺ Ì ÐØØÖ ÑØ ÓÑ ÓÑÔÙØØÓÒÐÐÝ Ò Ð Ù Ø Ù Ó ØÓÖ ÐÑØØÓÒ ÓÖ ÚÖÝ ÐÖ Ý ØÑ ÓÖ Ö Ö ÓÐÙØÓÒ º ÓÖ ÑÔÐØÝ Û Ö ØÖØ ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø ÀÖØÖ¹Ó ÑØÓº Ï ÛÒØ ØÓ ÑÒØÓÒ ÓÛÚÖ ØØ Ø ØÒÕÙ ØÓ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Ò ÛÐÐ ÔÔÐ ØÓ ÃÓÒ¹ ËÑ ÕÙØÓÒ Ò Ìº Ì ÀÖØÖ¹Ó ÑØÓ ÔÖÓÚ ÑÒ¹ Ð ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÖÓÙÒ ØØ Ó ÑÒݹÐØÖÓÒ Ý ØÑ º ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ ½ ¾ Î ÒÙ Î À Ì ÑÔÐ Ø ÓÐÙØÓÒ Ó ÒÓÒÐÒÖ Î Ü Üµ ܵ ½º¾µ ÓÖ Ø Æ¾ ÐÓÛ Ø ÒÚÐÙ Ò ÔØÐ ÒÙÒØÓÒ ½ ƾµ Ò Ø Ó ÐÓ ¹ ÐÐ Æ ÐØÖÓÒ Ý ØѺ Ì ÀÖØÖ¹Ó ÕÙØÓÒ ½º¾µ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒÓÒÐÒÖ ÒйÔÖØÐ ËÖĐÓÒÖ ÕÙØÓÒ Ò Ê ÛÖ Ø ÔÓØÒØÐ Î À Ò Î Ü ÖÔÖ ÒØ ÑÒ¹ Ð ØÒ ÓÒ ÒÐ ÐØÖÓÒ Û ÒÖØ Ý Ø ÖÑÒÒ Æ ½ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ý ØѺ ÙÖØÖÑÓÖ Ò ÜØÖÒÐ ÔÓØÒØÐ Î ÒÙ ÓÒØÒ Ø Ö ÓÙÐÓѹ ÓÖ Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ó Ø ÒÙк ÏØÒ Ø ÔÖ ÒØ ÛÓÖ Û ÓÙ ÓÒ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØРݵ Î À ܵ Ý ½º µ Ü Ý Ê Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ÛØ Ø ØÓØÐ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Æ¾ ݵ ¾ ݵ ݵ Ì ÖÑÒÒ ØÖÑ Ø ÒÓÒÐÓÐ ÜÒ ÓÔÖØÓÖ Î Ü µ ܵ ƾ ݵ ݵ Ê Ü Ý Üµ Ý ½ºµ ½ºµ

Û ØÓ ÖÔÐ Ý ÐÓÐ ÜÒ¹ÓÖÖÐØÓÒ ÔÓØÒØÐ Ò Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙ¹ ØÓÒ º Ì ÔÔÖ ÓÖÒÞ ÓÐÐÓÛ º ÁÒ ËØÓÒ ¾ Û ÒØÖÓÙ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÙÝ ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÐйÐØÖÓÒ Ò Ø Ó ÚÖÐ ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ Ò ÓÖÖ ØÓ ÑÓÒ ØÖØ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒº ÁÒ ËØÓÒ Ù Ò Ò ÕÙÖØÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ½ ½ ¾ Û ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÛØÒ ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ º ¾ µ ÓÒ ÖØ Ò Öº ÒÙÑÖÐ ÜÑÔÐ ÔÖÓÚ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ Ù Ò Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ø Ø ØÓѺ ÒÐÐÝ Ò ËØÓÒ Û ÖÓÚÖ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ò ÌÇ Ò ÐÙÐØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖݺ ¾ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø Ï ÒØÖÓÙ Ø ÐÒÖ Ô Ó ÖйÚÐÙ ¹Ø ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ½ ¾ ÊÁ Á Á½ Á Á ½ Ò ½ ÛØ Ø ÐÖ ÔÖÓÙØ Ò ½ ½ ÓÖ ¾ Ê Á ¾º½µ ½µ¾Á Ô Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙÐÒ ÒÓÖÑ ÚÒ Ý ÓÖ ÚÒ ÚØÓÖ Í µ ¾ Ê Á ÛØ ÓÑÔÓÒÒØ Í µ Ù µ ¾Á Û Ù Ø ÒÓØÓÒ Ó Ø ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Å Ó ÚØÓÖ Û ÓÖÑ Ø ÒÓÒÐ ÖÒ¹½ ØÒ ÓÖ Ò Ý ÒØÖ Í Í ½µ Å Å Í µ ¾ Ê Á Ù ½ Ù ½µ ½ Ù µ ÁÒ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Û ÔÔÖÓÜÑØ ÒÝ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÙÖÝ ¼ Ý ØÒ ÓÖ Öµ ÛØ Ö Ö½ Ö µ Ò Ý Öµ Ö½ ½½ Ö ½ Î ½µ ½ Å Å Î µ ½ ÙÔ ØÓ ÚÒ ¾ Ê ¾º¾µ ÛÖ Î µ ¾ Ê Á ½ µ Ò ¾ Ê Ö ½ Ö ÐÐ Ø ÓÖ ØÒ ÓÖº ÀÖ Î µ ½ Ö Ö ÐÒÖ ÒÔÒÒØ ÚØÓÖ ÓÖ Ü Ò ÛØÓÙØ ÐÓ Ó ÒÖÐØÝ Û ÙÑ ØØ ØÝ Ö ÑÙØÙÐÐÝ ÓÖØÓÓÒÐ ºº Î µ Î ½ µ Î ¾ µ Î µ Ö ¾ Ê Ò Ö Ö ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖ º Ì ÖÔÖ ÒØØÓÒ ¾º¾µ ÑÒ ØØ ÓÖ ÚÒ Ø Ó ÖÒ ÔÖÑØÖ Ö Ò ½ µ ÒÝ ØÒ ÓÖ Ò ÓÑÔÓ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÒØÓ Ö½Ö¾ Ö ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Ö ÔØÚÐÝ Ö

