Analys - Derivata 1 Ändringskvot.. Derivatabegreppet.6 3. Derivatan av potensfunktionen och summor av funktioner.0 4. Sambandet mellan en polynomfunktions graf & dess derivata..4 5. Funktionerna e, dess derivator samt logaritmlagarna..40 6. Derivatan av en sammansatt funktion.53 7. Derivatan av logaritm- och eponentialfunktionerna..60 8. Derivatan av produkt och kvot.65 9. Lokala etrempunkter med andraderivatan.70 10. Konkav konve..76 11. Tema - Polynomfunktioner av högre grad..81 Facit...83 Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Illustrationer: s.1 Nils-Göran Mattsson, s.8 s.8 Hillerstrom; IBL Bildbyrå: s.5 Simon Ward, s.16 Figarao Magazine, s.75 Gamma, 76 M.C.Escher, Cordon Art B.V., Holland; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils- Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 011 Derivata - 1
1 Ändringskvot Modell Ändringskvot utifrån graf eller tabell Eempel Antalet bakterier i en odling bestäms varannan timme. Tabellen nedan visar resultatet. Tid(h) 0.00.00 4.00 6.00 8.00 Antal 100 1400 1900 800 4100 Bestäm den genomsnittliga ändringshastigheten för antalet bakterier mellan kl..00 och 8.00. Lösning Antalet bakterier i odlingen är en funktion av tiden. Oberoende variabel är tiden h och beroende variabel y st bakterier. För att bestämma ändringshastigheten mellan två tidpunkter behöver vi veta start- och sluttid. Vidare måste vi veta antalet bakterier i början och i slutet av tidsperioden. I diagrammet kommer punkterna (.00, 1400) och (8.00, 4100) att motsvara början och slutet av tidsperioden. Vi har tidigare sett att ett mått på lutningen hos en linje mellan två punkter är riktningskoefficienten eller k-värdet för linjen. y y1 y Alltså är k = =. Detta innebär att k är kvoten av 1 förändringen i lodrät led y y 1 och förändringen i vågrät led 1. Den tidigare skrivs ofta y och den senare. Ändringshastigheten får enheten 1 st/h eftersom y har enheten 1 st och enheten 1 h. Derivata -
Ändringskvoten = 4100 1400 = st/h = 450 st/h 8 beskriver hur antalet bakterier ändrats mellan kl 0.00 och kl 08.00 men säger inget om hur ändringen skett. Kvoten ger bara ett mått på den genomsnittliga ändringshastigheten. G1.1 Tabellen visar hur folkmängden ökat i en liten stad. Bestäm den genomsnittliga befolkningsändringen per år a) från 1996 till 1998 b) under hela perioden. År 1996 1997 1998 1999 000 Folkmängd 18500 18900 1900 19400 19500 G1. Tabellen visar hur temperaturen ändrats i Fagersta en sommardag. Klockan 8.00 11.00 1.00 14.00 18.00 0.30 Temp. ( o C) 10 6 3 4 19 1 a) Bestäm den genomsnittliga temperaturändringen mellan kl. 8.00 och kl. 1.00. b) Bestäm ändringskvoten från kl. 14.00 till kl. 0.30. Svara med två gällande siffror. Ange ändringskvotens enhet. G1.3 Bestäm ändringskvoten för funktionen f() = 3 i intervallet 4. G1.4 Ju längre vi kommer in i vår planet desto långsammare ökar temperaturen. Tabellen nedan visar temperaturen som en funktion av djupet. Beräkna ändringskvoten för intervallet 0 km till 400 km samt för intervallet 800 km till 5100 km. Djup (km) Temperatur ( C) 0 10 100 1150 400 1500 700 1900 800 3700 5100 4300 Derivata - 3
Filosofen Paracelsus mirakulösa medicinska kurer under 1500-talet kan delvis förklara det stora intresset för kemi efter 1500-talets mitt. Paracelsus såg hela jorden som ett gigantiskt kemiskt laboratorium. Det förklarade uppkomsten av vulkaner, heta källor och metaller som väer och förnyas i jordskorpan. Allt förklarades med en eld i jordens inre. Bilden visar relationen mellan den inre elden och vulkaner. Bilden är från Athanasius Kircher, Mundus subterraneus (1678). Derivata - 4
G1.5 Diagrammet nedan visar höjden för en skydiver som hoppar från 5000 fot. Hon faller först med fötterna riktade mot marken. Efter drygt 14 s faller hon horisontellt spread eagle för att efter ytterligare 13 s utlösa fallskärmen. Beräkna hastigheten (enhet: 1 fot/s) a) mellan den 10:e och 15:e sekunden b) mellan den 0:e och 7:e sekunden ( spread eagle ) c) mellan 30:e och 45:e sekunden. Derivata - 5
Derivatabegreppet Teori Derivatan i en bestämd punkt I diagrammet finns grafen till funktionen f() =. Punkten P med koordinaterna (1, 1) är markerad. På avståndet från P är punkten Q markerad. Punkten Q har alltså koordinaterna (1+, (1+ ) ). Vi har dessutom ritat sekanten genom dessa två punkter. Derivata - 6
(1 + ) 1 Ändringskvoten för dessa två punkter blir då = 1 + 1 är också k-värdet för sekanten genom de två punkterna.. Detta Vi utvecklar täljaren enligt kvadreringsregeln och får: k = (1 + ) 1 1 + 1 = 1+ + ( ) 1 = + ( ) = + Om = 3 så är k = 5 (svart sekant) Vi kan nu låta punkten Q röra sig efter kurvan mot punkten P genom att låta värdet på bli allt mindre. Om = så är k = 4 (röd sekant) Om = 1 så är k = 3 (grön sekant) Om = 0,5 så är k =,5 (blå sekant) Vi kan fortsätta i samma stil utan att rita sekanterna. Vi ser då att Om = 0,05 så är k =,05 Om = 0,005 så är k =,005 Om = 0,0005 så är k =,0005 Det syns alltså att k-värdet kan skilja sig från värdet med ett hur litet tal som helst bara man gör värdet på tillräckligt litet. f (1 + ) f (1) På matematiskt språk säger man: Ändringskvoten har gränsvärdet när går mot 0 om och endast om kvoten kan bli hur nära värdet som helst bara väljs tillräckligt litet. f (1 + ) f (1) Med matematiska symboler skriver man: lim =. 0 Bokstäverna lim står för det latinska limes som betyder gräns. Uttrycket utläses: Limes när delta- går mot 0 för kvoten Detta gränsvärde har fått ett speciellt namn. Man säger att derivatan av y = har värdet för = 1. Derivata - 7
dy En symbol för derivatan är =. (Utläses: d-y-d- är lika med ). d Den infördes av matematikern och filosofen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Det finns flera andra sätt att beteckna derivatan. Ett av dessa som är mycket vanligt är f ( 1) = (Utläses: f prim 1 är lika med ). Alla gränsvärden är nu inte derivator. Låt oss se på tre olika kurvor f, g och h. Den vänstra kurvan f() är ej definierad för = 3 (symboliseras med ofylld ring) men ändå är lim f( ) = 4 värdet på f() kan bli hur nära 3 värdet 4 som helst bara ligger tillräckligt nära 3. En kurva med hål som denna är inte sammanhängande. Den är med matematisk terminologi diskontinuerlig. Den mittersta kurvan f() är definierad för = trots den ofyllda ringen B men har istället en fylld ring i punkten D. Detta innebär att f()= 1. Fortfarande är lim f( ) = 4 av samma skäl som för den vänstra kurvan. Även denna kurva eller funktion är diskontinuerlig. Den högra kurvan f() är definierad för = 7 (symboliseras med fylld ring) men ändå är ty lim f( ) = 4 Värdet på f() kan bli hur nära 7 värdet 4 som helst bara ligger tillräckligt nära 7. Denna kurva är sammanhängande eller kontinuerlig. Derivata - 8