Ö½ Ö Öµ Û ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ Ö½ Ö ÒÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ Î µ Ò Ö ÓÆÒØ ÓÖ Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒº Ì ÑÔÓÖØÒØ ÔÖÑØÖ Ö ÑÜÖ Ó Þ Ò ÐÐ Ø ÌÙÖ ÖÒº ÌÓ Ñ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÒÙÑÖÐÐÝ ÆÒØ Û Ú ØÓ Ø Ý Ø ÓÒØÓÒ Ö Ò ½ µ Û Ù ÙÐÐÝ Ø Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º Ì ÒÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÆÇÅȵ ÓÖ ÔÖÐÐÐ ØÓÖ Èʵ ÑÓÐ ÓÖØÐÝ È ÑÓе ÖÔÖ ÒØ ØÒ ÓÖ Ý ÙÑ Ó ÖÒ¹½ ÒÓÒ¹ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÐÐÓÛ Ê Êµ Í ½µ Å Å Í µ ¾ Ê ¾º µ ÛØ ÒÓÖÑÐ ÓÑÔÓÒÒØ Í µ ¾ Ê Á ½ µº Ì ÑÒÑÐ ÔÖÑØÖ Ê Ò Ø ÓÚ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÐÐ Ø ÖÒ ÓÖ ÒÓÒÐ ÖÒµ Ó ØÒ ÓÖº ÐÓÛ Û ÓÒ Ö ÔÔÖÓÜÑØÒ ÔÖÓÔÖØ Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÖÔÖ Òع ØÓÒ ¾º¾µ Ò Ê ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó ÓÑ ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ º Ï ÔÔÐÝ Ø ÐØÖÒØÒ Ð Ø¹ ÕÙÖ Ä˵ ØÖØÚ Ñ Ö Ò ¾ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÐÓÛ¹ÖÒ ØÖ¹ÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø À ØÓÑ ÄÀ À ¾ À Ò À ¾ Ç ÑÓÐÙÐ º ÊÑÖ ¾º½ Ì ÌÙÖ ÑÓÐ ÔÔÐ ØÓ ÙÐÐÝ ÔÓÔÙÐØ ØÒ ÓÖ Ó Þ Ò Å Ø Óѹ ÔÐÜØÝ Ó ÓÖÖ Ç Ò µ ØÓÖ Ò ÓÑÔÙØØÓÒÐ Øѵº Á Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ ÐÖÝ ÔÖ ÒØ Ò Ø ÖÒ¹Ê È ÓÖÑØ ØÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒÓÒйØÓ¹ÌÙÖ ÄË ÑØÓ ÛØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ò Ø ÖÒ Ç ÖÊÒµ Ç Ö ¾ ÊÒµ ÔÒÒ ÓÒ Ø ÔÖÓÐÑ ØØÒ Ü¾ºº¾ Ò ¾ µº ÆÓØ ØØ Ø Ó¹ÐÐ ÔØÚ ÖÓ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÑØÓ Ó ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ö Òµ Û ÖÒØÐÝ ÔÖÓÔÓ Ò ¾ º ÁÒ ËØÓÒ Ò ÓØ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ Ò È ÓÑÔÓ ØÓÒ Ö Ù Ò Ø Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ò Ê ÔÔÖÒ Ø ÑÒ ÒÖÒØ Ò Ø Ó ÓÔÖØÓÖº Ø Ö Ø ØÔ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÖÖÒ ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÑÒ¹ ØÓÒ ÑÓÐÙÐ Ö ÓÑÔÙØ Ý Ø ØÒÖ ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ Ô ÅÇÄÈÊÇ ¼ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ò ÜÔÒ ÓÒ Ý ÖØ Ò Ù Ò ÙÒØÓÒ ºº ÛØ Ê ¼ ܵ ܽ µ ܾ µ Ñ Ü µ Ò ÜÔ «µ ¾ ¾ ܽ µ ¾ ܾ µ ¾ Ü µ ¾ Ü Ü½ ܾ Ü µ Ì ¾ Ê ¾ºµ ÛÖ Ø ÜÔÓÒÒØ «Ú Ò ØÒ ÖÓÑ ØÒÖ Î Ø ½¼ º Ï ÙÑ ØØ ÒÝ ÔÖØÙÐÖ ÑÓÐÙÐ Ñ Ò ÖØÒ Ü ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÜ ÛØ ÙØÐ ¼º ÄØ ÙÒÓÖÑ Ò Ò Ò ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ Ö ÓÖØÐÝ Ò Å µ ÒÜ Ý Á Á½ Á¾ Á º ÓÖ ÚÒ ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ Ê Û ÒØÖÓÙ Ø ÓÐÐÓØÓÒ¹ØÝÔ ÙÒØÓÒ ÖÐØ ØÒ ÓÖ Ó ÓÖÖ Ý

1 1 1 n=65 n=129 n=193 error 1 2 1 3 1 4 2 4 6 8 1 12 Tucker rank ÙÖ ¾º½ ÓÒÚÖÒ Ó Ø ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ó ÄÀ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Æ ÒÓÖÑ ÓÖ «ÖÒØ Ö Þ Ò ½¾ Ò ½ Ò Ü ÓÜ Þ ÓÖº ÛÖ Ü ½µ ½ ¼ µ ½ ¾ ½ ¾ µ¾á ¾ Ê Ò Ò Ò ÛØ ½ ¾ Ü ½µ ½ Ü ¾µ ¾ Ü ¾µ ¾ Ü µ µ Ü µ µ ¾ Ö Ø Ö ÓÐÐÓØÓÒ ÔÓÒØ º ÁÒ ÓÙÖ ÔÔÐØÓÒ Ø ÙÒ¹ ØÓÒ Ò Ý ¾ºµ Ù Ò Ø Ø Ó ÔÖÐ ÖØ Ò Ù Ò ÙÒØÓÒ º Ì ÖÓÒ ØÖÙØ ¹Ö ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ¼ ÔÔÖÓÜÑØ Ý ÖÒ Ö Ö Ö Öµ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÖÔ¹ Ö ÒØØÓÒ ÓÖ ÕÙÒ Ó ÖÒ¹ÔÖÑØÖ Ö ½ ¾ Ö¼º Ì ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÖ ØÒ ÓÖ Ó Ø Þ Ö Å Ö ØÒ Ù ÓÖ Ø ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØÒ ØÒ ÓÖ Öµ ¼º ÐÐ ÒÙÑÖÐ ÑÙÐعÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ö ÔÖÓÖÑ Ò ÅÌÄ ÖÐ º º ÓÖ ÚÖÝ ÖÒ¹Ö ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Û ÓÑÔÙØ Ø ÖÐØÚ ÖÖÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÙÐÒ ÒÓÖÑ ÛÐÐ Ø ÖÐØÚ ÑÜÑÙÑ ÖÖÓÖ Öµ Æ ¼ Öµ ¼ Öµ ÑÜ ¾Á ¼ Ö ÑÜ ¾Á ¼ ¾ºµ Ì ÖÐØÚ «ÖÒ Ó Ø ÒÓÖÑ ÒÓØ Ý Öµ ¼ Öµ ¼ Öµ ¾ ¼ ¼ ¾ Ò Ù ØÓÔÔÒ ÖØÖº Ì ÄË ØÖØÓÒ ØÖÑÒØ Ø ÚÐÙ Ó Öµ Ö Ø ÑÒ ÔÖ ÓÒº Ì ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ Ö Ö Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø ÓÖÑ Ã Ã Üµ ܵ ¾ ʼ ¾ ¾ È Üµ Ü Ü µ ¾ºµ ÛÖ Ã Ø ÒÙÑÖ Ó ÐØÖÓÒ ÔÖ Ò Ê¼ Ø ÒÙÑÖ Ó ÌÇ ÙÒØÓÒ ÚÒ Ý ÜÔÒ ÓÒ ¾ºµ ÓÖ ÓÖØРܵº ÓÖ ÔÖØÙÐÖ ÑÓÐÙÐ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛÒ

1 a) E FN 1 b) E FN 1 c) E FN E C E C E C 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 6 5 1 15 rank 1 6 5 1 15 rank 1 6 5 1 15 rank ÙÖ ¾º¾ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Æ Ò ÒÓÖÑ ÚÖ Ù ÌÙÖ ÖÒ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó µ À µ ¾ À Ò µ À ¾ Ç ÛØ Ò º ÔÝ ÐÐÝ ÖÐÚÒØ ÔÖÑØÖ ½¼ ÓÖ Ê ¼ ½¼ ÓÖ À ØÓÑ ÓÖ Ê ¼ ÓÖ ÄÀ ÓÖ Ê ¼ ÓÖ À ÓÖ Ê ¼ ÓÖ ¾ À Ò ½¼ ÓÖ Ê ¼ ½ ÓÖ À ¾ Ǻ ÊÐÐ ØØ Ò Ø Ó Ø À ØÓÑ Ø ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ö ÚÒ ÜÔÐØÐÝ Ý Üµ «ÜÔ «Üµ ÛØ Ü ¾ Ê ÛØ «½ ÓÖ Ø ÓÖØÐ Ò «¾ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Øݺ.5 a) Hydrogen V (1) 1 V (1) 2 V (1) 3 V (1) 4.5 1 5 5 1 atomic units.6.4.2.2.4.6 b) LiH V (1) 1 V (1) 2 V (1) 3 V (1) 4.8 5 5 atomic units ÙÖ ¾º ÇÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î ½µ ½ ÓÖ Ø ÖÒ¹½¼ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ µ Ø À ØÓÑ Ò µ ÓÖ Ø ÄÀ ÑÓÐÙк Ï ÔÔÖÓÜÑØ Ø ÙÒØÓÒ ¾ºµ Ù Ò Ø ÌÙÖ ÑÓк ÙÖ ¾º½ Ú Ø ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö ÓÖ Ø ÄÀ ÐØÖÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ý ½ºµ Ò ¾ºµ ÓÖ «ÖÒØ Ö Þ Ò Å º Ï ØØ ÓÖ Ü ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ø ÌÙÖ ÖÒ ÖÑÒ ØÓ ÐÑÓ Ø ÒÔÒÒØ ÓÒ Ø ÙÒÚÖØ ÔÖÓÐÑ Þ Òº Ì ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾ ÚÖÝ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ

C2H6, core tensor 1.1e+2 1.6e+1 5.3e+ 3.1e+ 1.2e+ 6.e 1.6.4.2.2 V (3) 1 V (3) 2 V (3) 3 V (3) 4 V (3) 5 V (3) 6 C 2 H 6.4 6 4 2 2 4 6 atomic units ÙÖ ¾º ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Å Ò Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î µ ½ Ó Ø ÖÒ¹ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ Ø ¾ À ÑÓÐÙк ÆÙÑÖ ÚÒ ÓÖ ÚÖÝ Ð Ó ÓÖ¹ØÒ ÓÖ ÒØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÑÜÑÙÑ Ó ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ðº ÌÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò Ø ÖÒ¹ÔÖÑØÖ Öµ Ó ÐØÖÓÒ Ò Ø ÖÒ Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ ½¼ ÓÖ À À ¾ Ç Ò ¾ À ÛØ Ö ½º Ì ÜÑÔÐ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î µ ½ ½ µ Ó Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÓÖ Ø À ØÓÑ ÄÀ Ò ¾ À ÑÓÐÙÐ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º Ò ¾º Ö ÑÐ Ø Ô Ó Ø ÓÑÔÓ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÐÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔØÐ Ü º Ù ØÓ ÓÖØÓÓÒÐØÝ Ó Ø ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÌÙÖ ÑÓÐ ÔÔÖ ØÓ ÙØÐ ÓÖ ÓÒ ØÖÙØÒ ÐÓÛ ÑÒ ÓÒÐ ÔÖÓÐѹÔÒÒØ ÓÖØÓÓÒÐ º ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¾º Ö Ø ÛØ ½ ¾ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÙØÖ ÔÖÓÙØ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÓÖ Î ½µ Å Î ¾µ Å Î µ Û ÓÑÔÓ Ø ÙÑÑÒ Ó ½ ¾ Öµ Ò ¾º¾µ ÓÖ º ÆÙÑÖÐ ÜÔÖÑÒØ ÑÓÒ ØÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÓÛÖ Ó Ø ÔÖÓÐѹÔÒÒØ ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ º ÓÖ ÜÑÔÐ ÐØ ½¼ Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Ó Ø ÖÒ Ö ½¼ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛÐ Ô ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÖÒÔÐ Ô Ô Ô ÙØÒ ÓÖ Ó ½¼ º Ï Ó ÖÚ ØØ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ Ó Ø Ù Ô ÔÒÎ µ Ô ½ ¾ µ ØÓ Ø ÖÐØÚ ÙÐÒ ÒÓÖÑ ½¼ Ô ½¼ Ò ÒØ ÚÒ ÓÖ ÑÐÐ Ôº ÁÒ Ø ÐÖÝ ÛØ Ô Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ÖÓÑ Ø Ö Ø ØÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓ¹ ÒÒØ ºº ÓÖ ½ ÖÔÖ ÒØ Ø ÖÐØÚ ¾ ¹ÖÖÓÖ ÛØ Ò ÙÖÝ Ó ÓÙØ ¼¼½±º Ì ÑÒ ØØ Ø ÔØÚ ÓÖØÓÓÒÐ ÓØÒ Ú Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÓÖØ ÖÒ ÐÖÝ ÖÔÖ ÒØ Ø ÑÔÓÖØÒØ ÔÝ Ð ÕÙÒØØ ÛØ Ø ØÓÖÝ ÙÖݺ Ì ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó À Ò ¾ À Ö ÓÒ Ö Ò Ø Ù Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒÐÝ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ò Å Ö Ó Þ Ò º ÙÖ ¾º µ Ò µ Ú ÙÐ Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ó À Ò ÔÐÒ ÓÒØÒÒ Ø ØÓÑ Ò Ó ¾ À Ò ÔÐÒ ÔÐÒ ÓÒØÒÒ ØÛÓ Ò ØÛÓ À ØÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒÒÐݺ ÙÖ ¾º µ Ò µ Ú ÙÐ Ø ÓÐÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÖ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÑÓÐÙÐ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÐÒ ÓÖ Ö ½º ÁÒ ÔØ Ó ÐÖ ÚÐÙ Ó Ø Ø Ù Ô ÖÓÒ ¼ ÙÒØ µ Û Ó ÖÚ ÖØÖ ÙÒÓÖÑ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÚÐÙ Ó Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ó Ø ÓÖÖ ½¼ ½¼ ºÙº Ò Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÒº Ì ØÝÔÐ ØÙÖ

5 a) CH 4 2 1 x 1 5 b) CH 4, abs. error, r=16 5 5 5 5 5 5 5 5 5 c) C 2 H 6 4 2 x 1 4 d) C 2 H 6, abs.error, r=16 5 5 5 5 5 5 5 5 ÙÖ ¾º ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ó ÖÒ Ö ½ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ À Ò ¾ À ÑÓÐÙÐ º Ó Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒº ÓÖ À ¾ Ç ÛØ ÚÒ ÐÖÖ Ù Ô ½ ÙÒØ µ Ø Ø ÓÖÒ Û Ò ÙÖ ¾º¾ µ ØØ Ø ÓÒÚÖÒ Ó ÓÖ Ø ÑÓÐÙÐ ÔÔÖÓÜÑØ Ò Ø ÚÓÐÙÑ ½¼ ½¼ Ú Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ ½¼ ÛØ Ø ÖÒ Ö ½º ÒÐÐÝ Û 1 a) Hartree Potential,CH 4 1 b) Hartree Potential, C 2 H 6 1 c) Hartree Potential, H 2 O E FN E C 1 2 1 2 1 2 error error 1 4 1 4 1 4 E FN E FN E C E C 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Tucker rank 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Tucker rank 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Tucker rank ÙÖ ¾º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Æ Ò ÒÓÖÑ ÚÖ Ù ÌÙÖ ÖÒ ÓÖ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó µ À µ ¾ À Ò µ À ¾ Ǻ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒÚÖÒ ÚÓÙÖ Ó Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÔÐ ØÓ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ó À ¾ À Ò À ¾ Ç ÑÓÐÙÐ ÙÖ ¾ºµ Û ÒØ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒÚÖÒ Ò Ø ÌÙÖ ÖÒ Öº ÇÙÖ ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÑÓÒ ØÖØ Ø ÆÒÝ Ó ÐÓÛ¹ÖÒ ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ ØÓ Ø ÐØÖÓÒ Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ º ÌÝ ÓÛ ÜÔÓÒÒØÐ ÓÒ¹ ÚÖÒ ÙÔÓÒ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ö ÛØ ÓÒÚÖÒ ÖØ Û ÐÑÓ Ø ÒÔÒÒØ Ó