Modell Några gränsvärdesberäkningar 3 lim( /) 3 / 7 = = beräkning genom insättning av talet i 3 funktionsuttrycket: f( ) = /. 4+ 3 Lite svårare är fallet lim 1 1. Insättning av talet = 1 i det 0 rationella uttrycket ger 0 vilket är odefinierat. I detta fall måste man förenkla det rationella uttrycket genom att dela upp täljaren i faktorer. Eftersom andragradsuttrycket i täljaren har rötterna = 1 och = 3 blir det rationella uttrycket ( 1)( 3) = ( 3). Insättning av = 1 i det ( 1) förenklade uttrycket ger värdet -. Eempel Beräkna algebraiskt ändringskvoten till f() = 3 för intervallet 4 (4 + ). Beräkna även f (4). Lösning Eftersom f(4) = 4-3 = 13 och f(4 + ) = 16 + 8 + ( ) - 3 blir ändringskvoten f(4 + ) f(4) (16 + 8 + ( ) 3) 13 8 + ( ) = = = 8 + 4+ 4 Eftersom f (4) är gränsvärdet när går mot noll får vi f (4) = 8. Derivata - 9
G.1 Beräkna följande gränsvärden a) c) lim( 3 + 1) 1 3 + lim 1 ( 1)( 1) d) Avläs följande gränsvärden lim f( ) + lim f( ) där - betyder att gränsvärdet beräknas för punkter på kurvan f() till vänster om = och + betyder gränsvärdet till höger om =. En kurva med olika vänster- och högergränsvärden kan naturligtvis inte vara kontinuerlig. b) lim 5+ 6 G. Bestäm algebraiskt gränsvärdet av ändringskvoten f (3 + ) f (3) då 0 om a) f() = b) f() = 4 c) f() = d) 1 f() = f (3 + ) f ( ) V.3 Beräkna lim om 0 a) f() = + 4 b) f() = + 4 3 V.4 Beräkna f ( 5 ) om 3 f ( ) =. Använd ändringskvoter. 1 Derivata - 10
Teori Vad är en tangent? Vi ser att k-värdet för sekanten genom punkterna P och Q i figuren på sidan 6 avviker allt mindre från värdet när värdet på krymper. För att urskilja hur sekanten ändrar riktning från k =,05 till k =,005 och från k =,005 till k =,0005 och så vidare skulle vi vara tvungna att zooma in området kring punkten P allt mer. Men hur mycket vi än förstorar området kring punkten P kommer sekantens riktningskoefficient aldrig att bli eakt k =. Hypotes: Det finns dock en rät linje som precis tangerar kurvan i punkten (1, ) och vars k-värde är det ovan beskrivna gränsvärdet. Denna linje kallas tangen till kurvan i punkten (1, ). Se figur nedan. Bilden på nästa sida visar en tänkt tangentmaskin. Den svarta markeringen på den krökta kurvan sitter fast medan den gröna markeringen är rörlig. Den gröna kan röra sig längs kurvan medan k-värdet för sekanten mellan den svarta och den gröna markeringen beräknas i varje ögonblick. När den gröna markeringen glider mot den svarta minskar hela tiden k-värdet. Precis innan den gröna täcker den Derivata - 11
svarta är k =,00 och precis efter det att den gröna passerat den svarta är k =,00. Vi kan tolka detta som att tangentens k-värde, och alltså derivatan i denna punkt, är,00. _Analys-1 Tangentmaskin G.5 Kurvan på nästa sida har tre tangenter inritade. Bestäm derivatan i tangeringspunkterna eller, vilket är detsamma, tangentens k-värde. Derivata - 1
G.6 Bestäm grafiskt derivatan till funktionen f() nedan genom att låta en linjal fungera som tangent i punkterna. a) = b) = 5. Derivata - 13
V.7 Graferna till funktionerna f() och g() tangerar varandra för = 3. Använd din kunskap om derivator för att förklara vad detta innebär. V.8 Graferna till funktionerna f() och g() är vinkelräta mot varandra för =. Använd din kunskap om derivator för att förklara vad detta måste innebära. Derivata - 14
Teori Derivatan i en godtycklig punkt Den beräkning som vi utfört med funktionen y = i punkten =1 kan utföras med de flesta av de funktioner som vi kommer att studera framöver. Vi behöver inte ens i förväg bestämma var punkten P ska ligga. Vi söker nu derivatan för en fast men godtycklig punkt med koordinaterna (, ). Låt oss alltså på nytt beräkna derivatan till y = men nu för punkten P: (, ). Den närbelägna punkten Q har då koordinaterna (+, (+ ) ) och ( + ) k-värdet är alltså. + Förenkling enligt kvadreringsregeln ger ( + ) + + ( ) + ( ) k = = = = + = + när 0. Vi kan alltså konstatera att derivatan till y = är för -koordinaten. dy Det uttrycks symboliskt som f () = eller = d Detta stämmer med vårt tidigare resultat för = 1 eftersom f (1) = 1. 1 1 Visa att f ( ) = om f() = [Ledning: Teckna först ändringskvoten 4 för intervallet ( + ).] Derivata - 15
Modell Vad betyder f() och f () i praktiken? Eempel Tidvattnet gör att vattendjupet i en hamn i till eempel Fundy Bay i Canada varierar med tiden. Antag att T(t) m är vattendjupet t timmar efter kl. 1.00. Förklara med ord vad följande betyder: T(3) = 10 och T (6) = -3. Lösning T(3) = 10 betyder att vattendjupet 3 h efter kl.1.00 är 10 m. T (6) = 3 betyder att vattendjupet förändras i takten 3 m/h kl.18.00 (6 h efter kl.1.00). Minustecknet betyder att djupet minskar. Vi kan inte av detta dra slutsatsen att vattendjupet kommer att vara 3 meter mindre klockan 19.00. Att T (6) = 3 betyder att förändringen har den hastigheten ett kort tidsintervall omkring klockan18.00. Vattendjupet förändras inte linjärt. En rimlig uppskattning kan vara att vattendjupet 300 cm kring den tidpunkten minskar 5 cm / min. 60 min = Derivata - 16
G.9 Kylvattnets temperatur i en bilmotor är f() C min efter det att motorn gått igång. Förklara med ord vad följande uttryck betyder: a) f(6) = 87 b) f (6) = 0 G.10 Tre funktioner f() har följande egenskaper: f(-1) f (-1) f (1) 1. 1 0. 4-1 0 3. - 1 Skissa graferna till de tre funktionerna f(). G.11 Lös följande uppgifter med hjälp av grafen här bredvid till funktionen f(). a) Bestäm f () b) Bestäm f (3) c) Lös ekvationen f () = 0 d) Lös olikheten f () > 0 Derivata - 17
G.1 Figuren här bredvid visar grafen till en fjärdegradsfunktion. I vilken (vilka) av punkterna A G gäller det att a) f () = 0 b) f () < 0 c) f () > 0 Teori Hur beräknas närmevärden till derivatan utifrån f()? f ( + ) f ( ) Eftersom gränsvärdet för ändringskvoten är f ( a + ) f ( a) derivatan så måste f (a) för tillräckligt små värden på. Eempel Antalet bakterier f() i en buljong är 500 st vid tidpunkten 0 h. Efter h är antalet f()=500 1,78. Beräkna ett närmevärde till f (4). Lösning Vi utnyttjar att för små värden på är ändringskvoten = 4+ 4 500 1,78 500 1,78 = f (4) Vi väljer till eempel = 0,001 och får f (4) = 4,001 500 1,78 500 1,78 0,001 4 = 895. Alltså är f (4) = 895 900 Derivata - 18
G.13 En elev vill bestämma lutningen för kurvan y = 3 då =. Eftersom han inte kan derivera y = 3 kan han inte lösa uppgiften genom att beräkna derivatans värde då =. Han bestämmer då ett närmevärde till derivatan genom att 3, 1 3 1,9 beräkna ändringskvoten. Teckna en ny, 1 1,9 ändringskvot som bör ge ett bättre närmevärde till derivatan. Endast svar med tecknad ändringskvot erfordras. (NpC vt96) 7 5 G.14 Antag att f ( ) =. Uppskatta värdet på f (3) genom 3 att beräkna ändringskvoten f ( 3, 01 ) f ( 3, 00 ). Svara med 0, 01 en decimals noggrannhet. G.15 Ett karottunderlägg av täljsten har vid tidpunkten t = 0 temperaturen T(0) = = 65,0 C. Vid tidpunkten t min har täljstenens temperatur sjunkit till T(t) C. Enligt Newtons avsvalningslag är T(t) = 4,0 + 41,0 0,979 t. Du vill veta hur snabbt temperaturen sjunker 15 min efter tidpunkten 0. Vad bör du beräkna? V.16 Det antal människor som smittades av influensa under de första fjorton dagarna en vårmånad ges av formeln P = 13t t 3, där 0 t 14. a) Beräkna och tolka P (5). b) Beräkna P (t) = 0 och ge en tolkning av resultatet. Fundera på detta! (Sant eller falskt?) Om en funktion är sammanhängande (kontinuerlig) i punkten A så är den deriverbar i punkten A. Derivata - 19
3 Derivatan av potensfunktionen och summor av funktioner Teori Derivatan av n är n n-1 Definition En potensfunktion är en funktion av formen f() = a, > 0, a är ett reellt tal. Några eempel på potensfunktioner: f() = 3, f() =, f() = 1/ (annat skrivsätt f() = ), f() = 1 (annat skrivsätt f() = 1 ), f() = 3/ och f() = π. Vi härleder nu derivatan för funktionerna f() = a, f() =, f() = och f() = 3. Om f() = a (funktionsvärdet är konstant = a oberoende av värdet på a a ) så är ändringskvoten vilket kan förenklas till 0. Alltså är f () = 0. Om f() = så är ändringskvoten ( + ) vilket kan förenklas till 1. Alltså är f () = 1. Vi inför här ett tredje beteckningssätt för derivatan och skriver Df() i stället för f (). D() = 1 (Utläses: Derivatan av är ett.) f() =. Vi har redan visat att D =. (Se sidan Analys 15) f() = 3. Ändringskvoten är ( + ) 3 3 vilket kan förenklas till 3 3 3 3 + 3 + 3 ( ) + ( ) 3 + 3 ( ) + ( ) = = 3 + 3 +. Denna kvot har gränsvärdet 3 när går mot noll. Detta betyder att D 3 = 3 Derivata - 0
Visa nu att potensfunktionen f() = 4 har derivatan D 4 = 4 3. Hypotes: D n = n n-1 Detta stämmer med de föregående bevisen där n var 1, och 3. Om du vill ha en utmaning kanske du kan hitta ett bevis för hypotesen om n är ett godtyckligt naturligt tal. Beviset för godtyckliga värden på n får vänta till kapitlet om eponentialfunktioner. Vi vill derivera produkten av en konstant a och en funktion, vars derivata vi redan vet. Vi kallar funktionen f() och produkten u(). Vi får då u() =a f(). Derivatan av f() kan vi ange med hjälp av de regler vi hittills ställt upp. Vi skriver ändringskvoten för u(): u( + ) u( ) a f( + ) a f( ) a[ f( + ) f( )] = = a f ( ) när 0. Gränsvärdet för ändringskvoten är alltså = a f (). Det betyder att D[a f()] = a Df() Detta innebär t e att D(7 5 ) = 7 5 4 = 35 4 Vi vill derivera summan av två funktioner, vilkas derivator vi redan vet. Vi kallar de två funktionerna f() och g() och summan u(). Vi får då u() = f() + g(). Derivatan av f() och g() kan vi ange med hjälp av de regler vi hittills ställt upp. Vi skriver ändringskvoten för u(): u( + ) u( ) f( + ) + g( + ) f( ) g( ) = = f( + ) f( ) + g ( + ) g ( ) = = f( + ) f( ) g ( + ) g ( ) = + f ( ) + g ( ) när 0. Gränsvärdet för ändringskvoten är alltså: f () + g (). Det betyder att D[f() + g()] = Df() + Dg(). Derivata - 1
G3.1 Derivera funktionerna a) y = 5 b) y = 7 c) y = 3 d) y = -7 e) y = 19 f) y = 4 + G3. Bestäm a) D(4 3 3) b) D( 13) c) D(0,04 + 0,0 ) d) D 3 ( 3 ) 3 G3.3 Bestäm f () om a) f() = b) f() = 6 5 4 3 5 5 3 6 c) f() = ( 3) d) f() = 5 5 + 4 6 e) D 5 4 ( + 3 ) 3 f) 5 D 5 3 ( ) 6 3 e) f() = (3 1) f) f() = ( 3)( + 3) g) f() = (3 )( + 4) h) f() = 6 5 4 + 5 3 G3.4 I två punkter på kurvan till funktionen f() = 3 4 3 har tangenten riktningskoefficienten 1. Vilka är punkterna? G3.5 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 3 i den punkt som har koordinaten a) = 1 c) = 1 b) = G3.6 Beräkna derivatans nollställen till funktionen f() = 3 3 5 6 1 V3.7 Beräkna värdet på konstanten a så att derivatan till funktionen f() = a 3 + har ett nollställe för =. V3.8 Antag att y = z 3 z. Bestäm dy dz och dy d. Derivata -
1 1 V3.9 Bevisa D att med hjälp av ändringskvotens gränsvärde = då går mot noll. V3.10 Det magnetiska flödet Φ inuti en lång spole är proportionellt mot strömstyrkan i och spolens antal trådvarv N. Vidare är flödet omvänt proportionellt mot spolens längd l. Beräkna dφ dφ och. di dl 1 V3.11 Bevisa att D = med hjälp av ändringskvotens gränsvärde då går mot noll. V3.1 Bestäm f (1) med reglerna i uppgift V3.9 och V3.11 om a) f() = 5 b) 3 f() = 7 c) 3 f() = 5 d) f() = 3 + 5 3 + e) f() = f) f() = 3 g) f() = ( + ) Derivata - 3
4 Sambandet mellan en polynomfunktions graf och dess derivata Teori Väande och avtagande, lokalt maimum och lokalt minimum, största och minsta värde. Vi studerar grafen till funktionen f ovan. Om vi rör oss efter kurvan från punkten A till D så upptäcker vi att det minsta funktionsvärdet (y-värdet) finns redan vid starten på vår färd. Funktionens minsta värde är. När vi rör oss i intervallet 1 är funktionen väande. Det betyder att en ökning av ett -värde medför en ökning av funktionsvärdet. Grafen till funktionen f stiger i intervallet. När vi rör oss från = 1 till = 1 så är funktionen avtagande. Det betyder att en ökning av ett -värde medför en minskning av funktionsvärdet. Grafen till funktionen f sjunker i intervallet. Derivata - 4
Punkten B = ( 1, ) ligger alltså högre än punkter i dess nära omgivning på grafen. Denna punkt är ett lokalt maimum. Från = 1 till = 3 rör vi oss åter uppåt. Funktionen är väande i intervallet 1 3. Punkten C = (1, ) ligger alltså lägre än punkter i dess nära omgivning på grafen. Denna punkt är ett lokalt minimum. Funktionens når sitt minsta värde även här. Punkten D = (3, 18) är kurvans slutpunkt. Funktionens största värde är alltså 18. G4.1 I vilka intervall är nedanstående funktion väande respektive avtagande? Derivata - 5