Ø Ö ÓÐÙØÓÒ ÐÚÐ ÔÒÒ ÓÒ Ø Ö Þ Ò ØÓÖØÐ Ö ÙÐØ ÒØ Ö Ç ÐÓ Òµµº Ì ÐÓÛ ÖÒ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò Ø Ò ÙÖØÖ ÙØÐ ÓÖ ÐÓÛ¹ÓÑÔÐÜØÝ ÐÙÐØÓÒ Ó ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÔÖØÓÖ Ó ÔÝ Ð ÖÐÚÒ ºº Ø ÐØÖÓÒ¹ÐØÖÓÒ Ò ÐØÖÓÒ¹ÓÒ ÓÒØÖÙØÓÒ ØÓ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ Ø ÀÖØÖ Ò ÜÒ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ØÓ ÐÓÐ ÜÒ¹ÓÖÖÐØÓÒ ÔÓØÒØÐ Ò Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒº Ò ÜÑÔÐ Ò Ø ÒÜØ ØÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÐÓÛ¹ÖÒ ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ù Ò ØÒ ÓÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó ÐÐ ÙÒØÓÒ Ò ÓÔÖØÓÖ ÒÚÓÐÚº ÓÑÔÙØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Ý ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ï ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ܵ Ê Ýµ Ü Ý Ý Ü ¾ Ê º½µ Ý Ø ÖØ ÑÙÐعÑÒ ÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ ÙÒÓÖÑ Ö Ò Ê ¹ Ö Ò Êº ¾ º Ì ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙØ Ò Ý Û Üµ µ ܵ Ê Ýµ Ü ÝµÝ ¾ Ä ¾ Ê µ ÇÙÖ ÔÖØÙÐÖ Ó Üµ ½ Ü Üµ ܵ Ü ¾ Ê º Ù ØÓ Ø ÔÝ Ð ÔÖÖÕÙ Ø ÓÖØÐ Ò ÐØÖÓÒ Ò ØÝ Ú ÜÔÓÒÒØРݵ Ø ÙÒØÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ÓÑ Ü ÓÜ Å Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ò Åº Ï ÔÔÐÝ Ø ØÒÖ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ØÓ ÖØ Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÙغ Ö Ø Û ÒØÖÓÙ Ø ÕÙ ØÒØ ØÒ ÓÖ Ö Ò ½ ¾ Ó ÓÐÐÓØÓÒ ÔÓÒØ Ü Ñ Ò Å Ñ ¾ Å ½ Ò ½ º ÀÖ Ñ ½µ Ñ ½ Ò ½ ½ µ ÛØ Ñ ¹ Þ ¾Òº ÓÖ ÚÒ ÔÛ ÓÒ ØÒØ ÙÒØÓÒ ¾ Á ½ Ò ÓØ ÛØ Ò ÐØ Ý µ Ø ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÆÒØ Ó Ò Ýµ ¾Á ݵ ÛÖ Ý Ø ÑÔÓÒØ Ó Ø Ö¹ÐÐ ÒÙÑÖ Ý ¾ Áº ÆÓÛ Ø ÓÐÐÓØÓÒ Ñ Ö Û Ñ Ñ¾Å Û Ñ ¾Á Ê Ýµ Ü Ñ ÝµÝ Ü Ñ ¾ Ö Ø ØÔ Û ÔÖÓÑÔÙØ Ø ÓÆÒØ Ýµ Ý Ê Ý ¾ Á ½¼

Ì ÓÆÒØ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÓÖ Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ ½ Ü Ý ÔÔÖÓÜÑØ Ò Ø ÖÒ¹Ê È ØÒ ÓÖ ÓÖÑØ ËØÓÒ ¾µ Ù Ò ÓÔØÑ Ò¹ÕÙÖØÙÖ ½ ½ ¾ ÛÖ Ø ÖÒ ÔÖÑØÖ Ê Ç ÐÓ ÐÓ Òµ ÔÒ ÐÓÖØÑÐÐÝ ÓÒ ÓØ Ø ÖÕÙÖ ÙÖÝ Ò Ø ÔÖÓÐѹ Þ Òº ÁÒ ÐÐ ÓÑÔÙØØÓÒ ÔÖ ÒØ ÐÓÛ Ø Û ÒÓÙ ØÓ ÓÓ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Ò Ø ÖÒ Ê ¾ ½¼ ¾¼ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ö ÙÖݺ Ì ¹Ø ÓÖÖ ØÒ ÓÖ ¾ Ê Á ÔÔÖÓÜÑØ ØÖ Ò Ø ÖÒ Ö Ö Ö Öµ ÌÙÖ ÓÖÑØ ÓÖ Ú Ø È ÑÓÐ ÛØ ØÒ ÓÖ ÖÒ Ê ¾ º ÓÐÐÓÛÒ ¾ ¾ Û ÓÑÔÙØ Û Ñ Ý ÓÔÝÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÓÖØÓÒ Ó Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò Ê Þ ÒØÖ Ø Òº Þ ¾Á ½ ¾  ½ ¾Ò ½ º¾µ ÄØ ÖÔÖ ÒØ Ò Ø ÌÙÖ ÓÖÑØ ¾º¾µº ÌÒ º¾µ ÖÔÖ ÒØ Ò Ø ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÓÖÑ Ê Ö Ñ½ ѽ Ñ Í ½µ Î ½µ Ñ ½ Å Å Í µ Î µ Ñ x 1 3 abs. error for V H in subinterval x 1 5 abs. Richardson error for V H 2 n=448 n=224 n=112 12 112 224 224 448 1 abs. error 1.5 1 Richardson error 8 6 4.5 2 X: 5.551e 16 Y: 5.531e 6 6 4 2 2 4 6 atomic units 6 4 2 2 4 6 atomic units ÙÖ º½ ÓÐÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ÓÖ Ø Ô ÙÓ¹Ò ØÝ Ó À Ò Ø ÙÒØÖÚÐ Å ¼ ¼ Ðص Ò Ø ÖÙ ÖÖÓÖ Ý ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ ØÛÓ Ö Öصº Î µ Ñ ¾ Ê ¾Ò ½ Ò ÓÑÔÙØ ÓÒ Ò ÕÙ ØÒØ Ö Ý Ì Ò Ì ½ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Í µ Ç Ò ÐÓ Òµ ÓÔÖØÓÒ º Ì Ð ØÓ Ø ÓÚÖÐÐ ÓÑÔÐÜØÝ Æ Ì Ç ÖÊÒ ÐÓ Ò ÊÖ µ º µ ½½