G4. I vilket intervall är nedanstående funktion väande? G4.3 Ange alla lokala maima och minima till funktionen med nedanstående graf. Vilket gradtal har den polynomfunktion som gett denna graf? Ange även funktionens minsta och största värde. Försök att avläsa resultaten med en decimals noggrannhet. Derivata - 6
G4.4 Figuren här bredvid visar grafen till funktionen f. a) Lös ekvationen f () = 0 b) Lös olikheten f () > 0 G4.5 Figuren bredvid visar grafen till funktionen f. a) Bestäm f ( 0 ) b) Lös ekvationen f () = 0 c) Lös olikheten f () 0 Derivata - 7
Teori Sambandet mellan en kurvas lutning och dess derivata. Tänk dig att du åker skidor i en backig terräng. Dina skidor har i varje ögonblick samma lutning som tangenten i punkten har. Detta innebär att du hela tiden känner om det är medlut eller motlut och om lutningen är flack eller brant. Vad motsvarar detta matematiskt? I motlut är den funktion som beskriver terrängen väande. Tangenten har då ett positivt k-värde. Detta innebär också att derivatan har ett positivt värde. I medlut är den funktion som beskriver terrängen avtagande. Tangenten har då ett negativt k-värde. Detta innebär också att derivatan har ett negativt värde. Slutsats: Om en funktions derivata är större än eller lika med noll i ett intervall så är funktionen väande i detta intervall. Med matematiska symboler: Om f ( ) 0 i intervallet a < < b, så är f väande i detta intervall. Derivata - 8
Slutsats: Om en funktions derivata är mindre än noll i ett intervall så är funktionen avtagande i detta intervall. Med matematiska symboler: Om f ( ) 0 i intervallet a < < b, så är f avtagande i intervallet. Vilket värde har derivatan i lokala maimi- eller minimipunkter? Slutsats: När en funktion har ett lokalt maimum för ett visst -värde så övergår kurvan från väande till avtagande. Tangenten till kurvan är vågrät precis i maimipunkten (om det finns en tangent i denna punkt). Derivatan välar alltså tecken från positivt till negativt och måste vara lika med 0 i den lokala maimipunkten. Slutsats: När en funktion har ett lokalt minimum för ett visst -värde så övergår kurvan från avtagande till väande. Tangenten till kurvan är vågrät precis i minimipunkten. Derivatan välar alltså tecken från negativt till positivt och måste vara lika med 0 i den lokala minimipunkten. Vissa kurvor kan ha terrasspunkter. Dessa kurvor är antingen väande eller avtagande i ett intervall men i en punkt i intervallets inre är derivatan lika med noll. I figuren nedan är kurvans terrasspunkt (3, 1) Derivata - 9
Derivatamaskin I tre godtyckliga punkter, P 1, P och P 3 på den blå funktionsgrafen till f dras tangenterna T 1, T och T 3. Den vågräta sidan i de tre trianglarna till punkterna, P 1, P och P 3, har längden = 1. Alltså: Den lodräta sidans längd är lika med absolutbeloppet av tangentens k-värde. Detta är absolutbeloppet av derivatans värde. Om derivatan är positiv är den lodräta sidan blå och om derivatan är negativ är sidan röd. De tre sidorna (derivatorna) ritas dessutom på den nedre gröna -aeln, uppåt för positiva derivator och nedåt för negativa derivator. Gör vi detta för den blå kurvans alla punkter får vi derivatan utritad som en graf. Vi använde begreppet absolutbelopp ovan. Absolutbeloppet av ett reellt tal a betecknas a och definieras på följande sätt: a = a om a 0 a = a om a 0 Derivata - 30
Vi kan utifrån detta se att 5 = 5 och 5 = 5. Fundera på följande övningar: 5 8? Rita linjen y = 3. Är det sant att a b a b? G4.6 Graferna nedan är derivator f (). a) För vilka värden på har motsvarande funktioner f() maimi-, respektive minimipunkter? b) För vilka intervall är motsvarande funktioner väande respektive avtagande? A B C E Derivata - 31
Modell Funktionsstudier med förstaderivatan I funktionsläran är följande fyra frågor ofta aktuella: Hur ser grafen till funktionen f() ut? I vilka intervall är funktionen f() väande respektive avtagande? Vilka är funktionens lokala maimi- och minimipunkter? Vilket är funktionens största respektive minsta värde? Vid många praktiska tillämpningar behöver man känna till en funktions lokala maimi- och minipunkter. Att rita en riktig graf till funktionen enbart med hjälp av en värdetabell är mycket svårt. Det är lätt att missa viktiga egenskaper hos funktionsgrafen om man inte låter punkterna ligga mycket tätt. Och inte ens då kan vi vara helt säkra på att vi hittat de eakta lägena hos maimi- och minimipunkterna. Vi tar som eempel 3 1 4 9 funktionen y =. 5 En värdetabell för heltaliga -värden får följande utseende. Av denna tabell kan man dra slutsatsen att kurvan faller för alla värden på. En tätare värdetabell mellan = 0 och = visar att något intressant händer där som vi inte kommer åt med den tidigare värdetabellen. y 1 5 0 0 1 0, 0,4 3 5,4 4 0 y 0 0 0,5 0,315 0,5 0,4 0,75 0,3375 1 0, 1,5 0,065 1,5 0 1,75 0,0875 0,4 Derivata - 3
Det visar sig nu att funktionen antar ett lägre värde än 0, i intervallet 0 1 och att den i intervallet 1 vänder upp till värdet 0 för att sedan börja falla allt brantare. Kurvan verkar ha två lokala etrempunkter. Vi ser att det kan vara en ofullkomlig metod att rita kurvor med hjälp enbart av en tabell. Det är då lätt att missa att kurvan är väande i intervallet 0,5 < < 1,5 och därmed missar vi också minimum för (0,5; 0,4) och maimum för (1,5; 0). Kurvan ser i verkligheten ut så här: Derivatan ger oss ett mycket starkt hjälpmedel för oss att snabbt och eakt avslöja hur funktionen verkligen uppträder. Vi kan med den räkna fram -värdena för maimi- och minimipunkterna och kan sedan rita kurvan noggrant. Hur hittar vi nu -värdena för de lokala maimi- eller minimipunkterna? 3 3 Eempel Rita tredjegradskurvan y = + 3 Lösning Vi gör arbetet i följande steg: (D) Teckna först derivatan: y = 3 +. (E) Bestäm sedan för vilka -värden derivatan är = 0. För dessa - värden har kurvans tangent k-värdet = 0, det vill säga tangenten är vågrät. Motsvarande punkt på kurvan kan vara ett lokalt maimum eller minimum eller en terrasspunkt. För att göra detta tecknar vi ekvationen y = 0: 3 + = 0. 3 3 1, = ± vilket medför 1 = 1 = Derivata - 33