ÄÛ ÔÔÖÓÜÑØÒ Ò Ø Öҹʽ È ÓÖÑØ ¾º µµ ÒÐ Ù ØÓ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÓÖÑ Û Ð ØÓ Ø Ó Ø Ê Ê ½ ѽ Ñ Í ½µ Î ½µ Ñ Æ Ç ÊÊ½Ò ÐÓ Òµ Í µ Å Å Î µ Ñ Ò ÜÑÔÐ Û ÓÒ Ö Ø À ÑÓÐÙк ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ø Ø ÔÖÓÖÑÒ Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø ÙÖÝ ÑÒ Ó ÕÙÒØÙÑ ÑÐ ÐÙÐØÓÒ Ø ÓÑ Ò ÖÝ ØÓ Ù Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÒ Ø ØÓѺ Ï Ú Ù ÑÐÓÐ ÒÖÝ¹Ù Ø Ô ÙÓÔÓØÒØÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ø Ó ÓÐ Ø Ðº º Ì ÒÐ Ù ØÓ Ú Ø Ö ÙÖ ÓÒ Ö Ò ÐÖÝ ÓÖ ÚÐÙ Ó Ò ØØ Ò ÐÝ ÒÐ Ý ÓÙÖ ÅÌÄ Óº ÌÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÙÐÐ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ÖÕÙÖ Ø Ø ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÔÔÐÐ ØÓ ÐÓÐÐÝ Ö Ò Ö ºº Ê º ½ ½ ¾ ¾ º Ì Ô ÙÓ¹Ò ØÝ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÓØÒ ÖÓÑ ÀÖØÖ¹Ó ÐÙÐØÓÒ ÚÒ Ý ¾ºµ ÛÖ Ã Ø ÒÙÑÖ Ó Ô ÙÓ¹ÓÖØРʼ ¼ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ö È µ ¾º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÖÔÖ ÒØ Ø ÓÒÚÓÐÚÒ ØÒ ÓÖ Üµ Ò Ø ÒÓÒÐ ÓÖÑغ ÁÒ Ø ÛÝ Ø ÔÖÓÙØ Ó ØÛÓ Ù Ò Ò ÛÖØØÒ Ò Ø ÓÖÑ Ó ÒÐ Ù Ò Ý Ü µ¾ Ü µ¾ Ü µ¾ µ¾ Û Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÙÒ ÓÒ Ø ÒØÐ ÖÒ Ó Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ Ê¾ Ê ¼ ʼ ½µ ¾ ½¾ ºµ Ï ÔÔÖÓÜÑØ Î À ܵ Ü ¾ Ò Ò º½µ Ú ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ Ý Î Òµ ÓÒ Ø À ÒÅ ØÒ ÓÖ¹Ö Ò Ò Ø ÖÖÒ Ù ½¼ ÓÖº Ì ÐØ ÔÖØ Ó ÙÖ º½ Ú Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Î À Î Òµ À ÓÖ Ø ÕÙÒ Ó Ö ÛØ Ò ½½¾ ¾¾ º ÁØ ÒØ ØØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò ÙÖÝ Ó ÓÖÖ Ç ¾ µ Ò Ø ÖÐÚÒØ ÔÝ Ð ÓÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø ÒØÐ ÙÔÔÓÖØ Ó Üµ ¾ ÓÖ ØÐ ÖÖÓÖ ØÑØ µº ÓÐÐÓÛÒ ¾ Û ØÒ ÔÔÐÝ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ØÒÕÙ ØÓ ÓØÒ Ö ÙÖÝ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÓÖÖ Ç µ ÛØÓÙØ ÜØÖ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Øº Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐÒØ Î Òµ ÔÔÖÓÜÑØÒ ÀÊ Î À ܵ ÓÚÖ ÔÖ Ó Ò Ø Ö Ò Ò ¾Ò Ò Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ò Å ¹Ö ÚÒ Ý Î Òµ ¾Òµ ÀÊ Î À Î Òµ µ Ò Ø Ö¹ÔÓÒØ ÓÒ À Ò Ì ÖØ ÔÖØ Ó ÙÖ º½ ÓÛ Ø «Ø Ó Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö Ò ÛØ Ò ½½¾ ¾¾ º ÆÜØ Û ÑÓÒ ØÖØ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÆÒÝ Ó ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓ¹ ÐÙØÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î Òµ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö À Ò ÛØ Ò ¾ ½¾ ½¾º Ï Ù Ø Ñ ÒÔÙØ Ø ÓÚ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø À ÑÓÐÙе ÛØ ÒØÐ ÖÒ Ê¾ ½¾º ÌÓ ÖÙ Ø ÒÓÒÐ ÖÒ Û ÔÔÐÝ Ø ØÛÓ¹ÐÚÐ ½¾

ÌÐ º½ ÐÐÔ ÈÍ ØÑ ºµ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ Ò Å Ö ÓÖ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ ÓÒÚ Ò Ì ÓÒ ËÙÒ Ö ¼¼ ÓÑÔÙØÖ ÛØ ¾ ÀÞ ÔÖÓ ÓÖº Ò ¾ ½¾ ¾ ½¾ Ì ¼¼ ¼ ¾ ÓÒÚ ¼ ¼ ½¾ ¼ ½¼¼½ Ñ Ö Ò ¾ Ö Ø Û ÓÑÔÙØ Ø ÖÒ¹Ö ÌÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó Ø ÒÔÙØ ØÒ ÓÖ Ò ÙÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÒ¹Ö ¾ È ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÛØ Ö ½µ ÓÒ Û ÖÓÑÔÖ Ø ØÓ Ø ÖÙ ÖÒ Ê ¼ ¾ ½¾¼ Ö ¾ Ù Ò Ø ÐÛ ËÎ Ó ÑÐÐ Ö Ö Ñ¹ ØÖ º ÌÐ º½ ÓÑÔÖ Ø ÐÐÔ ØÑ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÒ Ò Å Ö Ý Ù Ò Ø Ì ÝÑÔØÓØ ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ò ÐÓ Òµµ Ò Ø Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ Ó ÓÑÔÐÜØÝ Æ Ç Ê ¼ ¾ Ê ½Ò ÐÓ Òµ Ö ÓÚº Ï ÖÐÐ ØØ Ê ½ ¾ ½¼ ¾¼ ÒÓØ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Ó Ø ÓÐÓÙÑ ÓÆÒØ ØÒ ÓÖ Ò Ê º ÆÓØ ØØ Ò ÓØ Ì Ò ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ñ ÓÒ Ø Ò Å Ö ÓÒ ÖÕÙÖ Ø ÓÙй Þ Ì ÛØ Ö¹ Þ ¾Ò ½º ËÒ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒ¹ ÚÓÐÙØÓÒ ÖÕÙÖ ÓÒÐÝ ½ Ì ÒÐÐ Ó Ø Ò Ø ÖÒ Ò ½¼ µ Ø ÓÙÐ ÔÖÓÐÑ Þ ¾Ò ½ Ó ÒÓØ Ð ØÓ ÚÖ Ö ØÖØÓÒ ÓÒ È͹ØÑ Ò ÓÒ Ø ØÓÖ Ô Ò Ø Ó Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñº ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÒØ ØØ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÙØÔÖÓÖÑ Ø ÓÒÚÒØÓÒÐ Ì ÓÖ ÐÖ ÔÖÓÐÑ Ò ½¾µº ÙØ ÚÒ ÑÓÖ ÑÔÓÖØÒØ Ø ÑÙ Ð Ö ØÖØÚ ÑÑÓÖÝ ÓÒ ÙÑÔØÓÒ Ó ÓÖÖ Ç ÊÊ ½ Ò ÐÓ Òµ ÓÑÔÖ ÛØ Ç Ò ÐÓ Òµº ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Ø Ì ÐÖÝ ÖÙÒ ÓÙØ Ó ÑÑÓÖÝ ÓÒ Ø Ö ¾ Ò Ò Ø ØÐ ÓÚ Û Ú Ø ÜØÖÔÓÐØ È͹ØÑ ¼¼¼ Ò Ø º ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Ò ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ÔÔÐÝ Ø ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ñ ¾ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Ó Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ Ò ÌÇ Øº Ì ÖÑÒÒ ÔÖØ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ Ö ÓÑÔÙØ Ý Ø ÅÇÄÈÊÇ Ô Ò ÓÒÚÒØÓÒÐ Ûݺ Ì ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÓÖ Î À ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø Ø Ó ÒÓÖÑÐÞ ÖØ Ò Ù Ò ÚÒ Ý Â Ñ Üµ Ñ ÜµÎ À ÜµÜ Ñ ½ Ê ¼ º½µ ÙÖ º½ µ Ú ÙÐ Ø ÜØ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ Â Ñ º Ì ÖÖÓÖ Ò ØÛÒ Â Ñ Ò Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓØÒ Ý Ø ÖØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ÓÖ ÐÙÐØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î À ÚÒ Ò ÙÖ º½ µº Ê ÙÐØ ÓÒ ÙÖÝ ÐÙÐØÓÒ ÓÒ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ö ÐÐÙ ØÖØ Ò ÙÖ º¾º ÄØ Ñ Ñ µ Ä ¾ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÒÓÖÑÐ Ù Ò Ò Å Å Ñ Ñ µ Ä ¾ Ñ ½ Ê ¼ µ ½

ÙÖ º½ µ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Â Ñ ÓÖ À ÓÑÔÙØ ÓÖ Ø ÌÇ Ø Ñ ½ ʼº µ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ó Ø ÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù Ò ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÒÚÓÐÚÒ Ø Ö ÛØ Ò ¼¼ Ò ¼¼º Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÓÚÖÐÔ ÑØÖܺ Ï Ù ØØÙØ Ø ÐÖÒ ÑØÖÜ Â Â Ñ Ê ¼ ѽ ÖÓÑ º½µ Û ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ Î Òµ À Ø Ó ÑØÖÜ ÐÒ Â Ã ÛÖ ÐÒ ¾ ½ ΠƵ Ñ µ Ä ¾ Ê ¼ ѽ Ò Ã Î Ü Ñ µ Ä ¾ Ê ¼ ѽ Ò Ø ÒØÓ ÖÔÖ ÒØ Ø ÐÒÖ ÔÖØ Ó Ø Ó ÓÔÖØÓÖ Ò Ø ÜÒ ÔÓØÒØÐ Ö ÔØÚÐݺ ÆÓÛ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ Ó Ø Ý ØÑ ÓÑÔÙØ Ý ÓÐÚÒ Ø ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Å ½ à ÓÖ Ø Ö Ø Ã Æ¾ ÑÐÐ Ø ÒÚÐÙ ÓÖ Ø À ÑÓÐÙÐ ÛØ Ô ÙÓÔÓØÒ¹ ØÐ Ã µº ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Û ÔÔÐÝ Ø ÅÇÄÈÊÇ Ôº Ì ØÓØÐ ÒÖÝ ÐÙÐØ Ý Ã À ¾ à  à ÛØ Â Î À µ Ä ¾ Ò Ã Î Ü µ Ä ¾ ½ ƾµ Ò Ø Ó¹ÐÐ ÓÙÐÓÑ Ò ÜÒ ÒØÖÐ Ö ÔØÚÐÝ ÓÑÔÙØ ÛØ Ö ÔØ ØÓ Ø ÓÖØÐ ½ ƾµ ÓÑÔÖ ÛØ º½µµº Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ À Ò Ó ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ ÓÖ «ÖÒØ Ö Ö ÚÒ Ò ÌÐ º½º ÄØ Ò ¾ Ê Ê ¼ Ê ¼ Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ Â Ñ º ÆÓØ ØØ ÓØ ÑØÖ Â Ñ Ò Ò Ö ÝÑÑØÖ ÙÔ ØÓ ÖÓÙÒ¹Ó«ÖÖÓÖ º Ï ÓÒ Ö Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÒÚÐÙ ½ ú ÁÒ Ø ÛÝ Û ÒØÖÓÙ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò µ ØÓ Ø ÒÖÝ ÖÖÓÖ ÓÒ Ø ½ ¹ÚÐÙØÓÒ Ó Ø ÖÖÓÖ ÑØÖÜ Ò ÐÙÐØ Ý ½ Ò µ ÑÜ Ê ¼ Ê ¼ Ò µ ÇÙÖ ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÔÖ ÒØ Ò ÌÐ º¾ ÒØ ØØ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò µ Ú ÕÙØ ÙÖØ ÙÔÔÖ ÓÙÒ ØÓ Ø ÔÔÖÓÜÑØ ØÓØÐ ÒÖݺ Ì ÓÒ ÖÓÛ Ó ÌÐ ½

.15.1 112 224 a) b) x 1 3 3 224 448 2 c) x 1 6 8 6 4 (4,8) (224,448).5 1 2 2 4 diagonal elements 2 4 2 4 ÙÖ º¾ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÒÐ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ ÓÖ µ Ò ½½¾ ¾¾ Ò µ Ò ¾¾ º µ ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÒÐ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ ÓÑÔÙØ Ý ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ Ø ÔÖ Ó Ö ¾¾ µ Ò ¼¼ ¼¼µº ÌÐ º½ ÖÖÓÖ Ó Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ À ÖØÖµ Ò Ó ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ ÓÑÔÙØ ÓÒ «ÖÒØ Ö ÒÓØ Ý Æ Ò ÓÖ Ø À ÑÓÐÙк Ì ÚÐÙ ÓÖ Æ Ò¾Òµ ÖÔÖ ÒØ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÖÖÓÖ ÓÖ ÔÖ Ó Ö Ó Þ Ò Ò ¾Ò ÛÖ Ò ½½¾ ¾¾ Ò Ò ¾¾ Ö ÔØÚÐݺ ÜØ ÚÐÙ Æ ½½¾ Æ ¾¾ Æ Æ ½½¾¾¾µ Æ ¾¾µ ½ ¼¼¾½ ¼¼½ ½¼ ½¼ ½ ½¼ ¼ ½¼ ¾ ¼ ¼¼½¾½ ¼ ½¼ ¾ ½¼ ½ ½¼ ¾½ ½¼ À ¹º¾¾ ¼¼½½ ¾ ½¼ ¾ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ º¾ ÐÐÙ ØÖØ Ø ÚÐØÝ Ó Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ¾ Ò µ ÓÒ Ø ÖØ ¾ ¹ÒÓÖÑ ÚÐÙØÓÒ ¾ Ò µ Ò ¾ ÒÐÝ Ó ÓØ ØÑØÓÖ Ò ÓÙÒ ÓÖ ÜÑÔÐ Ò ¾ º ÒÚÙÐ ÒÚÐÙ Û Ú ÁÒ ÔÖØÙÐÖ ÓÖ Òµ ¾ Ò µ Òµ ÓÒ È µ ½ Ò µ ÛÖ Ø ÑØÖÜ È Ò ÖÓÑ Ø ÓÒÐ ØÓÒ ÔÖÓÙÖ Å ½¾ Å ½¾ È È Ì ÛØ Ø ÓÒÐ ÑØÖÜ º ÁÒ ÓÙÖ Û Ú ÓÒ È µ º ÁÒ ÌÐ º½ Û ÔÖ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÖÖÓÖ Æ Ò Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÜØÖÔÓÐØ ÖÖÓÖ Æ Ò¾Òµ ÓÖ Ø ÒÐ ÒÚÐÙ ½ Ò Ø ØÖ ÒÖØ ÒÚÐÙ ¾ º ÖÓÑ ÌÐ º¾ Û Ó ÖÚ ØØ Ø ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ¾ Ò µ Ò ½ Ò µ Ò ÙØÐ ÓÖ Ò ÔÖÓÖ ÖÖÓÖ ØÑØÓÒ ØÓ Ø ØÓØÐ ÒÖÝ ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÖÓÑÔÙØ ÖÖÓÖ ÓÙÒ ØÓ Ø Ó ÑØÖܺ ½