(DEF) Ofta är funktionens definitionsmängd (D f ) alla reella tal och då går man vidare med att undersöka samtliga nollställen till derivatan. Men ibland är definitionsmängden ett begränsat område. Då undersöker man bara det eller de nollställen som ingår i D f. I detta fall är definitionsmängden alla reella tal och vi ska alltså undersöka båda nollställena. (T) Vi vill nu veta om 1 = 1 ger lokalt maimum, minimum eller terrasspunkt. Samma sak önskar vi veta för =. Vi undersöker därför derivatans teckenväling vid nollställena. Det betyder att avgöra om derivatan välar tecken som: + 0 eller 0 +. Vi beräknar därför derivatans värde för något -värde i vart och ett av intervallen: < 1, 1 < < och >. Eempelvis kan vi välja = 0, = 1,5 och = 3. Vi får då f (0) = (> 0), f (1,5) = 0,5 (< 0) och f (3) = (> 0). Vi får alltså följande tabell: < 1 1 1 < < > derivatans nollställen f () + 0 0 + derivatans teckenväling f() ma min grafens utseende (T) Vi behöver nu bara en värdetabell för att kunna rita grafen till funktionen f. f() - -1,67-1 -3,83 0 0 1 0,83 1,5 0,75 0,67 3 1,5 4 5,33 DEFT (=skicklig) [D= derivera E= lös ekvation; DEF = bestäm definitionsmängd T= gör teckenstudium Derivata - 34
Därefter prickar vi in punkterna i ett koordinatsystem, vi ritar en graf. G4.7 Använd derivatan för att undersöka funktionerna nedan med avseende på väande och avtagande. a) f() = 8 b) f() = 3 4 g) f() = 3 h) f() = 5 c) f() = 4 8 i) f() = 3 1 d) f() = 8 + 7 j) f() = 3 3 + 7 e) f() = 3 1 36 k) f() = 7,5 3 1 f) f() = 7 8 + G4.8 Använd derivatan för att beräkna eventuella maimi-, minimieller terrasspunkter till funktionerna nedan. a) f() = 16 8 e) f() = 3 6 b) f() = 9 3 3 f) f() = 4 3 3 + 9 c) f() = 3 3 g) f() = 3 + 9 d) f() = 3 3 + 9 Derivata - 35
G4.9 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = + 3 i intervallet -3. G4.10 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = 3 3 3 i intervallet -. G4.11 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = 4 3 i intervallet -. G4.1 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = 1 3 3 i intervallet 3 0. G4.13 Bilden visar en rektangel i första kvadranten med nedre vänstra hörnet i origo och övre högra hörnet på grafen till funktionen y = 4. Beräkna rektangelns maimala area. G4.14 En villaägare vill anlägga en badplats vid en å. Badplatsens kortsidor ska gå vinkelrätt mot ån. Han tänker inhägna badplatsen med ett 10 m långt staket så att badplatsen blir så stor som möjligt. Hur stor area får badplatsen? G4.15 Isabelle har fått i uppdrag att rita en fågelpark åt ett zoo. Hon tänker skapa ett rektangulärt område som i sin tur innehåller 4 inre rektangulära områden. Områdena ska separeras med ett ganska dyrbart nät med längden 100 m. Vilken är den största möjliga area som hon kan åstadkomma med detta nät? Derivata - 36
V4. Roger skall tillverka en tryckt affisch med så liten area som möjligt. Området med tryck är 43 cm. Sidomarginalerna är 4 cm och marginalerna upptill och nedtill är vardera 6 cm. Beräkna det optimala värdet på arean. V4.3 En tillverkare av aluminium har 100 ton som han kan sälja med en vinst på 15kkr/ton. För varje vecka som han fördröjer försäljningen hinner han producera ytterligare 0 ton aluminium. Tyvärr så faller också priset kkr/ton för varje veckas fördröjning. Vid vilken tidpunkt gör han maimal vinst vid försäljningen av metallen? V4.4 Om funktionen f vet man följande: f ( 7) 3och för 7 9 gäller att 0, 8 f ( ) 1,. Bestäm största möjliga värde för f ( 9 ). (NpC vt 96) V4.5 Vilken är den maimala volymen hos en cylinder som är omskriven av en sfär med radien 1 cm? V4.6 Bestäm lokala etrempunkter till funktionen. y = 0,5 där >0 V4.7 Lös ekvationen f () = 0 om f() = 3 + 5 11. Ange svaret med tre gällande siffror. V4.8 Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan y = 3 3 1 som har k-värdet 1. Grafisk lösning godtas ej. V4.9 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = 4 + 1 i intervallet 3 0. V4.30 Skissa grafen till en funktion för vilken följande villkor gäller: a) f (0) = 1 b) f (3) = 1 c) f (1) = 0 d) f (3) = 0 Derivata - 38
V4. Roger skall tillverka en tryckt affisch med så liten area som möjligt. Området med tryck är 43 cm. Sidomarginalerna är 4 cm och marginalerna upptill och nedtill är vardera 6 cm. Beräkna det optimala värdet på arean. V4.3 En tillverkare av aluminium har 100 ton som han kan sälja med en vinst på 15kkr/ton. För varje vecka som han fördröjer försäljningen hinner han producera ytterligare 0 ton aluminium. Tyvärr så faller också priset kkr/ton för varje veckas fördröjning. Vid vilken tidpunkt gör han maimal vinst vid försäljningen av metallen? V4.4 Om funktionen f vet man följande: f ( 7) = 3och för 7 9 gäller att 0, 8 f ( ) 1,. Bestäm största möjliga värde för f ( 9 ). (NpC vt 96) V4.5 Vilken är den maimala volymen hos en cylinder som är omskriven av en sfär med radien 1 cm? V4.6 Bestäm lokala etrempunkter till funktionen f ( ) = ( > 0). V4.7 Lös ekvationen f ( ) = 0 om f() = 3 + 5 11. Ange svaret med tre gällande siffror. V4.8 Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan y = 3 3 1 som har k-värdet 1. Grafisk lösning godtas ej. V4.9 Bestäm största och minsta värde för funktionen f() = 4 + 1 i intervallet 3 0. V4.30 Skissa grafen till en funktion för vilken följande villkor gäller: a) f (0) = 1 b) f (3) = 1 c) f (1) = 0 d) f (3) = 0 Derivata - 38
V4.31 Bredvid finns grafen till f (). Vilket av alternativen a) d) motsvarar grafen? a) f() = 3 /3 + 4 b) f() = 4 + 4 c) f() = 3 /3 + 4 d) f() = 4 1 ( ) 4 V4.3 Använd grafritande räknare för att bestämma de lokala etrempunkterna till funktionerna a) b). a) f() = 19 4 544 3 + 5 + 34 189 b) f() = 3 0,3 4 3 V4.33 Bestäm konstanten a i f ( ) = + a 9 så att funktionen får ett lokalt maimum för = 3. 4 3 V4.34 Bestäm konstanterna a och b i f ( ) = 3 + a + b så att funktionen får ett lokalt minimum för = 3 och maimum för =. V4.35 A family wants to build a veranda on their cottage. The architect drew them a sketch which shows it built on the corner of the cottage. A railing is to be constructed around the four outer edges of the veranda. If AB = DE, BC = CD and the length of the railing is 30 m, then what dimensions will give ma area? V4.36 Ekonomipriset år 001 tilldelades bl a svenskättlingen George Akerlof för teorin om sambandet mellan inflation, i och arbetslöshet, a. a) Är i en funktion av a eller är a en funktion av i? Motivera svaret. b) Ange den lokala etrempunkten till funktionen i uppgift a). Derivata - 39