ÌÐ º¾ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó ÖÖÓÖ ØÑØÓÖ ½ Ò ¾ ÓÖ ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØ ÓÙÐÓÑ ÑØÖÜ ÐÑÒØ º Ò ½½¾ ¾¾µ ¾¾ µ ½ Ò µ ½½¾½¾ ½¼ ¾ ½¼ ¾ Ò µ ½¼ ¾¼ ½¼ ÓÒÐÙ ÓÒ Ï Ú ÒÚ ØØ ÔØÚ ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÓÑ ÕÙÒØØ Ó ÒØÖ Ø Ò ÀÖØÖ¹Ó Ò Ò ØÝ ÙÒØÓÒÐ ØÓÖݺ ÁÒ ÔÖØÙÐÖ Û ØÙ Ø ÓÒÚÖÒ ÖØ ÙÔÓÒ Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ ÓÖ ÐØÖÓÒ Ò Ø ÓÙÐÓÑ Ò ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÛÐÐ ÓÖ Ø ÀÖØÖ¹Ó ÒÖÝ ÓÖ ÒÙÑÖ Ó ÑÔÐ ÑÓÐÙÐ º ÓÖ Ø ÓÒ Ö ÑÓÐÙÐ Ø ÄË ØÖØÚ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÑÓÒ ØÖØ ÖÓÙ Ø ÚÓÙÖ ÔÖÓÚÒ ÜÔÓÒÒØÐÐÝ Ø ÓÒÚÖÒ Ò Ø ØÒ ÓÖ ÖÒ Öº ÁØ ÖÑÖÐ Ø ØØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ò ØÞ ØÝÔÐÐÝ ÔÖÓÚ ÖØÖ ÙÒÓÖÑÐÝ ØÖÙØ ÑܹÒÓÖÑ ÖÖÓÖ Ó ØØ Ø ØÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑÒ Ø Ø ÒØÐ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÕÙÐÐÝ ÛÐÐ Ø Ø ÒÖ¹ Ò Ö¹ Ð ÖÓÒ Ó Ø ÒÙÐÖ Ù Ô ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾ºº ÓÒØÖÖÝ ØÓ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÙÖÝ Ó Ø ÒÓÒÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù ÙÐÐÝ ÒÓØÐÝ ØÖÓÖØ ÒÖ Ø ÒÙÐÖ Ù Ô º Ì ÓÖØÓÓÒÐ ÙÒÚÖØ ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ö Ñ¹ Ð Ø Ô Ó Ø ÓÑÔÓ ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÐÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ü Ò ÔÔÖ ØÓ ÙØÐ ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó ÐÓÛ¹ÑÒ ÓÒÐ ÔÖÓÐѹÔØ Ø Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÙÒØÓÒ º Ï Ó ÖÚ ØØ Ù ØÓ Ø Ø Ý Ò Ø ÒØÖ Ó Ø ÓÖ ØÒ ÓÖ Ø ÌÙÖ¹ØÝÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÑÓÖØ ÖÒ ÐÖÝ ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÝ Ð ÕÙÒØØÝ ÛØ Ø ØÓÖÝ ÙÖݺ Ì ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÒØÖÐ ÖÔÖ ÒØÒ Ø ÀÖØÖ ÔÓØÒØÐ ÓÑÔÙØ Ý Ø ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÐÐÓØÓÒ Ñ ÓÑÒ ÛØ Ø ÊÖ ÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÓÒ ÕÙÒ Ó Ö º ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÜØ Ç µ ÓÒÚÖÒ ÛØ Ç Ò ½ µ Ò ÖÕÙÖ Ç ÖÒ Ö µ ØÓÖ ÛÖ Ö ÒÓØ Ø ÌÙÖ ÖÒ Ó Ø ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÛØ Ö Ò ÐÑÓ Ø ÙÒÓÖÑÐÝ Ò Ò Ô ÐÐÝ Ö Ç ÐÓ Òµµº Ì ÑØÓ Ò ÙÖ Ò ÔÖØÙÐÖ ÓÖ Ø À ¹ÑÓÐÙÐ Ø ÖÐØÚ ÙÖÝ Ó Ø ÓÖÖ Ó ½¼ ÓÒ Ø Ò Ò Å Ö ÛØ Ò ¼¼º ÁØ ÖÕÙÖ ÐÓÛ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ö ÓÙÖ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÖ¹ÑÒ ÓÒÐ ÖØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ØÖÒ ÓÖÑ ÔÖÓÖÑ Ú ½ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ Ìº Ì Ð ØÓ ÙÐÒÖ ÓÑÔÐÜØÝ Ç Ò ÐÓ Òµ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ó Ø ÓÒÚÒØÓÒÐ ¹Ì Ç Ò ÐÓ Òµº ÁÒ Ø ÛÝ Ø ÔÖ ÒØ ÔÔÖÓ Ó«Ö ÔÖÒÔÐ ØÔ ØÓÛÖ Ø ÒÙÑÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÀÖØÖ¹Ó»ÃÓÒ¹ËÑ ÕÙØÓÒ Ò Ø ÙÐÐÝ ÖØ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÓÖÑØ ÛØ ÐÒÖ ÐÒ Ò Ø ÙÒÚÖØ Ö¹ Þ Ò Ó ÖØ Ò Öº ÒÓÛÐÑÒØ º Ì ÙØÓÖ ÖØÙÐÐÝ ÒÓÛÐ ÈÖÓº Ϻ ÀÙ ÄÔÞµ Ò ÈÖÓº ʺ ËÒÖ ÖÐÒµ ÓÖ Ù ÙÐ Ù ÓÒ Ò ÚÐÙÐ ÓÑÑÒØ º Ì ÛÓÖ Û ÔÖØÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ËÈÈ ½½µº ½

ÊÖÒ ½ º ÐÑÐĐÓ ÐÑÒØÓÒ Ó ÒÖÝ ÒÓÑÒØÓÖ Ò ÅÐÐÖ¹ÈÐ Ø ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖÝ Ý ÄÔÐ ØÖÒ ÓÖÑ ÔÔÖÓº Ѻ ÈÝ º ÄØغ ½½ ½µ ½ß ¾¼º ¾ º ÐÑÐĐÓ ÖØ ÑØÓ Ò ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ØÓÖݺ ÁÒ º ʺ ÖÓÒÝ º ÅÓÖÒ ÐØÖÓÒ ËØÖÙØÙÖ ÌÓÖÝ ÎÓк ÁÁ ÏÓÖÐ ËÒØ ËÒÔÓÖ ½µ ÔÔº ½½¼ß½½º º ÖÒÖ Åº ÓРϺ ÃĐÙÐ Àº ËØÓÐÐ Ò Àº ÈÖÙ ÒØÓ ÒÖÝ¹Ù Ø Ô ÙÓÔÓØÒØÐ ÓÖ ÐÑÒØ Ó ÖÓÙÔ ½ ¹½º ÅÓк ÈÝ º ¼ ½ µ ½ ½¹½º º ÝÐÒ Ò ÅºÂº ÅÓÐÒÑÔ ÆÙÑÖÐ ÓÔÖØÓÖ ÐÙÐÙ Ò Ö ÑÒ ÓÒ º ÈÖÓº ÆØк º ˺ ÍË ¾¼¼¾µ ½¼¾ß½¼¾½º º ÝÐÒ Ò ÅºÂº ÅÓÐÒÑÔ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÑÒ ÓÒº ËÁŠº ˺ ÓÑÔÙغ ¾ µ ¾¼¼µ ¾½ ¹¾½º ˺ʺ ÒÒÑ ØØÝ Åº Ô Ïº ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Àº¹Âº Ð ÌÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛØ ÓÔØÑÐ ÖÒ Ò ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖݺ º Ѻ ÈÝ º ½¾ ¼½¼ ¾¼¼µº Ⱥº ÖÐØ Ò º Ä Ö º ÀÒÓÓ Ó ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÎÓк ÓÑÔÙع ØÓÒÐ Ñ ØÖݺ Ð ÚÖ Ñ ØÖÑ ¾¼¼ º ĺ ÄØÙÛÖ º ÅÓÓÖ Ò Âº ÎÒÛÐÐ ÇÒ Ø Ø ÖÒ¹½ Ò ÖÒ¹ Ê ½ Ê Æ µ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ö¹ÓÖÖ ØÒ ÓÖ º ËÁŠº ÅØÖÜ Òк ÔÔк ¾½ ¾¼¼¼µ ½ ¾¹½ ¾º ºÁº ÙÒÐÔ ÊÓÙ Ø Ò ÚÖØÓÒÐ ØØÒº ÈÝ º Ѻ Ѻ ÈÝ º ¾ ¾¼¼¼µ ¾½½ ¹ ¾½½ º ½¼ ̺Àº ÙÒÒÒ ÂÖº Ù Ò Ø ÓÖ Ù Ò ÓÖÖÐØ ÑÓÐÙÐÖ ÐÙÐØÓÒ º Áº Ì ØÓÑ ÓÖÓÒ ØÖÓÙ ÒÓÒ Ò ÝÖÓÒº º Ѻ ÈÝ º ¼ ½µ ½¼¼¹½¼¾ º ½½ ú ÓÖÒ Çº ÌÖÙØÐÖ Àº ĐÇÑ Åº ÀĐ Ö Ò Êº ÐÖ ÙÜÐÖÝ Ø ØÓ ÔÔÖÓÜÑØ ÓÙÐÓÑ ÔÓØÒØÐ º Ѻ ÈÝ º ÄØغ ¾¼ ½µ ¾ ¹¾¼º ½¾ Àº¹Âº РϺ ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Êº ËÒÖ ÓÒÔØ Ó Ø¹ ÔÖ ØÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ÑÒݹÔÖØÐ ÑÓÐ º ÃÐ ¾¼¼ Ò ÔÖÔÖØÓÒµº ½ Ϻ ÀÙ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÄÓÛ¹ÖÒ ÃÖÓÒÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ ÑÙÐعÑÒ ÓÒÐ ÒÓÒÐÓÐ ÓÔÖØÓÖ º ÈÖØ Áº ËÔÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó ÑÙÐعÚÖØ ÙÒØÓÒ º ÓÑÔÙØÒ ¾¼¼µ ½¹¾¼¾º ½ Ϻ ÀÙ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò ºº ÌÝÖØÝ ÒÓÚ ÀÖÖÐ ÃÖÓÒÖ ØÒ ÓÖ¹ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º º ÆÙÑÖº Åغ ½ ¾¼¼µ ½½ß½º ½ ź ÀĐ Ö Ò Âº ÐÑÐĐÓ ÄÔÐ ØÖÒ ÓÖÑ ØÒÕÙ Ò ÅÐÐÖ¹ÈÐ Ø ÔÖØÙÖØÓÒ ØÓÖݺ º Ѻ ÈÝ º ½¾µ ߺ ½

½ Ϻ ÀÙ Ø Ò ÜØ ÔÖÓØ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖ ÒÓÒ¹ÕÙ ØÒØ Ö º ÓÑÔÙع Ò ¼ ¾¼¼µ ½ ¹½º ½ Ϻ ÀÙ Ø Ò ÜØ ÈÖÓØ ÅÙÐعÑÒ ÓÒÐ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÓÖ ÙÒØÓÒ Ò Ò ÄÓÐÐÝ Ê Ò Ö º ÅÈÁ ÅÁË ÄÔÞ ¾¼¼ Ò ÔÖÓÖ º ½ Ϻ ÀÙ Ò ºÆº ÃÓÖÓÑ ÌÒ ÓÖ¹ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ ÇÔÖ¹ ØÓÖ Ò ÙÒØÓÒ Ò À ÑÒ ÓÒº ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÔÐÜØÝ ¾¼¼µ Ó ½¼º½¼½»ºÓº¾¼¼º¼ º¼¼º ½ ʺº ÀÖÖ ÓÒ ºÁº ÒÒ Ìº Ò º Ò Ò º ÝÐÒ ÅÙÐØÖ ÓÐÙØÓÒ ÕÙÒØÙÑ Ñ ØÖÝ ØÓÖÝ Ò ÒØÐ ÔÔÐØÓÒ º º Ѻ ÈÝ º ½¾½ ½½ß½½ ¾¼¼º ¾¼ ̺ ÀÐÖ Èº ÂÖÒ Ò Ò Âº ÇÐ Ò ÅÓÐÙÐÖ ÐØÖÓÒ¹ËØÖÙØÙÖ ÌÓÖݺ ÏÐÝ ÆÛ ÓÖ ½º ¾½ ĺ ÒÓÚ Ìº ÙØ º ÆÐÓÚ Ëº ÓÖ Ò º ÝÐÒ ÆÒØ ÓÐÙØÓÒ Ó ÈÓ ÓÒ³ ÕÙØÓÒ ÛØ Ö ÓÙÒÖÝ ÓÒØÓÒ º ÈÖÔÖÒØ ÖÚÓÒ¹ÑØ»¼¼ ½ Ú½ ½ ÅÝ ¾¼¼º ¾¾ ˺º Ñ º ÆÐÓÚ Ò Ëº ÓÖ ÈÖØйÈÖØÐ ÈÖØÐ¹Ò ØÝ È µ ÐÓÖØÑ ÓÖ Ø ÐÙÐØÓÒ Ó ÐØÖÓ ØØ ÒØÖØÓÒ Ó ÔÖØÐ ÛØ Ð¹Ð Óѹ ØÖݺ ÈÖÔÖÒØ ÖÚ¼¼º¾Ú½ ½ ÂÙÐÝ ¾¼¼º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ ËØÖÙØÙÖ ÊÒ¹ Ö ½ Ö µ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ó ÙÒØÓÒ¹ÖÐØ ÌÒ¹ ÓÖ Ò Ê º ÓÑÔº Åغ Ò ÔÔÐ Åغ ¾µ ¾¼¼µ ½¹¾¾¼º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ ÅÙÐعÐÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ö¹ÑÒ ÓÒÐ ÓÒÚÓÐÙØÓÒ Ò ÐÒ¹ Ö Ó Øº ÅÈÁ ÅÁË ÄÔÞ ¾¼¼ Ò ÔÖÓÖ º ¾ ºÆº ÃÓÖÓÑ Ò Îº ÃÓÖÓÑ ÄÓÛ ÊÒ ÌÙÖ ÌÒ ÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ø Ð Ð ÈÓØÒØÐ º ÒØÖÐ ÙÖÓÔÒ Âº Ó Åغ µ ¾¼¼µ ½¹¾º ¾ ºÊº ÅÒÝ ÈºÂº ÃÒÓÛÐ Ò ºÏº ÄÐÓÝ Ì ÈÓ ÓÒ ÕÙØÓÒ Ò Ò ØÝ ØØÒ ÓÖ Ø ÃÓÒ¹ËÑ ÓÙÐÓÑ ÔÖÓÐѺ º Ѻ ÈÝ º ½½ ¾¼¼½µ ½¹½º ¾ Áº κ Ç ÐØ º κ ËÚÓ ØÒÓÚ º º ÌÝÖØÝ ÒÓÚ ÌÙÖ ÑÒ ÓÒÐØÝ ÖÙØÓÒ Ó ØÖ¹ÑÒ ÓÒÐ ÖÖÝ Ò ÐÒÖ ØѺ ËÁŠº ÅØÖÜ Òк ÔÔк ¾¼¼ ØÓ ÔÔÖº ¾ º ËØÓÖ Ò Êº ÙÐÖ ÆÙÑÖ ÅØÑØ ¾ ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½¼º ¾ ĺʺ ÌÙÖ ËÓÑ ÑØÑØÐ ÒÓØ ÓÒ ØÖ¹ÑÓ ØÓÖ ÒÐÝ º È ÝÓÑØÖ ½ ½µ ¾¹ ½½º ¼ Àº¹Âº ÏÖÒÖ ÈºÂº ÃÒÓÛÐ Ø Ðº ÅÇÄÈÊÇ ÚÖ ÓÒ ¾¼¼¾º½¼ Ô Ó ÒØÓ ÔÖÓÖÑ ÓÖ ÐØÖÓÒ ØÖÙØÙÖ ÐÙÐØÓÒ º ½