5 Funktionen e, dess derivata samt logaritmlagarna Teori Hur definieras talet e? Vi har tidigare studerat eponentialfunktionen y =B k men vi har ännu inte sagt något om dess derivata. I figurerna nedan har vi ritat funktionerna y= (blå kurva) och y=3 (röd kurva) samt deras tangenter i punkten (0,1) dvs de räta linjer som nuddar kurvorna i denna punkt. Derivata - 40
Tangenten till y = är y = 0,7+1 samt tangenten till y = 3 är y =1,1 + 1. Eftersom y = k blir brantare i punkten (0, 1) ju större värden basen k har, så är det troligt att det finns ett värde på basen k, då k i sin ökning från 0,7 till 1,1 får värdet 1. För detta k-värde, som fått symbolen e, bli alltså tangenten y =1 +1 eller y = +1. Vi skall nu se om vi kan beräkna värdet på e. Figuren ovan tyder på att i närheten av = 0 är e + 1. Om vi upphöjer både vänstra och högra sidan av ekvationen till 1/ får (e ) 1/ = (+1) 1/ e = (+1) 1/ Ju närmare = 0 vi befinner oss, desto bättre stämmer denna likhet. Vi kan utnyttja detta för att beräkna värdet på e med allt bättre noggrannhet. (+1) 1/ 0,1,59374 0,001,71694 0,00001,71868 0,0000001,7188 Derivata - 41
Det verkar som vi kan vara säkra på ett närmevärde med tre decimaler för e, nämligen e=,718. Basen e är ett irrationellt tal. Kan du minnas några andra irrationella tal? Räknare har en funktion [e ] för beräkningar med talet e. Inmatningen [e ] 1 ger ett närmevärde på e 1 (=e). Teori Mer om talet e. Naturlig tillvät. När man har pengar på ett räntebärande konto, är det vanligast att räntan läggs till kapitalet en gång om året. Om man öppnar ett konto vid ett årsskifte och sätter in 10 000 kr till 4% ränta kommer det att finnas 10 000 kr på kontot ända till nästa årsskifte, då kapitalet tar ett språng upp till 10 400 kr när räntan läggs ihop med kapitalet. Detta kan tyckas orättvist. Vid halvårsskiftet har ju pengarna stått på kontot i se månader och gett upphov till ett halvt års ränta som inte i sin tur ger någon ränta. Frågan är hur mycket man skulle tjäna om räntan i stället lades till kapitalet varje halvår. Vi kallar startkapitalet för K0, årsräntan för p% och tiden år. Kapitalet K efter år beräknat med årsränta blir då: K p = K0 1 + 100 Vid halvårsränta blir räntan p % och vi ska upphöja till halvår. Kapitalet efter år blir nu: p p K = K0 1 + = K0 1+ 100 100 Läggs kapitalet till månadsvis blir formeln denna: K = K 0 p 1 + 1 100 1 Derivata - 4
Tabellen visar hur kapitalet 10 000 kr väer med ränta helårs-, halvårsoch månadsvis. Räntesatsen är 4%. Årsränta 10 400 Halvårsränta 10 00 10 404 Månadsränta 10 033 10 067 10 100 10 134 10 168 10 0 10 36 10 70 10 304 10 338 10 373 10 407 Till slut ska vi låta räntan läggas till kapitalet i samma ögonblick som den uppkommer. Det gör vi genom att skriva uttrycket a p K = K0 1+ a 100 där a är det antal gånger som räntan ska läggas till kapitalet under ett år. Sedan låter vi a väa mot oändligheten. Vi skriver nu p lim 1+ a a 100 p K = K0 lim 1+ a a 100 p 1 a 100 =, som ger n a 1 = lim 1 + n n n pn 100 1 n = lim 1 + n n vilket värde n n 1 lim 1 + får för större och större n: n n 1 n 1 + 1,0000000 10,593745 100,7048138 1000,716939 10 000,7181459 100 000,71868 1 000 000,718805 10 000 000,718817 100 000 000,718818 Derivata - 43 a p 100. Vi undersöker nu
Här känner vi igen talet e. Vi har med andra ord visat, att om räntan läggs till kapitalet direkt, väer kapitalet enligt funktionsuttrycket K p e 100. 0 = K Kapitalet i vårt eempel kommer då på ett år att väa till 41 10000 e 100 kr = 10 408,10 kr. Skillnaden mellan ögonblicklig ränta och årsvis ränta är tydligen inte så stor. Denna matematiska modell kan användas på många olika väanden och avtaganden i naturen, till eempel tillvät av djurpopulationer och bakterier, sönderfall av kemiska föreningar och radioaktiva atomer, urladdning av kondensatorer och mycket annat. p Vi släpper kopplingen till procenttal och gör bytet 100 funktionen = e k y y, vilket är uttrycket för naturlig eller organisk 0 = k. Då skrivs tillvät. Talet k kallas tillväthastigheten. Logaritmer med basen e kallas naturliga logaritmer. G5.1 Bestäm med räknare a) e 0,7 b) e 1,17 c) e -0,58 G5. Värdet av en bil beräknas med formeln V = 13000 e -0,01t, där t är tiden i år sedan bilen köptes ny för 13000 kr. Beräkna bilens värde efter 6 år. Derivata - 44
Teori Derivatan av e Vi ska nu bestämma derivatan till funktionen e. Funktionens värde för ett speciellt -värde tecknar vi e. Vi ökar nu -värdet med tal och skriver upp ändringsfaktorn: + e e e e e e (e 1) = = Eftersom e + 1 får vi: e (e 1) e ( + 1 1) = e Vi ser, att ju mindre är desto mer lika blir ändringsfaktorn och e. Alltså: De = e Försök själv att härleda formeln: De k = k e k. Modell Den naturliga logaritmen ln Om y = e så är den naturliga logaritmen till y, som skrivs = ln y. Uttrycken y = e och = ln y kan kombineras till sambandet y = e ln y Visa själv att = ln e Vi kan nu uttrycka ett godtyckligt tal som en potens med talet e som bas. Så blir till eempel 5,89 = e ln 5,89 = e 1,77. Eempel 1 Lös ekvationen e 0,67 = 3,45 Lösning Enligt definitionen på naturliga logaritmer är: 0,67 = ln 3,45 = (ln 3,45)/0,67 1,85 Svar: 1,85 Derivata - 45
Eempel Vi har tidigare ofta använt eponentialfunktionen y = B k. Många gånger kan man önska sig denna skriven med basen e. Vi kan t e lätt derivera funktionen om dess bas är e. Skriv y = B 1,19 med basen e. Lösning Eftersom 1,19 = e ln1,19 får vi y = B 1,19 = B(e ln1,19 ) = B e 0,174 V5.3 Derivera följande funktioner a) y = 10 0,89 b) y = A 0 1,19 Derivata - 46
M atematiken i historien Logaritmer har ända sedan det vetenskapliga århundradets tid (1600- talet) spelat en mycket viktig roll vid numeriska beräkningar. Det var den skotske matematikern John Napier (1550-617) som publicerade den första tabellen med logaritmer år 1614. Tycho Brahe och Johannes Kepler genomförde sina komplicerade beräkningar med hjälp av logaritmer. Det är först under de senaste decennierna som logaritmtabell och räknesticka har ersatts av datorer och räknedosor. Logaritmtabellerna, som användes i gymnasieskolorna ända fram på 60-talet, bygger på basen 10. De kallades även briggska logaritmer efter matematikprofessorn i Oford Henry Briggs (1561 1630), som utvecklade John Napiers uppfinning och gav ut den första tabellen över logaritmer som kunde användas praktiskt vid beräkningar. Hur fungerar en logaritmtabell (eller räknesticka)? En logaritmtabell upptar logaritmernas decimaldelar. Att beräkna multiplikationen 345 3 går till så att man slår upp 354 i tabellen och får 5378. Talet 345 ligger mellan 100 och 1000, så lg 345 =,5378. På samma sätt fås siffrorna 3617 när man slår upp 3. Det talet ligger mellan 10 och 100 och då blir lg 3 = 1,3617. Vi vet alltså att 10,5378 = 345 och 10 1,3617 = 3. Vi får 345 3 = 10,5378 10 1,3617 = 10,5378+1,3617 = 10 3,8995 = 7934. Heltalsdelen av en logaritm kallas karakteristika (siffror med fet stil) och decimaldelen kallas mantissa. Detta innebär att multiplikationer utförs genom att addera produkternas logaritmer och sedan gå tillbaka till tabellen och avläsa det tal som har summan som logaritm. Man kan visa att divisioner utförs genom att subtrahera logaritmer och att potensberäkningar görs genom att multiplicera logaritmer. Tabellerna behöver bara redovisa mantissor eftersom heltalssiffran talar om storleksordningen på talen. Derivata - 47
John Napier som var först med att visa på användningen av logaritmer använde sig av det som nu kallas naturliga (naperianska) logaritmer, ln. Detta innebär att talet e är bas. Detta tal namngavs av Euler (ca 1750) och han beräknade även e med 3 siffror. En av honom hittad algoritm för beräkning av e är: e = 1 + 1 1+ + 3 3 + 4 4 + 5 + 5... G5.4 Bestäm derivatan av a) e b) e - c) 8 e d) e 3 e) 6 e / f) 1/e G5.5 Beräkna f (0) om f() = 7 e - G5.6 Rita kurvan y = e / för definitionsmängden [-4, 4] G5.7 Skriv följande tal som en potens med basen e. a) 5,67 b) 0,045 c) 13 G5.8 Lös följande ekvationer och svara med tre gällande siffror a) e 3 = 0,78 f) ln() = 0,45 b) e -5 =,1 g) 4,56 ln(5+) = 1,3 c) e 3- = 7,81 h) e = e 3 d) 9,0 e - = 4,7 i) 3e = 5e 4- e) e,4 = 6,85 j),3e 3 = 1,7e -. G5.9 Derivera följande funktioner a) y = 3+e b) y = 5 7e c) y = 3 + + e -5 G5.10 Beräkna f () om f() = 5 3e / Derivata - 48
G5.11 Ett företag som tillverkar termosar har utvecklat en ny termos. Med hjälp av mätningar har man undersökt dess förmåga att behålla temperaturen för olika drycker. För kaffe har man kommit fram till att nedanstående formel gäller under vissa förutsättningar: 0,038t f ( t) = 85 e där f () t är temperaturen i C och t är tiden i timmar efter kaffet hällts i. a) Beräkna kaffets temperatur efter 4 timmar. b) Formulera en fråga som kan besvaras med hjälp av lösningen till ekvationen f ( t ) = 50. c) Lös ekvationen och besvara din fråga. d) Vad säger värdet f ( 5 ) om kaffet? e) Nämn någon förutsättning som ska vara uppfylld för att formeln ska gälla. (NpC vt 98) G5.1 Befolkningen i ett område beräknas väa enligt formeln y = 5000 e 0,01 där är tiden i år. a) Beräkna befolkningens storlek efter 5 år. b) Efter hur många år har befolkningen vät till 40 000? G5.13 För en vara är utbud och efterfrågan, U = 00e 0,03 och E = 500e -0,0 ton/vecka när priset är kr/kg. Vid vilket pris är utbud och efterfrågan lika stora? V5.14 Bestäm det största och minsta värde som funktionen f() = e antar i intervallet 1 1. V5.15 Lös, med grafritande räknare, ekvationen 0,5 = e / genom att rita kurvorna y = 0,5 och y = e /. V5.16 Undersök funktionen y = e e + 1 med avseende på etrempunkter samt åskådliggör den i ett koordinatsystem. V5.17 Bestäm det eakta värdet på a, så att e + e +1 = e + a. Derivata - 49
V5.18 En metallstång placeras i ett kylrum med temperaturen 35 C. Stångens begynnelsetemperatur är 540 C. Efter 5 minuter är dess temperatur 370 C. Hur länge dröjer det innan metallstången får sin arbetstemperatur som är 95 C? Formeln för stångens avkylning är T(t) A + Be -k t. V5.19 En medicin injiceras i en person. Medicinen avklingar därefter i blodet enligt formeln Q = Q 0 e -0,t där Q 0 är den mängd som injicerades vid tidpunkten t = 0 och Q är mängden medicin efter tiden t timmar. a) Rita grafen till formeln för definitionsmängden 0 t 1 om Q 0 = 15 mg. b) Använd grafen för att beräkna mängden medicin i blodet efter 4 h. c) Beräkna avklingningshastigheten efter 3 h om Q 0 = 8 mg. V5.0 Rita graferna till följande par av funktioner med grafritande räknare. Den ena grafen är en spegelbild av den andra. Vilken linje är spegel i de olika fallen? a) y = e och y = ln b) y = 10 och y = lg e) y = och y = där 0 f) y = ln och y = e / g) y = 3 och y = 1/4 h) Funktioner som är varandras spegelbilder i den räta linjen y = kallas varandras inversa funktioner. Vilka av funktionerna ovan är inversa? c) y = ln och y = ln (-) d) y = -ln och y = ln Derivata - 50
Modell Tangent till eponentialfunktionen Eempel Beräkna tangentens ekvation till funktionen y = e + 4 i den punkt vars -koordinat är 0. Lösning Vid tangentberäkningar görs ansatsen y = k + m. Därefter beräknar vi k-värdet. Eftersom k-värdet i en punkt på funktionen är lika med derivatans värde måste vi först derivera funktionen. y () = e + 4 y (0) = e 0 + 4 = 1 + 4 = 5 Alltså är k = 5 Därefter måste vi veta tangeringspunktens koordinater. Om = 0 blir y(0) = e 0 + 4 0 = 1 = -1 Genom att sätta in punktens koordinater och k-värdet i ansatsen y = k + m får vi: -1 = 5 0 + m Alltså m = -1 Resultat: Tangentens ekvation är y = 5 1 G5.1 Beräkna tangentens ekvation i punkten (1, e) till funktionen y= e G5. If the tangent to y = e at the point = 0 intersects the -ais at = 1, show that 0-1 = 1. Derivata - 51
Teori Logaritmlagar (endast kurs C) Enligt definitionen på logaritmer gäller att = 10 lg och y = 10 lgy, där och y är positiva tal. Alltså är y = 10 lg 10 lgy Enligt potenslagarna fås y = 10 lg + lgy Men enligt definitionen på logaritm är y = 10 lg(y). Alltså gäller 10 lg(y) lg + lgy = 10 Identifikation av eponenterna ger lg + lgy = lg(y) Försök själv att bevisa lg lgy = lg y och lgp =p lg Vi har bevisat lagarna med basen 10 Eftersom bevisen ovan är oberoende av basen så gäller lagarna även för basen e. lg + lg y = lg(y) ln + ln y = ln(y) lg lg y = lg y lg p =p lg ln ln y = ln y ln p = p ln G5.3 Lös följande ekvationer eakt a) lg = lg 5 + lg 7 b) lg = lg 3 + lg 5 c) ln = ln 3 ln 6 d) ln = ln 8 ln e) lg = lg 3 f) ln = ln 81 g) ln = 1 3ln 3 G5.4 I en fabrik ger en maskin ljudnivån 74 db. Vilken ljudnivå ger två sådana maskiner bredvid varandra? Vi utgår från att intensiteten från de två maskinerna adderas. Formeln för sambandet mellan ljudnivå, L (mätt i decibel, db) och ljudintensitet, I I (mätt i W/m ) är L = 10lg. I 0 = 0,468 10-1 W/m. I0 G5.5 Den minsta intensitet som behövs för att vi skall höra ett ljud är 1, 10-1 W/m. Tröskelvärdet för smärta är 1, W/m. Intensiteten för hård rockmusik är 0,15 W/m. Beräkna ljudnivån i dessa tre fall. V5.6 Lös ekvationerna a) ln ln 3 = 1 b) ln + ln(6 ) = 3 ln c) lg lg( 1) = lg 3 Derivata - 5
6 Derivatan av en sammansatt funktion Teori Sammansatta funktioner Derivata - 53
Modell Uppdelning av sammansatta funktioner Eempel 1 Dela upp följande funktioner i inre och yttre funktion. 3 a) y = ( ) b) y = sin( 3) c) y = cos y = 3 d) 1 Lösning a) y = u, u = 3 b) y = sin u, u = 3 c) y = u, u = cos d) y =, u = 3 1 u Eempel Teckna den sammansatta funktionen om a) u() = + 1 och y(u) = u b) u() = π π/ och y(u) = sin u c) u() = 5 och y(u) = e u Lösning a) y(u()) = (+1) b) y(u()) = sin (π π/) c) y(u()) = e 5 G6.1 Dela upp följande funktioner två enkla funktioner: a) y = 3 1 e) y = sin( π ) 1 3 b) y = 3 ( ) f) y = lg ( + 5) c) y = sin 1 5 g) y = 0,e 5 d) y = e h) y = ln( ) G6. Teckna den sammansatta funktionen om a) u() = + π och y(u) = cos u b) u() = 1 och y(u) = e u c) u() = + 1 och y(u) = 1 u d) u() = cos och y(u) = u Derivata - 54
Teori Den sammansatta funktionens derivata I Eempel 1 a) ovan kan vi utveckla kvadraten: 3 6 4 y = ( ) = +. Deriverar vi detta uttryck på vanligt sätt 5 3 får vi y = 6 8 +. Men om vi först deriverar den yttre funktionen och sedan den inre funktionen och multiplicerar ihop dessa dy derivator får vi först y(u) = u 3 3 får vi u ( ) du = = =, du sedan 3 1 d =. Produkten blir 3 5 3 ( )(3 1) = 6 8 +, alltså samma resultat som vi fick genom att derivera det utvecklade uttrycket. Detta är ingen tillfällighet. Derivatan av en sammansatt funktion ges av den så kallade kedjeregeln som lyder dy dy du =. Ett annat sätt att skriva denna regel är d du d Dy( u( )) = Dy( u) Du( ). I detta fall hade vi frihet att använda vilken metod vi ville, antingen att utveckla uttrycket före deriveringen, eller att derivera med kedjeregeln. Men i de flesta av ovanstående funktioner är vi hänvisade till kedjeregeln för att kunna bestämma derivatan. Vi motiverar nu varför regeln gäller och betraktar en funktion y = f(g()) där g() = u. Låt -värdet få en förändring. Detta ger g-värdet en förändring u och den sammansatta funktionen får förändringen y. Om, u och y y u y 0 gäller = u. Eftersom u ("går mot") 0 när 0 liksom y 0 då u 0, u du y dy så gäller att ändringskvoten, ändringskvoten och d u du y dy ändringskvoten då 0. d Derivata - 55
Vi sammanfattar kedjeregeln: Om funktionen y(u()) är sammansatt av funktionerna y(u) och dy dy du u() så är den sammansatta funktionens derivata = d du d. Alternativt skrivsätt: Dy(u()) = Dy(u) Du() Modell D y(u()) = D y(u) D u() Eempel 1 Derivera funktionen y = sin(3+) Lösning Vi låter u() = 3 + och y(u) = sin u. Alltså dy du dy = cos u och = 3. Alltså är = (cos u) 3 du d d Vi ser sedan till att bara variabeln förekommer i derivatan. dy d = 3cos(3+) Eempel Derivera y = e 5 Lösning Vi sätter u = 5 och y = e u Alltså dy du = eu och du dy = 5. Alltså är = ( 5)eu d d Vi sätter sedan in u = 5 i derivatan och får: dy = ( 5) e 5 d Derivata - 56
G6.3 Bestäm derivatan till funktionerna a) y = (3 1) 3 b) y = (1 0,5) c) y = (3 ) 4 G6.4 Bestäm derivatan till funktionerna a) y = 0,5e c) b) y = e 4-3 y = e 3 G6.5 Bestäm derivatan till funktionerna a) y = sin3 b) y = + cos c) y = cos( π ) 3 G6.6 Bestäm derivatan till funktionerna a) y = e sin 3 b) y = cos π c) y = (sin ) G6.7 Bestäm f () till funktionerna a) f() = (3 1) 5 b) f() = (3 5 3 ) 4 c) f() = ( 3 0,75 ) 4 G6.8 Bestäm f a) om a) f() = (6 + 1) b) f() = ( a) 7 c) f() = (3 1) 4 d) f() = ( 3a) 4 + 1 Teori Andraderivatan Om vi deriverar funktionen f() = 5 5 + e - får vi f ()= 5 4 10 e -. Eftersom f () är ett polynom kan det deriveras. Vi får den så kallade andraderivatan och vi skriver f () =16 3 10 + 4e -. d y Andra skrivsätt är y och. d Vi kan t e även skriva D (sin + 5cos ) = -sin 5cos. Derivata - 57
G6.9 Bestäm f () om a) f() = e -3 b) f() = 8e 3 G6.10 Lös ekvationen f () = 0 om f() = G6.11 En elektrisk krets innehållande en spole och en resistor ansluts till en spänningskälla. Då ändras strömstyrkan enligt uttrycket U () ( 1 e Rt it = L ) där i är strömstyrkan, U spänningen, R R resistansen, L induktansen och t tiden. Beräkna i (0,1) om U = 3,3 V; R = 1Ω och L = 0,045 H. Vilken enhet får derivatan i (t)? e 5 Modell D y(u()) = D y(u) D u() 1 Eempel 3 Derivera funktionen y = 5 1 Lösning Vi sätter u = 5 och y =. u dy 1 du Alltså = och. du u d = Alltså är dy 1 = = d u ( + 5) Eempel 4 Derivera funktionen y = 6 Lösning Vi sätter u = 6 och y = u. dy 1 Alltså du = u och du d = 6. dy 1 3 3 Alltså är = 6 = = d u u 6 Derivata - 58
G6.1 Bestäm derivatan till följande funktioner 1 3 1 a) f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) = + + 1 3 3 G6.13 Bestäm a) D 1+ 3 b) D 1 0, c) D 3 1+ 4 4 G6.14 Bestäm a) D 4 b) D ( 1) c) D G6.15 Bestäm ekvationen för tangenten till följande kurvor a) y = + cos 3 i den punkt där = 0 b) y = 6+ 4 i den punkt där = c) y = + 3 i den punkt där = V6.16 Tangerar tangenten i uppgift G6.15a) kurvan y = + cos 3 i några fler punkter? Derivata - 59
7 Derivatan av logaritm- och eponentialfunktionerna Teori Derivatan av logaritmfunktionen Uttrycket y = ln kan också skrivas = e y. Vi deriverar detta yttryck med avseende på och får då d = e y dy. Derivatan av högerledet ges av kedjeregeln, där e y är d d dy yttre derivatan och inre deri- d vatan. Alltså är e y dy = 1, vilket d dy 1 ger = d e y. Eftersom = ey får vi dy 1 1 =. Alltså: D(ln ) = d G7.1 Derivera a) y = ln 4 b) y = ln (0,5 + ) G7. Derivera a) y = ln ( + 3) b) y = ln ( + 3 ) G7.3 Beräkna f ( ) om f() = ln. c) y = 6,3 + ln d) y = ln 4 c) y = ln ( 3 + e ) d) y = 3 ln (1 6 3 ) Derivata - 60
G7.4 Bestäm f ( ) om f() = ln. G7.5 Bestäm tangentens ekvation till y = ln i punkten (1, 1). G7.6 Tangenten till kurvan y = ln i punkten (e, 1) skär y-aeln i punkten P. Bestäm y-koordinaten för P. G7.7 Beräkna f ( 3 ) om f() = 4 ln 3. G7.8 Beräkna f () om f() = 3 ln 5. G7.9 Man har funktionerna f() = ln 3 och g() = ln 5. Visa att f () = g (). G7.10 Beräkna f ( ) om f () = 5 ln( 3 3) G7.11 Beräkna f (0,8) om f() = ln 3 V7.1 En bakteriekultur väer enligt formeln N = 50 e 0,04t, där N är antalet bakterier och t antalet minuter. a) Beräkna antalet bakterier efter 30 min. b) Beräkna bakteriekulturens tillväthastighet efter 30 min. c) Hur länge dröjer det innan tillväthastigheten blivit 50 bakterier/min? Derivata - 61